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標題: 103彰化高中 [打印本頁]

作者: johncai 時間: 2014-5-14 13:42 標題: 103彰化高中

先問其中一題
[10^2001/(10^667+2002)]的末四位。其中[]為高斯符號
謝謝

之前應該寫過，但昨天想不出來

103.5.15補充
公告本校103學年度第1次教師甄選第一階段錄取名單
一、錄取名單請詳見附件。
二、各科最低錄取分數如下：
國文科：50.5分
數學科正式：66分、數學科代理：62分
物理科正式：74分、物理科代理：64分
化學科：84分
h ttp://163.23.148.60/files/14-1000-1564,r44-1.php　連結已失效

附件: 103彰化高中.pdf (2014-5-15 10:38, 153.12 KB) / 該附件被下載次數 12456
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2257&k=f454797189ab44fe1ca49366fb003907&t=1732255682

作者: tzhau 時間: 2014-5-14 13:50 標題: 回復 1# johncai 的帖子

令x=10^667,則10^2001/(10^667+2002)=x^3/(x+2002)=(x^2-2002x+2002^2)-(2002^3)/(x+2002)

作者: thepiano 時間: 2014-5-14 15:44

tzhau 兄打太快了，最後面應是 -(2002^3)/(x+2002)

作者: shingjay176 時間: 2014-5-15 10:35

彰化高中題目已經放出來了。。

作者: bugmens 時間: 2014-5-15 10:41

3.
將自然數按下表的方式排列，從上到下第i列，從左至右第j行的數記為\( f(i,j) \)，例如\( f(3,4)=18 \)，試求\( f(45,45)= \)　　　。
\( \matrix{1 & 2 & 4 & 7 & 11 & 16 & 22 & … \cr
3 & 5 & 8 & 12 & 17 & 23 & … & 　\cr
6 & 9 & 13 & 18 & 24 & … & 　 & 　\cr
10 & 14 & 19 & 25 & … & 　 & 　 & 　 \cr
15 & 20 & 26 & … & 　 & 　 & 　 & 　 \cr
21 & 27 & … & 　 & 　 & 　 & 　 & 　 \cr
28 & … & 　 & 　 & 　 & 　 & 　 & 　} \)
[解答]
\(\matrix{　 & 　 & f(1,1) & 　 & f(2,2) & 　 & f(3,3) & 　 & f(4,4) \cr
1 & 　 & 1 & 　 & 5 & 　 & 13 & & 25 \cr
　 & 0 & 　 & 4 & 　 & 8 & 　 & 12 & 　 \cr
　 & 　 & 4 & 　 & 4 & 　 & 4 & 　 & 　} \)

\( f(n,n)=1 \times C_0^n+0 \times C_1^n+4 \times C_2^n \)
\( f(45,45)=3961 \)

7.
有三個水桶A,B,C，其含水量分別為a,b,c。現在依A→B→C→A→B→C→A→…的順序，將前一個水桶的水倒一半至後一個水桶。規定每一回合為A→B→C→A，若n回合會趨近平衡狀態，則其平衡狀態時，水桶A中的水量為何？(試以a,b,c表示)

有甲、乙、丙三支大瓶子，開始時均裝有1公升的水，每一輪操作都是先將甲瓶的水倒出一半到乙瓶，再將乙瓶的水倒出一半到丙瓶，然後再將丙瓶的水倒出一半回甲瓶，若ㄧ直操作下去當穩定狀態時，甲瓶的水量為　　　公升？
(102松山工農，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1655&page=1#pid8767)

13.
試求\( \displaystyle \Bigg[\; \frac{10^{2001}}{10^{667}+2002} \Bigg]\; \)的末四位數中，其中\( [\; x ]\; \)表示小於或等於x的最大整數？
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=708&page=1#pid1193

16.
若\( \displaystyle \cases{a+b=1 \cr ax+by=-1 \cr ax^2+by^2=-5 \cr ax^3+by^3=-13} \)，求\( ax^5+by^5 \)之值為　　　。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=799&page=1#pid1495

18.
設圓的內接12邊形有六條邊長為a，六條邊長為b，則此12邊形的面積為　　　。(試以a,b表示)
感謝thepiano找到出處http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&p=10920
(北一女中數學挑戰甄選題，第九期第 3 題，http://www.tcgs.tc.edu.tw/~sunp/compete/green-garden/09.pdf)

ABCDEF為一圓內接六邊形，\( \overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CD}=a \)，\( \overline{DE}=\overline{EF}=\overline{FA}=b \)，用a,b表六邊形之面積？
(93國立大里高中，https://math.pro/db/thread-1237-1-1.html)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-5-16 11:18 PM 編輯 ]

作者: Ellipse 時間: 2014-5-15 11:12

#2
某某年升大學聯考考題~~

作者: Ellipse 時間: 2014-5-15 19:39

#4
令2^(1/3)=a,則(1/2)^(1/3)=1/a
x=a- 1/a
又(a-1/a)*[a^2-1+(1/a)^2] =a^3-(1/a)^3 =2-1/2=3/2
所以x(x^2+3)=3/2
2x^3+6x-3=0
f(x)=(2x^3+6x-3)(x-1)+5
所求=5

作者: loveray 時間: 2014-5-15 19:51

請教第15題

作者: Ellipse 時間: 2014-5-15 20:19

引用:

原帖由 loveray 於 2014-5-15 07:51 PM 發表
請教第15題

我覺得題目打錯了
第一行,第三列應為zx
這樣行列式才能化為
4(x^2+y^2+z^2+2)
面積條件有3x+4y+5z=12
再配合科西不等式求最小值
[紅色處感謝鋼琴兄指正]

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-18 09:55 AM 編輯 ]

作者: Ellipse 時間: 2014-5-15 20:28

#5
很特別的一個題目
如附件.gif
假設O(0,0),A(z1),B(z2),C(z3)
P(0,-3) ,Q(2,1)
當A在PQ的中垂線上移動時
不難發現OACB為相似四邊形
所以ACB亦為相似三角形
注意到只有OA垂直PQ的中垂線時
ACB的面積會最小
此時A點為(-0.2,-0.4)
剩下ACB面積最小值就留給網友做

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-15 08:34 PM 編輯 ]

圖片附件: 複數平面三角形面積最小值.gif (2014-5-15 20:28, 811.03 KB) / 該附件被下載次數 8955
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2260&k=f87518bbf3bf5051c5eb483cdb20a0aa&t=1732255682

作者: hua0127 時間: 2014-5-16 00:40 標題: 回復 10# Ellipse 的帖子

讓小弟破梗一下XD
考慮\({{z}_{2}}\)為\({{z}_{1}}\)逆時針旋轉\(120{}^\circ \)後伸縮2倍，
\({{z}_{3}}\)為\({{z}_{1}}\)逆時針旋轉\(90{}^\circ \)後伸縮4倍，
若令\(\left| {{z}_{1}} \right|=a\), 則 \(\left| {{z}_{2}} \right|=2a\), \(\left| {{z}_{3}} \right|=4a\),
畫個圖將三角形ABC的面積表示出來為\(\left( 4-\frac{\sqrt{3}}{2} \right){{a}^{2}}\)
故考慮當\(\left| {{z}_{1}} \right|\)最小時會有最小面積，
就是橢圓大所描述的重點了，
\(a\)之最小值即為圓心到 \(P(0,-3),Q(2,1)\) 之中垂線之距離，
得到\({{a}^{2}}=\frac{1}{5}\), 故面積最小值為\(\frac{8-\sqrt{3}}{10}\)

作者: loveray 時間: 2014-5-16 00:56

試問第8題數對？很醜嗎？

作者: tsusy 時間: 2014-5-16 08:38 標題: 回復 12# loveray 的帖子

填充 8. 從 \( y = \log_2 |x| \) 和 \( y = ax+b \) 的圖形來看，三交點的 \( x \) 坐標應為一個 \( x<1 \) 、兩個 \( x>1 \)。

故可設三根為 \( t,2t,3t \)，且 \( \frac12 < t <1 \)，帶入解聯立方程式(看作 \( \log_2 t、at、b \) 是三個未知數)可得

\( t=\frac{\sqrt{3}}{2} \), \( a= \frac{2}{\sqrt{3}}(\log_{2}3-1) \), \( b = 2-\frac{3}{2}\log_{2}3 \)

至於醜不醜，我是覺得還好，因為這種方程式的解，也很難再更漂亮了

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-22 02:00 PM 編輯 ]

作者: n10410 時間: 2014-5-16 09:47

想請教第11題~~

作者: hua0127 時間: 2014-5-16 12:26 標題: 回復 14# n10410 的帖子

線性代數的觀念有提到：
線性方程組 \(Ax=b\) 的解可拆成 \(Ax=0\) 之解與 \(Ax=b\)的某一特解之合成，
本題中\(Ax=0\)之解為\(t(2,3,4),t\in \mathbb{R}\), \((3,4,7)\) 為 \(Ax=b\)的某一特解，故所求答案為\((3,4,7)+t(2,3,4),t\in \mathbb{R}\)

簡單的證明如下：
令\(y\)為\(Ax=0\)之解, \({{y}_{0}}\)為\(Ax=b\)之一特解，
則\(A(y+{{y}_{0}})=Ay+A{{y}_{0}}=b\), 上述性質得證。

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-5-16 12:33 PM 編輯 ]

作者: n10410 時間: 2014-5-16 22:43

謝謝hua老師的指點!

作者: airfish37 時間: 2014-5-19 22:36

引用:

原帖由 bugmens 於 2014-5-15 10:41 AM 發表

3.
將自然數按下表的方式排列，從上到下第i列，從左至右第j行的數記為\( f(i,j) \)，例如\( f(3,4)=18 \)，試求\( f(45,45)= \)　　　。

這題小弟只會用暴力法硬做 = =" 第一次看到這種作法....能否請教這個作法的背景知識

[ 本帖最後由 airfish37 於 2014-5-19 10:38 PM 編輯 ]

作者: tsusy 時間: 2014-5-19 23:31 標題: 回復 17# airfish37 的帖子

這個作法，背後的原理是用差分求牛頓插值多項式的係數

100北一女中，bugmens 老師就曾用這招解題。

至於為什麼係數這麼剛好，可以自行推敲一下或參考我先前在那篇 #17 的回文。

作者: wen0623 時間: 2014-5-24 13:40

[quote]原帖由 airfish37 於 2014-5-19 10:36 PM 發表

3.
將自然數按下表的方式排列，從上到下第i列，從左至右第j行的數記為\( f(i,j) \)，例如\( f(3,4)=18 \)，試求\( f(45,45)= \)　　　。

此題提供當時的另一個想法～～(斜的看)

("1"),(2,3),(4,"5",6),(7,8,9,10),(11,12,"13",14,15),(16,17,18,19,20,21),(22,23,24,"25",26,27,28)...分堆

f(1,1)=1(第一列第一個)=1

f(2,2)={1+2}+2(第二列第二個)=5

f(3,3)={1+2+3+4}+3(第三列第三個)=13

f(4,4)={1+2+3+4+5+6}+4(第四列第四個)=25
因此可觀察出規律...

f(45,45)={1+2+3+4+....+88}+45(第45列第45個)=3961 #

[ 本帖最後由 wen0623 於 2014-5-24 09:10 PM 編輯 ]

作者: panda.xiong 時間: 2014-5-26 07:54

請問第9題的答案是不是：
S1 = (1/4)*sin(4q)
S2＝sin(2q)
感覺好像太容易算出來,覺得怪怪的不是很確定.

作者: thepiano 時間: 2014-5-26 09:27

引用:

原帖由 panda.xiong 於 2014-5-26 07:54 AM 發表
請問第9題的答案是不是：
S1 = (1/4)*sin(4q)
S2＝sin(2q)
感覺好像太容易算出來,覺得怪怪的不是很確定.

對啦

作者: justine 時間: 2014-5-27 16:27

請問...第6題答案是(52/3)pi 嗎?
若不是，可否請教大家怎麼做呢?
謝謝^^

作者: thepiano 時間: 2014-5-27 16:40

引用:

原帖由 justine 於 2014-5-27 04:27 PM 發表
第6題答案是(52/3)pi 嗎?

對啦

作者: justine 時間: 2014-5-27 17:33 標題: 回復 23# thepiano 的帖子

喔耶~謝謝thepiano老師~^^

作者: panda.xiong 時間: 2014-5-28 10:44

請問第14、17題？

作者: tsusy 時間: 2014-5-28 13:27 標題: 回復 25# panda.xiong 的帖子

填14. 先來個不正常的解，先算一般式，再回推遞迴式

令 \( f(x) = \displaystyle \left( \frac{x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7}{7} \right)^n \times x^3 \)

則 \( P_n = \displaystyle \frac{f(1) + f(i) + f(-1) + f(-i)}{4} = \frac{7^n - (-1)^n }{4 \cdot 7^n} = \frac14 - \frac14 \cdot (\frac{-1}7)^n \)

故 \( \displaystyle P_{n+1} - \frac14 = -\frac17 \cdot (P_n - \frac14 ) \)

整理得 \( \displaystyle P_{n+1} = -\frac17 P_n + \frac{2}{7} \)

正常的遞迴式推法，只請下一位老師幫忙吧

作者: Pacers31 時間: 2014-5-28 13:28 標題: 回復 25# panda.xiong 的帖子

第14題：畫樹狀圖

當 \(S_n\equiv 1(mod4)\) 時，\(S_{n+1}\equiv 1(mod4)\) 之機率為 \(\displaystyle \frac{1}{7}\) 〈第 \(n+1\) 次必得抽到4〉

而無論 \(S_n\equiv 0,2\ or\ 3(mod4)\) 時，\(S_{n+1}\equiv 1(mod4)\) 之機率皆為 \(\displaystyle \frac{2}{7}\)

〈例如：當 \(S_n\equiv 0(mod4)\)，則第 \(n+1\) 次必須抽到1或5〉

故 \(\displaystyle P_{n+1}=\frac{1}{7}P_n+\frac{2}{7}(1-P_n)=\frac{2}{7}-\frac{1}{7}P_n\)

第17題：

看作是 \((s,s)\) 與 \((-7+5|\cos t|,3|\sin t|)\) 兩點距離的平方

那就是觀察直線 \(y=x\) 與橢圓 \(\displaystyle \frac{(x+7)^2}{5^2}+\frac{y^2}{3^2}=1\) 的右上半之最短距離平方

從圖觀察，看起來最短距離就是發生在當 \(s=-1\), \(t=0\) 時

故所求最小值為2

作者: panda.xiong 時間: 2014-5-28 13:33

引用:

原帖由 tsusy 於 2014-5-28 01:27 PM 發表
填14. 先來個不正常的解，先算一般式，再回推遞迴式

令 \( f(x) = \displaystyle \left( \frac{x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7}{7} \right)^n \times x^3 \)

則 \( P_n = \displaystyle \frac{f(1) + f(i) + f(-1) + f(-i) ...

不懂f(x)是甚麼意思？麻煩可以解釋一下嗎？感恩....

作者: Pacers31 時間: 2014-5-28 14:19 標題: 回復 28# panda.xiong 的帖子

將 \(\displaystyle \Big(\frac{x+x^2+\cdots+x^7}{7}\Big)^n\) 展開並且同類項合併後

各項中 \(x\)的指數代表這 \(n\) 次結果的數字和，而各項係數代表該數字和出現的機率〈可以用 \(n=1,2,3,\cdots\) 的case逐一對照想像^^〉

題目中的 \(P_n\) 是數字和為 \(4k+1\), \(k\in Z\) 的機率，因此只要將指數為 \(4k+1\) 的那些項的係數求和即為 \(P_n\)

為了設法讓 \(4k+1\) 以外的項通通消失，只留下 \(4k+1\) 這些項的係數和

於是寸大設計了 \(f(x)=\Big(\displaystyle \frac{x+x^2+\cdots+x^7}{7}\Big)^n\times x^3\)

如此一來，\(\displaystyle \frac{f(1)+f(i)+f(-1)+f(-i)}{4}\) 的結果便是 \(P_n\)

〈若不乘上 \(x^3\) 這項，上式留下來的結果會是 \(4k\) 這些項的係數和〉

講得不精確的話，還請tsusy大指正！

作者: abc92179 時間: 2014-5-31 23:16 標題: 答案彙整

1.  \( 45 \)
2.  \( \sqrt{5} \)
3.  \( 3961 \)
4.  \( 5 \)
5.  \( \frac{8-\sqrt{3}}{10} \)
6.  \( \frac{52}{3}\pi  \)
7.  \( \frac{a+b+c}{2} \)
8.  \( \left ( \frac{2}{\sqrt{3}}\left ({log_{2}}^{3}-1  \right ),-\frac{3}{2}{log_{2}}^{3}+2 \right ) \)
9.  \( \left\{\begin{matrix}
s_{1}=\frac{1}{4}sin4\theta \\
s_{2}=sin2\theta
\end{matrix}\right. \)
10.  \( a< 0 \)
11.  \( \left\{\begin{matrix}
x=3+2t\quad\qquad\\
y=4+3t\quad t\in \mathbb{R}\\
z=7+4t\quad\qquad
\end{matrix}\right. \)
12.  \( 364 \)
13.  \( 8003 \)
14.  \( P_{n+1}=-\frac{1}{7}P_{n}+\frac{2}{7} \)
15.  \( 19\frac{13}{25} \)
16.  \( -61 \)
17.  \( 2 \)
18.  \( 6ab+\frac{3\sqrt{3}}{2}\left (a^{2}+b^{2}  \right ) \)

如有錯誤請告知

作者: tsusy 時間: 2014-6-1 10:05 標題: 回復 30# abc92179 的帖子

驗算，答案皆同

作者: Herstein 時間: 2014-6-1 12:15 標題: 回復 31# tsusy 的帖子

請教第17題
為什麼不是 (83 - 14√34)/2 這個答案呢?

作者: hua0127 時間: 2014-6-1 12:24 標題: 回復 32# Herstein 的帖子

溜馬兄在 27# 有說明到橢圓只能考慮右上半，
最小值產生在橢圓取點 (-2,0), 直線取點 (-1,-1) 的時候
我想Herstein兄應該是考慮到整個橢圓的關係答案才是(83 - 14√34)/2

作者: Herstein 時間: 2014-6-1 13:05 標題: 回復 33# hua0127 的帖子

謝謝，是我圖畫錯了

作者: 阿光 時間: 2014-8-12 20:26

想請教第18題謝謝

作者: hua0127 時間: 2014-8-12 20:30 標題: 回復 35# 阿光的帖子

bugmens 版主在第1頁 5# 的地方有附連結喔，可以參考一下

作者: lexus0666 時間: 2016-1-26 21:59

請問第6題如果直接對r^2•pi積分，r從0到4，為什麼不行？

作者: tsusy 時間: 2016-1-26 22:36 標題: 回復 37# lexus0666 的帖子

第6題， 0 到 4 是哪來的？？？

題意中沒有 0 也沒有 4，球心到平面的距離是 3

猜不出您是怎麼想的，怎麼會有 0、4 ???

作者: lexus0666 時間: 2016-1-27 14:21 標題: 回復 38# tsusy 的帖子

將球冠看成很多個圓切面組成，半徑從0到4，對圓面積積分

作者: tsusy 時間: 2016-1-27 16:30 標題: 回復 39# lexus0666 的帖子

那，如果把底圓半徑為 4 的圓柱看作是圓切面累積起來，半徑從 4 到 4

所以體積是 \(\displaystyle \int_4^4 \pi r^2 dr = 0 \)，這樣問題出在哪呢？

作者: lexus0666 時間: 2016-1-28 11:26 標題: 回復 40# tsusy 的帖子

寸絲老師：真是一針見血，如果用積分，圓柱高就完全不重要。
所以我沒考慮到高的問題?

作者: tsusy 時間: 2016-1-28 20:13 標題: 回復 41# lexus0666 的帖子

是的，體積 = 積分截面積 d高

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