求證數列 nnn=3  是遞減的數列。




先分析一下

題目要求證，對任意正整數 n3，恆有

nn1(n+1)1n+1  lnnn1ln(n+1)1n+1n1lnn1n+1lnn+1 





證明：

令 f(x)=xlnx ，則

f(x)=x2x1x−lnx1=x21−lnx 

因此對任意 xe，恆有 f(x)0，

所以 f(x) 在 xe 時為遞減函數，

故　f(3)f(4)f(5)，

亦即數列 nnn=3  是遞減的數列。











相似的練習題：（來源出處：林信安老師 → 一般課程 → 微積分講義 → 指對數函數的微分積分）
例題 5.
　　(1) 若 x0，試証 ln1+xx1+x  。

　　(2) 當 x0 時，試討論 f(x)=xln1+x  的增減情形。

　　(3) 若 0ab，試比較 1+ab  與 1+ba  之大小。

另外，其綜合練習部分也有類題。

不好意思，想請教一下第三小題， 0<a<b，試比較 (1+a)^b  與 (1+b)^a  之大小。
要怎麼說明?想仿照前兩題的寫法，但是寫不太出來。
謝謝

第三小題要 "利用" 第二小題的結果，

不是 "仿照" 前兩小題的方法。



由第二小題「結果」，可知當 x0 時，f(x)=xln1+x  為嚴格遞減函數。

即當 0ab 時，恆有 aln1+abln1+b 

　　　　　　　　　　　bln1+aaln1+b 

　　　　　　　　　　　ln1+abln1+ba 

　　　　　　　　　　　1+ab1+ba 

我知道了，謝謝!
自己的腦筋太死了

請問老師
關於類似的練習題(1)
目前只想到利用x>0時，11+x1(1+x)2    
故  11+x  dx  1(1+x)2  dx     
得ln(1+x)x(1+x)    

這樣的作法對嗎?有沒有更直觀的方法?

[ 本帖最後由 CyberCat 於 2016-5-9 12:01 PM 編輯 ]

左邊大於右邊，不表示積分後左邊也會大於右邊。

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令 \displaystyle g(x)=\ln\left(1+x\right)-\frac{x}{1+x}，則 \displaystyle g '(x) = \frac{x}{\left(1+x\right)^2}

\Rightarrow g '(x)>0, \forall x>0， 且 g(x) 在 x=0 處連續，

\Rightarrow g(x) 在 x\geq0 時為嚴格遞增函數，

\Rightarrow g(x)>g(0), \forall x>0

且因為 g(0)=0，所以 g(x)>0, \forall x>0

\displaystyle \Rightarrow \ln\left(1+x\right)-\frac{x}{1+x}>0, \forall x>0

\displaystyle \Rightarrow \ln\left(1+x\right)>\frac{x}{1+x}, \forall x>0

以前有看過用算幾不等式證明: n ∈ N，數列  [1 + (1/n) ] ⁿ  遞增。現在看到這題，也來嘗試用算幾不等式。

原題欲證: n^(1/n) > (n+1)^[1/(n+1)]    (n ≥ 3，n ∈ N)

等同於 n > [ (n+1)ⁿ ] ^ [1/(n+1)]   (兩側同予 n 次方)

把右式作為 (n+1) 個正數的幾何平均，容易想到取 n 個 (n+1) 與 1 個 1，但這樣設計的算數平均太大了。為了"放縮"得小些，嘗試"平均一點"，把右式取幾何平均的 (n+1) 個正數設為:  (n-1) 個 (n+1) 與 2 個 √(n+1)。則根據算幾不等式:

n - 1 + 2/√(n+1) > [ (n+1)ⁿ ] ^ [1/(n+1)]  (等號不會成立)

又當 n ≥ 3 時，2 /√(n+1) ≤ 1，故 n > [ (n+1)ⁿ ] ^ [1/(n+1)]，原題亦得證。

感謝weiye老師解惑並點出我的錯誤
想確認知道自己的錯誤，是不是錯在不定積分的部份?
如果是相同的上下限作定積分(a<b)從a積到b，這樣不等式成立嗎?
可以改成做定積分0至v，其中v>0，使的不等式成立，這樣寫適合嗎?

也謝謝7樓的C大提供一樓題目的另一個解法
巧妙的使用 當 n\geq3 時 n > \ (n-1)+\frac{2}{\sqrt{n+1}}    作為不等式中間的媒介
將 (n+1)^{\frac{n+1}{n}} 拆成n-1個n+1跟2個 \sqrt{n+1} 的想法，真的很有趣

[ 本帖最後由 CyberCat 於 2016-5-14 01:48 AM 編輯 ]