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標題: 104彰化高中 [打印本頁]
作者: agan325    時間: 2015-4-29 11:22     標題: 104彰化高中

剛剛在ptt看到的，就給大家分享討論

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=2799&k=cca1b13d05b6f74a136f386833380079&t=1713944823
作者: bugmens    時間: 2015-4-29 11:27

8.
\( x^3+3x-2=0 \)在0與1之間有一個實數解\( x_0 \)，試解\( x_0 \)。
[提示]
用\( \displaystyle x=t-\frac{1}{t} \)代換
更多類題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=21&page=1#pid1228


12.
設\( \Delta ABC \)滿足\( \overline{AB}=\overline{AC} \)。若點\( P \)是\( \Delta ABC \)的內部一點，且\( ∠ACP=30^{\circ} \)、\( ∠PCB=2∠PBC \)。若直線\( CP \)與中線\( \overline{AD} \)交於點\( F \)，試證：\( \overline{AP} \)是\( \Delta CAF \)的一內角平分線。
(99高中數學能力競賽　第二區(新店高中)筆試試題，http://e-tpd.kssh.khc.edu.tw/sys/read_attach.php?id=3688)


13.
安排\( n \)個人進入\( A,B,C \)三間房間，\( A \)房間必須有奇數個人，試問有幾種不同的安排方法？
(99高中數學能力競賽　口試試題，http://www.math.ntnu.edu.tw/muse ... oralexam_1s_new.pdf)
連結有解答
作者: liuo    時間: 2015-4-29 11:59     標題: 彰中誤上傳檔案

好不容易找到了^^
大家可以多一份練習

附件: 104彰中(誤).pdf (2015-4-29 11:59, 317.95 KB) / 該附件被下載次數 10936
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2800&k=d500d220f4b27f2858aa3da2ebf18d7a&t=1713944823
作者: bugmens    時間: 2015-4-29 12:04

104彰化高中預備試題
5.
若\( \displaystyle (x+1)(x+2)(x+3)\ldots(x+15)=\sum_{k=0}^{15}a_kx^k \)，求\( a_{12} \)之值。

將十次多項式\( (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)(x+7)(x+8)(x+9)(x+10) \)展開後得\( \displaystyle x^{10}+55x^9+a_8x^8+a_7x^7+\displaystyle+10! \)，若\( a_8=55M \)，\( a_7=55^2N \)，其中\( M,N \)為正整數，求數對\( (M,N)= \)　　　。
(101文華高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1333&page=8#pid5478)

8.
求\( \displaystyle \sum_{k=3}^{2015}\frac{k}{k!+(k-1)!+(k-2)!} \)之值。
前幾天PTT數學版才問過https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1429795511.A.3F6.html

五年前的4/18我將這題放在我的"教甄準備之路"上，五年後差點有教甄題目考出來(殘念)
(我的教甄準備之路　裂項相消，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678)

將原本的題目及出處列出來表示尊重，感謝出了這麼棒的題目，網址可以下載歷年試題。
Evaluate\( \displaystyle \frac{3}{1!+2!+3!}+\frac{4}{2!+3!+4!}+\ldots+\frac{2004}{2002!+2003!+2004!} \).
(國際數學奧林匹克2004香港選拔賽，http://www.hkage.org.hk/b5/competitions/detail/858)

12.
設數列\( \{\; a_n \}\; \)滿足\( a_{k+2}=a_{k+1}-a_k \)，\( \forall k \in N \)，而且前2000項和為2014，前2014項和為2000。試求前2015項之總和。
thepiano解答http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=3719

有一數列\( S_1,S_2,S_3,\ldots,S_{10} \)滿足從第三項開始，每一項為前兩項之和，即\( S_n=S_{n-2}+S_{n-1} \)，\( n \ge 3 \)。若\( S_9=110 \)且\( S_7=42 \)，則\( S_4= \)？
(A)4　(B)6　(C)10　(D)12　(E)16
(2013AMC12，http://www.artofproblemsolving.c ... 77_2013_amc_12ahsme)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2015-4-29 04:29 PM 編輯 ]
作者: Ellipse    時間: 2015-4-29 12:17

引用:
原帖由 liuo 於 2015-4-29 11:59 AM 發表
好不容易找到了^^
大家可以多一份練習
竟然有隱藏版~
作者: Ellipse    時間: 2015-4-29 12:21

引用:
原帖由 agan325 於 2015-4-29 11:22 AM 發表
剛剛在ptt看到的，就給大家分享討論
#2
證明f(n)=n^(1/n)為嚴格遞減~

#3
令a^2=1648+x^3  -------(1)
b^2=4949-x^3  --------(2)
則a^2+b^2=6597 --------(3)
又a-b=75 ----------(4)
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
75^2=6597-2ab,得ab=486------(5)
由(4)&(5)解得a=81 , b=6 代入(2)
得x^3=4913 ,x=17

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2015-4-29 12:38 PM 編輯 ]
作者: weiye    時間: 2015-4-29 12:35     標題: 回復 6# Ellipse 的帖子

第二題同 https://math.pro/db/thread-914-1-1.html
作者: superlori    時間: 2015-4-29 13:14     標題: 回復 6# Ellipse 的帖子

#1     101中正高中二招考題

#2     考慮函數f(x)=ln(x)/x

#13   100桃園新進教師聯招

好像有些都是考古題
作者: basess8    時間: 2015-4-29 21:02     標題: 請益第4題

試過幾種組何級數的辦法都不適用，問題卡在分母的k處理不掉，請各位先進指教。
作者: Ellipse    時間: 2015-4-29 21:49

引用:
原帖由 basess8 於 2015-4-29 09:02 PM 發表
試過幾種組何級數的辦法都不適用，問題卡在分母的k處理不掉，請各位先進指教。
個人感覺題目打錯了~
應該是Sigma {k=1 to n}  (5^k / k)*C(n,k-1)
不然化簡後的另一端,積分積不出來...

我積不出來,交給mathematica來積,它也無法...

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2015-4-29 10:04 PM 編輯 ]
作者: thepiano    時間: 2015-4-29 22:09     標題: 回復 9# basess8 的帖子

分母是k+1就可以算出了...
作者: tsusy    時間: 2015-4-29 22:13     標題: 回復 10# Ellipse 的帖子

計算4. 同感，但這題是不等式，即使的打錯的題目還是能做，只是會很難做

基本上可以利用 \( \frac 1k > \frac 1{k+1} \) 得到 \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{5^{k}C_{k}^{n}}{k}\geq \sum_{k=1}^{n}\frac{5^{k}C_{k}^{n}}{k+1}=\frac{1}{5\cdot(n+1)}\sum_{k=1}^{n}5^{k+1}C_{k+1}^{n+1}=\frac{6^{n+1}-1}{5(n+1)}-1 \)

由此可得 \( n =2020 \) 時，\( \sum_{k=1}^{n}\frac{5^{k}C_{k}^{n}}{k} \geq 6^{2015} \)。基本上猜測就是 2020 了。

剩下是另一端的不等式，而 \( n = 2019 \) 時 \( \frac{6^{2020}-1}{5\cdot2020}-1 \approx 6^{2015}\cdot \frac{6^5}{5\cdot2020} \approx  0.77 \cdot 6^{2015} \)

再估得準一些 \( \displaystyle \sum_{k=4}^{n}\frac{5^{k}C_{k}^{n}}{k}\leq\frac{5}{4}\sum_{k=4}^{n}\frac{5^{k}C_{k}^{n}}{k+1}=\frac{1}{4\cdot(n+1)}\sum_{k=4}^{n}5^{k+1}C_{k+1}^{n+1}\leq\frac{6^{n+1}}{4(n+1)} \)

故 \( \sum_{k=1}^{n}\frac{5^{k}C_{k}^{n}}{k}\leq\frac{6^{n+1}}{4(n+1)}+\frac{5C_{1}^{n}}{1}+\frac{5^{2}C_{2}^{n}}{2}+\frac{5^{3}C_{3}^{n}}{3}\leq\frac{6^{n+1}}{4(n+1)}+(5n)^{3} \)

\( n=2019 \) 時 \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{5^{k}C_{k}^{n}}{k} \leq \frac{486}{505}\cdot6^{2015}+10095^{3}\)

比較 \( \frac{19}{505}\cdot6^{2015} \) 和 \( 10095^{3} \) 可得 \( 10095^{3} \ll \frac{19}{505}\cdot6^{2015} \) (可用 log)

故 \( n=2019 \) 時 \(  \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{5^{k}C_{k}^{n}}{k} \leq 6^{2015} \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2015-4-29 10:33 PM 編輯 ]
作者: superlori    時間: 2015-4-29 22:31     標題: 回復 10# Ellipse 的帖子

我是用積分做
積分做出來左式好像是---積分[(1+x)^n]/x   dx
然後我就放棄了XD
作者: farmer    時間: 2015-4-29 22:51     標題: 回復 9# basess8 的帖子

分母為k時的級數和為s，分母為k+1時的級數和為t，
驗證 t<s<2t，
而 t 約等於 (6^(n+1))/5(n+1)，
得出 n+1 須為 2020，
因此 n 為2019

(喔，看錯題目了，
n 應該是2020)

[ 本帖最後由 farmer 於 2015-4-29 11:12 PM 編輯 ]
作者: Ellipse    時間: 2015-4-29 22:52     標題: 回復 12# tsusy 的帖子

這題若是故意這樣出,個人是覺得出得很不漂亮~

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2015-4-29 11:49 PM 編輯 ]
作者: broken    時間: 2015-4-30 10:12     標題: 答案

彰中在今天公布了答案，而且附上詳解...(真是佛心來著)
大家參考看看吧～

附件: 104彰中解答.pdf (2015-4-30 10:12, 529.32 KB) / 該附件被下載次數 6215
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2802&k=82e338933574d9643827ad76e706ea22&t=1713944823
作者: Ellipse    時間: 2015-4-30 10:34     標題: 回復 16# broken 的帖子

#4
公佈內容後就露餡了
根本是題目漏打……
作者: thepiano    時間: 2015-4-30 10:55     標題: 回復 17# Ellipse 的帖子

第 4 題
詳解中的第一個等號就錯了...
第一個等號若要相等，分母要改成 k+1

[ 本帖最後由 thepiano 於 2015-4-30 10:57 AM 編輯 ]
作者: EZWrookie    時間: 2015-5-5 16:49     標題: 請益 3# liuo 的帖子

引用:
原帖由 liuo 於 2015-4-29 11:59 AM 發表
好不容易找到了^^
大家可以多一份練習
關於這份誤傳的試題
想請教，第8題、第11題、第13題。
ps.#8分母提出(k-2)!後 整理成\(\sum_{k=1}^{2015}\frac{k-1}{k!}\) 然後就卡住了。

[ 本帖最後由 EZWrookie 於 2015-5-5 04:50 PM 編輯 ]
作者: thepiano    時間: 2015-5-5 20:26     標題: 回復 19# EZWrookie 的帖子

誤版第8題
您只差一步
\(\begin{align}
  & \frac{k}{k!+\left( k-1 \right)!+\left( k-2 \right)!} \\
& =\frac{\frac{k}{\left( k-1 \right)!}}{k+1+\frac{1}{k-1}} \\
& =\frac{\frac{k}{\left( k-1 \right)!}}{\frac{{{k}^{2}}}{k-1}} \\
& =\frac{k-1}{k!} \\
& =\frac{1}{\left( k-1 \right)!}-\frac{1}{k!} \\
\end{align}\)
作者: thepiano    時間: 2015-5-5 21:18     標題: 回復 19# EZWrookie 的帖子

誤版第13題
\({{z}_{1}}\)在高斯平面的圖形是圓\({{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=4\)
\({{z}_{2}}\)在高斯平面的圖形是圓\({{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=4\)
轉成三角函數去求\(\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\)的最大值

不知有無解析幾何的解法？

[ 本帖最後由 thepiano 於 2015-5-5 09:19 PM 編輯 ]
作者: EZWrookie    時間: 2015-5-5 21:55     標題: 回復 21# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師講解的第八題。
想請教第13題，問個笨問題...轉成高斯平面後，所求\(|z_1+z_2|\)最大值會等於 「兩個圓心的距離+兩個圓的半徑」嗎?
作者: thepiano    時間: 2015-5-5 22:15     標題: 回復 22# EZWrookie 的帖子

小弟是算\(4+2\sqrt{10}\)
\(2\sqrt{10}\) 是 (-2，2) 到 (4，0) 的距離
應該有幾何方面的解釋...
作者: farmer    時間: 2015-5-5 23:47     標題: 回復 23# thepiano 的帖子

| z1+z2 | = | z1 - (-z2) |，
可考慮將z2的圓對稱於原點，得到 (-z2) 所在的圓，
再使用「兩個圓心的距離+兩個圓的半徑」的方法。
作者: thepiano    時間: 2015-5-6 06:00     標題: 回復 24# farmer 的帖子

感謝 farmer 兄的指導，小弟剛起床才想到可以這樣做，果然年紀大有差

\(\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-\left( -{{z}_{2}} \right) \right|\)
而\(-{{z}_{2}}\)在高斯平面上形成的圖形是圓\({{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=4\)
所求即為\({{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=4\)和\({{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=4\)兩圓之圓心距離加上其半徑之和
作者: EZWrookie    時間: 2015-5-6 09:20     標題: 回復 24# farmer 的帖子

謝謝farmer老師，也謝謝鋼琴老師。
又學到一個技巧了。
作者: martinofncku    時間: 2015-5-27 23:03

想請問
誤版 3
作者: thepiano    時間: 2015-5-28 10:13     標題: 回復 27# martinofncku 的帖子

誤版第3題
來自A袋的機率\(\text{=}\frac{\frac{1}{3}\times \frac{5}{8}}{\frac{1}{3}\times \frac{5}{8}+\frac{1}{3}\times \frac{3}{6}+\frac{1}{3}\times \frac{5}{12}}\)
來自B袋的機率\(\text{=}\frac{\frac{1}{3}\times \frac{3}{6}}{\frac{1}{3}\times \frac{5}{8}+\frac{1}{3}\times \frac{3}{6}+\frac{1}{3}\times \frac{5}{12}}\)
來自C袋的機率\(\text{=}\frac{\frac{1}{3}\times \frac{5}{12}}{\frac{1}{3}\times \frac{5}{8}+\frac{1}{3}\times \frac{3}{6}+\frac{1}{3}\times \frac{5}{12}}\)
作者: martinofncku    時間: 2015-5-28 10:44     標題: 回復 28# thepiano 的帖子

謝謝老師



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