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標題: 104新竹女中 [打印本頁]
作者: Callmeluluz    時間: 2015-4-19 19:48     標題: 104新竹女中

只記得這三題 請問這三題該如何動筆呢

第一題
7 8 9 10 14 這五個數 任取兩數相乘的總和+任取三數的總和+任取四數的總和=???

請問這題要硬做嗎? 還是有更快的做法呢?

證明第一題
假設O為原點 P,Q為直角坐標系兩點 假設有一T為2by2的線性轉換
使得P跑到P'  Q跑到Q'
請證明(一)OP:OP'=OQ:OQ'  (二)角POP'=角QOQ'

證明第二題(記憶力有點差 如果哪邊有記錯請指證)
假設一線段AB中間任取一點C
以AC,CB為邊作正三角形
(一)證明AEFC為還是圓內接四邊形
(二)證明DE(還是其他邊?)為圓AEFC的切線

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作者: tsusy    時間: 2015-4-19 20:13     標題: 回復 1# Callmeluluz 的帖子

第一題
有\(7,8,9,10,14\)五個數，設\(s_2\)表任二數乘積的總和，設\(s_3\)表任三數乘積的總和，設\(s_4\)表任四數乘積的總和，則\(s_2+s_3+s_4\)之值為　　　。
[提示]
這題也考過類似的。

考慮 \( (x+7)(x+8)(x+9)(x+10)(x+14) \) 展開的各項係數和

以 \( x=1 \) 代入再扣除我們不要的項 (5次項、4次項、常數項)


證明一，應該有漏條件，否則反例如下

\( T(x,y)=(2x,y) \), \( P(1,0) \), \( Q(0,1) \)

則 \( \overline{OP}:\overline{OP'}=1:2 \), \( \overline{OQ}:\overline{OQ'}=1:1 \)

若同樣的 T，改取 \( P(1,0) \), \( Q(1,1) \)，則 \( \angle POP' = 0^\circ \neq \angle QOQ' \)


證明二，以 Geogebra 畫圖觀察，圖上所畫直線僅有 \( \overleftrightarrow{CD} \) 與圓 AEFC 相切
作者: Callmeluluz    時間: 2015-4-19 20:30     標題: 回復 2# tsusy 的帖子

應該是我題目有誤 抱歉
只好等題目出來了

我剛剛又想到一題了


三角形ABC，以BC為直徑做圓，AB交圓於D，AC交圓於E，假設三角形AED面積為1，四邊形DECB面積為t，求cos角BAC

第10題
銳角\( \Delta ABC \)中，設\(∠ A=\theta\)，若以\( \overline{BC} \)為直徑作圓，此圓交\(\overline{AB}\)於\(P\)點，交\( \overline{AC} \)於\(Q\)點，若四邊形\(PBCQ\)的面積是\(\Delta APQ\)的面積\(t\)倍，則\(cos \theta=\)　　　。
作者: thepiano    時間: 2015-4-19 22:19

引用:
三角形ABC
以BC為直徑做圓
AB交圓於D
AC交圓於E
假設三角形AED面積為1
四邊形DECB面積為t
求cos角BAC
\(\begin{align}
  & AD\times AB=AE\times AC \\
& \frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB} \\
& \frac{\Delta ADE}{\Delta ABC}=\frac{AD\times AE}{AB\times AC}=\frac{1}{t+1} \\
& {{\left( \frac{AD}{AC} \right)}^{2}}=\frac{1}{t+1} \\
& \cos \angle BAC=\frac{AD}{AC}=\sqrt{\frac{1}{t+1}} \\
\end{align}\)
作者: rueichi    時間: 2015-4-19 23:18

證明第二題：

(1+i)^n=An+iBn，An,Bn為實數，若矩陣[An+1 Bn+1]=T[An Bn]，T矩陣為線性映射，
若O為原點，P.Q為座標上異於O的相異兩點，P'、Q'為P、Q做線性映射T矩陣後的兩點，
證明(一)OP:OP'=OQ:OQ'  (二)角POP'=角QOQ'

我個人是先求出(An+1 ,Bn+1)=(An-Bn,An+Bn)
之後另P、Q、P'、Q'點座標，
暴力算出他們邊長的比值都根號2，因此可得出兩小題的結論
作者: tsusy    時間: 2015-4-19 23:49     標題: 回復 5# rueichi 的帖子

證明二：題目如果是這樣就沒問題了

證明的方向也正確，但有一瑕疵：T 的對應關係，已知的條件僅有對 \( (A_n, B_n) \) 這樣形式的點，而非平面上任意一點

也就是說令了點 P 坐標之後，不能直接套用 \( (A_n, B_n) \) 的映射去得到 \( P' \) 的坐標

而需要利用線性映射的性質把 \( A_{n+1} = A_n -B_n, B_{n+1} = A_n +B_n \) 的關係式推廣成 \( T: (x,y) \mapsto (x-y,x+y) \)

才能代入 \( P, Q \)，而得到 \( P', Q' \) 之坐標
作者: tzhau    時間: 2015-4-19 23:55     標題: 證明2

證明第二題似乎是去年指考考題，題目一模一樣，只是把指考的1.2小題拿掉
作者: bugmens    時間: 2015-4-21 00:42

1.
有7,8,9,10,14五個數，設\( s_2 \)表任二數乘積的總和，設\( s_3 \)表任三數乘積的總和，設\( s_4 \)表任四數乘積的總和，則\( s_2+s_3+s_4 \)之值為　　　。

\( P_k \)表\( 1,2,3,\ldots,n \)中任取\( k \)個數乘積的和，求\( 1+P_1+P_2+\ldots+P_n \)。
(104桃園高中，https://math.pro/db/thread-2238-1-1.html)

將十次多項式\( (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)(x+7)(x+6)(x+9)(x+10) \)展開後得\( x^{10}+55x^{9}+a_8x^8+a_7x^7+\ldots+10! \)，若\( a_8=55M \)，\( a_7=55^2N \)，其中\( M,N \)為正整數，求\( (M,N)= \)？
(101文華高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1333&page=8#pid5478)


13.
多項式\( (1+x+x^2+\ldots+x^{25})(1+x+x^2+\ldots+x^{12})^2 \)展開式中，\( x^{24} \)項的係數為　　　。


14.
設\( x,y,z,w \)均為實數，且滿足\( x+y+z+w=8 \)及\( x^2+2y^2+3z^2+6w^2=50 \)。若\( x \)的最大值為\( M \)，最小值為\( m \)，則數對\( (M,m)= \)　　　。
作者: tzhau    時間: 2015-4-21 02:10     標題: 13

多項式\((1+x+x^2+\ldots+x^{25})(1+x+x^2+\ldots+x^{12})^2\)展開式中，\(x^{24}\)項的係數為　　　。
[解答]
有點醜的做法，參考看看。
令\(\displaystyle a=1+x+x^2+\ldots+x^{12}=\frac{1-x^{13}}{1-x}\)，則原式\(=(a+ax^{13})a^2=a^3+a^3x^{13}\)，
即求\(a^3\)中\(x^{24}\)的係數與\(a^3\)中\(x^{11}\)的係數和
\(\displaystyle a^3=\Bigg(\; \frac{1-x^{13}}{1-x} \Bigg)\;^3=(1-x^{13})^3(1-x)^{-3} \)
\(\displaystyle =(1-3x^{13}+3x^{26}-x^{39})\Bigg[\; 1+(-3)(-x)+\frac{(-3)(-4)}{2!}(-x)^2+\ldots+\frac{(-3)(-4)\ldots(-13)}{11!}(-x)^{11}+\ldots+\frac{(-3)(-4)\ldots(-26)}{24!}(-x)^{24}+\ldots \Bigg]\;\)
所求即為
\( \displaystyle \frac{(-3)(-4)\ldots(-26)}{24!}(-1)^{24}+(-3)\frac{(-3)(-4)\ldots(-13)}{11!}(-1)^{11}+\frac{(-3)(-4)\ldots(-13)}{11!}(-1)^{11}=325+(-234)+78=169 \)
作者: g112    時間: 2015-4-21 03:26

第13題
多項式\((1+x+x^2+\ldots+x^{25})(1+x+x^2+\ldots+x^{12})^2\)展開式中，\(x^{24}\)項的係數為　　　。
[提示]
可以看成是重複組合的題目吧
\(X_1+X_2+X_3=25\)，\(0 \le X_1 \le 25\)，\(0 \le X_2,X_3 \le12\)

想請問一下15,16,17題要怎麼下手

另外18題我想請教一下我的想法對不對

先從題目的式子算出\(f(x)=x^3+ax^2-x\)，3個根分別為\(0,x_1, x_2\)
因為要求面積最小值,所以\(x_1\)和\(x_2\)的絕對值要越小越好
因此當\(a=0\)時，可以得到面積最小值
作者: CyberCat    時間: 2015-4-21 07:45     標題: 回復 8# bugmens 的帖子

分享13題的一個想法
\((1+x+x^2+\ldots+x^{25})(1+x+x^2+x^3+\ldots+x^{12})^2 \)求\(x^{24}\)項的係數
[解答]
其中\((1+x+x^2+x^3+\ldots+x^{12})^2 \)展開後是一個24次的多項式 裡面任一項
皆可在\((1+x+x^2+\ldots+x^{25})\)中恰找到一項 使其展開後冪次為\(x^{24}\)又\((1+x+x^2+\ldots+x^{25})\)中每項係數皆為1
故\(x^{24}\)之係數被\((1+x+x^2+x^3+\ldots+x^{12})^2\)展開後的係數所決定
因此\( x=1\)代入\((1+x+x^2+x^3+\ldots+x^12)^2\)得\(13^2=169\)
作者: 瓜農自足    時間: 2015-4-21 16:03

想請教#4:算得 |1/1+2p|<1  似乎少考慮了甚麼
#6
#7
#11   
#12(用取捨原理算300 不知哪裡少算)
#15
#16
#17
#18  
抱歉..有點多不知怎下手...先謝謝願意分享思路的老師們了!
作者: g112    時間: 2015-4-21 17:36

引用:
原帖由 瓜農自足 於 2015-4-21 04:03 PM 發表
想請教#4:算得 |1/1+2p|
第4題:
設\(tan \alpha\),\( tan \beta \)為方程式\(x^2+(2p-1)x+4p^2=0\)之二根，若\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n}tan^k(\alpha+\beta) \)之值存在，則\(p\)之範圍為　　　。
[提示]
還有方程式的判別式可以用

第6題:
圓心在\(y\)軸上，且與雙曲線\(\displaystyle x^2-\frac{y^2}{4}=1\)及直線\(y=4\)均相切的圓之半徑為　　　。
[提示]
圓心假設\((0,b)\),圓方程式\(x^2+(y-b)^=(4-b)^2\)帶到雙曲線得到\(y\)的一個方程式
然後因為圓和雙曲線會有兩個切點(而且是對\(y\)軸對稱),所以切點\(y\)座標只有一個,所以把上述算出來的\(y\)的方程式用判別式\(=0\)解\(b\)

第7題:
設\(2a+2b+2c+2d=11\)，\(2(a+b)(c+d)=5\)，則\(log(a+b)^2 log(c^2-d^2)-log(a+b)log(c-d)^2\)之值為　　　。
(計算至小數第四位，第五位以下無條件捨去，\(log2=0.301,log3=0.4771\))
[提示]
所求化簡一下可以得到\(2log(a+b)log(c+d)\)
假設\(A=a+b, B=c+d\),用題目給的條件解出\(A,B\)

11題:
滿足\(x+y+z+w=xyzw\)的正整數\(x,y,z,w\)解有　　　組。
[提示]
考古題,把題目一字不漏的丟到google一下就找到了

18題:
設實係數多項式\(f(x)\)滿足\(\displaystyle x^2 f(x)=\frac{3}{5}x^5+\frac{1}{2}ax^4-\frac{1}{3}x^3+2 \int_0^x t f(t)dt\)，\(f(0)=0\)，若曲線\(y=f(x)\)與\(x\)軸所圍成的區域面積記為\(S(a)\)，則\(S(a)\)之最小值為　　　。
[提示]
上一頁有我的想法可以看一下
作者: thepiano    時間: 2015-4-21 18:30     標題: 回復 12# 瓜農自足 的帖子

第 12 題
將\(AAABBCCD\)共八個字母排成一列，同字母不相鄰的排列方法有　　　種。

去年台中女中考過，這題只是把 2 個 a、3 個 b，改成 3 個 a、2 個 b 而已
http://www.shiner.idv.tw/teacher ... amp;start=10#p11646
作者: tsusy    時間: 2015-4-21 22:15     標題: 回復 10# g112 的帖子

15 題
設\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)，若\(f(x)\)之極大值為\(A\)，\(f(x)\)之極小值為\(B\)，且\(f(x)\)的一階導函數\(f'(x)\)之最小值為\(C\)，則\(A-B+C\)之最小值為　　　。
[解答]
透過平移(左右移，不改變 A, B, C)，不失一般性可假設 \( f(x) = x^3 + dx + e \)

則 \( f'(x) = 3x^2 +d \)，因函數 \( f \) 有極大、極小值，故 \( d<0 \)，不妨令 \( d = -3t^2 \)，其中 \( t>0 \)

則 \( A = f(-t), B = f(t), C = -3t^2 \), \( A-B+C = 4t^3 - 3t^2 \)

透過微分計算，可知 \( A - B +C \) 在 \( t = \frac12 \) 時有最小值 \( -\frac14 \)。


16 題
正數\(x,y\)滿足\(ax+by \le 1\)，其中\((log a)^2+2log b=1\)，若\(xy\)之最大值為\(M\)，則\(M\)之最小值為　　　。
[解答]
首先先搞清題意，\( xy \) 的最大值為 \( M \)，這句的意思是說
「固定一組 \( (a,b) \)，在 \( x,y \) 為正數且滿足 \( ax+by\leq 1 \) 的情況下，所得到的 \( xy \) 最大值，即為 \( M = M(a,b) \)」

由算幾不等式有 \( \frac 12 \geq \frac{ax+by}{2} \geq \sqrt{axby} \Rightarrow xy \leq \frac1{4ab} \)
其等號在  \( x= \frac1{2a}, y =\frac1{2b} \) 時成立，故 \( M(a,b) = \frac1{4ab} \)

而 \( a,b \) 的限制條件為 \( (\log a)^2 + 2 \log b =1 \)

故取 \( \log M(a,b) = -\log 4 -\log a - \log b \) ( a,b 為限制條件中的真數必為正，故 M 亦正)

令 \( A = \log a \)，以 \( \log b = \frac{1-A^2}{2} \) 代入 \( \log M(a,b) \) 得 \( \log M(a,b) = - \log 4 - A - \frac{1-A^2}{2} \)

配方可得 \( A = 1 \) 時 \( \log M(a,b) \)，此時 \( M(a,b) \) 亦達有最小值 \( \frac1{40} \)
作者: jackyxul4    時間: 2015-4-22 01:49     標題: 回復 15# tsusy 的帖子

15題平移的方法太漂亮了，請容許我寫進詳解裡

附件: 104新竹女中詳解.pdf (2015-4-23 09:02, 863.79 KB) / 該附件被下載次數 8611
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2777&k=54b153f89c92ee1de8d188ec0c53afe4&t=1732269720
作者: Callmeluluz    時間: 2015-4-23 01:21     標題: 回復 16# jackyxul4 的帖子

不好意思信哥

想跟您請教一下第13題

\((1+x+...+x^{25})(1+x+...+x^{12})^2\)中展開後\(x^{24}\)的係數

可以考慮成\(a+b+c=24 \)的非負數整數解\(a=0\sim 25,b=0\sim 12,c=0\sim 12\)

這部分都可以理解

但是\(H(3,25)-2H(3,12)\)這就不太懂了 請幫指點迷津 感恩!!
作者: jackyxul4    時間: 2015-4-23 08:57     標題: 回復 17# Callmeluluz 的帖子

喔，就只是單純的打錯了0.0
應該是三個數字加起來為24，減掉\(b\ge 13\)或\(c \ge 13\)的結果
\( H(3,24)-2H(3,11) \)
作者: Callmeluluz    時間: 2015-4-23 23:00     標題: 回復 18# jackyxul4 的帖子

原來如此
因為我用\(H(3,25)-2H(3,12)\)去算答案也是169所以才問的
感謝信哥！
作者: martinofncku    時間: 2015-4-24 14:30     標題: 請問

請問以下這一題：
一副 52 張的撲克牌, 點數有\( A,2,3,...,K \)各 4 張, 經隨機洗牌後, 求前二張有\( A \)或最後一張是\( A \)點的機率為?

我的作法是
\( \displaystyle \frac{C(4,2)\cdot 2!\cdot 50!+C(4,1)\cdot 51!-C(4,2)\cdot 2!\cdot C(2,1)\cdot 49!}{52!}\),
可以麻煩老師幫我指正嗎?
作者: thepiano    時間: 2015-4-24 14:43     標題: 回復 20# martinofncku 的帖子

題目是說前二張有 A，所以可能前二張都是 A，也可能前二張中只有一個 A
作者: 008    時間: 2015-4-29 09:48     標題: 想請教第9題>"<

作者: thepiano    時間: 2015-4-29 10:23     標題: 回復 22# 008 的帖子

第 9 題
袋中有編號\(1,2,3,\ldots,n\)的球各1個，今自
前一頁有信哥的詳解

以下是另解
設任取之三球編號分別是a、b、c，其中 a < b < c
把此三球由編號小到大排成一列會產生 4 個空隙
再把剩下的 (n - 3) 球平均分配到這 4 個空隙，每個空隙是 (n - 3)/4 球
所求 = [(n - 3)/4 + 1] * 3 = 3(n + 1)/4
作者: Chen    時間: 2015-5-14 17:32     標題: 填充第15題，題目有瑕疵

三次多項式不存在極大值或極小值。

題目中f 的極大值與極小值，應改為「局部極大值」與「局部極小值」。

(似乎大多數時候，極大值、極小值分別指絕對極大值、絕對極小值)
作者: idontnow90    時間: 2016-1-9 22:04

請問這樣做錯什麼地方，謝謝。

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作者: thepiano    時間: 2016-1-9 22:40     標題: 回復 25# idontnow90 的帖子

該圓是跟雙曲線相切，不是跟雙曲線的切線相切
作者: weiye    時間: 2016-3-7 22:31

第17題，另解，（幫朋友解完順便PO上來）

作拋物線在 x=0 處的切線，得切線斜率為 -3，故法線斜率為 1/3。

將原拋物線對稱 y=kx 所得的新拋物線，

case 1: 若 k>1/3，則新舊拋物線會有四個交點，其中兩點不在 y=kx 上，且㑹互相對稱於 y=kx，故不符合題目要求。

case 2: 若 k<=1/3，則 新舊拋物線只有兩個交點，且都在 y=kx 直線上，㑹滿足題目要求，無拋物線上的相異兩點㑹對稱於 y=kx 直線。

由 case 1&2，可得 k 的最大值為 1/3。

圖片附件: 1457360772024_1_1.jpg (2016-3-7 22:31, 48.32 KB) / 該附件被下載次數 4604
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3224&k=617aae2ae1d6cbab4a3641048c6c0460&t=1732269720

作者: cefepime    時間: 2016-3-10 02:25

第17題，先感謝 weiye 老師提供的神乎其技絕妙解。 我嘗試另一個角度思考，看看是否可行。

題目: 設拋物線 y =  x² - 3x 上任意相異兩點 A, B，都不對稱於直線 y = kx，則 k 之最大值為?

構想: 對稱 → 弦中點 → 換一半公式

解:

由圖形易知，存在 k > 0，使該拋物線 Γ 上有相異兩點 A, B 對稱於 L: y = kx，此時 L 上存在點 P( t, kt ) (t，k > 0) 為 弦AB 之中點，且 弦AB 垂直 L。以上紅字與藍字敘述互為充要條件。

利用"圓錐曲線換一半公式"，Γ 上以 ( t, kt ) 為中點之弦，其"斜率"為 2t - 3，由垂直關係，得

2t - 3 = -1/k ( t，k > 0 )

⇒ -1/k > -3
⇒ k > 1/3

以上證明了 k > 0 時，當且僅當 k > 1/3，Γ 上存在相異兩點 A, B 對稱於 L; 故題目所求 k 之最大值為 1/3。



作者: anyway13    時間: 2016-8-2 16:41     標題: 請教一下 第二題

請教一下版上老師第二題

令直線L的參數式為t 也就是P(2t-1,t-1,-2t+2)

由PA+PB=(9t^2-36t+72)^0.5+(9t^2-18t+18)^0.5

求  PA+PB最小時  的t是  4/3(版上正確答案)

想要問的是,求PA+PB的最小值時用算己不等式(9t^2-36t+72)^0.5+(9t^2-18t+18)^0.5 >=2*((9t^2-36t+72)^0.5*(9t^2-18t+18)^0.5 )^0.5

(9t^2-36t+72)^0.5=(9t^2-18t+18)^0.5  等式成立條件  求出t=3 會和答案不合  請問哪一步想錯了?  請指教!!!
作者: anyway13    時間: 2016-8-2 16:50     標題: 回復#29

抱歉打錯題號  是第三題才對
作者: thepiano    時間: 2016-8-2 17:44     標題: 回復 29# anyway13 的帖子

算幾不等式的右邊須為常數
作者: anyway13    時間: 2016-8-3 00:24     標題: 回復 31# the piano 的帖子

謝謝鋼琴老師指點迷津!



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