標題: 103鳯山高中 [打印本頁]

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作者: natureling    時間: 2014-5-26 12:57     標題: 103鳯山高中

想先請教填充7,10,12,  計算1,2,3...感恩

[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-5-26 09:18 PM 編輯 ]

附件: 103鳳山高中.pdf (2014-5-26 21:18, 173.36 KB) / 該附件被下載次數 11072
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2285&k=8e161d5c264ccbbf1ee2736da3105ef0&t=1732213806

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作者: liuo    時間: 2014-5-26 14:24

請問一下..第6題在考卷上有AB線段=2,這個條件嗎?
還是我鬼遮眼了><

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作者: leo790124    時間: 2014-5-26 14:49     標題: 回復 2# liuo 的帖子

有點不太有印象
但我畫不出BD垂直MD這個條件0.0

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作者: tsusy    時間: 2014-5-26 14:55     標題: 回復 1# natureling 的帖子

Hints
Cal1: Show \( (\sqrt{3} + \sqrt{2})^{2014} + ( \sqrt{3} - \sqrt{2} )^{2014} \in \mathbb{N} \) and \( (\sqrt{3} - \sqrt{2})^{2014} \) is very small.

Cal2: Use distance fomula (in coordinate system) to show \( \overline{PB} : \overline{PD} = 1:2 \)

Cal3: Cauchy inequality implies \( (x^2 +2)(2 + y^2) \geq 2(x+y)^2 \).

Let \( (x,y) = (a,b), (b,c), (c,d), (d,a) \) in the inequality, then we get four inequalities. Combine four inequalities

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作者: sorze    時間: 2014-5-26 15:03

填充12題
先把跳針作排列在插入剩餘的(跳以A、針以B代替)
AAABBB        H(7,0)
AABABB        H(7,2)
AABBAB        H(7,2)
AABBBA        H(7,1)
ABAABB        H(7,2)
ABABAB        H(7,4)
ABABBA        H(7,3)
ABBAAB        H(7,2)
ABBABA        H(7,3)
ABBBAA        H(7,1)
總合為505*2(因為AB可以互換) =1010
再把叫我姐姐排列 = 4!/2!
所求即為1010*12=12120
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我看錯題目OTZ
上面的解法是"跳"不相鄰且"針"不相鄰

[ 本帖最後由 sorze 於 2014-5-26 10:40 PM 編輯 ]

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作者: justine    時間: 2014-5-26 15:09     標題: 回復 2# liuo 的帖子

印像中沒有線段=2這個條件,我那間教室有老師提出疑問。

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作者: poemghost    時間: 2014-5-26 15:23

引用:

原帖由 liuo 於 2014-5-26 02:24 PM 發表
請問一下..第6題在考卷上有AB線段=2,這個條件嗎?
還是我鬼遮眼了>

我確定考卷上沒有這個條件

所以考試的時候我覺得這三角形是不固定的

但算出來 「BC = AB的三分之一」 (僅供參考)

[ 本帖最後由 poemghost 於 2014-5-26 05:22 PM 編輯 ]

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作者: williebom    時間: 2014-5-26 15:27

引用:

原帖由 liuo 於 2014-5-26 02:24 PM 發表
請問一下..第6題在考卷上有AB線段=2,這個條件嗎?
還是我鬼遮眼了>

當時題目並沒有這條件
我在作答時也有感到疑惑，但最後我是用線段去表示答案

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作者: hua0127    時間: 2014-5-26 15:35     標題: 回復 1# natureling 的帖子

填充第10題：
小弟用土法煉鋼，先利用規律做出\(f\left( f\left( f\left( x \right) \right) \right)\)的圖形：
先觀察到\(f\left( \left[ 0,1 \right] \right)=\left[ 0,1 \right]\), 然後求出函數圖形的折點在於絕對值內部為0之處，即\(f\left( x \right)=0\), \(f\left( f\left( x \right) \right)=0\), \(f\left( f\left( f\left( x \right) \right) \right)=0\)之處，求出折點為\(x=\frac{1}{8},\frac{2}{8},\ldots ,\frac{7}{8}\)共7個，加上定義域端點\(x=0,1\) 後用直線連接得到\(f\left( f\left( f\left( x \right) \right) \right)\)在\([0,1]\)的圖形為4個V字形(抱歉我沒有用圖，各位可畫畫看)，故所求答案為8個解。

故本題為函數圖形的迭代，f(x)的圖形在[0,1]為1個V字，f(f(x))的圖形在[0,1]為2個V字，f(f(f(x)))的圖形在[0,1]為4個V字,.....
迭代n次的函數\({{f}^{(n)}}\left( x \right)\) 在[0,1]為\({{2}^{n-1}}\)個V字(連續排列)，故此時交點個數為\({{2}^{n}}\)個

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-5-26 03:43 PM 編輯 ]

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作者: Ellipse    時間: 2014-5-26 16:24

好多考古題
填1:
填2:
填3:
填4:國中教甄考題
填5:trml
填11:屏東女中
....

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作者: hua0127    時間: 2014-5-26 18:45

做一下13題：
由勘根知此有理根介於(0,1)之間，
又由牛頓一次因式檢驗法知有理根之可能值為\(\frac{k}{2},\left. k \right|480\)
故有理根只可能為 \(\frac{1}{2}\)

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作者: loveray    時間: 2014-5-26 19:00

想問一下第9題和計算証明二

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作者: hua0127    時間: 2014-5-26 19:01

填充第7題：
希望小弟能解釋得很好XD：
首先，男女生各挑2人配對，男女二人的配對方式有2種：\(C_{2}^{3}\cdot C_{2}^{3}\cdot 2\)
再來考慮剩下來的男女生各1位能配對的方式有(扣除這一對也配成功1種)：\({{3}^{2}}-1\)
相乘即為所求 144

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作者: Ellipse    時間: 2014-5-26 19:15

引用:

原帖由 loveray 於 2014-5-26 07:00 PM 發表
想問一下第9題和計算証明二

填9:
tanx=3tany---------(1)
tan(x-y)=(tanx-tany) /(1+tanx*tany) ----------(2)
將(1)代入(2)得
tan(x-y)=2tany / [1+3(tany)²] ---------------(3)
令t=tany ,微分可知當t=1/√3時,2t/ [1+3t²]有最大值
因為tan(x-y)在0<=t<=1/√3為嚴格遞增函數
所以當tan(x-y)=(2/√3)/(1+1)=1/√3時
x-y有最大值π/6

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-26 08:02 PM 編輯 ]

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作者: hua0127    時間: 2014-5-26 19:53     標題: 回復 12# loveray 的帖子

計算第2題：
寸絲兄在前面有提示了，即證明 \(\overline{\text{PB}}\text{:}\overline{\text{PD}}\text{=}1:2\) 即可
不失一般性，考慮單位圓且令\(A(1,0),B(\frac{1}{2},0),D(2,0),P(cos\theta ,sin\theta ),\,\,\,\theta \in \left( 0,2\pi  \right)\backslash \{\pi \}\)
則 \(\overline{\text{PB}}\text{:}\overline{\text{PD}}\text{=}\sqrt{\frac{5}{4}-\cos \theta }:\sqrt{5-4\cos \theta }=1:2=\overline{\text{BA}}\text{:}\overline{\text{AD}}\), 證畢

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作者: frombemask    時間: 2014-5-26 20:15     標題: 請問計算一 如何做呢?

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作者: Ellipse    時間: 2014-5-26 20:34

引用:

原帖由 frombemask 於 2014-5-26 08:15 PM 發表

鋼琴兄在美夢成真有回了
http://www.shiner.idv.tw/teacher ... &p=11033#p11033

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作者: frombemask    時間: 2014-5-26 20:55

恩恩    感謝    我懂了

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作者: linteacher    時間: 2014-5-26 21:39     標題: 12題跳針解法

原題可視為AAABBBCCDE直線排列，AB不相鄰的情形

先考慮AAACCDE排列情形，B、B、B再排入

AAACCDE排列情形分三種(1)A、A、A完全分開  (2)A、AA分開  (3)AAA相鄰
(1)(4!/2!)*C(5，3)*H(2，3)=480
(2)(4!/2!)*P(5，2)*H(3，3)=2400
(3)(5!/2!)*H(4，3)=1200
共4080種

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作者: bugmens    時間: 2014-5-26 22:16

3.
已知正四面體S-ABC的稜長為10，其內部有四個半徑相同且兩兩相切的小球，每個小球也都與相鄰的三個面相切，則小球半徑為　　。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1268&page=1#pid4541

4.
將一矩形(邊長均為整數)的角剪去一個三角形後形成一個新的五邊形，今知此五邊形之邊長為13,19,20,25,31(不一定照順序成五邊形)，試問此五邊形之面積為　　。
(1995AHSME，http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=373524)
(102玉里高中，https://math.pro/db/thread-1730-1-1.html)

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作者: salbaer    時間: 2014-5-28 14:23     標題: 請教填充第八...

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作者: thepiano    時間: 2014-5-28 15:26     標題: 回復 21# salbaer 的帖子

填充第8題
觀察\(y=x\)和\(y=\sqrt{1-{{x}^{2}}}\)的圖形可知

\(\frac{\sqrt{2}}{2}\le x\le 1\)時，\(x-\sqrt{1-{{x}^{2}}}\ge 0\)

\(-1\le x\le \frac{\sqrt{2}}{2}\)時，\(x-\sqrt{1-{{x}^{2}}}\le 0\)

然後分段積分即可

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作者: salbaer    時間: 2014-5-28 19:43     標題: 回復 22# thepiano 的帖子

我知道我的盲點在哪了...謝謝囉

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作者: kittyyaya    時間: 2014-5-29 06:50     標題: 回復 22# thepiano 的帖子

請問填充8
畫圖是一個半徑1的四分之一圓加上一個邊長1的直角三角形嗎
答案算出來是1/2+pi/4
與提供答案不符 請問我那裏錯了
謝謝

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作者: thepiano    時間: 2014-5-29 08:35

\(\int_{-1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\left( \sqrt{1-{{x}^{2}}}-x \right)}dx+\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1}{\left( x-\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)}dx\)

圖片附件: 20140529.jpg (2014-5-29 08:35, 105.11 KB) / 該附件被下載次數 4438
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作者: hua0127    時間: 2014-5-29 08:40     標題: 回復 24# kittyyaya 的帖子

考慮這個圖也可以喔~

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-5-29 08:45 AM 編輯 ]

圖片附件: 填充8.jpg (2014-5-29 08:45, 93.3 KB) / 該附件被下載次數 5482
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作者: thepiano    時間: 2014-5-29 08:51

hua0127 老師的做法較快，不用積分

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作者: hua0127    時間: 2014-5-29 09:02     標題: 回復 27# thepiano 的帖子

鋼琴老師您客氣了~我想我應該還要學學怎麼用軟體作圖XD

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作者: lyingheart    時間: 2014-5-29 20:56     標題: 回復 15# hua0127 的帖子

計算二不就是今年師大附中計算二的一個特例，還只證明單邊

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作者: thepiano    時間: 2014-5-29 22:00

引用:

原帖由 lyingheart 於 2014-5-29 08:56 PM 發表
計算二不就是今年師大附中計算二的一個特例，還只證明單邊

萊因哈特 老師，好眼力啊
不過若在試場，小弟一定是用 hua0127 老師的方法

計算證明第 2 題
過\(A\)作\(\overline{EF}\)平行\(\overline{PQ}\)

\(\begin{align}
&△AEB\sim△QPB \\
& \frac{\overline{AE}}{\overline{QP}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{QB}}=\frac{1}{3} \\
& \frac{\overline{AF}}{\overline{QP}}=\frac{\overline{DA}}{\overline{DQ}}=\frac{1}{3} \\
& \overline{AE}=\overline{AF} \\
& \angle EAP={{180}^{{}^\circ }}-\angle APQ={{90}^{{}^\circ }} \\
& △EPA\cong △FPA \\
& \angle BPA=\angle DPA \\
\end{align}\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-5-30 10:56 AM 編輯 ]

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作者: 魏銘志    時間: 2014-6-2 12:31     標題: 填充第10題

前輩不好意思
我後來還是很好奇到底圖長怎樣
於是我去wolframalpha
是我有什麼誤會了嗎@@?

圖片附件: 鳳山10.png (2014-6-2 12:31, 41.32 KB) / 該附件被下載次數 4862
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2314&k=f1d79ab5dd8ddb2928df472a091cdbd5&t=1732213806

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作者: tsusy    時間: 2014-6-2 13:05     標題: 回復 31# 魏銘志 的帖子

填 10. 漏掉 2 了

\( f(x) = |1-2x| \)
\( f(f(x)) = \big| 1- 2 |1-2x|  \big| \)
\( f(f(f(x))) = \Big| 1- 2 \big|1-2|1-2x| \big| \Big| \)

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作者: Ellipse    時間: 2014-6-2 16:08

引用:

原帖由 hua0127 於 2014-5-29 09:02 AM 發表
鋼琴老師您客氣了~我想我應該還要學學怎麼用軟體作圖XD

其實用ggb畫很快喔
只要打IntegralBetween[(1 - x²)^0.5, x, -1, 2^0.5/2]
就可以畫出左邊積分的圖, 還可以幫您估算積分值

圖片附件: 積分面積.png (2014-6-2 16:08, 244.54 KB) / 該附件被下載次數 5420
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2315&k=5f67f4d2f066aaf6eaca77a15844a1a9&t=1732213806

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作者: Ellipse    時間: 2014-6-2 16:23

引用:

原帖由 魏銘志 於 2014-6-2 12:31 PM 發表
前輩不好意思
我後來還是很好奇到底圖長怎樣
於是我去wolframalpha
是我有什麼誤會了嗎@@?

畫出應如下圖附件~

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-6-2 04:24 PM 編輯 ]

圖片附件: 絕對值交點個數2.png (2014-6-2 16:24, 121.46 KB) / 該附件被下載次數 5332
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2317&k=362570eae6b735d2f91282870c9b9ce6&t=1732213806

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作者: Ellipse    時間: 2014-6-2 16:39

填充第10題
迭代效果如下圖附件~
(驗証了hua0127兄在9F所說的幾個V的變化)

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-6-2 05:00 PM 編輯 ]

圖片附件: 絕對值函數.png (2014-6-2 16:39, 171.73 KB) / 該附件被下載次數 5315
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2318&k=9163bd74747810855e982cf957d38f28&t=1732213806

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作者: hua0127    時間: 2014-6-2 18:12     標題: 回復 33# Ellipse 的帖子

橢圓兄你做得圖真的是沒話講，
慚愧，GGB我會的就是按按上面的紐XD
看來我應該也要來惡補一下，感恩

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作者: Ellipse    時間: 2014-6-2 19:32

續填充10變形題目:
"平方"效果有時跟"絕對值"有異曲同工之妙~
若將f(x)=|1-2x|改成f(x)=(1-2x)²
答案是否相同?而迭代效果也會像先前絕對值一樣?
請想想看後,再看下面圖示答案~




















~

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-6-2 07:35 PM 編輯 ]

圖片附件: 平方交點個數.png (2014-6-2 19:32, 135.61 KB) / 該附件被下載次數 5281
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2319&k=b5702d3914c16a820f97ebec6eae9325&t=1732213806



圖片附件: 平方迭代函數.png (2014-6-2 19:32, 182.21 KB) / 該附件被下載次數 5281
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2320&k=de4f8bfd38a5a40f9cf799ce6a2216d6&t=1732213806

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作者: tsusy    時間: 2014-6-2 19:52     標題: 回復 37# Ellipse 的帖子

填 10. 補充類題
再來一個 amc 2012

Let \( f(x)= |2\{x\}-1| \) where \( \{x\} \) denotes the fractional part of \( x \) . The number \( n \) is the smallest pohsitive integer such that the equation

\( nf(xf(x)) = 2012 \) has at least 2012 real solutions \( x \). What is \( n \) ?

Note: the fractional part of \( x \)  is a real number \( y = \{x\} \) , such that \( 0 \leq y <1 \) and \( x - y \) is an integer.

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作者: 阿光    時間: 2014-6-10 15:38

想請教填充12,13題和計算第3題 謝謝

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作者: tsusy    時間: 2014-6-10 18:32     標題: 回復 39# 阿光 的帖子

填 13. 令 \( f(x) \) 為左邊的多項式，\( f(0) = -480 < 0 \), \( f(1) = 154 > 0 \)

由勘根定理知 \( f(x) = 0 \) 在 \( (0,1) \) 中至少一實根

又題幹敘述中 \( f(x) = 0 \) 僅有一實根且為有理根

展開 \( f(x) = 2x^5 + \ldots -480 \)。

由有理根檢驗法，其在 \( (0,1) \) 中的可能有理根僅有  \( x= \frac12 \)，故此唯一有理根為 \( \frac12 \)

寫完才發現，前面有人寫過了

填充 13. #11 hua0127 老師已解
填充 12. #19 linteacher 老師已解
計算 3. #4 有提示

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-6-10 06:35 PM 編輯 ]

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作者: 阿光    時間: 2014-6-11 08:09

想請教填充14  計算1 謝謝

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作者: tsusy    時間: 2014-6-11 16:46     標題: 回復 41# 阿光 的帖子

填充 14. 展開平方的式子，寫下變異數的式子

\( \begin{cases}
\sum a_{i} & =12\\
\sum a_{i}^{2}+2\sum a_{i}+n & =82\\
\displaystyle \frac{1}{n}\sum a_{i}^{2}-\frac{(\sum a_{i})^{2}}{n^{2}} & =\frac{1}{2}
\end{cases} \)

將 \( \sum a_i \), \( \sum a_i^2 \), \( n \) 看成三個未知數，解聯立方程式

可得 \( n = \frac83 \) (不合) 或 36

計算 1 的提示則在 #4 之處

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作者: 阿光    時間: 2014-6-12 08:00

請問 #4 之處要如何找得到？

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作者: hua0127    時間: 2014-6-12 09:34     標題: 回復 43# 阿光 的帖子

#4：
Cal 1. show \({{\left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right)}^{2014}}+{{\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)}^{2014}}\in \mathbb{N}\) and \({{\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)}^{2014}}\) is very small
利用二項式定理展開：
\({{\left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right)}^{2014}}+{{\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)}^{2014}}=2\left( \sum\limits_{k=0}^{1007}{C_{2k}^{2014}\cdot {{\left( \sqrt{3} \right)}^{2k}}\cdot {{\left( \sqrt{2} \right)}^{2014-2k}}} \right)=2\left( \sum\limits_{k=0}^{1007}{C_{2k}^{2014}\cdot {{3}^{k}}\cdot {{2}^{1007-k}}} \right)\in \mathbb{N}\).
顯然 \({{\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)}^{2014}}\in \left( 0,1 \right)\) 而且\({{\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)}^{2014}}<0.1\), 故
\({{\left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right)}^{2014}}=2\left( \sum\limits_{k=0}^{1007}{C_{2k}^{2014}\cdot {{3}^{k}}\cdot {{2}^{1007-k}}} \right)-{{\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)}^{2014}}>2\left( \sum\limits_{k=0}^{1007}{C_{2k}^{2014}\cdot {{3}^{k}}\cdot {{2}^{1007-k}}} \right)-0.1\)
所以小數點第一位數字為9

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作者: superlori    時間: 2014-6-16 12:35     標題: 回復 5# sorze 的帖子

這題還是可以用你的做法做呀!!!
假設跳為A，針為B

AA│BBB│A               先放兩個字到AB之間，剩2字，有七個區域H(7,2)
A│B│A│BB│A          先放四個字到AB之間，剩0字，有七個區域H(7,0)
A│BB│A│B│A          先放四個字到AB之間，剩0字，有七個區域H(7,0)
A│BBB│AA               先放兩個字到AB之間，剩2字，有七個區域H(7,2)
(上列為A為首A為尾，4!/3! 一共4種)
AAA│BBB                 先放一個字到AB之間，剩3字，有七個區域H(7,3)
AA│B│A│BB             先放三個字到AB之間，剩1字，有七個區域H(7,1)
AA│BB│A│B             先放三個字到AB之間，剩1字，有七個區域H(7,1)
A│BB│AA│B             先放三個字到AB之間，剩1字，有七個區域H(7,1)
A│B│A│B│A│B         要放五個字到AB之間，不可能
A│B│AA│BB             先放三個字到AB之間，剩1字，有七個區域H(7,1)
(上列為固定A為首B為尾，4!/(2!2!)一共6種)

所求=(2H(7,0)+4H(7,1)+2H(7,2)+H(7,3) ) * 2  * 4!/2!
=(2+28+56+84)*24 =170*24=4080

注：
(1) * 2 ：是因為排法是對稱的
(2)*4!/2!：叫我姐姐這四個字的排列數

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作者: 阿光    時間: 2014-6-17 08:00

想請教填充6 謝謝

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作者: hua0127    時間: 2014-6-17 12:46     標題: 回復 46# 阿光 的帖子

填充6：
延長BC與MD設交於E, 則由全等不難得知BE=BM, 由孟氏定理，
\(\frac{AM}{MB}\cdot \frac{BE}{CE}\cdot \frac{CD}{DA}=1\Rightarrow \frac{AM}{MB}\cdot \frac{MB}{CE}\cdot \frac{BC}{AB}=1\Rightarrow CE=\frac{1}{2}BC\Rightarrow BC=\frac{2}{3}BE=\frac{1}{3}AB=\frac{2}{3}\)

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-17 12:50 PM 編輯 ]

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作者: nathan    時間: 2014-6-20 14:06     標題: 回復 47# hua0127 的帖子

請問一下老師，CD比DA如何等於BC比AB?  感謝

[ 本帖最後由 nathan 於 2014-6-20 02:08 PM 編輯 ]

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作者: hua0127    時間: 2014-6-20 14:44     標題: 回復 48# nathan 的帖子

因為BD為角B的平分線，由內分比得知

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作者: nathan    時間: 2014-6-20 16:40     標題: 回復 49# hua0127 的帖子

感謝！一直想不通，終於搞定了！

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作者: arend    時間: 2014-8-16 19:39

引用:

原帖由 hua0127 於 2014-5-29 08:40 AM 發表
考慮這個圖也可以喔~

請問hua0127老師
這題圓範圍不是只限於y>=0嗎?

謝謝

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作者: tsusy    時間: 2014-8-16 22:12     標題: 回復 51# arend 的帖子

是. 圓只有上半圓， 所以 hua0127 只畫了上半圓，沒畫下半圓

上半圓代表 \( y = \sqrt{1-x^2} \)，直線 代表 \( y =x \)，差的絕對值，就是鉛直線段距離，積分，則是線段累積而成區域的面積。

另外，建議善用回復時的標題，標明回復的樓層如回復 26# hua0127的帖子 或 題號

尤其，像這樣隔了一段時間，即使是 hua0127 老師本人，第一眼看到，也不知道您問的問題是什麼？

順手寫下樓層，方便所有人可以快速的找到原帖之前寫了什麼，也是方便要回答疑問的人。

我自己通常習慣用"引用"右右方的"回復"，會自動生成 回復 xx# xxx 的帖子的標題，如果需要引用，則將 xx# xxx 的字複製後，再使用引用回復，貼在標題之處。

沒有這個動作，不妨礙大家閱讀交流，只是要多花時間找到原帖。

一個小動作，方便所有人，何樂而不為

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作者: arend    時間: 2014-8-16 22:23     標題: 回復 52# tsusy 的帖子

謝謝tsusy老師

我現在知道要用"回復",以前都只用"引用"來寫

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