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標題: 103大安高工 [打印本頁]
作者: bugmens    時間: 2014-5-5 21:40     標題: 103大安高工

　

附件: 103大安高工.pdf (2014-5-5 21:40, 362.41 KB) / 該附件被下載次數 10801
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2190&k=0723f86f69f7601355786ae4d69d194e&t=1714051876
作者: bugmens    時間: 2014-5-5 21:47

2.
設\( 0 \le x \le 2 \pi \)，求\( tan^2x-9tanx+1=0 \)之各根總和為多少？

112.8.22補充
若\(0\le x \le 2\pi\)，則滿足\(tan^2 x-9tanx+1=0\)的所有\(x\)值之和為　　　。
(111高中數學能力競賽　第一區(花蓮高中)筆試二試題，https://math.pro/db/thread-3782-1-1.html)

Find the sum of the roots of \( tan^2x-9tanx+1=0 \) that are between \( x=0 \) and \( x=2 \pi \) radians.
(A)\( \displaystyle \frac{\pi}{2} \)　(B)\( \pi \)　(C)\( \displaystyle \frac{3\pi}{2} \)　(D)\( 3\pi \)　(E)\( 4\pi \)
(1989AHSME，https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_28)
作者: Ellipse    時間: 2014-5-5 22:06

最後一題...
傻眼...
現在考教甄還要準備數學笑話,謎語~

說到這個小弟最擅長.
上課喜歡講543的

猜謎:
由雙曲線的圖形,猜一個台灣地名~
作者: smartdan    時間: 2014-5-5 22:22     標題: 回復 3# Ellipse 的帖子

外雙溪？
作者: shingjay176    時間: 2014-5-5 23:11     標題: 回復 4# smartdan 的帖子

十點才會到中壢，晚上也有去大安高工練筆，看到最後一題真的傻眼。
明天有空，再把我寫這份考卷的解法想法貼上來。
作者: shingjay176    時間: 2014-5-5 23:15     標題: 回復 5# shingjay176 的帖子

最後一題教案，我舉 ax+by+c不等式圖解，正號區、負號區、線上(等於0)。
每個點都會只在某一個區域而已。
正號區(陽間)、負號區(陰間)、等於0(不正也不負~~太平間)。
此時就扯到我有去過(觀落陰)，有成功進入陰間的故事了~~此時睡覺打哈哈的學生。全部瞪大眼睛聽我說故事~~(離題囉)
作者: Ellipse    時間: 2014-5-6 08:12

引用:
原帖由 smartdan 於 2014-5-5 10:22 PM 發表
外雙溪？
外雙C
厲害~
作者: Ellipse    時間: 2014-5-7 20:59

第一部分:第6題
和鋼琴兄討論的結果是題目出錯了
算不出來~
各位網友其他看法嗎?
作者: yuhui    時間: 2014-5-8 14:42     標題: 回復 8# Ellipse 的帖子

請問第一部分的第一題和第二題怎麼寫呢??謝謝!
作者: chin    時間: 2014-5-8 18:17     標題: 回覆#8

參考看看。不知對不對

103.5.21補充
重新打字後將附件刪除
6.
∵底數小於1
∴\( a^{2x}-(ab)^x-2b^{2x}+1<1 \)
\( (a^x-2b^x)(a^x+b^x)<0 \)
∴\( a^x-2b^x<0 \)
又\( b>a>0 \),∴\( 2b^x<a^x \)
同取log \( \Rightarrow log2+xlogb>xloga \)
作者: Ellipse    時間: 2014-5-8 21:15

引用:
原帖由 chin 於 2014-5-8 06:17 PM 發表
參考看看。不知對不對
真數a^(2x)-(ab)^x-2b^(2x)+1>0
部分也要處理
作者: hua0127    時間: 2014-5-9 09:07     標題: 回復 9# yuhui 的帖子

第二題前面板主有PO來源跟解答，可以參考一下
補個第一題：
顯然零多項式為其中一種可能，
若不為零多項式的話，觀察代入\(f(-1)=f(0)=f(1)=0\),
令\(f(x)=a(x-1)x(x+1)Q(x)\), 其中\(a\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\), \(Q(x)\)為首項係數1的多項式
代回原式：
\(a(x-1)x(x+1)(x+2)Q(x+1)=a(x-1)x(x+1)(x+2)Q(x)\), 對兩邊多項式做除法得到
\(Q(x+1)=Q(x)\), 得到\(Q(x)=1\)
所以\(f(x)=a(x-1)x(x+1), a\in \mathbb{R}\)

(其實也可以由 \(\frac{f(x+1)}{f(x)}=\frac{x+2}{x-1}\) 觀察連消的特性看出 \(f(x)=a(x-1)x(x+1)\) )
作者: yuhui    時間: 2014-5-9 12:11     標題: 回復 12# hua0127 的帖子

答案就寫f(x)=a(x−1)x(x+1),a屬於R 就可以了嗎??
我就是找不到那個a值...才來問的!
還有第二題有人可以解解惑嗎??謝謝!!
作者: hua0127    時間: 2014-5-9 13:19     標題: 回復 13# yuhui 的帖子

第一題的解若我沒有遺漏其他的細節部分，
a(x-1)x(x+1) 這一類的解對於所有的a 代入都滿足題意，
所以我想是的

第二題的部分考慮如下：
先觀察原方程式解\(\tan \alpha ,tan\beta \)滿足
\[\tan \alpha +\tan \beta =9,\tan \alpha \tan \beta =1\], 看出\(\tan \alpha >0,\tan \beta >0\).
故可知道所有的解會落在區間\((0,\frac{\pi }{2})\)跟\((\pi ,\frac{3}{2}\pi )\)內，
先觀察根在\((0,\frac{\pi }{2})\)的情況
此時\(\tan \alpha \)唯一對應1個\(\alpha \), \(\tan \beta \)唯一對應1個\(\beta \)
由 \(\tan \alpha \tan \beta =1\) 可知道此時 \(\alpha +\beta =\frac{\pi }{2}\)
由周期函數的特性知在\((\pi ,\frac{3}{2}\pi )\)的根為\(\pi +\alpha ,\pi +\beta \)
故所有的根之和為\(\alpha +\beta +(\pi +\alpha )+(\pi +\beta )=3\pi \)

希望能幫到你解惑
作者: shingjay176    時間: 2014-5-9 22:18

引用:
原帖由 hua0127 於 2014-5-9 01:19 PM 發表
第一題的解若我沒有遺漏其他的細節部分，
a(x-1)x(x+1) 這一類的解對於所有的a 代入都滿足題意，
所以我想是的

第二題的部分考慮如下：
先觀察原方程式解\(\tan \alpha ,tan\beta \)滿足
\[\tan \alpha +\tan \beta =9,\t ...
那天在考場我的答案這樣寫。
\[ \displaystyle \begin{array}{l}
\tan (\alpha  + \beta ) = \frac{{\tan \alpha  + \tan \beta }}{{1 - \tan \alpha \tan \beta }} = \frac{9}{{1 - 1}}\\
\Rightarrow \alpha  + \beta  = \frac{\pi }{2}\;\; \vee \;\alpha  + \beta  = \frac{{3\pi }}{2}
\end{array}\]
所以所有的根的和 \(\frac{\pi }{2} + \frac{{3\pi }}{2} = 2\pi \)，這樣思考不知道哪裡有誤?
看你的寫法很順，在看我的寫法就是有點怪~說不上的怪
我的答案就這樣少掉 \(\pi \)。

莫非我這個觀念思考有嚴重的瑕疵。

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-9 10:28 PM 編輯 ]
作者: thepiano    時間: 2014-5-9 22:51

α + β = π/2 和 α + β = (3/2)π 要分開來看

當 α + β = π/2 時，hua0217 兄已說明

當 α + β = (3/2)π 時，會有一根大於 π(假設是 α)，另一根小於 π/2(假設是 β)
故四根為 α，β，α - π，β + π，其和為 3π
作者: natureling    時間: 2014-5-11 15:13

想請教7和9。感謝。
作者: shingjay176    時間: 2014-5-11 15:22     標題: 回復 17# natureling 的帖子

第七題我告訴你，這個學生錯誤的地方。
會重複算。
第七題正確解法
提示:取捨定理
(全部)\(-\)(甲得0支或乙得0支或丙得0支)
這個錯誤解法，還真的是學生經常會發生的情況。我上課都會特別提醒，越是提醒，反而越有同學算錯

至於第九題，考場上我放掉。我還未訂正這份考卷。留給版面其他老師給你指點。

\[1 \times H_5^3H_4^3 - 3H_5^2H_4^2 + 3H_5^1H_4^1 - 1H_5^0H_4^0\]

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-11 03:47 PM 編輯 ]

圖片附件: DSC_0005.JPG (2014-5-11 15:35, 402.82 KB) / 該附件被下載次數 4880
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2239&k=8a20be680dce5b1e1128a8356138d64a&t=1714051876

作者: natureling    時間: 2014-5-11 15:43

嗯..感恩..所以正解是
H(3,5)H(3,4)-C(3,1)H(2,5)H(2,4)+C(3,2) ?
引用:
原帖由 shingjay176 於 2014-5-11 03:22 PM 發表
第七題我告訴你，這個學生錯誤的地方。
會重複算。
第七題正確解法
提示:取捨定理
(全部)\(-\)(甲得0支或乙得0支或丙得0支)
作者: shingjay176    時間: 2014-5-11 15:47     標題: 回復 19# natureling 的帖子

是的
作者: thepiano    時間: 2014-5-11 16:19

第 9 題
P(X = 0) = 5/9
Var(X) = (5/18)(20 - 65/9)^2 + (1/6)(10 - 65/9)^2 + (5/9)(0 - 65/9)^2 = 6125/81
作者: tsusy    時間: 2014-5-11 19:34     標題: 回復 15# shingjay176 的帖子

注意範圍 \( 0 \leq \alpha, \beta \leq2\pi \Rightarrow 0 \leq \alpha + \beta \leq 4\pi \)

所以在處理上，漏掉了同界角，但如果這樣分析，又會產生把一個解不只加一次

\( \alpha + \beta = \frac\pi2, \alpha + (\beta+\pi), (\alpha+\pi) + \beta, (\alpha+\pi) + (\beta+\pi) \)
作者: shingjay176    時間: 2014-5-11 19:53     標題: 回復 22# tsusy 的帖子

答案是3π
作者: 阿光    時間: 2014-5-11 21:40

想請教11,12,題 謝謝
作者: hua0127    時間: 2014-5-11 22:01     標題: 回復 24# 阿光 的帖子

填充第11題：
令M為BC之中點，本題只要驗證射線OM垂直BC即可。
將過程的(1)、(2)式相減得到
\[\overrightarrow{AO}\cdot (\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})=\frac{1}{2}\left( {{\left\| \overrightarrow{AB} \right\|}^{2}}-{{\left\| \overrightarrow{AC} \right\|}^{2}} \right)\]
\[\Rightarrow \left( \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MO} \right)\cdot \overrightarrow{CB}=\frac{1}{2}\left( {{\left\| \overrightarrow{AB} \right\|}^{2}}-{{\left\| \overrightarrow{AC} \right\|}^{2}} \right)\]
\[\Rightarrow \overrightarrow{MO}\cdot \overrightarrow{CB}=\frac{1}{2}\left( {{\left\| \overrightarrow{AB} \right\|}^{2}}-{{\left\| \overrightarrow{AC} \right\|}^{2}} \right)-\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{CB}=\frac{1}{2}\left( {{\left\| \overrightarrow{AB} \right\|}^{2}}-{{\left\| \overrightarrow{AC} \right\|}^{2}} \right)-\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right)\cdot \overrightarrow{CB}=0\]
(計算過程省略)
作者: panda.xiong    時間: 2014-5-11 23:11

我想請問第10要如何解釋比較好?
作者: hua0127    時間: 2014-5-11 23:22     標題: 回復 26# panda.xiong 的帖子

第10題
觀念就是兩根在複數平面上會落在半徑為\(\sqrt{\sqrt{{{7}^{2}}+{{24}^{2}}}}=5\)的圓上且兩根的主幅角之差為\(180{}^\circ \),表示兩根與原點會三點共線，所以兩根的距離即為圓的直徑，即
\[\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=2\sqrt{\sqrt{{{7}^{2}}+{{24}^{2}}}}=10\]

希望這樣有解釋到
作者: 靜筑    時間: 2014-8-1 10:06     標題: 第5題

請教答案是 2.25?
作者: thepiano    時間: 2014-8-1 10:20

引用:
原帖由 靜筑 於 2014-8-1 10:06 AM 發表
請教答案是 2.25?
小弟是算1.5
作者: 靜筑    時間: 2014-8-1 10:24     標題: 第5題

嗯，答案是1.5,謝謝。
作者: mcgrady0628    時間: 2014-8-21 15:36     標題: 回復 11# Ellipse 的帖子

請問該如何處理真數a^(2x)-(ab)^x-2b^(2x)+1>0的部分!!感恩
作者: leo790124    時間: 2014-9-12 10:42     標題: 第5提

突然想到  如果題目分子改成三次方的話該如何處理呢???
即  sum k^3*(1/3)^k  (k,1,Infinite)

是有什麼特殊的級數名稱嗎???
作者: yachine    時間: 2015-4-16 01:48     標題: 回復 10# chin 的帖子

回樓主
是否要考慮一下a跟b的範圍呢
作者: jkliopnm    時間: 2015-4-20 14:48     標題: 計算題第一題我有不同看法

解題可設 f(x)=x(x-1)(x+1)q(x)
而(x-1)f(x+1)=(x-1)(x+1)(x+2)xq(x+1)=x(x+1)(x-1)q(x)(x+2)=(x+2)f(x)  =>q(x)=q(x+1)

故q(x)除了為實數函數外 也可以為周期為1函數  

所以應該要多考慮到週期函數

但是不知道有沒有週期函數也是多項式的例子

[ 本帖最後由 jkliopnm 於 2015-4-20 02:52 PM 編輯 ]
作者: tsusy    時間: 2015-4-20 19:09     標題: 回復 34# jkliopnm 的帖子

這個週期的想法，我也想過，結論是當然沒有非 常數的多項式

因為非常數的多項式函數是 unbounded 的，而連續的週期函數，根據最大最小值定理有最大、最小值，而為有界(bounded) 函數



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