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標題: 104台北市陽明高中 [打印本頁]

作者: EZWrookie 時間: 2015-5-19 22:50 標題: 104台北市陽明高中

1.角AOB為銳角，M、N為OA上一點，其中OM=5、MN=3。 P為OB上一點，求OP為多少時角MON的角度為最大。

2.f(x)=x^3-3x、-2<a<2 (-2跟2有等號）
試由a討論 f(f(x))=a根的個數。

3.有ㄧ圓x^2+y^2=10，令F為x^2=4y之焦點。若有一直線斜率為1且過F，且該直線與圓、拋物線交四點，由左至右分別是F_1 F_2 F_3 F_4，求F_1F_2的長度+F_3F_4的長度為?

想請教這三題的想法。 PS.用手機排版可能有點亂請見諒。

作者: thepiano 時間: 2015-5-20 10:14 標題: 回復 1# EZWrookie 的帖子

第3題
直線\(y=x+1\)與圓O：\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=10\)交於\({{F}_{1}},{{F}_{3}}\)，與\({{x}^{2}}=4y\)交於\({{F}_{2}}\left( 2-2\sqrt{2},3-2\sqrt{2} \right),{{F}_{4}}\left( 2+2\sqrt{2},3+2\sqrt{2} \right)\)
而\(F\left( 0,1 \right)\)在\(\overline{{{F}_{2}}{{F}_{3}}}\)上，\({{x}^{2}}=4y\)的準線是\(y=-1\)
先用根與係數算出\(\overline{{{F}_{1}}{{F}_{3}}}=\sqrt{38}\)，作\(\overline{OP}\)垂直\(y=x+1\)於P
\(\begin{align}
& \overline{OP}=\overline{PF}=\frac{\sqrt{2}}{2},\overline{F{{F}_{1}}}=\frac{\sqrt{38}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2},\overline{F{{F}_{3}}}=\frac{\sqrt{38}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} \\
& \overline{F{{F}_{4}}}=4+2\sqrt{2},\overline{F{{F}_{2}}}=4-2\sqrt{2} \\
& \overline{{{F}_{1}}{{F}_{2}}}+\overline{{{F}_{3}}{{F}_{4}}}=\overline{F{{F}_{1}}}-\overline{F{{F}_{2}}}+\overline{F{{F}_{4}}}-\overline{F{{F}_{3}}}=\left( \overline{F{{F}_{1}}}-\overline{F{{F}_{3}}} \right)+\left( \overline{F{{F}_{4}}}-\overline{F{{F}_{2}}} \right)=5\sqrt{2} \\
\end{align}\)

作者: czk0622 時間: 2015-5-20 10:55

提供三題，印象中，有誤請幫忙修正
1.一等比數列\( a_{n} \)，前n項總和為\( S_{n} \)，若\( S_{10}=10 \)，\( S_{30}=70 \)，求\( S_{40} \)
2.\( \displaystyle w=cos(\frac{2 \pi}{10})+i sin(\frac{2 \pi}{10}) \)，求以\( w,w^{3},w^{7},w^{9} \)為根的最低次多項式
3.已知\( (\log_{a}{x})^{2}+(\log_{a}{y})^{2}-\log_{a}{(xy)^{2}}\le 2 \)，若\( \displaystyle k=\log_{a}{(x^{2}y)} \)，求k的範圍

[ 本帖最後由 czk0622 於 2015-5-20 03:05 PM 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2015-5-20 12:26 標題: 回復 3# czk0622 的帖子

第2題
\(w,{{w}^{3}},{{w}^{7}},{{w}^{9}}\)是-1的5次方根中，除了-1以外的其餘四個
故所求為\({{x}^{4}}-{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-x+1\)

作者: wrty2451 時間: 2015-5-22 12:24 標題: 104 陽明高中

初試：115 取 10
複試：10 取 1

附件: 104學年度陽明高中教甄(數學科).pdf (2015-5-22 12:24, 99.49 KB) / 該附件被下載次數 8192
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附件: 104學年度陽明高中教甄參考答案(數學科).pdf (2015-5-22 12:24, 69.51 KB) / 該附件被下載次數 7759
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作者: EZWrookie 時間: 2015-5-22 17:38

想請教填充題1.4.10
ps.填充題#1 算出來答案有150跟-200，不知道為什麼-200不合

作者: wrty2451 時間: 2015-5-22 18:20 標題: 回復 2# EZWrookie 的帖子

填充1：數列每一項均為"實數"

[ 本帖最後由 wrty2451 於 2015-5-22 06:23 PM 編輯 ]

作者: EZWrookie 時間: 2015-5-22 20:33 標題: 回復 7# wrty2451 的帖子

冠老師，方便在多提示一點嗎??
我還是想不出跟-200跟實數矛盾的地方...
麻煩了。

作者: wrty2451 時間: 2015-5-22 21:35 標題: 回復 8# EZWrookie 的帖子

您應該是用這個方法做的

易知 \(S_{10}, S_{20}-S_{10}, S_{30}-S_{20}, S_{40}-S_{30}\) 為等比數列

\(\left(S_{20}-10\right)^2=10\left(70-S_{20}\right)\)

\(\Rightarrow S_{20}=30\) or \(-20\)

若 \(\displaystyle S_{20}=\frac{r^{20}-1}{r-1}=-20\)，\(r\)為公比

\(\displaystyle \Rightarrow S_{10}= \frac{r^{10}-1}{r-1}=10\)

\(\Rightarrow r^{10}=-3, r^5=\sqrt{3}\, i\)

[ 本帖最後由 wrty2451 於 2015-5-22 11:28 PM 編輯 ]

作者: 瓜農自足 時間: 2015-5-22 21:39

想請教填充10 ，謝謝

作者: EZWrookie 時間: 2015-5-22 21:47 標題: 回復 9# wrty2451 的帖子

謝謝冠老師。

作者: cefepime 時間: 2015-5-22 22:24 標題: 回復 10# 瓜農自足的帖子

等角點落在以MN為弦的一側圓弧上。
利用類似線性規劃的想法，圓與OB相切於P時，∠MPN最大，此時O在圓外。
由圓冪性質，OP² = OM*ON = 40
OP = 2√10

(題目可否不限制∠AOB是銳角?)

作者: 瓜農自足 時間: 2015-5-23 17:06 標題: 回復 12# cefepime 的帖子

想請問這裡的等角點的定義....??(google 過仍不清楚 )
類似線性規劃的想法這邊也不懂...
可以請cafepime大再詳細說明嗎?(真是不好意思)
謝謝~

作者: cefepime 時間: 2015-5-23 23:22

回復 13# 瓜農自足的帖子

"等角點" 與 "類似線性規劃" 是我自己的說法，不好意思還讓您花時間去 google。

圖示如下:

在直線 OA 右下區的半平面上，滿足 ∠MPN = ∠MQN 的所有 Q 點都位於圓弧MPN上(不含 M, N)，其逆亦真。

我們先從 M, N 之間的點 S 出發 (此時 ∠MSN = 180°)，往右下漸漸縮小∠MSN 的值 (圓半徑漸小→MN成為直徑→圓半徑漸大)，過程中當圓第一次接觸 OB 時的點 (切點) 就是所求的 P 點。

利用圓冪性質，OP² = OM*ON，因此 OP = 2√10。

(題目限制∠AOB是銳角似乎是多餘的?)

另外，我覺得題目最好把 "OB 邊上" 改為"OB 射線上"，依題目的圖和敘述， "OB 邊" 似可解讀為"一線段"，這樣會有毛病。

圖片附件: 104台北市陽明高中填充第10題.png (2015-6-4 20:33, 3.47 KB) / 該附件被下載次數 5485
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作者: David 時間: 2015-5-24 10:48 標題: 回復 6# EZWrookie 的帖子

填充4

我是這樣做. 將圖形座標化. O為原點, A(0,0,4), B(2,0,0) 則C為\((2\cos\theta, 2\sin\theta, 0)\)
1. 平面OAB的法向量\(\vec{n_1}=(0,1,0)\).
2. 平面ODC之法向量\(\vec{n_2}=\overrightarrow{OD}\times\overrightarrow{OC}=(-2\sqrt{3}\sin\theta,2\sqrt{3}\cos\theta,0)\)
3. 利用\(\vec{n_1},\vec{n_2}\)之夾角為\(\frac{\pi}{3}\), 得到\(\sin\theta\).

[ 本帖最後由 David 於 2015-5-24 11:07 AM 編輯 ]

作者: David 時間: 2015-5-24 12:48 標題: 請問填充第6題

不好意思, 第六題我連題目都看不懂............ 抛物線到直線的距離=圓到直線的距離?????
請問: 曲線到直線的距離是指????

[ 本帖最後由 David 於 2015-5-24 01:00 PM 編輯 ]

作者: airfish37 時間: 2015-5-24 16:58 標題: 回復 16# David 的帖子

有誤不吝指正

圖片附件: IMAG0208.jpg (2015-5-24 16:58, 766.32 KB) / 該附件被下載次數 4747
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作者: David 時間: 2015-5-24 17:05 標題: 回復 17# airfish37 的帖子

原來是看最近的那個點，thanks!

作者: airfish37 時間: 2015-6-2 20:24

請教計算第3題，感謝~

作者: tsusy 時間: 2015-6-2 20:51 標題: 回復 19# airfish37 的帖子

計算3. 計算 \( f'(x) = 3(x-1)(x+1) \)，可得 \( f(x) \) 在 \( x=-1 \) 處有極大值 \( f(-1) =2 \), 在 \( x=1 \) 處有極小值 \( f(1) =-2 \)。

當 \( -2 \leq a \leq 2 \), 方程式 \( f(x) = a\)  有三實根 \( \alpha, \beta, \gamma \)。

若 \( -2 \leq \alpha \leq 2 \)，則方程式 \( f(x) = \alpha \) 亦有三實根。

因此需要判別 \( \alpha, \beta, \gamma \) 是否會大於 \( 2 \) 或小於 \( -2 \)

注意到 \( f(x) = f(2) = 2 \Leftrightarrow (x-2)(x+1)^2 = 0 \) 及 \( f(-2) = -2 \)

當 \( |a| \neq 2 \) 時，由勘根定理知方程式 \( f(x) = a \) 之三根分在 \( (-2,2) \)，令其三根為 \( \alpha, \beta, \gamma \Rightarrow f(x) -a = (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) \)
　　方程式 \( f(f(x)) - a = (f(x) - \alpha)(f(x) - \beta)(f(x)-\gamma) \)
   因 \( \alpha, \beta, \gamma \) 皆屬於 \( (-2,2) \)，故 \( f(f(x)) = a \) 有 9 個實根

當 \( a=2  (-2) \) 時，三根為 \( -1,2,2  ( 1,-2,-2) \)，雖有重根，但論述同上，亦有 9 實根。

作者: jackyxul4 時間: 2015-6-4 19:29 標題: 回復 17# airfish37 的帖子

若是把拋物線跟圓畫在同一張圖，很快就發現只要算2.(1)就好了

附件: 104陽明高中詳解.pdf (2015-6-4 19:29, 542.42 KB) / 該附件被下載次數 6595
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2919&k=69b0a07615f64135f0b50d5b990e8b06&t=1714579789

作者: stanley30203 時間: 2015-6-23 10:17 標題: 回復 20# tsusy 的帖子

如果討論相異根的個數，那麼 a=2 (-2)時是五個相異實根

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