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標題: 103全國高中聯招 [打印本頁]

作者: Ellipse    時間: 2014-5-31 12:02     標題: 103全國高中聯招

如附件~

103.6.2補充
公佈試題疑義結果
數學科 填充第4題 原公告答案\( 2x+9y=0 \) 更正為\( \cases{x=9t \cr y=-2t} \),\( \displaystyle -\frac{1}{\sqrt{10}}<t<\frac{1}{\sqrt{10}} \)

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作者: Ellipse    時間: 2014-5-31 12:11

單1:
法1:遞迴關係
P_n=0.8*P_(n-1)+0.6*[1- P_(n-1)]
得5*P_n= P_(n-1) +3
整理成P_n - 3/4= (1/5 )*[P_(n-1) - 3/4]
=.............=(1/5)^(n-1) *(P1-3/4)
P_n的極限值為3/4

法2:轉移矩陣
假設穩定後命中的機率為s ,不命中的機率為t
利用轉移矩陣性質可得0.8s+0.6t=s ,s+t=1
解出所求s=3/4
[註:這題的0.8若改a, 0.6改b ,所求=b/(1-a+b) ]

單2:
所求:首項=(1/2)*(2²-1²)=3/2,公比=1/16的無窮等比級數和
即(3/2) / [1-(1/16)] =8/5

單5:
令t=x-2 ,即求t²=2^t-----(*) 的實根個數
畫圖可知,當t>0時t=2,4 符合(*)解
當t<0也有一解,共3解

單6:
有名的錯排題目
秒殺做法:
若是n個人(n趨近無窮)
其答案為1/e約0.367879
(e約2.71828,就是歐拉數)

單7:
利用-1<=sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb<=1
得-3/2<=cosa*sinb<=1/2-------(1)
-1<=sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb<=1
得-1/2<=cosa*sinb<=3/2-------(2)
由(1)&(2)得-1/2<=cosa*sinb<=1/2

單8:
判別式D=(-a)²-4(a²-4)>0 ,a²<16/3
兩根a²-4<=0 , -2<=a<=2
a可能為-2,-1,0,1,2
a=-2代入方程式不合
(紅色處感謝Superconan 兄指正)

填1:
A的兩個矩陣都是旋轉矩陣,左邊(逆時針)轉90度,右邊(逆時針)轉300度
共轉390度, 先除以360 ,得餘數=30度
30*12=360 ,n最小值為12

填4:
4x^2+9y^2=36 兩端對x微分
得8x+18y*(dy/dx)=0
dy/dx = -4x/(9y) = 2
所求為2x+9y=0

計1:
法1:配方法
x=4-2t ,y=t ,z=-2+t (t為實數)
代入x²+y²+z²=(4-2t)²+t²+(t-2)²
=6t²-20t+20
當t=5/3時,所求=10/3 有最小值
(註:這題若亂用科西不等式會錯)

法2:向量內積
假設直線L為三平面的交線
則L的方向向量t=(-2,1,1)
P(4-2t ,t ,-2+t)在L上,O(0,0,0)
所求為OP²的最小值,此時向量OP垂直方向向量t
兩向量內積為0, 即 -2(4-2t)+t+(-2+t)=0,解得t=5/3
再算OP²=10/3

法3:距離公式+正餘弦定理
(過程省略,因為有點複雜~還是不要用這招)

計3:
n²+103n+2014= [(2n+103)²-2553]/4
改為證明(2n+103)²-2553不為8000的倍數
因為2n+103為奇數,(2n+103)²個位數必為1或5或9
所以(2n+103)²-2553個位數不會有0,不為8000的倍數

計4:
先證sina*cosa為有理數 [利用 (sina+cosa)²=1+2sina*cosa ]
再用歸納法證明:
(sina)^n +(cosa)^n=(sina+cosa)[(sina)^(n-1)+(cosa)^(n-1)]- (sina*cosa)[(sina)^(n-2)+(cosa)^(n-2)]
為有理數~

考古題:
多12
填7
...

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-6-1 12:06 AM 編輯 ]
作者: thepiano    時間: 2014-5-31 12:30

計算3
n^2+103n=n(n+103) 的個位只可能是0,4,8
不可能是6, 原題得證
手機發文,請見諒



103.12.5版主補充
順著thepiano的解答,你可以再思考以下的問題
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=3332

1.\( \pmod{10} \)要討論10種情況,那在挑同餘的數字時可不可以少一點?
\( \pmod{2} \)、\( \pmod{3} \)、\( \pmod{4} \)、\( \pmod{5} \)、\( \pmod{6} \)、…哪個同餘的數字也能證明不是2000的倍數。

2.其實這類題目出自於數學歸納法單元,只是這單元的題目都是證明是某數的倍數,那103全國聯招這題要證明"不是"2000的倍數能不能用數學歸納法證明?

3.以下幾題請用同餘的方法證明。
(1)證明\( 2^{3n}-1 \)恆為7的倍數?

(2)證明\( 11^n+1 \)永遠不是2014的倍數。

(3)設\( n \)為自然數,試以數學歸納法證明:\( \displaystyle \frac{n^5}{5}+\frac{n^4}{2}+\frac{n^3}{3}-\frac{n}{30} \)為一自然數
(101全國聯招,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1385&page=1#pid6023)

(4)\( n \)為正奇數,證明256整除\( n^8-n^6+n^4-3n^2+2 \)
(102大同高中,https://math.pro/db/thread-1593-1-9.html)

4.同餘的方法比起數學歸納法有什麼優缺點?

[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-12-5 09:05 PM 編輯 ]
作者: hua0127    時間: 2014-5-31 12:56     標題: 回復 1# Ellipse 的帖子

感謝橢圓兄提供題目:

計算4:
\({{a}_{n+2}}={{a}_{1}}\cdot {{a}_{n+1}}-\left( \frac{{{a}_{1}}^{2}-1}{2} \right)\cdot {{a}_{n}}\), 利用強數學歸納法可得證

沒看到橢圓兄已更新本題,速度太快了XD

填充第3題:先整理個一般化的情況

令\(R=\left( \begin{matrix}
   \cos \theta  & -\sin \theta   \\
   \sin \theta  & \cos \theta   \\
\end{matrix} \right)\), 表示以原點為中心逆時針繞\(\theta \)角的旋轉矩陣;
\(M=\left( \begin{matrix}
   \cos \phi  & \sin \phi   \\
   \sin \phi  & -\cos \phi   \\
\end{matrix} \right)\), 表示對直線 \(y=\left( \tan \frac{\phi }{2} \right)x\) 鏡射的鏡射矩陣,則
(1) (先旋轉後鏡射)
    \[MR=\left( \begin{matrix}
   \cos \left( \phi -\theta  \right) & \sin \left( \phi -\theta  \right)  \\
   \sin \left( \phi -\theta  \right) & -\cos \left( \phi -\theta  \right)  \\
\end{matrix} \right)\] 合成後即為對直線\(y=\left( \tan \frac{\left( \phi -\theta  \right)}{2} \right)x\)鏡射
(2) (先鏡射後旋轉)
    \[RM=\left( \begin{matrix}
   \cos \left( \phi +\theta  \right) & \sin \left( \phi +\theta  \right)  \\
   \sin \left( \phi +\theta  \right) & -\cos \left( \phi +\theta  \right)  \\
\end{matrix} \right)\] 合成後即為對直線\(y=\left( \tan \frac{\left( \phi +\theta  \right)}{2} \right)x\)鏡射
本題為(1) 之情形,將\(\theta =80{}^\circ ,\phi =30{}^\circ \)代入 得到所求直線為 \(y=\tan \left( -25{}^\circ  \right)x\),
應題目要求將角度調成\(155{}^\circ \), 故選(C)

又沒看到興傑兄已經在 #12講解了本題XD,也請參考興傑兄的更直觀的圖形看法

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-5-31 07:49 PM 編輯 ]
作者: Ellipse    時間: 2014-5-31 13:08

引用:
原帖由 hua0127 於 2014-5-31 12:56 PM 發表
感謝橢圓兄提供題目:

計算4:
\({{a}_{n+2}}={{a}_{1}}\cdot {{a}_{n+1}}-\left( \frac{{{a}_{1}}^{2}-1}{2} \right)\cdot {{a}_{n}}\), 利用強數學歸納法可得證

沒看到橢圓兄已更新本題,速度太快了XD ...
沒關係啦~
連po幾題,喘口氣~
先把解題棒子交給您們~
作者: Sandy    時間: 2014-5-31 13:16     標題: 填充3

A²=-2A
(A+I)²=A²+2A+I=I
所求(A+I)^2014=I^1007=I
作者: hua0127    時間: 2014-5-31 13:37     標題: 回復 1# Ellipse 的帖子

複選10:
\(2\log a-\log b=-4\Rightarrow a={{\left( \frac{b}{100} \right)}^{2}}\in \mathbb{N}\Rightarrow \left. 100 \right|b\), 令b=100k, 再由a的範圍知
\(3600000<{{b}^{2}}<4000000\Rightarrow 360<{{k}^{2}}<400\Rightarrow k=19\Rightarrow a=361\), 選(A)(B)


複選12:
(A) 由二項式定理可看出
(B) \({{\left( 3+\sqrt{2} \right)}^{n}}\cdot {{\left( 3-\sqrt{2} \right)}^{n}}={{7}^{n}}={{a}_{n}}^{2}-2{{b}_{n}}^{2}\Rightarrow \frac{{{7}^{n}}}{{{b}_{n}}^{2}}=\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{{b}_{n}}^{2}}-2\)
    左式極限為0, 故\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{{b}_{n}}^{2}}=2\), 由\({{a}_{n}},{{b}_{n}}>0\)知 \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}=\sqrt{2}\)
(C) \({{\left( 3+\sqrt{2} \right)}^{n+1}}=\left( 3{{a}_{n}}+2{{b}_{n}} \right)+\left( {{a}_{n}}+3{{b}_{n}} \right)\sqrt{2}\) 故\({{a}_{n+1}}=3{{a}_{n}}+2{{b}_{n}}\), \({{b}_{n+1}}={{a}_{n}}+3{{b}_{n}}\)
(D) \({{m}_{n}}=\frac{{{b}_{n+1}}-{{b}_{n}}}{{{a}_{n+1}}-{{a}_{n}}}=\frac{{{a}_{n}}+2{{b}_{n}}}{2{{a}_{n}}+2{{b}_{n}}}=\frac{\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}+2}{2\cdot \frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}+2}\to \frac{\sqrt{2}+2}{2\sqrt{2}+2}\ne \sqrt{2}\) as \(n\to \infty \)

故答案為ABC ~有計算錯煩請指證

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-5-31 04:28 PM 編輯 ]
作者: hua0127    時間: 2014-5-31 14:25

填充6:
\({{a}^{\log ax}}={{b}^{\log bx}}\Rightarrow \left( \log ax \right)\log a=\left( \log bx \right)\log b\Rightarrow \log x=-\left( \log ab \right)\Rightarrow x=\frac{1}{ab}\), 故
所求為\({{\left( ab \right)}^{\log \left( abx \right)}}=a{{b}^{\log 1}}=1\)

\(ab\ne 1\)條件拿掉對答案應該也無傷大雅,還是只是不想讓考生猜XD

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-5-31 02:41 PM 編輯 ]
作者: Ellipse    時間: 2014-5-31 14:42

引用:
原帖由 hua0127 於 2014-5-31 02:25 PM 發表
填充6:
\({{a}^{\log ax}}={{b}^{\log bx}}\Rightarrow \left( \log ax \right)\log a=\left( \log bx \right)\log b\Rightarrow \log x=-\left( \log ab \right)\Rightarrow x=\frac{1}{ab}\), 故
所求為\({{\left(  ...
這題題目出的不錯~
您也解得很漂亮
作者: hua0127    時間: 2014-5-31 15:40     標題: 回復 9# Ellipse 的帖子

橢圓兄~我今天還在思索你的"凡德爾夢"行列式中XD

推理了橢圓兄的單選6的秒殺做法:
n個人的錯排機率為 \(\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}\ldots +{{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{1}{n!}\), 取極限後
\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}\ldots +{{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{1}{n!} \right)=\sum\limits_{k=0}^{\infty }{\frac{{{\left( -1 \right)}^{k}}}{k!}}={{e}^{-1}}=\frac{1}{e}\approx 0.367879\)

取n=10時誤差已經很小了~故選擇0.35
原來如此,又學了一招必殺,沒想過還真的不知道XD

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-5-31 03:44 PM 編輯 ]
作者: hua0127    時間: 2014-5-31 16:06

填充5:
看起來挺嚇人,但畫個圖後好像也還好:
令A,B到平面E2的垂足分別為M,N, 則
\(\overline{DN}=\sqrt{{{\overline{BD}}^{2}}-{{\overline{BN}}^{2}}}=\sqrt{{{\overline{BD}}^{2}}-{{\overline{AM}}^{2}}}=\sqrt{{{\overline{BD}}^{2}}-\left( {{\overline{AC}}^{2}}-{{\overline{CM}}^{2}} \right)}=\sqrt{{{41}^{2}}-\left( {{40}^{2}}-{{12}^{2}} \right)}=\sqrt{{{9}^{2}}+{{12}^{2}}}=15\)
作者: shingjay176    時間: 2014-5-31 19:40     標題: 回復 11# hua0127 的帖子

單選3
(1)
\( \Bigg[\; \matrix{x^{''} \cr y^{''}} \Bigg]\;=\Bigg[\; \matrix{cos 2 \alpha & sin 2 \alpha \cr sin 2 \alpha & -cos 2 \alpha} \Bigg]\; \Bigg[\; \matrix{cos 80^{\circ} & -sin 80^{\circ} \cr sin 80^{\circ} & cos 80^{\circ}} \Bigg]\; \Bigg[\; \matrix{x \cr y} \Bigg]\; \)
點旋轉矩陣\( \Bigg[\; \matrix{cos \theta & -sin \theta \cr sin \theta & cos \theta} \Bigg]\; \)

鏡射\( \Bigg[\; \matrix{cos 2 \theta & sin 2 \theta \cr sin 2 \theta & -cos 2 \theta} \Bigg]\; \)


(2)L:\( (\sqrt{3}-1)x-(\sqrt{3}+1)y=0 \) \( m=2-\sqrt{3} \)
\( \sqrt{1^2+(2-\sqrt{3})^2}=\sqrt{8-2 \sqrt{12}}=\sqrt{6}-\sqrt{2} \)
\( \displaystyle cos \alpha=\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=sin 75^{\circ} \)
\( \alpha=15^{\circ} \)或\( \alpha=-15^{\circ} \)

(3)\( y=(tan \theta )x \)
\( m=tan \theta \),\( \theta \)斜角
鏡射\( \Bigg[\; \matrix{cos 2 \theta & sin 2 \theta \cr sin 2 \theta & -cos 2 \theta} \Bigg]\; \)

(4)
\( \Bigg[\; \matrix{cos 2 \alpha & sin 2 \alpha \cr sin 2 \alpha & -cos 2 \alpha} \Bigg]\; \Bigg[\; \matrix{cos 80^{\circ} & -sin 80^{\circ} \cr sin 80^{\circ} & cos 80^{\circ} } \Bigg]\; =\Bigg[\; \matrix{cos 2 \theta & sin 2 \theta \cr sin 2 \theta & -cos 2 \theta} \Bigg]\; \)
\( cos 2 \alpha cos 80^{\circ}+sin 2 \alpha sin 80^{\circ}=cos 2 \theta \)

\( cos(2 \alpha-80^{\circ})=cos 2 \theta \)

\( 0<2 \theta <360^{\circ} \)

\( \alpha=15^{\circ} \)

\( 2 \alpha-80^{\circ}=-50^{\circ} \)

\( -50^{\circ}+360^{\circ}=310^{\circ} \)

\( 2\theta=310^{\circ} \)

\( \theta=155^{\circ} \)

單選4   把圖畫出來,就可以看出答案

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-6-4 12:59 PM 編輯 ]

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作者: smartdan    時間: 2014-5-31 19:51     標題: 回復 1# Ellipse 的帖子

我猜55左右~ 去年60左右~ 
今年感覺起來比去年難~ 所以猜55
作者: Superconan    時間: 2014-5-31 21:28     標題: 回復 2# Ellipse 的帖子

單8:
判別式D=(-a)²-4(a²-4)>0 ,a²<16/3
兩根和a²-4<=0 , -2<=a<=2
a可能為-2,-1,0,1,2
a=-2代入方程式不合

請問為什麼 " 兩根和a²-4<=0 , -2<=a<=2 "
又怎麼知道只有-2代入不合,需要五個答案都檢查嗎?
作者: Superconan    時間: 2014-5-31 21:30     標題: 回復 7# hua0127 的帖子

複選12:
(B) 請問為什麼左式的極限為零?
作者: shingjay176    時間: 2014-5-31 21:31     標題: 回復 14# Superconan 的帖子

常數項不能為0。
因為這樣就有一個根為0。
0是不正也不負。這狀況要排除。
考試時間壓力,再來一直找尋計算空間。算到最後都暈了。我也沒有在當下檢查到
作者: shingjay176    時間: 2014-5-31 21:33     標題: 回復 15# Superconan 的帖子

這是考古題。
作者: hua0127    時間: 2014-5-31 21:58     標題: 回復 15# Superconan 的帖子

因為在算\({{b}_{n}}^{2}\)的過程中會產生項 \({{\left( 3+\sqrt{2} \right)}^{2n}}={{\left( 11+6\sqrt{2} \right)}^{n}}>{{7}^{n}}\), 做比值後極限為0
作者: wrty2451    時間: 2014-5-31 22:29

填充2. 設有兩個俄國人,三個美國人,兩個台灣人,七人排成一列,規定美國人與俄國人不相鄰,請問共有幾種排法。

設俄國人為B1B2   美國人為A1A2A3    台灣人為T1T2
利用台灣人將美國人和俄國人隔開
有三個間隔
先分人再選間隔最後排列
Case1 (美國人在同一個間隔,俄國人在另同一個間隔)
A(3,0,0)
B(0,2,0)
C(3,3)C(3,1)3!*C(2,2)C(2,1)2!=72

Case2 (美國人在同一個間隔,俄國人在另兩個間隔)
A(3,0,0)
B(0,1,1)
C(3,3)C(3,1)3!*C(2,1)C(2,2)=36

Case3 (俄國人在同一個間隔,美國人在另兩個間隔)
A(2,1,0)
B(0,0,2)
C(3,2)2!3!*C(2,2)C(1,1)2!=72

2*(Case1+Case2+Case3)=360

[ 本帖最後由 wrty2451 於 2014-5-31 10:35 PM 編輯 ]
作者: tsusy    時間: 2014-5-31 22:34     標題: 回復 14# Superconan 的帖子

回應選擇 8.
思考:為什麼可以用兩根乘積 \( a^2 -4 \leq 0 \),去判斷兩根的正負?

想通了,就知道哪些需要檢驗,哪些不需要?

就好像解方程式或極值問題的時候,在一些比較熟悉的操作之下,可以不需要檢驗或是省略檢驗的步驟

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-6-4 11:28 AM 編輯 ]
作者: Ellipse    時間: 2014-5-31 22:35

引用:
原帖由 Superconan 於 2014-5-31 09:28 PM 發表
單8:
判別式D=(-a)²-4(a²-4)>0 ,a²<16/3
兩根和a²-4<=0 , -2<=a<=2
a可能為-2,-1,0,1,2
a=-2代入方程式不合

請問為什麼 " 兩根和a²-4<=0 , -2<=a<=2 "
又怎麼知道只有-2代入不合,需要五個答案都檢查嗎?
是兩根"積",那時打太快
大概只要檢查a=-2 及2
因為不確定兩個解乘積是"0*正數"還是"0*負數"

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-31 10:38 PM 編輯 ]
作者: Ellipse    時間: 2014-5-31 22:49

引用:
原帖由 smartdan 於 2014-5-31 07:51 PM 發表
我猜55左右~ 去年60左右~ 
今年感覺起來比去年難~ 所以猜55
去年102年進複試分數/總報名人數
A區 67分/312人
B區 65分/311人
C區 71分/380人

今年103考題雖比去年稍難
但只有A,B兩區,考的人數變多
A區 410人
B區 570人
小弟預測A區60~68分,B區65~73分
作者: hua0127    時間: 2014-5-31 23:29     標題: 回復 19# wrty2451 的帖子

好做法,我也提供一個類似的想法,
先排好兩位俄國人,考慮台灣人的位置之後再把美國人放入,
同國籍的人先不排列:
考慮這個形狀    "  (a)  俄  (b)  俄 (c) "
(說明) 若台灣人放入 (a) , (b) , 則形狀變為  "台  俄  台  俄 ",
           考慮衍伸出來的5個空隙xyzuv 如下所示
           x 台 y 俄 z 台 u 俄 v
          此時三位美國人只能放在x的位置,方法數為 1, 以下依此規則分類:

(1)  若台灣人放入" (a) , (b) " 或  "(b), (c)" ,方法數為 2        (103.06.20 感謝 martinofncku 勘誤)
(2)  若台灣人放入" (a) , (c) ", 則方法數為 \(H_{3}^{2}=4\)
(3)  若台灣人均放入 "(a)" 或 "(c)" , 則方法數為 \(2\cdot H_{3}^{2}=8\)
(4)  若台灣人均放入 "(b)",  則方法數為 1
故所求為 \(\left( 2+4+8+1 \right)\cdot \left( 2! \right)\cdot \left( 2! \right)\cdot \left( 3! \right)=360\)

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-20 11:36 AM 編輯 ]
作者: tsusy    時間: 2014-6-1 00:17     標題: 回復 2# Ellipse 的帖子

填充 4. 橢圓兄的作法,背後隱藏了不少東西, 值得揣摩一番,要補上些什麼?才可以解釋清楚這些算式所得到的結果,就是答案呢?
            原因就留給大家自行思考了

再來補充一個解法:假設 \( (x_1, y_1), (x_2, y_2) \) 是弦的兩端點,弦中點的坐標記為 \( (\alpha, \beta) \),

則 \( \displaystyle \frac{x_{1}^{2}}{9}+\frac{y_{1}^{2}}{4}=36, \frac{x_{2}^{2}}{9}+\frac{y_{2}^{2}}{4}=36 \)

兩式相減,再利用平方差因式分解可得 \( \displaystyle \frac{x_{1}-x_{2}}{9}\cdot2\alpha+\frac{y_{1}-y_{2}}{4}\cdot2\beta=0\Rightarrow\alpha= - \frac{9}{4}\cdot\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\beta= - \frac{9}{2}\beta \)

故弦中點落在直線 \( 2x + 9y = 0 \),顯然弦中點只能在橢圓內,故軌跡為一線段(公告答案有誤)

應再加上條件 \( |y| < \frac{2}{\sqrt{10}} \) 或以參數式表示之 \( \begin{cases}
x & =9t\\
y & = -2t
\end{cases},\, t\in \displaystyle (\frac{-1}{\sqrt{10}}, \frac{1}{\sqrt{10}}) \)
(感謝 hua0127 提醒負號及端點,一直算錯,再修正)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-6-11 10:35 PM 編輯 ]
作者: hua0127    時間: 2014-6-1 00:58     標題: 回復 24# tsusy 的帖子

橢圓兄的神招真的很多,思考的過程中也增添了許多樂趣,
努力學習這些招式中。
作者: sun    時間: 2014-6-1 11:32     標題: 103年全國聯招填充七

請問一下答案是不是錯了   2pi-答案才是對的阿
102 年北門高中填充17也是同樣的題目阿,為什麼答案不同啊!  我浪費超多時間在這邊

[ 本帖最後由 sun 於 2014-6-1 11:36 AM 編輯 ]
作者: Ellipse    時間: 2014-6-1 11:43

引用:
原帖由 sun 於 2014-6-1 11:32 AM 發表
請問一下答案是不是錯了   2pi-答案才是對的阿
102 年北門高中填充17也是同樣的題目阿,為什麼答案不同啊!  我浪費超多時間在這邊
答案沒有錯
"102 年北門高中填充17"他是減去中心角為θ的扇形~
103這題可以用下面方式算比較快~
假設圓錐高為h,體積為V,底部圓形半徑為r
則2π r=Rθ , θ =2π r/R--------(1)
V=(1/3)π r² h= (π/3)*(R²-h²)*h= (π/3)*(R²h-h^3)
V'=(π/3)*(R²-3h²)=0 ,V有最大值,此時h²=R²/3
r²=R²-R²/3=(2/3)R²代入(1)
θ=2√6*π/3

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-6-1 11:56 AM 編輯 ]
作者: sun    時間: 2014-6-1 11:52     標題: 回復 27# Ellipse 的帖子

謝謝橢圓兄

[ 本帖最後由 sun 於 2014-6-1 11:59 AM 編輯 ]
作者: marina90    時間: 2014-6-1 13:10

想請教複選12(B)可以這樣做嗎?謝謝~
\( \displaystyle a_{n}=\frac{{{\left( 3+\sqrt{2} \right)}^{n}}+{{\left( 3-\sqrt{2} \right)}^{n}}}{2}\)
\( \displaystyle \sqrt{2}b_{n}=\frac{{{\left( 3+\sqrt{2} \right)}^{n}}-{{\left( 3-\sqrt{2} \right)}^{n}}}{2}\)
因此所求之極限值為\(\sqrt{2}\)
作者: hua0127    時間: 2014-6-1 13:25     標題: 回復 29# marina90 的帖子

可以啊~這方法很好,小弟只是偷懶才用那種方式算
基本觀念也是基於這個正統方式延伸的。
作者: natureling    時間: 2014-6-1 22:25

想請教 tsusy 老師...填充4的條件是怎麼看出的=.=...感恩
引用:
原帖由 tsusy 於 2014-6-1 12:17 AM 發表
填充 4. 橢圓兄的作法,背後隱藏了不少東西, 值得揣摩一番,要補上些什麼?才可以解釋清楚這些算式所得到的結果,就是答案呢?
            原因就留給大家自行思考了

再來補充一個解法:假設 \( (x_1, y_1), (x_2, y_2) \) 是弦 ...

作者: tsusy    時間: 2014-6-2 11:39     標題: 回復 1# Ellipse 的帖子

填 4. 為什麼疑義之後,答案還是不對 (雖然我之前也算錯了)

\( t \)  的範圍不是應該正負對稱,\( t \in ( -\frac1{\sqrt{10}}, \frac1{\sqrt{10}}) \) 這樣才對嗎?

回復 31# natureling 的帖子

弦必須在橢圓相交,中點落在橢圓內,不知道你想知道的是不是這個?

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-6-2 11:40 AM 編輯 ]
作者: Ellipse    時間: 2014-6-2 11:54

引用:
原帖由 tsusy 於 2014-6-2 11:39 AM 發表
填 4. 為什麼疑義之後,答案還是不對 (雖然我之前也算錯了)

t  的範圍不是應該正負對稱,t(−110110)  這樣才對嗎?
他打錯了 (下午去看已更正了)
在端點時,割線變切線, 而弦中點也變成切點了~(極限概念)
想想看這兩個端點要不要算?

其實題目只要出"這些點落在哪一條直線上?" (畫圖易知)
這樣就很好改答案了~

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-6-2 08:54 PM 編輯 ]
作者: hua0127    時間: 2014-6-2 18:57     標題: 回復 33# Ellipse 的帖子

感謝橢圓兄和寸絲兄將這一題解得很完美

小弟來個小整理:
以傳統作法發現此軌跡為一條橢圓內部的線段,若將兩切點視為退化的弦中點(只是一種看法,定義中切點仍不是弦中點),故此線段的延伸必過兩切點,故只需求出過兩切點的直線方程式再考慮範圍即可。
令切點座標為\(\left( a,b \right)\), 使用隱函數微分求解 \({{\left. \frac{dy}{dx} \right|}_{\left( x,y \right)=\left( a,b \right)}}=\frac{-4a}{9b}=2\Rightarrow 2a+9b=0\), 故兩切點均在直線\(2x+9y=0\)上,最後用參數式表示答案:
\(\left\{ \begin{align}
  & x=9t \\
& y=-2t \\
\end{align} \right.,t\in \left( \frac{-1}{\sqrt{10}},\frac{1}{\sqrt{10}} \right)\)
作者: YAG    時間: 2014-6-2 21:26

鳳山高中  12題跳針解法
原題可視為AAABBBCCDE直線排列,AB不相鄰的情形
先考慮AAACCDE排列情形,B、B、B再排入
AAACCDE排列情形分三種(1)A、A、A完全分開  (2)A、AA分開  (3)AAA相鄰
(1)(4!/2!)*C(5,3)*H(2,3)=480
(2)(4!/2!)*P(5,2)*H(3,3)=2400
(3)(5!/2!)*H(4,3)=1200
共4080種
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
請問用這個方法去做填充2 , 該如何做?做出來的答案一值沒辦法是 360?
先排 BBBCC 再排入 AA
(1) BBB完全分開
(2) B, BB 分開
(3) BBB 相鄰
作者: hua0127    時間: 2014-6-2 21:44     標題: 回復 35# YAG 的帖子

考慮AB不相鄰:
(1) BBB 完全分開 :將2C插入  B C B C B ,A怎麼放都不合方法數0
(2) B, BB 分開:B,BB互換2種,
    (i) BB CC  B :1種
   (ii) C BB C B :1種
  (iii) BB C B C :1種
(3) BBB相鄰:
    (i)  C BBB C :H(2,2)=3
   (ii)  CC BBB : H(2,2)=3
  (iii)  BBB CC : H(2,2)=3
所求為 (2(1+1+1)+3+3+3)*(2!)*(2!)*(3!)=360
希望有幫助到你
作者: natureling    時間: 2014-6-2 22:23

tsusy老師....我是要問 t 的範圍怎麼出來.....^^"...謝謝
引用:
原帖由 tsusy 於 2014-6-2 11:39 AM 發表
填 4. 為什麼疑義之後,答案還是不對 (雖然我之前也算錯了)

\( t \)  的範圍不是應該正負對稱,\( t \in ( -\frac1{\sqrt{10}}, \frac1{\sqrt{10}}) \) 這樣才對嗎?

回復 31# natureling 的帖子

弦必須在橢圓相交,中點 ...

作者: kittyyaya    時間: 2014-6-2 23:21     標題: 回復 37# natureling 的帖子

參數帶入
10t^2<=1 (橢圓內)即可

[ 本帖最後由 kittyyaya 於 2014-6-2 11:25 PM 編輯 ]
作者: YAG    時間: 2014-6-3 09:14

引用:
原帖由 hua0127 於 2014-6-2 09:44 PM 發表
考慮AB不相鄰:
(1) BBB 完全分開 :將2C插入  B C B C B ,A怎麼放都不合方法數0
(2) B, BB 分開:B,BB互換2種,
    (i) BB CC  B :1種
   (ii) C BB C B :1種
  (iii) BB C B C :1種
(3) BBB相鄰:
    (i)  C BBB C :H(2,2)=3
  ...
我是用鳳山高中跳針那個例子解法,參考 35# 請問我錯在哪裡?
視為AABBBCC排列,A與B不相鄰
先排BBBCC, 先排CC之後放入BBB
3个B在一起,如BBBX_X_
B:C(3,1)=3; A:x1+x2=2,C(3,2)=6; 3*3=9
2个B与1个B分开,如BBXBX_
B:2*C(3,2)=P(3,2)=6; A:1 ; 6*1=6
3个B分开排,如BXBXB (不可能)
所求為 9+6=15

[ 本帖最後由 YAG 於 2014-6-3 10:37 AM 編輯 ]
作者: thepiano    時間: 2014-6-3 10:12

引用:
原帖由 YAG 於 2014-6-3 09:14 AM 發表


我是用鳳山高中跳針那個例子解法,參考 35# 請問我錯在哪裡?
視為AABBBCC排列,A與B不相鄰
先排BBBCC, 先排CC之後放入BBB
3个B在一起,如BBBX_X_
B:C(3,1)=3; A:x1+x2=2,C(4,2)=6; 3*6=18
A 是 H(2,2) = C(3,2) = 3
3 * 3 = 9
作者: YAG    時間: 2014-6-3 10:36

引用:
原帖由 thepiano 於 2014-6-3 10:12 AM 發表

A 是 H(2,2) = C(3,2) = 3
3 * 3 = 9
.............
但是跟360還是差很多 ,可以再請問 thepiano 老師錯在哪裡?
我知道可能要乘上 (2!)*(2!)*(3!)  但是為什麼? 鳳山高中那個解法是把人看作相同不是嗎?

**************

鳳山高中  12題跳針解法
原題可視為AAABBBCCDE直線排列,AB不相鄰的情形
先考慮AAACCDE排列情形,B、B、B再排入
AAACCDE排列情形分三種(1)A、A、A完全分開  (2)A、AA分開  (3)AAA相鄰
(1)(4!/2!)*C(5,3)*H(2,3)=480
(2)(4!/2!)*P(5,2)*H(3,3)=2400
(3)(5!/2!)*H(4,3)=1200
共4080種
************************
不然 (1)中 的 (4!/2!)  不就是  CCDE 排法,  CC看做相同
************************************
全國聯招的試題
視為AABBBCC排列,A與B不相鄰
先排BBBCC, 先排CC之後放入BBB
(1) 對應鳳山高中的解(1)
3个B在一起,如BBBX_X_
B:C(3,1)=3; A:x1+x2=2,C(3,2)=3; 3*3=9
(2) 對應鳳山高中的解(2)
2个B与1个B分开,如BBXBX_
B:2*C(3,2)=P(3,2)=6; A:1 ; 6*1=6
(3) 對應鳳山高中的解(3)
3个B分开排,如BXBXB (不可能)

所求為 9+6=15(鳳中的解法就是直接把三個答案加起來,後面並沒有在乘上任何東西)
謝謝,因為我排列組合比較差。

[ 本帖最後由 YAG 於 2014-6-3 10:51 AM 編輯 ]
作者: thepiano    時間: 2014-6-3 11:01     標題: 回復 41# YAG 的帖子

鳳山的題目是"字",全國的題目是"人",人有相同的嗎?
全國這題依您的算法就是 (9 + 6) * 2! * 2! * 3! = 360
作者: Ellipse    時間: 2014-6-3 12:07

全國可以開始查成績囉~~
作者: arend    時間: 2014-6-4 00:22

引用:
原帖由 Ellipse 於 2014-5-31 12:11 PM 發表
單1:
法1:遞迴關係
P_n=0.8*P_(n-1)+0.6*[1- P_(n-1)]
得5*P_n= P_(n-1) +3
整理成P_n - 3/4= (1/5 )*[P_(n-1) - 3/4]
=.............=(1/5)^(n-1) *(P1-3/4)
P_n的極限值為3/4

法2:轉移矩陣
假設穩定後命中的機率 ...
請教橢圓師
單選2,這題目我還是不太懂, 當n=1時,|x|+|y|-1<=0所圍面積不是2?
單選6,如果不用e,用傳統的錯列來算,這個數字很大,請問有其他的做法嗎?
填充7, 雖說是考古題,但我一直算不出來, 圓錐體積對角度Theta微分,
           可否請老師指點一下
填充4, 2x+9y=0, 怎麼變成參數式? 特別是t的範圍
          謝謝

[ 本帖最後由 arend 於 2014-6-4 12:24 AM 編輯 ]
作者: kittyyaya    時間: 2014-6-4 01:24     標題: 回復 44# arend 的帖子

在這園地  我受惠良多 這題容我代答
但是 第6題還需橢圓兄

單選2
第一個括號若大於0,則無範圍
所以第一個括號<0 , 那麼 第二個括號就>0 , 如此 ,連綿下去,
到第四個括號 1/8 , 就可用畫圖 得知 圖形是一個帶狀圖
因為 絕對值對稱x軸和y軸 , 所以 先算第一象限
從第一個和第二個帶狀圖可知 是一個無窮等比級數
第一個帶狀面積 3/8 第二個帶狀面積 3/128 公比 1/16
如此可算出第一象限面積 2/5 最後別忘了乘上 4

填充7
橢圓兄在 27# 作法簡潔有力
我是微分前全轉成Thet(以下用a代替) 函數
h=(R^2-r^2)^0.5   r=(Ra)/(2pi)
V(a)=(pi* r^2* h) /3
       =[R^3 *a^2 *(4pi^2 -a^2)^0.5] / (3*4pi*2pi) (把 r 和 h 通通換成 R 和 a)
V ' (a)=0 (式子有點累)
整理分子 得到
4a(4pi^2-a^2)-2a^3=0
=> 3a^2=8pi^2 就可得到了

填充4
2x+9y=0
為了沒分數 設 x =9 t 就可得到 y = -2 t
t 的範圍已在 38# 回答了

單選6 考試時 原想用錯排
可是 覺得太可怕 就用猜的
想10個人 都拿不到自己的 機會應很小 就猜最小的
結果錯
還望橢圓兄
作者: arend    時間: 2014-6-4 01:48

引用:
原帖由 kittyyaya 於 2014-6-4 01:24 AM 發表
在這園地  我受惠良多 這題容我代答
但是 第6題還需橢圓兄

單選2
第一個括號若大於0,則無範圍
所以第一個括號0 , 如此 ,連綿下去,
到第四個括號 1/8 , 就可用畫圖 得知 圖形是一個帶狀圖
因為 絕對值對稱x軸和y軸  ...
謝謝老師
填充7是我看錯成減掉a角後,怪不得我算的好累,答案也怪怪的
謝謝
作者: thepiano    時間: 2014-6-4 08:27

引用:
原帖由 arend 於 2014-6-4 12:22 AM 發表
單選6,如果不用e,用傳統的錯列來算,這個數字很大,請問有其他的做法嗎?
單選第 6 題
就估一下
所求\(\text{=}\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}+\frac{1}{6!}-\frac{1}{7!}+\frac{1}{8!}-\frac{1}{9!}+\frac{1}{10!}\)
\(\begin{align}
  & =\frac{3}{8}-\left[ \left( \frac{1}{5!}-\frac{1}{6!} \right)+\left( \frac{1}{7!}-\frac{1}{8!} \right)+\left( \frac{1}{9!}-\frac{1}{10!} \right) \right] \\
& =0.375-\frac{5}{6!}-\frac{7}{8!}-\frac{9}{10!} \\
& >0.375-\frac{5}{6!}\times 3 \\
& \doteq 0.355 \\
\end{align}\)
作者: hua0127    時間: 2014-6-4 08:30     標題: 回復 44# arend 的帖子

幫橢圓兄代庖一下~
看完了鋼琴老師的神估算之後,想自虐試試暴力遞迴的可以試試看XD

\({{a}_{n}}=\left( n-1 \right)\left( {{a}_{n-1}}+{{a}_{n-2}} \right),n\ge 3\) \({{a}_{1}}=0,{{a}_{2}}=1\) 寫出前10項為
\(\left\{ 0,1,2,9,44,265,1854,14833,133496,1334961,... \right\}\)
故所求機率為 \(\frac{1334961}{10!}=\frac{1334961}{3628800}=0.367879...\)
比較之後發現誤差其實真的非常小

鋼琴老師的估計簡潔漂亮多了

或者考慮錯排機率的遞迴式
\({{P}_{n}}={{P}_{n-1}}+\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{n!}\), \({{P}_{1}}=0,{{P}_{2}}=\frac{1}{2}\) , 觀察前幾項
\(\left\{ {{P}_{n}} \right\}=\left\{ 0,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{3}+\frac{1}{4!},\frac{1}{3}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!},... \right\}\)  可明白這數列收斂的速度非常快!!
到第3項時可確定答案在區間 \(\left( \frac{1}{3},\frac{1}{3}+\frac{1}{4!} \right)=\left( \frac{1}{3},\frac{3}{8} \right)\) 之間了 ,故答案只能選0.35
所以其實3人以上錯排的機率都是差不多的~

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-4 09:05 AM 編輯 ]
作者: leo790124    時間: 2014-6-4 10:31     標題: 回復 12# shingjay176 的帖子

請問如果是填充提的話
那alpha=-15度
sita=125度與題意是合的嗎
作者: shingjay176    時間: 2014-6-4 13:21     標題: 回復 49# leo790124 的帖子

你好。。我那樣做,的確是為了找尋選擇題的答案長相。。。
如果是填充題,會不會變成問。。。0度到360度,可能的答案有那些?
作者: tuhunger    時間: 2014-6-5 00:51     標題: 填充5 另解

把兩線段移到同一平面上(不影響正射影長)
接下來就是國中問題了

[ 本帖最後由 tuhunger 於 2014-6-5 12:52 AM 編輯 ]

圖片附件: 未命名.png (2014-6-5 00:52, 6.17 KB) / 該附件被下載次數 2655
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作者: smartdan    時間: 2014-6-11 19:07

引用:
原帖由 Ellipse 於 2014-5-31 10:49 PM 發表

去年102年進複試分數/總報名人數
A區 67分/312人
B區 65分/311人
C區 71分/380人

今年103考題雖比去年稍難
但只有A,B兩區,考的人數變多
A區 410人
B區 570人
小弟預測A區60~68分,B區65~73分 ...
今年進複試的最低錄取分數出來了~
A區 410人 取 30人 最低錄取分數60分
B區 570人 取 32人 最低錄取分數62分

留個記錄給往後做考古題的人參考~
作者: tuhunger    時間: 2014-6-12 00:59     標題: 單選8 圖解

用圖解  可省去考慮端點的問題

[ 本帖最後由 tuhunger 於 2014-6-12 01:01 AM 編輯 ]

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作者: tuhunger    時間: 2014-6-17 11:27     標題: 計算2

沒公布答案   有錯再煩請指教

圖片附件: 未命名.png (2014-6-17 11:27, 19.75 KB) / 該附件被下載次數 2670
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2392&k=24fb40a139e1f7451c833ec7892ca85e&t=1638167381


作者: tuhunger    時間: 2014-6-17 11:44     標題: 回復 2# Ellipse 的帖子

計4:
先證sina*cosa為有理數 [利用 (sina+cosa)²=1+2sina*cosa ]
再用歸納法證明:
(sina)^n +(cosa)^n=(sina+cosa)[(sina)^(n-1)+(cosa)^(n-1)]- (sina*cosa)[(sina)^(n-2)+(cosa)^(n-2)]
為有理數~
______________________________________________________________________________
這題是否無法用高中所學的數學歸納法....
而是用"完整歸納法(也稱第二數學歸納法)"....因為昨天試著證明n=k+1時,發現也要用到n=k-1也成立的性質

第二數學歸納法:
(I) 測試n=1  與n=2 成立
(II)若n=1,2,3,...,k,k+1也成立, 設法證明n=k+2也成立

[ 本帖最後由 tuhunger 於 2014-6-17 11:48 AM 編輯 ]
作者: martinofncku    時間: 2014-6-20 06:43     標題: 回復 19# wrty2451 的帖子

請問老師:
最後面乘以2,應該是做剩下兩個台灣人的排列吧?
老師如何得知您的做法已包含所有的排列方式呢?
作者: kenji801448    時間: 2014-6-26 14:01     標題: 回復 36# hua0127 的帖子

填充7
感謝 hua0127大  和 YAG大 的好方法

將hua大的做法再做補充
(1)BBB完全分開:方法數0
(2)B,BB分開   :P(3,2)*H(1,2)=6。方法數6
(3)BBB相鄰    :C(3,1)*H(2,2)=9。方法數9

最後記得剛剛都只是把國家的椅子擺好
現在人要坐上椅子
要按照之前排的位子
所以前述(1)(2)(3)的方法數加總=15
然後乘上2!2!3!
作者: wrty2451    時間: 2014-6-29 16:20     標題: 回復 56# martinofncku 的帖子

以台灣人隔開,美國人與俄國人插入後必定不相鄰
藉此討論所有美國人和俄國人插入的情況
有三個間隔可放入
所以只會有三種可能狀況
(3,2,0)美國全在同一間隔而俄國在另外一個間隔
(3,1,1)美國全在同一間隔而俄國在另兩間隔
(2,1,1)俄國全在同一間隔而美國在另兩間隔
作者: wallydx    時間: 2014-7-20 16:46     標題: 回復 54# tuhunger 的帖子

大大很感激您的詳解
但小弟弟不懂為何-m^2+2m+3>0 ?
因為我不懂為何頂點一定要在x軸的上方不能在下方呢?
作者: smartdan    時間: 2014-7-20 21:36     標題: 回復 59# wallydx 的帖子

因為題目說f(x)>0
作者: wallydx    時間: 2014-7-31 22:15     標題: 回復 60# smartdan 的帖子

謝謝阿丹大大~~~小弟問了非常愚蠢的問題^^
作者: studentJ    時間: 2014-8-20 15:05     標題: 回復 54# tuhunger 的帖子

請問單選二...為什麼可以表示成(3/2)/(1-1/16)

[ 本帖最後由 studentJ 於 2014-8-21 10:32 AM 編輯 ]
作者: studentJ    時間: 2014-10-15 14:38     標題: 回復 54# tuhunger 的帖子

想請問一下,CASE I 的地方

是不是在0 <= X <= 4  中的條件下

再加上-1<X<3  所以實際是 0<=X<3

還有CASE2的地方,頂點應該可以再X軸下方吧?

只要限定在0~4之間的曲線在X軸之上就行了是嗎

請問各位老師我的想法有錯誤嗎?

謝謝各位!!
作者: thepiano    時間: 2014-10-15 15:31     標題: 回復 62# studentJ 的帖子

參考一下
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=3332
作者: studentJ    時間: 2014-10-15 15:39

謝謝鋼琴老師!
作者: mandy    時間: 2015-1-10 20:47

引用:
原帖由 thepiano 於 2014-6-4 08:27 AM 發表

單選第 6 題
就估一下
所求\(\text{=}\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}+\frac{1}{6!}-\frac{1}{7!}+\frac{1}{8!}-\frac{1}{9!}+\frac{1}{10!}\)
...
請問如何估出列式的?
作者: thepiano    時間: 2015-1-10 21:19     標題: 回復 66# mandy 的帖子

參考 hua0127 老師的帖子
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1912&page=1#pid10847
作者: 黃小豬    時間: 2016-4-19 18:40

引用:
原帖由 hua0127 於 2014-5-31 09:58 PM 發表
因為在算\({{b}_{n}}^{2}\)的過程中會產生項 \({{\left( 3+\sqrt{2} \right)}^{2n}}={{\left( 11+6\sqrt{2} \right)}^{n}}>{{7}^{n}}\), 做比值後極限為0
請問算\({{b}_{n}}^{2}\)的過程?
作者: 黃小豬    時間: 2016-4-19 18:53     標題: 回復 48# hua0127 的帖子

請問錯排遞迴式怎麼想的?
作者: nanpolend    時間: 2020-5-28 21:02     標題: 回復 2# Ellipse 的帖子

補單5圖形交點

圖片附件: Screenshot_2020-05-28-20-57-14-16.png (2020-5-28 21:02, 94.8 KB) / 該附件被下載次數 1142
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5474&k=c4a921255171f32a3be2c5c8facc9931&t=1638167381


作者: nanpolend    時間: 2020-5-29 08:35     標題: 回復 1# Ellipse 的帖子

請教複選10實在看不懂解法
作者: thepiano    時間: 2020-5-29 10:49     標題: 回復 71# nanpolend 的帖子

複選第10題
\(\begin{align}
  & \log a=2+2x \\
& \log b=3+x \\
& \log a-2\log b=-4 \\
& \frac{a}{{{b}^{2}}}={{10}^{-4}} \\
& a={{\left( \frac{b}{100} \right)}^{2}}\in N \\
&  \\
& 360<{{\left( \frac{b}{100} \right)}^{2}}<400 \\
& \frac{b}{100}=19 \\
& b=1900,a=361 \\
\end{align}\)
作者: nanpolend    時間: 2020-5-29 14:29     標題: 回復 1# Ellipse 的帖子

補充複選11正多面體公式
https://m.xuite.net/blog/ccjhlcp/twblog1/123097542
作者: nanpolend    時間: 2020-6-1 08:28     標題: 回復 1# Ellipse 的帖子

感謝各位老師解題這份考古題練習過
作者: Ellipse    時間: 2020-6-1 08:56

刪文

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2020-6-4 12:58 編輯 ]
作者: tenlong1000    時間: 2020-12-9 12:40     標題: 103-全國高中教師聯招(詳解整理)

103-全國高中教師聯招(詳解整理)

附件: 103-全國高中教師聯招(詳解整理).pdf (2020-12-9 12:40, 222.43 KB) / 該附件被下載次數 1257
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5705&k=9209cd2870f7311b110eb7020db7da1a&t=1638167381
作者: PDEMAN    時間: 2021-5-26 09:08     標題: 詳解補充

詳解補充單選第七題剩下一半

圖片附件: 78B95C03-FC4F-4F80-BC93-63603D8A59DB.jpeg (2021-5-26 09:08, 411.99 KB) / 該附件被下載次數 503
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6034&k=c9838e1083a1a30bd0f8820a7e86b977&t=1638167381






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