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標題: 104新北市高中聯招 [打印本頁]

作者: broken 時間: 2015-5-31 15:30 標題: 104新北市高中聯招

今年沒有計算題。
但80分鐘我還是有很多題沒算到，
只有我太弱覺得跟往年比起來今年很難嗎....> <

thepiano寫的解答
http://www.shiner.idv.tw/teacher ... 48a5b60aa4f58359c4c

附件: 104新北聯招試題.pdf (2015-5-31 15:30, 265.48 KB) / 該附件被下載次數 11052
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附件: 104新北聯招答案.pdf (2015-5-31 15:30, 240.83 KB) / 該附件被下載次數 10409
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作者: tim 時間: 2015-5-31 16:56 標題: 題目是不是有問題

請問大家填充題第三題
如果用y=(2-x)/2替換掉後
f(x,y)不就變成x的三次多項式
但是三次多項式根本沒有最大值和最小值不是嗎?
這樣這題題目是不是有問題阿?

作者: bugmens 時間: 2015-5-31 17:00

選擇1.
設\( S=\{\;1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \}\; \)，\( m \)表示\( S \)中任意兩個非空互斥子集合的總對數，若\( m \)除以10000的餘數為四位數\( abcd \)，則\( a+b+c+d \)之值為何？
(A)13　(B)13　(C)12　(D)10
(2002AIME，http://www.artofproblemsolving.c ... _Problems/Problem_9)

填充1.
已知\( P \)為正方形\( ABCD \)內部一點，若\( \overline{AP}=7 \)，\( \overline{BP}=5 \)，\( \overline{CP}=1 \)，則正方形ABCD之面積為？
(95北港高中，97玉井工商，100彰化藝術高中暨田中高中都考過這題)
(weiye解題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1152&page=4#pid4973)

填充7.
已知存在一正整數\( n \)，使得\( \displaystyle \frac{n}{10}<cos \frac{3}{5} <\frac{n+1}{10} \)。求\( n= \)？
[解]
\( f(x)=cos(x) \)的泰勒展開式為\( \displaystyle f(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!} \ldots \)，\( \displaystyle f(\frac{3}{5})=0.8254 \)
因為題目只要小數點以下第一位，所以代\( \displaystyle f(x)=1-\frac{x^2}{2!} \)，\( \displaystyle f(\frac{3}{5})=0.82 \)也是正確的

\( \displaystyle \frac{2 \pi}{7} \)是特別角，所以有特別的方法
若\( \displaystyle \frac{n}{100}<2cos \frac{2 \pi}{7}<\frac{n+1}{100} \)，\( n \in N \)，則\( n= \)
(99建國中學，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=968&page=1#pid2218)

填充8.
設正實數\( x \)、\( y \)、\( z \)滿足\( \displaystyle x=\sqrt{y^2-\frac{1}{49}}+\sqrt{z^2-\frac{1}{49}} \)，\( \displaystyle y=\sqrt{x^2-\frac{1}{64}}+\sqrt{z^2-\frac{1}{64}} \)，\( \displaystyle z=\sqrt{x^2-\frac{1}{81}}+\sqrt{y^2-\frac{1}{81}} \)，則\( x+y+z= \)？

設實數x、y、z滿足，\( \displaystyle \matrix{x=\sqrt{y^2-\frac{1}{16}}+\sqrt{z^2-\frac{1}{16}} \cr y=\sqrt{z^2-\frac{1}{25}}+\sqrt{x^2-\frac{1}{25}} \cr z=\sqrt{x^2-\frac{1}{36}}+\sqrt{y^2-\frac{1}{36}}} \)，且\( \displaystyle x+y+z=\frac{m}{\sqrt{n}} \)，其中m、n是正整數，且n不能被任何質數的平方整除，試求\( m+n \)之值。
(2006AIME，http://www.artofproblemsolving.c ... Problems/Problem_15)

填充10.
在環\( Z[x] \)上，因式分解\( x^5+x^4+4x^3+7x^2+9x+18 \)

方程式\( 2x^5-8x^4+3x^3+13x^2-3x-3=0 \)，方程式的最大實根為？
(101松山工農，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1482&page=1#pid7644)

104.7.5補充
填充4.
已知\( \alpha>0 \)，且\( \root{3} \of{2+\sqrt{\alpha}}+\root{3} \of{2-\sqrt{\alpha}} \)為一正整數，求\( \alpha= \)？
(出自99高中數學能力競賽　第二區(新店高中)筆試二試題，https://math.pro/db/thread-1051-1-1.html)

104.12.6補充
填充5.
假設\( a=\sqrt{2}+1 \)、\( \displaystyle b=\frac{sin \frac{7}{16}\pi}{sin \frac{3}{16}\pi} \)、\( \displaystyle b=\frac{sin \frac{5}{16}\pi}{sin \frac{1}{16}\pi} \)。比較\( a,b,c \)大小為何？
(出自100高中數學能力競賽　第二區(新店高中)口試試題，https://math.pro/db/thread-1349-1-9.html)

作者: thepiano 時間: 2015-5-31 17:15 標題: 回復 2# tim 的帖子

填充第3題的確有問題，忘了給 x 和 y 是非負實數

填充3.
若\( f(x,y)=x^2y \)，則在平面\( x+2y=2 \)上，\( f(x,y) \)的最大值與最小值之和為　　　。

作者: rueichi 時間: 2015-5-31 18:02

第3題我一開始也覺奇怪
用三次多項式的微分求出極大極小值的確可解出16/27，
但他問最大值和最小值...
所以我當下沒寫答案
一直到打鐘前才死馬當活馬醫

感謝第七題回復作答方式
用泰勒真的太漂亮了(題目練習不夠，還無法想到泰勒展開是><)

我是用30度跟45度去看他的範圍發現答案介於約7.0(根號2/2)到8.5(根號3/2)之間
還在想要不要用內插法...
然後發現沒時間了
就猜7...
然後回家內插之後發現是8...

[ 本帖最後由 rueichi 於 2015-5-31 06:29 PM 編輯 ]

作者: tsusy 時間: 2015-5-31 18:27 標題: 回復 5# rueichi 的帖子

填充 7.
已知存在一正整數\( n \)，使得\( \displaystyle \frac{n}{10}<cos \frac{3}{5}<\frac{n+1}{10} \)。求\( n= \)？

泰勒展開式 (Taylor Expansion)

\( \cos \frac35 = 1 - \frac12 \cdot 0.6^2 + \ldots = 0.82 + \frac{\cos(\xi)}{4!} \cdot 0.6^4\)

因此 \( |\cos \frac35 - 0.82 | \leq \frac{1}{4!}\cdot 0.6^4 < 0.006 \)

故 \( 0.814 < \cos \frac35 < 0.826 \)，故所求 \( n = 8 \)

作者: EZWrookie 時間: 2015-6-1 14:33

想請教選擇2(D選項)、選擇3、選擇5、填充4
先謝謝版上的老師們，謝謝。

作者: valkyriea 時間: 2015-6-1 15:41 標題: 回復 7# EZWrookie 的帖子

選擇2.
下列何者對質數的敘述為真？
(A)最大的質數大約是\( 10^{2^{37}} \)位數
(B)\( 7663 \)為一質數
(C)存在一奇質數\( p \)，使得\( p \)和\( p+2 \)不互質
(D)對所有奇質數\( p \)，存在整數對\( (a,b) \)，使得\( 6a+bp=3 \)成立
[解答]
(D)原式移項後\( bp=-3(2a-1) \)，對任意奇實數\( p \)，可以選\( \displaystyle a= \frac{p+1}{2} \),\( b=-3 \)

選擇3.
設直線\( y=kx+1 \)與曲線\( x^2+y^2+kx-y=4 \)的兩個交點\( (x_1,y_1) \)、\( (x_2,y_2) \)對於直線\( y=x \)對稱，且\( x_1 \neq x_2 \)，則\( x_1+x_2+y_1+y_2= \)？
(A)0　(B)1　(C)2　(D)3
[解答]
\( (x_1,y_1) \),\( (x_2,y_2) \)對稱於\( y=x \)，表示\( y=kx+1 \)與\( y=x \)垂直，可得\( k=-1 \)
代入\( k=-1 \)即可求出\( x_1,x_2,y_1,y_2 \)

選擇5
有一圓半徑為1，圓心為\( O \)，線段\( \overline{AB} \)切圓於\( A \)，已知\( ∠AOB=\theta \)，若\( ∠ABO \)之角平分線\( \overline{BC} \)交\( \overline{OA} \)於\( C \)，則\( \overline{OC} \)長為？
(A)\( sec \theta-tan \theta \)　(B)\( \displaystyle \frac{tan \theta}{1+sin \theta} \)　(C)\( \displaystyle \frac{1}{1+sin \theta} \)　(D)以上皆非
[解答]
如圖，因內分比，\( \overline{OC}:\overline{CA}=\overline{BO}:\overline{BA}=sec \theta:tan \theta \)
所以\( \displaystyle \overline{OC}=\frac{sec \theta}{sec\theta+tan \theta}=\frac{1}{1+sin \theta} \)

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作者: jackyxul4 時間: 2015-6-1 21:13

想請問一下，填充九的答案是否有兩個?

我查過有關舒爾分解的部分，好像並不唯一?

詳解目前只缺這題，偏偏我線代苦手，請求板上大大協助!

填充9.
給定矩陣\( A=\left[ \matrix{5 & -3 \cr 4 & -2} \right] \)，若存在么正矩陣\( U \)(Unitary Matrix)及三角矩陣\( T \)(Triangular Matrix)使得\( U^{-1}AU=T \)，則\( U= \)　　　，\( T= \)　　　。

作者: thepiano 時間: 2015-6-1 21:46 標題: 回復 7# EZWrookie 的帖子

填充第4題
已知\( \alpha>0 \)，且\( \root{3} \of{2+\sqrt{\alpha}}+\root{3} \of{2-\sqrt{\alpha}} \)為一正整數，求\( \alpha= \)？
[解答]
令\(a=\sqrt[3]{2+\sqrt{\alpha }},b=\sqrt[3]{2-\sqrt{\alpha }},a+b=k\ ,\ k\in N\)
\(\begin{align}
  & ab=\sqrt[3]{4-\alpha }<\sqrt[3]{4}<2 \\
&  \\
& {{\left( a+b \right)}^{3}}-3ab\left( a+b \right)={{a}^{3}}+{{b}^{3}}=4 \\
& {{k}^{3}}-3abk=4 \\
& ab=\frac{{{k}^{3}}-4}{3k}=\frac{{{k}^{2}}}{3}-\frac{4}{3k}<2 \\
& k=1\ or\ 2 \\
&  \\
& k=1,ab=-1,\alpha =5 \\
& k=2,ab=\frac{2}{3},\alpha =\frac{100}{27} \\
\end{align}\)

作者: EZWrookie 時間: 2015-6-1 21:53 標題: 回復 9# jackyxul4 的帖子

我是這樣寫的... 跟答案不一樣! 但若我沒驗算錯的話我的也符合題意。

有省略一些步驟，歡迎老師們多多指導、討論。

ps.我也覺得答案並不唯一... 隨著U取的不同會有不一樣的T。

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作者: EZWrookie 時間: 2015-6-1 21:56 標題: 回復 8# valkyriea 的帖子

謝謝valkyriea老師的指導，也謝謝thepiano老師的指導。
太強大了。

作者: jackyxul4 時間: 2015-6-2 09:14 標題: 回復 11# EZWrookie 的帖子

限定T是三角矩陣的話，應該只有兩個
因為T的主對角線元素會是A的特徵值...........

這是網路查來的，別問我為什麼，有請版上線代神人開釋

作者: jackyxul4 時間: 2015-6-2 09:44 標題: 回復 13# jackyxul4 的帖子

附件: 104新北聯招詳解.pdf (2015-6-2 09:44, 550 KB) / 該附件被下載次數 7226
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作者: EZWrookie 時間: 2015-6-2 10:01 標題: 回復 13# jackyxul4 的帖子

信哥老師我覺得應該有四個
隨著特徵向量固定後( EX:[3/5, 4/5)
可取的單範正交基底有兩個 (EX：[4/5, -3/5] OR [-4/5 , 3/5])
這樣取出來的U就有四個對應的T也是四個。

①\( U=\Bigg[\; \matrix{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \cr \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}}} \Bigg]\; \)，\(T=\Bigg[\; \matrix{2 & 7 \cr 0 & 1} \Bigg]\;\)

②\( U=\Bigg[\; \matrix{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \cr \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}} \Bigg]\; \)，\(T=\Bigg[\; \matrix{2 & -7 \cr 0 & 1} \Bigg]\;\)

③\( U=\Bigg[\; \matrix{\displaystyle \frac{3}{5} & \frac{4}{5} \cr \frac{4}{5} & -\frac{3}{5}} \Bigg]\; \)，\(T=\Bigg[\; \matrix{1 & 7 \cr 0 & 2} \Bigg]\;\)

④\( U=\Bigg[\; \matrix{\displaystyle \frac{3}{5} & -\frac{4}{5} \cr \frac{4}{5} & \frac{3}{5}} \Bigg]\; \)，\(T=\Bigg[\; \matrix{1 & -7 \cr 0 & -2} \Bigg]\;\)

作者: jackyxul4 時間: 2015-6-2 10:12 標題: 回復 15# EZWrookie 的帖子

恩...看起來是對的沒錯

線代真的不是我的擅長...我也不知道到底會有幾個

反正絕對不會只有一個，坐等送分吧!

詳解等官方更正答案我再來修

作者: EZWrookie 時間: 2015-6-2 10:20 標題: 回復 16# jackyxul4 的帖子

信哥老師
剛看了一下試題疑義的時間，竟然已經超過時間了。
好像無法再提報了??

謝謝信哥老師的詳解^^

作者: Superconan 時間: 2015-6-2 16:52

意外發現黃子嘉的書裡面有一樣的題目

圖片附件: 11017743_10207145286420375_438135135397180428_n.jpg (2015-6-2 16:52, 53.25 KB) / 該附件被下載次數 5007
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作者: CyberCat 時間: 2015-6-2 17:33 標題: 回復 18# Superconan 的帖子

哇這也太巧了@o@
那麼我也補上一個我覺得很像的題目，但考的方法不同！

只能說題目真的要多練
感謝信哥熱心提供詳解^^

[ 本帖最後由 CyberCat 於 2015-6-2 05:36 PM 編輯 ]

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作者: tuhunger 時間: 2015-6-2 23:45 標題: 選擇5 & 填充1 另解

信哥太強大了! (感謝大大無私分享) 小弟只能提供與信哥不一樣的兩題解法

[ 本帖最後由 tuhunger 於 2015-6-3 11:09 AM 編輯 ]

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作者: tuhunger 時間: 2015-6-3 12:44 標題: 填充10

分解過程如圖檔 (應該有更好的方法, 請代數神人在鞭策)

圖片附件: 10.png (2015-6-3 12:44, 15.63 KB) / 該附件被下載次數 4515
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作者: thepiano 時間: 2015-6-3 16:55 標題: 回復 2# tim 的帖子

填充第3題居然維持原答案，唉!

作者: EZWrookie 時間: 2015-6-3 16:59

避免官方將檔案刪除，做個備份。

用Lagrange 乘數法做的....

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作者: Ellipse 時間: 2015-6-5 10:57

填充4這題出的不好
立方根裡面,最好不要有負的
這題拿去mathematica軟體裡面輸入
答案不是1

幾年前屏東某間學校教甄也出過
但小弟仔細研究後,覺得會造成困擾的數據(立方根裡面有負的)
就應該改過再出~出題的老師要更謹慎

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2015-6-6 10:23 AM 編輯 ]

作者: cefepime 時間: 2015-6-6 22:08

填充第4題，試用圖解來體會。

由 y = ∛x 圖形的凹性，可知 0 < ∛(2 + √α) + ∛(2 - √α) < 2∛2 = 2.~ (故題目敘述應可把 "正整數" 改為 "整數")
並可進一步體會 ∛(2 + √α) + ∛(2 - √α) 的值由 ≒ 2∛2 (α ≒ 0) 開始，隨著 α 值增加而呈連續遞減至趨近於0。
因此， ∛(2 + √α) + ∛(2 - √α)  = 2 or 1，各恰有一 α 解。

再利用 a³ + b³ = (a+b)³ - 3ab(a+b)

1.
∛(2 + √α) + ∛(2 - √α)  = 2
4 = 8 - 6∛(4 - α)
α = 100/27

2.
∛(2 + √α) + ∛(2 - √α)  = 1
4 = 1 - 3∛(4 - α)
α = 5

圖片附件: 104新北市高中聯招填充第4題.png (2015-6-6 22:34, 6.66 KB) / 該附件被下載次數 5454
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作者: tenlong1000 時間: 2015-6-6 22:27 標題: 回復 25# tenlong1000 的帖子

新手

附件: 填充7解.pdf (2015-6-6 22:27, 128.16 KB) / 該附件被下載次數 5931
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2923&k=ed4c7e35d646bfa1881924138d8c7639&t=1714005784

作者: Chen 時間: 2015-6-18 10:36 標題: 回復 24# Ellipse 的帖子

我想mathematica是在複數上處理，才會這樣。

這題是在實數上討論，沒有問題。

作者: Chen 時間: 2015-6-18 10:40 標題: 請問填充8

填充8

http://www.artofproblemsolving.c ... Problems/Problem_15

這是AIME考古題，只是改數字。

請問網頁詳解中(此詳解與信哥老師給的詳解類似)，如何保證x,y,z所圍成的三角形是銳角三角形(我知可圍成三角形)？

作者: cefepime 時間: 2015-6-18 16:47 標題: 回復 28# Chen 的帖子

原解法應該只需保證 "x,y,z 所圍成的三角形非鈍角三角形"即可。

這件事我想可以用作圖的"同一法"，或設三角形為鈍角三角形列式而與原式矛盾，而證明。

作者: Chen 時間: 2015-6-21 10:03 標題: 回復 28# Chen 的帖子

也回復 29# cefepime

(自問自答一下)
這題一開始假設其為銳角三角形，其實可求出三邊長。
再算各角之cos值，發現全為正。(即驗算其為銳角三角形)
ok了

作者: Ellipse 時間: 2015-6-21 10:31

引用:

原帖由 Chen 於 2015-6-18 10:36 AM 發表
我想mathematica是在複數上處理，才會這樣。

這題是在實數上討論，沒有問題。

題目並沒有限制說在實數上討論

作者: cefepime 時間: 2015-6-21 12:26 標題: 回復 30# Chen 的帖子

這樣解釋的話，是否應該再說(證)明這個構成銳角三角形的 x, y, z 是唯一解? (因為以上解題過程只證明"存在性")

作圖的"同一法"，應該可以說明"唯一存在"非鈍角三角形。

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