求證數列 \(<\sqrt[n]{n}>_{n=3}^\infty\) 是遞減的數列。
先分析一下
題目要求證，對任意正整數 \(n\geq 3\)，恆有
\(\displaystyle n^{\frac{1}{n}}>(n+1)^{\frac{1}{n+1}} \Leftrightarrow \ln\left( n^{\frac{1}{n}}\right)>\ln\left((n+1)^{\frac{1}{n+1}}\right) \Leftrightarrow \frac{1}{n}\cdot \ln\left(n\right) > \frac{1}{n+1} \ln\left(n+1\right)\)
證明：
令 \(\displaystyle f(x)=\frac{\ln\left(x\right)}{x}\)，則
\(\displaystyle f'(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x - \ln\left(x\right)\cdot 1}{x^2} = \frac{1-\ln\left(x\right)}{x^2}\)
因此對任意 \(x>e\)，恆有 \(f'(x)<0\)，
所以 \(f(x)\) 在 \(x>e\) 時為遞減函數，
故 \(f(3)>f(4)>f(5)>\cdots\)，
亦即數列 \(<\sqrt[n]{n}>_{n=3}^\infty\) 是遞減的數列。
相似的練習題：（來源出處：
林信安老師 → 一般課程 → 微積分講義 → 指對數函數的微分積分）
例題 5.
(1) 若 \(x>0\)，試証 \(\displaystyle \ln\left(1+x\right)>\frac{x}{1+x}\) 。
(2) 當 \(x>0\) 時，試討論 \(\displaystyle f(x)=\frac{\ln\left(1+x\right)}{x}\) 的增減情形。
(3) 若 \(0<a<b\)，試比較 \(\displaystyle \left(1+a\right)^b\) 與 \(\displaystyle \left(1+b\right)^a\) 之大小。
另外，其綜合練習部分也有類題。
