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標題: 103松山工農 [打印本頁]

作者: smartdan 時間: 2014-7-25 13:52 標題: 103松山工農

90分鐘作答時間。

應該可以說是本年度最後一份正式教師的試卷了！
今年很特別，七月底還開了兩間學校六個正式缺～

[ 本帖最後由 smartdan 於 2014-7-25 01:53 PM 編輯 ]

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=2485&k=4c7ceb7fc2efc656695ae2455c63ed08&t=1732252756

作者: natureling 時間: 2014-7-25 15:48

想請教9,12

引用:

原帖由 smartdan 於 2014-7-25 01:52 PM 發表
90分鐘作答時間。

應該可以說是本年度最後一份正式教師的試卷了！
今年很特別，七月底還開了兩間學校六個正式缺～

作者: tsyr 時間: 2014-7-25 17:22

第9題
慢慢討論(非常耗時間)
樣本空間3^6
依平手次數分六種情況
平手0次，則甲可能贏6、5或4次，
用排列數可得其分別可能有1、6和15種情況

平手1次，則甲可能贏5、4或3次，
用排列數可得其分別可能有6、30和60種情況

平手2次，則甲可能贏4或3次，
用排列數可得其分別可能有15和60種情況

平手3次，則甲可能贏3或2次，
用排列數可得其分別可能有20和60種情況

平手4次，則甲贏2次，
用排列數可得其有15種情況

平手5次，則甲贏1次，
用排列數可得其有6種情況

故共有1+6+15+6+30+60+15+60+20+60+15+6=294種可能
機率=294/3^6=98/243

作者: thepiano 時間: 2014-7-25 17:23

第 9 題
不分勝負的情形，計以下141種
(1) 六和：1種
(2) 四和：\(C_{4}^{6}\times C_{1}^{2}=30\)種
(3) 二和：\(C_{2}^{6}\times C_{2}^{4}=90\)種
(4) 零和：\(C_{3}^{6}=20\)種

所求\(=\frac{1}{2}\times \frac{{{3}^{6}}-141}{{{3}^{6}}}=\frac{98}{243}\)

第12題
\(\left[ \frac{{{k}^{4}}}{{{k}^{2}}-1} \right]=\left[ {{k}^{2}}+1+\frac{1}{{{k}^{2}}-1} \right]={{k}^{2}}+1\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-7-25 05:41 PM 編輯 ]

作者: tsyr 時間: 2014-7-25 17:29

第12題
(k^4)/(k^2-1)=k^2+(k^2)/(k^2-1)
取高斯符號後等於k^2+1(在k=2~100皆如此)
故原式=2^2+3^2+4^2+......+100^2+99=338448

[ 本帖最後由 tsyr 於 2014-7-25 05:30 PM 編輯 ]

作者: tsyr 時間: 2014-7-25 17:32

piano老師的解法漂亮!

作者: thepiano 時間: 2014-7-25 17:48

引用:

原帖由 smartdan 於 2014-7-25 01:52 PM 發表
應該可以說是本年度最後一份正式教師的試卷了！

還有 7/28 育成高中一個缺和 8/9 新化高中二個缺

去年有 134 個缺，今年至今有 124 缺
明年恐怕沒這麼多了，大家加油！

作者: tuhunger 時間: 2014-7-26 02:01 標題: 剩下的題目詳解

有錯或其它解法還請不吝指教...我有2題不會,還請神人下凡指點迷津... (第4,15題)

1.
\( f(x,y)=3^x+3^y=3^x+3^{1-x} \ge 2 \cdot \sqrt{3^x \cdot 3^{1-x}}=2 \sqrt{3} \)

2.
\( \displaystyle \cases{sin \alpha+cos \alpha=-k>0 \cr sin \alpha \cdot cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{4}} \)⇒\( \displaystyle \cases{(sin \alpha+cos \alpha)^2=1+2 sin \alpha \cdot cos \alpha \cr (-k)^2=1+2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}} \)⇒\( \displaystyle k=\pm \frac{\sqrt{3}+1}{2} \)(取負)

3.

法1：
\( \overline{AC} \)為\( \Delta ABD \)分角線，且\( A=120^{\circ} \)故\( \displaystyle \frac{1}{8}+\frac{1}{x}=\frac{1}{6} \)，即\( x=24 \)

法2：
\( \displaystyle \overline{AC}=\frac{2 \cdot 8 \cdot x}{8+x}cos 60^{\circ}=6 \)⇒\( x=24 \)

公式：\( \Delta ABC \)中，\( \overline{AB}=c \)，\( \overline{AC}=b \)，\( \overline{AD} \)為\( ∠BAC \)的角平分線，\( ∠BAD=∠CAD=\theta \)，則\( \displaystyle \overline{AD}=\frac{2bc}{b+c}cos \theta \)。
證明：
設\( \overline{AD}=x \)
\( \Delta ABC=\Delta BAD+\Delta CAD \)

\( \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \overline{AB} \cdot \overline{AC} \cdot sin ∠BAC =\frac{1}{2} \cdot \overline{AB} \cdot \overline{AD} \cdot sin∠BAD+\frac{1}{2} \cdot \overline{AC}\cdot \overline{AD} \cdot sin ∠CAD \)

\( \displaystyle \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot sin 2\theta=\frac{1}{2} \cdot c \cdot x \cdot sin \theta+\frac{1}{2} \cdot b \cdot x \cdot sin \theta \)

\( bc \cdot 2 sin \theta cos \theta=x \cdot sin \theta(b+c) \)

\( 2 bc \cdot cos \theta=(b+c)x \)

\( \displaystyle x=\frac{2bc}{b+c}cos \theta \)

4.
\( \cases{log A=2+\alpha \cr log B=2+3 \alpha} \)⇒\( 3 \cdot log A-log B=4 \)⇒\( A^3=B \times 2^4 \times 5^4 \)
令\( B=2^2 \cdot 5^2 \cdot k^3 \)因為\( 100<B=2^2 \cdot 5^2 \cdot k^3<1000 \)，所以\( 1<k^3<10 \)⇒\( k=2 \)即\( B=800 \)，\( A=200 \)

5.
\( a_5=C_5^5+C_5^6+\ldots+C_5^n=C_6^{n+1} \)，\( a_4=C_4^4+C_4^5+\ldots+C_4^n=C_5^{n+1} \)，\( a_3=C_3^3+C_3^4+\ldots+C_3^n=C_4^{n+1} \)
⇒\( \displaystyle \frac{(n+1)!}{6!(n-5)!}=\frac{(n+1)!}{5!(n-4)!}+\frac{(n+1)!}{4!(n-3)!} \)⇒\( \displaystyle \frac{1}{6 \cdot 5}=\frac{1}{5 \cdot (n-4)}+\frac{1}{(n-3)(n-4)} \)⇒\( n=0 or 13 \)

6.
\( \displaystyle \overrightarrow{AG}=\frac{1}{3} \overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3r}\overrightarrow{AP}+\frac{1}{3s}\overrightarrow{AQ} \)　因為P,G,Q共線⇒\( \displaystyle \frac{1}{3r}+\frac{1}{3s}=1 \)
科西不等式\( \displaystyle (9r+4s)(\frac{1}{3r}+\frac{1}{3s}) \ge ( \sqrt{3}+\frac{2}{\sqrt{3}})^2=\frac{25}{3} \)

7.

\( z^6-1=(z+1)(z^5-z^4+z^3-z^2+z-1) \)

求\( \displaystyle =5 \times (正 \Delta)=5 \cdot ( \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 1^2 )=\frac{5 \sqrt{3}}{4} \)

8.

由斜率可知\( \overline{P_3 P_4}=10 \)，求\( \displaystyle S=\frac{a}{1-r}=\frac{(60+20)}{1-\frac{1}{6}}=96 \)

10.
\( \displaystyle \matrix{捷　車　機 \cr \left[ \matrix{\frac{7}{10} & \frac{2}{10} & \frac{1}{10} \cr \frac{1}{10} & \frac{5}{10} & 0 \cr \frac{2}{10} & \frac{3}{10} & \frac{9}{10}} \right] } \cdot \left[ \matrix{x \cr y \cr z} \right]=\left[ \matrix{x \cr y \cr z} \right] \)⇒\( \displaystyle \cases{\frac{7}{10}x+\frac{2}{10}y+\frac{1}{10}z=x \cr \frac{1}{10}x+\frac{5}{10}y=y} \)⇒\( x:y:z=5:1:13 \)⇒求\( \displaystyle z=\frac{13}{5+1+13}=\frac{13}{19} \)

11.
易知拋物線過\( A(5,5 \sqrt{3}) \)，\( B(25,15 \sqrt{3}) \)
令拋物線\( \Gamma \)：\( x=ay^2+k \)⇒\( \cases{5=75a+k \cr 25=675a+k} \)解得\( \displaystyle a=\frac{1}{30} \)，\( \displaystyle k=-\frac{75}{30} \)
⇒拋物線\( \Gamma \)：\( \displaystyle x=\frac{1}{30}y^2-\frac{75}{30} \)

13.
(i)當\( \displaystyle x=\frac{1}{2} \)，\( a_2 x^2=a_1x \)⇒\( \displaystyle a_2 (\frac{1}{2}=a_1) \)，所以\( a_2=2 \)
(ii)當\( \displaystyle x=\frac{1}{3} \)，\( a_3 x^3=a_2 x^2 \)⇒\( \displaystyle a_3 (\frac{1}{3})=a_2 \)，所以\( a_3=2 \cdot 3 \)
(iii)當\( \displaystyle x=\frac{1}{4} \)，\( a_4 x^4=a_3 x^3 \)⇒\( a_4 (\frac{1}{4})=a_3 \)，所以\( a_4=2 \cdot 3 \cdot 4 \)
類推可知\( a_n=n! \)

14.
\( \displaystyle cos 60^{\circ}=\frac{(10-x)^2+x^2-6^2}{2 \cdot (10-x) \cdot x}=\frac{1}{2} \)，可得\( \displaystyle x=5 \pm \sqrt{\frac{11}{3}} \)
⇒\( \displaystyle \Delta F_1 PF_2=\frac{1}{2}(5+\sqrt{\frac{11}{3}}) \cdot (5-\sqrt{\frac{11}{3}}) \cdot sin 60^{\circ}=\frac{16}{3} \sqrt{3} \)

16.

\( \displaystyle y=\sqrt{4-\frac{4}{9}x^2} \)　⇒　\( \displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1 \)
所求=直線\( \displaystyle y=\frac{2}{3}x+2 \)與上橢圓\( \displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1 \)所夾面積\( \displaystyle =\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3=6 \)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-8-2 08:58 AM 編輯 ]

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作者: thepiano 時間: 2014-7-26 08:37 標題: 回復 8# tuhunger 的帖子

第 4 題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1273

第15題
請參考附件

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-7-26 09:00 AM 編輯 ]

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作者: tsyr 時間: 2014-7-27 19:43

剛才寫到了一題類似的機率問題
現學現賣

若擲一個骰子6次，當1點先於5及6點出現為勝利，當5點或6點先於1點出現為失敗，其餘情況為平局。
則勝利的機率為多少?

答:21/64
也是一樣，先扣掉平局的機率，再乘以1/3(因為1,5,6先出現的機率相等)，即為答案

作者: thepiano 時間: 2014-7-27 20:35 標題: 回復 11# tsyr 的帖子

直接算也可以
\(\frac{1}{6}+\frac{3}{6}\times \frac{1}{6}+{{\left( \frac{3}{6} \right)}^{2}}\times \frac{1}{6}+{{\left( \frac{3}{6} \right)}^{3}}\times \frac{1}{6}+{{\left( \frac{3}{6} \right)}^{4}}\times \frac{1}{6}+{{\left( \frac{3}{6} \right)}^{5}}\times \frac{1}{6}=\frac{21}{64}\)

作者: CyberCat 時間: 2014-7-29 16:53 標題: 回復 8# tuhunger 的帖子

感謝阿基鴻德與各位版友分享解法

想請教一下第11題
如果題目沒有告訴我們這些正三角形上方的那些頂點 (依題意 A1 A2 A3 這些點) 都恰好落在拋物線上
是否可以用什麼其它的性質就可以先決定這些頂點會落在同一個拋物線上呢?

作者: hua0127 時間: 2014-7-29 18:55 標題: 回復 13# CyberCat 的帖子

一種粗糙看法：
將第n個點的座標令為(an,bn）
則an為二階差數列，次數為2次
bn為一階差數列，次數為1次
故x可整理為y的二次式

作者: thepiano 時間: 2014-7-29 20:49 標題: 回復 13# CyberCat 的帖子

去年金門高中考過這題，而且沒有說它是拋物線

設\({{A}_{n}}\left( {{x}_{n}},{{y}_{n}} \right)\)
則
\(\begin{align}
& {{x}_{n}}=\frac{n\left[ 10+10+\left( n-1 \right)\times 20 \right]}{2}-\frac{10+\left( n-1 \right)\times 20}{2}=10{{n}^{2}}-10n+5=\frac{5}{2}{{\left( 2n-1 \right)}^{2}}+\frac{5}{2} \\
& {{y}_{n}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\times \left[ 10+20\left( n-1 \right) \right]=5\sqrt{3}\left( 2n-1 \right) \\
& {{y}_{n}}^{2}=75{{\left( 2n-1 \right)}^{2}}=30\left[ \frac{5}{2}{{\left( 2n-1 \right)}^{2}}+\frac{5}{2} \right]-75 \\
& {{y}_{n}}^{2}=30{{x}_{n}}-75 \\
\end{align}\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-7-29 08:50 PM 編輯 ]

作者: CyberCat 時間: 2014-7-29 20:55 標題: 回復 15# thepiano 的帖子

感謝 hua0127 兄與鋼琴大用心回復受益良多
原來這題是考古題
看來我要好好努力了 >m<

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