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標題: 104桃園高中 [打印本頁]

作者: ksjeng 時間: 2015-4-30 17:17 標題: 104桃園高中

如附件

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作者: bugmens 時間: 2015-4-30 17:38

1.
已知\( a,b,c \)為實數且滿足\( \cases{a+b+c=4 \cr a^2+b^2+c^2=12 \cr a^3+b^3+c^3=28} \)。若\( a>b>c \)，則數對\( (a,b,c)= \)　　　。
(我的教甄準備之路　利用根與係數的關係解聯立方程式，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1076)

2.
設多項式\( f(x)=x^{2015}+x^{2014}+\ldots+x+1 \)，則試求\( f(x^{2016}) \)除以\( f(x) \)所得的餘式為。
[速解]
看完題目請在1秒內寫下答案2016

設\( f(x)=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 \)，試求\( f(x^6) \)除以\( f(x) \)所得的餘式為？
(100全國高中聯招，https://math.pro/db/thread-1163-1-1.html)
答案6

3.
設\( x>0 \)，求函數\( f(x)=\sqrt{x^2+(log x)^2}+\sqrt{(4-x)^2+(6+log x)^2} \)的最小值為。
(96高中數學能力競賽　新竹區試題，96苗栗縣國中聯招)

13.
設矩陣\( A=\left[ \matrix{1 & 1 & 1 \cr 0 & 1 & 1 \cr 0 & 0 & 1} \right] \)，試求\( A^{100} \)。

設矩陣\( A=\left[ \matrix{1 & 1 & 1 \cr 0 & 1 & 1 \cr 0 & 0 & 1} \right] \)。若\( A^{10}=\left[ \matrix{a_{11} & a_{12} & a_{13} \cr a_{21} & a_{22} & a_{23} \cr a_{31} & a_{32} & a_{33}} \right] \)，則\( a_{13} \)之值為何？
(102新北市高中聯招，https://math.pro/db/thread-1627-1-1.html)

15.
一火車站有5個不同的入口處，每個入口處每次只能通過一人。今有6人進站，則共有　　　種不同進站方法。

一火車站有4個入口處,每個入口處每次只能一人進站,今有5人進站,共有幾種不同進站方法。
(95台中高農，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1070&page=1#pid2806)

18.
\( P_k \)表\( 1,2,3,\ldots,n \)中任取\( k \)個數乘積的和，求\( 1+P_1+P_2+\ldots+P_n \)。

有7,8,9,10,14五個數，設\( s_2 \)表任二數乘積的總和，設\( s_3 \)表任三數乘積的總和，設\( s_4 \)表任四數乘積的總和，則\( s_2+s_3+s_4 \)之值為　　　。
(104新竹女中，https://math.pro/db/thread-2219-1-1.html)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2015-5-3 10:08 PM 編輯 ]

作者: Ellipse 時間: 2015-4-30 20:56

引用:

原帖由 ksjeng 於 2015-4-30 05:17 PM 發表
如附件

#1
7x年夜大聯考試題
一模一樣
(1+3^0.5 ,2,1-3^0.5)

#3
令A(0,0) ,B(x,logx) ,C(4,-6)
所求為AB+BC的最小值
即為AC=2*13^0.5

#4
"考"很多次的"古"老"題"目

#6
令(4y-7z)/x=(2x-2z)/(5y)=(x+2y)/z=t
-tx+4y-7z=0
2x-5ty-2z=0
x+2y-tz=0
解三階cramer △=0
得t還原,求x:y:z帶入所求

#10
分子,分母同乘以2^(n-1)*sin(Pi / 2^n)
利用sin的兩倍角化簡成1/ [2^(n-1)*sin(Pi / 2^n) ]
利用limit {a->0} sina /a =1 性質
得所求為2/Pi

#16
TRML試題
一模一樣
10^4

#17
考古題
AB必通過(0,3)
最小值發生在AP=BP
其值為(4*2^0.5)*(4*2^0.5)/2=16

計算1
(1)
最大值為8S^3/(27abc)
此時P為重心
(2)高中數學101
一模一樣 [只有面積符號變S]
最小值為(a+b+c)^2/ (2S)
此時P為內心

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2015-4-30 10:19 PM 編輯 ]

作者: natureling 時間: 2015-4-30 21:13

想先請教....感謝~
6,8,9,10,17,19

引用:

原帖由 ksjeng 於 2015-4-30 05:17 PM 發表
如附件

作者: son249 時間: 2015-5-1 11:44 標題: 請教第12題

第12題要怎樣積分,另外跟南二中重複的第7題a的範圍有無等號?

作者: superlori 時間: 2015-5-1 14:10 標題: 回復 4# natureling 的帖子

你的問題Ellipse老師幾乎都回答了
#8 , #9 ,#19
請看附件

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圖片附件: 填充9.jpg (2015-5-1 14:10, 43.06 KB) / 該附件被下載次數 8472
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作者: superlori 時間: 2015-5-1 16:10 標題: 回復 5# son249 的帖子

#12請參考附圖

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=2808&k=05c465ce7c259f0de098517c5d6b126e&t=1732276415

作者: gamaisme 時間: 2015-5-2 22:02 標題: 回復 3# Ellipse 的帖子

17題小弟有用參數式假設A,B兩點座標
推導出AB直線必過(0，3)
想請教有比較快的方法可以得知此結果嗎？

作者: tsusy 時間: 2015-5-2 23:13 標題: 回復 8# gamaisme 的帖子

17 題. 算是一個性質吧，考古題做一做，會發現出現不少次

101 中科實中、100文華代理、98清水高中、99高雄市聯招、97大里高中都考過

(1) 拋物線：\( y^{2}=4cx \)，\( O \) 為拋物線頂點，直線 L  與拋物線交於兩點 A 、B ，且 \( \angle AOB=90^{\circ} \) ，證明：L  必過 \( P(4c,0) \)。

(2) 過 P(2,1) 做直線 L 交拋物線：\( y=\frac{1}{5}x^{2} \) 於 A、B 兩點，且 \( \angle AOB=90^{\circ} \)，求 L 方程式。    (101中科實中)

過點 \( P(1,2) \) 作一直線 L 與拋物線 \( y=\frac{1}{5}x^{2} \) 交於 A, B 兩點，O 表原點，若 \( \angle AOB \) 為直角，求直線 L 的方程式。    (100文華高中代理)

拋物線 \( \Gamma:\, y^{2}=4x \)，其中 O 為原點。P, Q 為拋物線 \( \Gamma \) 上的兩點，已知 \( \overline{OP}\perp\overline{OQ} \)，若 \( \overline{PQ} \) 恆過點 A，則點 A 的坐標為 __________。    (98清水高中)

設一拋物線 \( x^{2}=5y \) 之頂點 O 與一點 M(1,2)，若過 M 之一直線交拋物線於 A, B 兩點且 \( \angle AOB=90^{\circ} \) ，求 \( \overleftrightarrow{AB} \) 方程式與 \( \overline{AB} \) 長。    (99高雄市聯招)

設點 A, B 為 \( \Gamma:\, y^{2}=4x \) 上除頂點 O 外兩相異動點，已知 \( \overline{OA}\perp\overline{OB} \)，且 M 為 \( \overline{AB} \) 上的點，\( \overline{OM}\perp\overline{AB} \)，求 M 的軌跡方程式。    (97大里高中)

作者: natureling 時間: 2015-5-3 21:31 標題: 回復 6# superlori 的帖子

感謝superlori老師.和Ellipse老師
另外。請教計算二。感謝

作者: superlori 時間: 2015-5-4 15:37 標題: 回復 10# natureling 的帖子

請參考附檔

圖片附件: 計算2.jpg (2015-5-4 15:37, 54.38 KB) / 該附件被下載次數 5520
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2820&k=7be14ce62b836579ececa6f555358f28&t=1732276415

作者: CyberCat 時間: 2015-5-5 03:14 標題: 回復 9# tsusy 的帖子

感謝寸絲老師提供相關類題練習

想請教老師個問題，關於(97大里高中)這題，M的軌跡該不會就剛好只有(4,0)這個點吧！
因為沒有答案，想跟老師您確認一下

另外想進一步請教個問題，是關於拋物線過定點的問題，
記得有一個性質很特別，以 y^2=4cx這例子來說，若P(x0,y0)是拋物線上的一個定點
過P作拋物線兩垂直弦PB與PC，那麼BC必通過(x0+4c,-y0)，這性質的前提條件要求過P作拋物線兩『垂直弦』

我想問的問題是，如果這拋物線上任取一點P(x0,y0)
接著過P作拋物線之兩條弦，分別交於拋物線A與B，且∠APB為一固定角度θ，若AB恆過某個點，這個點存在嗎？
是否恆過某點問題，會被『過P作拋物線兩垂直弦』這條件給綁住了(即θ=90度)，他們可能是互為充要條件嗎？

不知我這樣問有沒有詞不達意，希望老師解惑。

作者: tsusy 時間: 2015-5-5 11:31

97 大里高中，當然不只一個點。

拋物線的問題，如果不是直角，用 Geogebra 畫圖模擬其它角度，顯然沒有過定點，看起來弦的軌跡是一個橢圓的包絡線。

作者: CyberCat 時間: 2015-5-5 11:35 標題: 回復 13# tsusy 的帖子

好的謝謝寸絲老師回復
看來我還有很多地方需要加強我再好好想想

作者: EZWrookie 時間: 2015-5-5 12:22

請益，想請問11題及20題
有老師願意提供想法嗎?
麻煩老師了，謝謝。

作者: meifang 時間: 2015-5-5 12:23 標題: 想問填充20

請問填充20題2^5怎麼出現的?
謝謝

作者: meifang 時間: 2015-5-5 12:43 標題: 想問填充4

我假設那條直線與線段BC平行算出答案，但不知道為什麼這樣是最小值？

作者: thepiano 時間: 2015-5-5 13:47

引用:

原帖由 meifang 於 2015-5-5 12:43 PM 發表
我假設那條直線與線段BC平行算出答案，但不知道為什麼這樣是最小值？

設 DE 過 G 平行 BC，另有一線段 D'E' 過 G，交 AD 於 D'，交 CE 於 E'
易看出 GD' < GE' (亦可證明)
△GDD' = (1/2) * GD * GD' * sin∠DGD'
△GEE' = (1/2) * GE * GE' * sin∠EGE'
△GDD' < △GEE'
△ADE < △AD'E'

作者: thepiano 時間: 2015-5-5 13:51

引用:

原帖由 meifang 於 2015-5-5 12:23 PM 發表
請問填充20題2^5怎麼出現的?
謝謝

"不是"第 1 個圈的三條路都繞完才繞第 2 個圈

作者: thepiano 時間: 2015-5-5 14:36 標題: 回復 15# EZWrookie 的帖子

第 11 題
寸絲兄的的筆記圓錐曲線 P187 有提示

作者: EZWrookie 時間: 2015-5-5 15:00 標題: 回復 20# thepiano 的帖子

搞懂了，謝謝鋼琴老師的提醒，也謝謝寸絲老師的筆記。

作者: Ellipse 時間: 2015-5-5 20:44

引用:

原帖由 thepiano 於 2015-5-5 01:51 PM 發表

"不是"第 1 個圈的三條路都繞完才繞第 2 個圈

這的確要去想一下,為何要再乘2^5~
可以先從兩個圈圈例子,三個圈圈例子....觀察走法就知道了~

作者: EZWrookie 時間: 2015-5-5 22:09

想請教計算題ㄧ(1)的迷思
\[\frac{ax+by+cz}{3}>(abcxyz)^{(1/3)}\] 可以得到標準答案 \(\large\frac{8S^3}{27abc}\) 為最大值，且該點為重心。

我想問得是，若只利用\[\frac{x+y+z}{3}>(xyz)^{(1/3)}\] 得到的卻是最大值為 \(\large\frac{(x+y+z)^3}{27}\) ，且該點為內心。
這樣思考上出現了什麼問題??

作者: tsusy 時間: 2015-5-6 00:23 標題: 回復 23# EZWrookie 的帖子

一樣畫葫蘆，看個更熟悉的例子，做一遍同樣的"錯誤"

在周長為 20 的矩形中，求矩形面積的最大值。

正解. 令長為 x，寬為 y，則有 \( \frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy} \Rightarrow xy\leq 25 \)

      當 \( x =y =5 \) 達上界 25，即最大面積為 25

錯解. 令長為 x，寬為 y，則有 \( \frac{2x+y}{2} \geq \sqrt{2xy} \)

      取 \( y = 2x \) 時等號成立，得 \( x = \frac{10}{3}, y = \frac{20}{3} \) 時上行算幾不等式等號成立

      故得最大面積 \( \frac{10}{3} \times \frac{20}{3} = \frac{200}{9} \)

最後，記得復習一下最大值的定義(意義)

P.S. 除了最大值外，樓上算幾不等式也有錯誤，符號上是小錯誤，但觀念可能很要緊
   小小符號，差之毫釐，失之千里！

作者: EZWrookie 時間: 2015-5-6 09:16 標題: 回復 24# tsusy 的帖子

謝謝寸絲老師，又讓您花時間講解了。
謝謝您。

作者: tsusy 時間: 2015-5-6 19:24 標題: 回復 25# EZWrookie 的帖子

不會~

把細節詳盡的寫下來，一步步分析或做比較，一直都是在觀念混淆、衝突，似懂非懂之間自己常用的方法

另一篇：https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1615 也是不等式極值的錯誤，

建議您可以順帶看一看，想一想，該文 1 樓的問題出在哪裡？當然其實在 2 樓的地方就有 weiye 老師的分析了

作者: EZWrookie 時間: 2015-5-6 20:08 標題: 回復 26# tsusy 的帖子

非常謝謝寸絲老師提供的例子。
又長了些知識了。

作者: superlori 時間: 2015-5-7 14:41 標題: 略解

請參考附檔

附件: 104桃高詳解.pdf (2015-5-7 14:41, 308.4 KB) / 該附件被下載次數 8223
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2833&k=b735266e96e065eaa6ab7d50445c3ceb&t=1732276415

作者: CyberCat 時間: 2015-5-7 18:15 標題: 回復 9# tsusy 的帖子

寸絲老師您好
最後一題我重新思考過後，M點的軌跡方程式應是圓心為(2,0) 半徑為2的圓
因為沒有答案，所以想跟您確認，如果有錯請指正，感謝><

作者: tsusy 時間: 2015-5-7 18:26 標題: 回復 29# CyberCat 的帖子

97大里高中那題，再去掉一個原點，就對了

作者: CyberCat 時間: 2015-5-7 18:43 標題: 回復 30# tsusy 的帖子

感謝老師提醒，完全忘了M不可以是O！謝謝^_^

作者: Chen 時間: 2015-5-18 14:57 標題: 第壹大題，填充題第七題

此題

因題目給的方程式為指數方程式，題目說它有兩正實根(一般習慣上認為這兩正實根為不同的兩根，我想這與一般多項式方程式的情況不同)

故令 t = 6^x 代入，解一元二次方程式時，其判別式需大於零，而非大於等於零。

(這樣這題答案就有爭議了)

大家覺得如何？……

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