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標題: 103復興高中 [打印本頁]

作者: johncai 時間: 2014-5-15 08:31 標題: 103復興高中

先問最後一題
第(1)小題: y=x^2+2x 以 y=2x 作對稱，求對稱後方程式
ps.這應該用對稱矩陣就可算出來，主要想問第(2)小題如下
第(2)小題: 求對稱後方程式與x軸所圍面積

附件: 103復興高中題目.pdf (2014-6-12 17:56, 151.53 KB) / 該附件被下載次數 8657
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附件: 103復興高中解答.pdf (2014-6-12 17:56, 259.54 KB) / 該附件被下載次數 7091
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作者: shingjay176 時間: 2014-5-15 08:50 標題: 回復 1# johncai 的帖子

上拋的拋物線，對稱過去後，是個斜的拋物線。。
考場上，我也在苦思如何積分。。
我也提供一題。。
第二題題目數據，不知道有記錯嗎？
版主幫我打字好之後。可以把圖檔刪除。。。

2.
(1)\( x>0 \)，\( y>0 \)，\( x+y=1 \)，\( \displaystyle f(x,y)=(x+\frac{1}{x})^2+(y+\frac{1}{y})^2 \)求最小值？
(2)\( \displaystyle \frac{sin \theta+1}{cos \theta+2} \)求最大值，最小值，用代數方法，幾何方法。
9.
\( \displaystyle \int_0^1 \frac{x}{(x+1)^2 (x^2+1)}dx \)

作者: johncai 時間: 2014-5-15 08:57 標題: 回復 2# shingjay176 的帖子

我好像想到了
把x軸當成對稱後的直線
找到對稱前的直線
用對稱前的拋物線跟對稱前的直線積分
應該就是答案了

作者: shingjay176 時間: 2014-5-15 09:04 標題: 回復 3# johncai 的帖子

應該就是這樣了，x軸對稱過去，是一個斜的直線。和原來上拋的拋物線圍出來的區域面積。

作者: johncai 時間: 2014-5-15 09:04 標題: 回復 2# shingjay176 的帖子

第9題我是把它拆成-1/(2(x+1)^2)+1/(2(x^2+1))
應該就積的出來了

作者: shingjay176 時間: 2014-5-15 09:09 標題: 回復 5# johncai 的帖子

對，第九題是這樣拆開積分就算的出來。
寫了56分而已，就是沒法在時間壓迫下，在多擠出個
幾題，把分數衝上60..

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-15 09:11 AM 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2014-5-15 09:24

x 軸對 y = 2x 做鏡射後是 y = (-4/3)x
然後算 y = (-4/3)x 和 y = x^2 + 2x 圍起來的面積如何？

作者: shingjay176 時間: 2014-5-15 09:27 標題: 回復 7# thepiano 的帖子

鋼琴老師，應該就是這個想法了。。
斜的拋物線，和x軸圍出來面積。實在無法寫出積分式。
這樣對稱轉換，面積是不變量。

作者: johncai 時間: 2014-5-15 09:31 標題: 回復 2# shingjay176 的帖子

第2題第(2)小題
幾何方法:動點在圓心在原點，半徑為1的圓上
               定點(-2,-1)
               所求即動點跟定點的最大斜率與最小斜率
代數方法:微分
               可解出(cosx,sinx)=(0,-1)及（-4/5,3/5）時有極值
我算的最大值:4/3。最小值:0

第（1）小題感覺跟北一女某題很像
但沒解出來@@

作者: thepiano 時間: 2014-5-15 09:31

求最大值和最小值那題，前幾天 ellipse 兄才在華僑高中那個主題表演過

作者: shingjay176 時間: 2014-5-15 09:49 標題: 回復 10# thepiano 的帖子

第幾題我忘記了。。
其中一小題問，圓內接正2n變形，任意找三個點，構成銳角三角形，共有幾個?

作者: thepiano 時間: 2014-5-15 10:53 標題: 回復 2# shingjay176 的帖子

x + y = 1

(x + y)(1/x + 1/y) ≧ 4
1/x + 1/y ≧ 4

(x + 1/x)^2 + (y + 1/y)^2 ≧ (x + 1/x + y + 1/y)^2/2 ≧ (1 + 4)^2/2 = 25/2

作者: thepiano 時間: 2014-5-15 10:57

引用:

原帖由 shingjay176 於 2014-5-15 09:49 AM 發表
圓內接正2n變形，任意找三個點，構成銳角三角形，共有幾個?

96 高市聯招，考過直角三角形和鈍角三角形，全部扣掉以上兩者就是這題了

作者: Ellipse 時間: 2014-5-15 12:25

引用:

原帖由 shingjay176 於 2014-5-15 09:49 AM 發表
第幾題我忘記了。。
其中一小題問，圓內接正2n變形，任意找三個點，構成銳角三角形，共有幾個?

C(2n,3)-(2n)*C(n-1,1) -(2n)*C(n-1,2)
全-直角三角形-鈍角三角形~

作者: agan325 時間: 2014-5-15 12:50 標題: 回復 11# shingjay176 的帖子

(1)圓內接正2n邊形，任意找三個點，構成銳角三角形，共有幾個?
(2)圓內接正2n+1邊形，任意找三個點，構成鈍角三角形，共有幾個?
題目印象中!~~~

作者: agan325 時間: 2014-5-15 13:49 標題: 高斯符號

還有一題 [x]+[2x]+[3x]+[4x]=2014，求x的範圍

作者: shingjay176 時間: 2014-5-15 14:35 標題: 回復 16# agan325 的帖子

如附件

我這個想法好像有誤~~就撤除圖檔了

作者: 小蝦米 時間: 2014-5-15 15:50

圓內銳角三角形用H討論會有問題嗎？
如果是2n
總共有 2n*(H(3,2n-3)-3*H(3,n-2))/3
如果是2n+1
總共有 (2n+1)*(H(3,2n-2)-3*H(3,n-3))/3

作者: Ellipse 時間: 2014-5-15 16:09

引用:

原帖由 小蝦米 於 2014-5-15 03:50 PM 發表
圓內銳角三角形用H討論會有問題嗎？
如果是2n
總共有 2n*(H(3,2n-3)-3*H(3,n-2))/3
如果是2n+1
總共有 (2n+1)*(H(3,2n-2)-3*H(3,n-3))/3

用組合數就好了~附件有詳細說明~

圖片附件: 正多邊形的三角形個數(鈍角三角形).png (2014-5-15 16:09, 769.3 KB) / 該附件被下載次數 5060
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2259&k=78c7cdd592c99cacad877cbbc352b509&t=1713596509

作者: hua0127 時間: 2014-5-15 16:30 標題: 回復 17# shingjay176 的帖子

這樣夾好像沒有辦法夾得很精細，會有些許誤差
我夾完先發現解在201~202之間
然後在利用平移考慮 \(\left[ b \right]+\left[ 2b \right]+\left[ 3b \right]+\left[ 4b \right]=4\) 之b介於 [0,1) 間
再帶入一些關鍵的分數去檢驗
最後答案是 \(\displaystyle 201\frac{1}{2}\le x<201\frac{2}{3}\) (帶分數) ?

作者: thepiano 時間: 2014-5-15 17:49

hua0127 兄的答案是對的
整理一下算式

x = 201，[x] + [2x] + [3x] + [4x] = 2010
x = 202，[x] + [2x] + [3x] + [4x] = 2020
故 201 < x < 202

令 x = 201 + y (0 ＜ y ＜ 1)
[x] + [2x] + [3x] + [4x] = 201 * 10 + [2y] + [3y] + [4y] = 2014
[2y] + [3y] + [4y] = 4

(1) 0 ＜ y ＜ 1/2
[2y] + [3y] + [4y] ≦ 0 + 1 + 1 = 2，不合

(2) 1/2 ≦ y ＜ 2/3
[2y] + [3y] + [4y] = 1 + 1 + 2 = 4，合

(3) 2/3 ≦ y ＜ 1
[2y] + [3y] + [4y] ≧ 1 + 2 + 2 = 5，不合

故 201又(1/2) ≦ x < 201又(2/3)

作者: 小蝦米 時間: 2014-5-15 18:04 標題: 回復 19# Ellipse 的帖子

謝謝！組合想法好清楚

作者: hua0127 時間: 2014-5-15 18:06 標題: 回復 21# thepiano 的帖子

鋼琴老師這樣寫有系統多了~受教!!

作者: bugmens 時間: 2014-5-15 20:02

\([x]+[2x]+[3x]+[4x]=2014\)，求\(x\)的範圍

這裡有類題
\( [\; x ]\; \)表示不大於x的最大整數(\( x \in R \))。試求滿足\( [\; x ]\;+[\; 2x ]\;+[\; 3x ]\;+[\; 4x ]\;=2004 \)之x的範圍。　　
(93北一女中數學科競試，h ttp://web.fg.tp.edu.tw/~math/blog/data/exam/group2/pdf2/932t-1a.pdf連結已失效)

對任意實數\(x\)，以符號\([\;x ]\;\)表示小於或等於\(x\)的最大整數。求滿足\([\;a ]\;+[\;2a ]\;+[\;4a ]\;+[\;8a ]\;=100\)的最小的實數\(a\)。
(2008TRML個人賽)

For any real number t, denote by [t] the greatest integer which is less than or equal to t. For example:\( [\;8]\;=8 \),\( [\; \pi ]\; = 3 \), and\( \displaystyle [\; \frac{-5}{2} ]\; \) = -3. Show that the equation \( [\; x ]\;+[\; 2x ]\;+[\; 4x ]\;+[\; 8x ]\;+[\; 16x ]\;+[\; 32x ]\;=12345 \) has no real solution.
(Canada National Olympiad 1981，https://artofproblemsolving.com/community/c5026)

證明不存在實數\(x\)，使得\([x]+[2x]+[4x]+[8x]=147\)。
(106羅東高中，https://math.pro/db/thread-2801-1-1.html)

111.3.20補充
設\([x]\)表示不大於實數\(x\)的最大整數，則滿足方程式\(\displaystyle \left[\frac{x}{2}\right]+\left[\frac{x}{3}\right]+\left[\frac{x}{4}\right]+\left[\frac{x}{5}\right]=69\)的所有正整數\(n\)之和為　　　。
(110高中數學能力競賽北二區筆試二，https://math.pro/db/thread-3612-1-1.html)

作者: shingjay176 時間: 2014-5-15 20:19 標題: 回復 24# bugmens 的帖子

這沒有做過，壓根不會注意到這麼細的地方。
高斯函數真的是一個痛。

作者: natureling 時間: 2014-5-15 21:59 標題: 回復 1# johncai 的帖子

提供以下3題..但第7不太確定...順便請教一下怎麼思考...感恩^^
1. p,q為實數, x^{3}-px+q=0 ,有3實根. 若 a為一根,證明  - 根號 (4P/3) <= a <= 根號 (4P/3)3. 就a,b,c,d 為實數,且a不為0,就a,b,c,d關係討論ax^3+bx^2+cx+d 和ax^3+dx^2+cx+b的最高公因式情形
7. 三角錐D-ABC 底面為正三角形ABC, D在三角形ABC中心正上方,相鄰2側面的2面角  2m  (還是 m??)
  底面中心到側面稜邊的距離OE=1 ( E在DB上...有圖),設t=tan m  ,以t表D-ABC體積

作者: tsusy 時間: 2014-5-15 22:31 標題: 回復 26# natureling 的帖子

1. 最公高因式，可以用輾轉相除法處理，兩個多項式相減會得 \( (b-d)x^2 - (b-d) \)

當 \( b =d \) 時，兩多項式完全相同，最高公因式，就是自己本身

當 \( b \neq d \) 時，其最高公因式必為 \( x^2 -1 \) 之因式，以因式定理檢驗之

再以 \( x^2 - 1 \) 除 \( ax^3+bx^2+cx+d \) 可得 \( (a+c)x + (b+d) \)，再用因式定理檢查 \( x^2-1 \) 和 \( (a+c)x+b+d \)的公因式

若 \( a+c = b+d \)，則 \( x+1 \) 為公因式

若\( a+c = -(b+d) \)，則 \( x-1 \) 為公因式

再用以上兩個條件分類可產生 4 種情形，再加上先前 \( b=d \) 的情況，總有 5 (種可能)類

作者: hua0127 時間: 2014-5-16 00:00 標題: 回復 26# natureling 的帖子

請問自然兄~第1題的p是否大於0?

作者: natureling 時間: 2014-5-16 01:37 標題: 回復 28# hua0127 的帖子

好像沒有..=.=...

作者: hua0127 時間: 2014-5-16 08:58 標題: 回復 29# natureling 的帖子

設3實根為\(a,b,c\), 則
\(a+b+c=0,ab+bc+ca=-p\), 故
\({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=2p\) (\(\ge 0\)?), 由柯西不等式
\(\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\ge {{\left( b+c \right)}^{2}}\Rightarrow 2\left( 2p-{{a}^{2}} \right)\ge {{\left( -a \right)}^{2}}\) 移項得到\({{a}^{2}}\le \frac{4p}{3}\)
當p為非負時，可推得\(a\in \left[ -\sqrt{\frac{4p}{3}},\sqrt{\frac{4p}{3}} \right]\)
不知道這樣寫有沒有遺漏什麼？

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-5-16 08:59 AM 編輯 ]

作者: tsusy 時間: 2014-5-19 14:38 標題: 回復 28# hua0127 的帖子

這題中，題意中的三實根隱含了 \( p \) 必為非負

否則 \( p<0 \) 時, 3 次函數 \( f(x) = x^3 - px + q \) 為嚴格遞增函數，其導數恆正，此時原方程式僅有一實根。

提供一個另解. 從三次函數的圖形著手

\( f'(x) = 0 \) 之解為 \( x = \pm \sqrt{\frac p3} \)

改變 q 值，圖形上下移動，三根最小者有最小值的時候，圖形在 \( x = \sqrt{\frac p3} \) 處的極小值恰為 0，此時三根為 \( \sqrt{\frac p3}, \sqrt{\frac p3}, -2\sqrt{\frac p3} \)

同理，三根最大者有最大值的時候，圖形在 \( x = - \sqrt{\frac p3} \) 處的極大值恰為 0，此時三根為 \( -\sqrt{\frac p3}, -\sqrt{\frac p3}, 2\sqrt{\frac p3} \)

故 \( -\sqrt{\frac{4p}{3}} \leq a \leq \sqrt{\frac{4p}{3}} \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-19 05:15 PM 編輯 ]

作者: hua0127 時間: 2014-5-19 15:22 標題: 回復 31# tsusy 的帖子

寸絲兄的思維總是能令我恍然大悟~條件藏在題意中竟然不覺，
還懷疑題目有問題，但其實不是，這壞習慣要多留意~

作者: tsusy 時間: 2014-5-19 17:13 標題: 回復 32# hua0127 的帖子

沒有這麼嚴重啦，原本我也是一樣的想法，以為題目漏條件了

看了好幾次，剛剛才突然想到

作者: natureling 時間: 2014-5-20 22:05

tsusy老師可請教一下
再用以上兩個條件分類可產生 4 種情形是指以下這樣嗎??謝謝
(1) a+c=b+d=1 和a+c=b+d=-1
(2) a+c=-(b+d)=1 和a+c=-(b+d)=-1

引用:

原帖由 tsusy 於 2014-5-15 10:31 PM 發表
1. 最公高因式，可以用輾轉相除法處理，兩個多項式相減會得 \( (b-d)x^2 - (b-d) \)

當 \( b =d \) 時，兩多項式完全相同，最高公因式，就是自己本身

當 \( b \neq d \) 時，其最高公因式必為 \( x^2 -1 \) 之因式，以因式定理檢 ...

作者: David 時間: 2014-5-22 09:06 標題: 回復 12# thepiano 的帖子

想請問一下鋼琴大師或各位先進, 下面這個式子是怎麼來的? 或是什麼有名的不等式???
(x + 1/x)^2 + (y + 1/y)^2 ≧ (x + 1/x + y + 1/y)^2/2

[ 本帖最後由 David 於 2014-5-22 09:31 AM 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2014-5-22 09:30

\(\begin{align}
& {{\left( x+\frac{1}{x} \right)}^{2}}+{{\left( y+\frac{1}{y} \right)}^{2}}\ge 2\left( x+\frac{1}{x} \right)\left( y+\frac{1}{y} \right) \\
& 2\left[ {{\left( x+\frac{1}{x} \right)}^{2}}+{{\left( y+\frac{1}{y} \right)}^{2}} \right]\ge {{\left( x+\frac{1}{x} \right)}^{2}}+2\left( x+\frac{1}{x} \right)\left( y+\frac{1}{y} \right)+{{\left( y+\frac{1}{y} \right)}^{2}}={{\left( x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y} \right)}^{2}} \\
& {{\left( x+\frac{1}{x} \right)}^{2}}+{{\left( y+\frac{1}{y} \right)}^{2}}\ge \frac{{{\left( x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y} \right)}^{2}}}{2} \\
\end{align}\)

作者: tsusy 時間: 2014-5-22 09:36 標題: 回復 35# David 的帖子

2. #12 鋼琴兄用的應該是柯西不等式

\( \left[(x+\frac1x)^2+(y+\frac1y)^2\right]\left(1^2+1^2\right)\geq(x+\frac1x+y+\frac1y)^2 \)

順帶來個另解
令 \( f(x)=(x+\frac1x)^2 = x^2+2+\frac1{x^2} \), 則 \( f''(x)=2 + \frac{6}{x^4}>0 \)

故 f(x) 在 (0,1) 上為凸函數(convex function), 由凸函數不等式有

\( \frac{f(x)+f(y)}{2}\geq f(\frac{x+y}{2})=f(\frac12)=\frac{25}{4} \)

且當 \( x=y = \frac12 \) 時等號成立

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-22 01:56 PM 編輯 ]

作者: David 時間: 2014-5-22 12:02 標題: 回復 37# tsusy 的帖子

感謝兩位大師的說明!! 謝謝!!

作者: Ellipse 時間: 2014-5-22 13:36

回復 37# tsusy 的帖子
那我也來玩一下
令a=x+1/x ,b=y+1/y
代入"方均根不等式"
[(a^2+b^2)/2]^0.5>=(a+b)/2
可證出~

作者: idontnow90 時間: 2014-5-23 09:29

想請教有三實根的那題證明
若是由判別式<=0著手,會有27q^2+4(-p)^3<=0,
可推得p>=0,但後續該怎麼證??謝謝~

作者: tsusy 時間: 2014-5-23 20:03 標題: 回復 40# idontnow90 的帖子

#30 hua0127 老師，已解

作者: thepiano 時間: 2014-5-24 07:24 標題: 回復 40# idontnow90 的帖子

若用三角函數來解一元三次方程式，這題就不證自明了
可參考 https://math.pro/temp/cos3theta.swf

作者: subway 時間: 2014-6-4 09:42 標題: 回復 31# tsusy 的帖子

想請問一下正負2(根號(p/3))
是怎麼知道的

謝謝!!

[ 本帖最後由 subway 於 2014-6-4 09:44 AM 編輯 ]

作者: 小蝦米 時間: 2014-6-4 11:33 標題: 回復 43# subway 的帖子

因為f(x)沒有x^2項，三根和=0

作者: subway 時間: 2014-6-5 22:58 標題: 回復 44# 小蝦米的帖子

謝謝蝦米

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