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標題: 103松山高中(辛苦記憶版) [打印本頁]

作者: agan325 時間: 2014-4-26 22:48 標題: 103松山高中(辛苦記憶版)

因為往年都沒有公布題目，所以這次特地『先抄題，再考試』，希望題目沒有抄錯。
也請大家一起努力，因為是抄出來，所以沒有正確答案。 ><"

110.4.26補充
設$I$為$\Delta ABC$的內心，且$\overline{AC}=\overline{BC}+\overline{BI}$，若$∠ACB=24^{\circ}$，則$∠BAC=$　　　。

已知$I$為$\Delta ABC$的內切圓之圓心，且$\overline{CA}+\overline{AI}=\overline{BC}$，若$∠BCA=42^{\circ}$，則$∠ABC=$　　　。
(110板橋高中，https://math.pro/db/thread-3507-1-1.html)

附件: 台北市立松山高中 103學年度第一次教師甄選.pdf (2014-4-26 22:48, 213.08 KB) / 該附件被下載次數 11235
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2148&k=31e93dfb095ba298acbd532396b56dfb&t=1714141103

作者: ken922590156 時間: 2014-4-26 22:57 標題: 謝謝老師

分享一下辛苦做答的答案
1. 330
2. 42
3. 132
4. 100 or 101
5.-3/2
6.52

謝謝樓下老師給予指導

[ 本帖最後由 ken922590156 於 2014-4-27 11:38 AM 編輯 ]

作者: Ellipse 時間: 2014-4-26 23:20

計算3
跟wallis公式有關~

作者: thepiano 時間: 2014-4-26 23:44

填充 3
跟Catalan 數有關，答案應是 132

作者: ken922590156 時間: 2014-4-26 23:58

鋼琴老師果然厲害
在考場有想說是不是立體的一路領先問題
但畫不出來就放棄了

作者: natureling 時間: 2014-4-27 00:58

可否請教一下填充2和6呢? 還有我4怎只算出1個...101....我再試試好了....謝謝提供參考答案

引用:

原帖由 ken922590156 於 2014-4-26 10:57 PM 發表
分享一下辛苦做答的答案
1. 330
2. 42
3. 小弟不會
4. 100 or 101
5.-3/2
6.132

作者: Ellipse 時間: 2014-4-27 10:27

引用:

原帖由 natureling 於 2014-4-27 12:58 AM 發表
可否請教一下填充2和6呢? 還有我4怎只算出1個...101....我再試試好了....謝謝提供參考答案

填6:
小弟算52

作者: yachine 時間: 2014-4-27 10:47

這張是第一間考有點挫敗有把握的大概只有40....

作者: ken922590156 時間: 2014-4-27 10:56

可能是小弟算錯了
老師可以分享一下填6嘛？謝謝

作者: Ellipse 時間: 2014-4-27 11:15

引用:

原帖由 ken922590156 於 2014-4-27 10:56 AM 發表
可能是小弟算錯了
老師可以分享一下填6嘛？謝謝

在CB的延長線上取一點K,使得BK=BI
假設∠BIK=t。 ,因△BIK為等腰三角形
所以∠BKI=∠BIK=t。
由外角定理知∠IBC=∠BKI+∠BIK=2t。
又BI平分∠ABC,所以∠ABC=4t。-------------(1)
依題意知AC=BI+BC=BK+BC=KC
所以△CAK為等腰三角形
因此∠CKI=∠CAI=t。
又AI平分∠BAC,所以∠BAC=2t。-------------(2)
由(1)&(2)及∠ACB=24。
知4t+2t+24=180 ,t=26
所求∠BAC=2t。= 52。

作者: shiauy 時間: 2014-4-27 11:45

引用:

原帖由 Ellipse 於 2014-4-27 11:15 AM 發表

所以△CAK為等腰三角形
因此∠CKI=∠CAI=t

請問這有什麼關係可以這樣推論嗎？

計算5
動點P形成紅色區域

[ 本帖最後由 shiauy 於 2014-4-27 12:44 PM 編輯 ]

圖片附件: MWSnap027 2014-04-27, 12_39_125.jpg (2014-4-27 12:44, 37.53 KB) / 該附件被下載次數 6263
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作者: thepiano 時間: 2014-4-27 11:53

第 4 題
僅需求 C(605，k) * 5^(605 - k) 有最大值時的 k 即可
利用 f(k + 1) ≦ f(k) 和 f(k - 1) ≦ f(k)
可求出 k = 100 和 101

作者: thepiano 時間: 2014-4-27 12:03

第 6 題另解
在 AC 上取一點 D，使得 CD = BC
AD = BI

△ICD 和 △ICB 全等 (SAS)
DI = BI

AD = DI
∠DIA = ∠DAI = ∠BAI
DI 和 AB 平行
ABID 是等腰梯形

∠BAC + ∠ABC = 180度 - 24度 = 156 度
∠BAC + 2∠BAC = 156 度
∠BAC = 52 度

作者: Ellipse 時間: 2014-4-27 12:37

引用:

原帖由 shiauy 於 2014-4-27 11:45 AM 發表

請問這有什麼關係可以這樣推論嗎？

在三角形ACI與KCI中
因三角形CAK為等腰 => CA=CK------(1)
又角ACI=角KCI--------(2)
且CI=CI(公共邊)---------(3)
由(1)&(2)&(3)可知ACI與KCI全等(SAS)
所以角CAI=角CKI

作者: thepiano 時間: 2014-4-27 16:58

填充第 2 題

圖片附件: 20140427.jpg (2014-4-27 16:58, 109.89 KB) / 該附件被下載次數 5132
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作者: shiauy 時間: 2014-4-27 21:24

剩計算6.7.8了…一點頭緒都沒有，有人有想法的嗎？

作者: thepiano 時間: 2014-4-28 06:19

第 6 題
a^2 + b^2 + c^2 = 7d^2
由 mod 8 可知四數均為偶數
左右兩邊同除以 4，改寫成 p^2 + q^2 + r^2 = 7s^2
如此不段進行，最後必最少有一數先變成奇數，不合
證畢

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-4-28 06:20 AM 編輯 ]

作者: tsusy 時間: 2014-4-28 10:02 標題: 回復 17# natureling 的帖子

計算 8.
1. 題意中，並無任何地方指出 $ f(x) $ 是一個多項式。

2. 題幹不完整，缺少函數 $ f $ 的定義域及對應域，且敘述有瑕疵

個人傾向解讀為：$ f(f(x)+f(y)) = x+y $, for all $ x, y \in \mathbb{N} $。

但還是缺少了定義域和對應域，如不做限制，就會以下例子

例 $ f(x)=\begin{cases}
xq & \text{, if }\frac{x}{q}\notin\mathbb{Q}\\
\frac{x}{q} & \text{, if }\frac{x}{q}\in\mathbb{Q}
\end{cases} $，其中 q  為一無理數，則當 $ x, y\in\mathbb{N} $ 時， $ f(f(x)+f(y))=f(xq+yq)=f((x+y)q)=\frac{(x+y)q}{q}=q $。

3. 假設 $ f $ 的定義域和值域都是自然數集 $ \mathbb N $，則 $ f(1)=k\in\mathbb{N} $

$ f(2k)=2 $, $ f(4)=4k $, $ f(k+4k)=1+4=5 $，

如此重覆(或數學歸納法)可得 $ f(p)=pk $ 且 $ f(qk)=q $, for $ p=1,4,7,10,\ldots $ 和 $ q=2,5,8,\ldots $。

$ p, q $ 同上行，可得 $ f(pk+q)=f(f(p)+f(qk))=p+qk $

$ \Rightarrow f((p+qk)+pk)=f(f(pk+q)+f(p))=pk+q+p $

又 $ p+qk+pk\equiv1 (Mod  3) $，因此 $ f(p+qk+pk)=pk+qk^{2}+pk^{2} $

故 $ pk+q+p=pk+qk^{2}+pk^{2} \Rightarrow (p+q)(k^{2}-1)=0\Rightarrow k=\pm1 $

而 $ 2014 \equiv 1 (Mod  3) $，故 $ f(2014) = 2014 $

4. 3 中我們看到另一個可能解 $ k=-1 $，如果要接受這個解，我們必須擴充對應域為 $ \mathbb{Z} $

緊接著的問題是 $ f(f(1)+f(1)) = f(-2) $, 是否繼續擴充定義域，而且讓 $ f $ 滿足的關係式是對任意整數 x, y 皆成立。

否則不擴充的話，負整數，將不受限制，無法無天，然後又會發生無限多可能的解

103.8.28版主補充
設f為由實數映到實數的函數且f不為零函數。若對任意實數x,y，$ f(x+yf(x))=f(x)+xf(y) $皆成立，試證明：對每一個正整數n，$ f(n)=n $。
(88全國高中數學競賽　台中區複賽試題(一)，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9514)
那這題也可以用上面的方法證明嗎？假如不行的話是為什麼？那該用什麼方法？

[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-8-29 12:44 AM 編輯 ]

作者: broken 時間: 2014-4-28 11:09

印象中，計算八題目最前面有說 $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$
所以樓上寸絲老師說的3應該就是標準答案。

作者: Ellipse 時間: 2014-4-28 22:55

引用:

原帖由 thepiano 於 2014-4-26 11:44 PM 發表
填充 3
跟Catalan 數有關，答案應是 132

期待鋼琴兄解這題~

作者: Ellipse 時間: 2014-4-28 22:55

引用:

原帖由 thepiano 於 2014-4-27 11:53 AM 發表
第 4 題
僅需求 C(605，k) * 5^(605 - k) 有最大值時的 k 即可
利用 f(k + 1) ≦ f(k) 和 f(k - 1) ≦ f(k)
可求出 k = 100 和 101

這題也有公式

作者: thepiano 時間: 2014-4-29 11:20

填充 3
這題的類似題，去年竹北高中代理就考過了

此題相當於把 1~12 這 12 個自然數不重複填入一個二列六行(共 12 格)的表格中
且同一列中，右比左大；同一行中，上比下大，問有幾種填法？

轉化成一個 6 * 6 的表格，A 在左下角，B 在右上角，從 A 走至 B 且不超過直線 AB (可在直線 AB 上)的捷徑走法數有幾種？

一開始在下列最左邊填入 1，代表先往右走一格
接下來若是往上走，表示在上列(由左而右)填入一個數字
若是往右走，表示在下列(由左而右)填入一個數字
數字要由小而大依序去填

所求 = C(12，6) * [1/(6 + 1)] = 132

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-4-29 11:22 AM 編輯 ]

作者: Ellipse 時間: 2014-4-29 12:31

引用:

原帖由 thepiano 於 2014-4-27 04:58 PM 發表
填充第 2 題

另圖形解:
這題根本是設計好的
畫完圖會發現
AD為角ACB的平分線 (CA:CB=AD: DB)
角ACD即為所求

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-4-29 02:19 PM 編輯 ]

附件: 複數圖形解.pdf (2014-4-29 12:31, 11.71 KB) / 該附件被下載次數 5909
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2165&k=dcc8b8c864dbdcf6da2de61c01fcc797&t=1714141103

作者: johncai 時間: 2014-4-29 16:30

感謝寸絲大指正
出錯率還真高@
第二題忘記再開一次根號
第三題再算一次為-488
已修正答案

沒有人提供計算題答案……
我講一下我算的幾題
有錯請指正。感謝
1.M=10/3。m=0。所求=100/9
2.-89/2
4.-488
5.1+π/3-根號3

[ 本帖最後由 johncai 於 2014-4-29 09:57 PM 編輯 ]

作者: tsusy 時間: 2014-4-29 18:14 標題: 回復 24# johncai 的帖子

計算
1. 同
2. $ \frac{-89}{2} $
4. $ -488 $
5. 同

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-4-29 06:15 PM 編輯 ]

作者: natureling 時間: 2014-4-29 23:08

thepiano老師...我反應不是很快...不是很理解@@...感恩...

引用:

原帖由 thepiano 於 2014-4-28 06:19 AM 發表
第 6 題
a^2 + b^2 + c^2 = 7d^2
由 mod 8 可知四數均為偶數
左右兩邊同除以 4，改寫成 p^2 + q^2 + r^2 = 7s^2
如此不段進行，最後必最少有一數先變成奇數，不合
證畢 ...

作者: idontnow90 時間: 2014-5-1 10:06

想請教填充第5題.謝謝~

作者: David 時間: 2014-5-1 12:11

填充第五題, 我算的答案和二樓的大大不同, 貼出來想和各位請教一下, 是哪裏有問題??

所求為$g(\frac{1}{2})$. 將$x=\frac{1}{2}$代入二式, 得
$$f(\frac{1}{2})=\frac{3}{2}+\int_0^2g(\frac{1}{2})dx=\frac{3}{2}+2g(\frac{1}{2})$$
$$g(\frac{1}{2})=-2+\int_0^1f(\frac{1}{2})dx=-2+f(\frac{1}{2})$$
解聯立, 得
$$g(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}$$.

謝謝.

[ 本帖最後由 David 於 2014-5-1 02:04 PM 編輯 ]

作者: David 時間: 2014-5-1 17:43

想請教計算第四題, 不曉得有沒有老師可以提示(或明示)一下, 謝謝.

作者: thepiano 時間: 2014-5-1 19:42

計算第 4 題
xy + yz + zx = [(x + y + z)^2 - (x^2 + y^2 + z^2)]/2 = -3

xyz = [(x^3 + y^3 + z^3) - (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)]/3 = -8

(xy)^2 + (yz)^2 + (zx)^2 = (xy + yz + zx)^2 - 2xyz(x + y + z) = 41

(xy)^3 + (yz)^3 + (zx)^3 - 3(xyz)^2 = (xy + yz + zx)[(xy)^2 + (yz)^2 + (zx)^2 - xyz(x + y + z)]
(xy)^3 + (yz)^3 + (zx)^3 = (-3)(41 + 16) + 3 * 64 = 21

(x^3 + 1)(y^3 + 1)(z^3 + 1)
= (xyz)^3 + (xy)^3 + (yz)^3 + (zx)^3 + x^3 + y^3 + z^3 + 1
= (-8)^3 + 21 + 2 + 1
= -488

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-5-1 07:50 PM 編輯 ]

作者: David 時間: 2014-5-1 19:49

引用:

原帖由 thepiano 於 2014-5-1 07:42 PM 發表
計算第 4 題
xy + yz + zx = [(x + y + z)^2 - (x^2 + y^2 + z^2)]/2 = -3

xyz = [(x^3 + y^3 + z^3) - (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)]/3 = -8

(xy)^2 + (yz)^2 + (zx)^2 = (xy + yz + zx)^2 - 2xy ...

感謝感謝!

另外, 可以再說一下計算第三題嗎? 之前有老師說跟wallis formula有關, 但google了半天, 還是沒有一點頭緒??? 謝謝.

作者: thepiano 時間: 2014-5-1 20:46

計算第 3 題
a_n = [1 * 3 * 5 * ... * (2n - 1)]/[2 * 4 * 6 * ... * (2n)] ＞ [1 * 2 * 4 * ... * (2n - 2)]/[2 * 4 * 6 * ... * (2n)] = 1/(2n)
Σ[1/(2n)] (n = 1 ~ ∞) 發散，故 Σ(a_n) (n = 1 ~ ∞) 也發散

作者: idontnow90 時間: 2014-5-1 20:47

想請教計算1..謝謝

作者: Ellipse 時間: 2014-5-1 20:56

引用:

原帖由 idontnow90 於 2014-5-1 08:47 PM 發表
想請教計算1..謝謝

常考題,提示柯西不等式~
(b^2+c^2+d^2+e^2+f^2)*(1^2+1^2+1^2+1^2+1^2)>=(b+c+d+e+f)^2
(20-a^2)*5>=(10-a)^2
解a範圍~

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-1 08:59 PM 編輯 ]

作者: shingjay176 時間: 2014-5-1 21:12

引用:

原帖由 thepiano 於 2014-5-1 08:46 PM 發表
計算第 3 題
a_n = [1 * 3 * 5 * ... * (2n - 1)]/[2 * 4 * 6 * ... * (2n)] ＞ [1 * 2 * 4 * ... * (2n - 2)]/[2 * 4 * 6 * ... * (2n)] = 1/(2n)
Σ[1/(2n)] (n = 1 ~ ∞) 發散，故 Σ(a_n) (n = 1 ~ ∞) 也發散 ...

藉由打字輸入公式，順便理解一下鋼琴老師的證明想法。
$\begin{array}{l}
{a_n} = \frac{{1 \times 3 \times 5 \times  \cdots  \times \left( {2n - 1} \right)}}{{2 \times 4 \times 6 \times  \cdots  \times 2n}} > \frac{{1 \times 2 \times 4 \times  \cdots  \times \left( {2n - 2} \right)}}{{2 \times 4 \times 6 \times  \cdots  \times 2n}} = \frac{1}{{2n}}\\
\\
\;\;\;\sum\limits_{n = 1}^\infty  {{a_n}}  > \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1}{{2n}}}
\end{array}$

$\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1}{{2n}}} $ ~~~發散(這個要證明嗎?)我記得這個是調和級數勒
所以 $\;\sum\limits_{n = 1}^\infty  {{a_n}} $也是發散

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-1 09:14 PM 編輯 ]

作者: Ellipse 時間: 2014-5-1 21:15

引用:

原帖由 shingjay176 於 2014-5-1 09:12 PM 發表

藉由打字輸入公式，順便理解一下鋼琴老師的證明想法。
\(\begin{array}{l}
{a_n} = \frac{{1 \times 3 \times 5 \times \cdots \times \left( {2n - 1} \right)}}{{2 \times 4 \times 6 \times \cdots \times 2 ...

後面用"積分測試法"證 (Integral test)

作者: tsusy 時間: 2014-5-1 21:19 標題: 回復 16# shiauy 的帖子

計算 5. 令 $ g(x)=\frac{f(x)}{f(x+\frac{1}{2})} $，則 $ g(x+\frac{1}{2})=\frac{f(x+\frac{1}{2})}{f(x+1)}=\frac{f(x+\frac{1}{2})}{f(x)} $，由算幾不等式可得 $ \frac{g(x)+g(x+\frac{1}{2})}{2}\geq1 $。

$ \int_{0}^{1}g(x)dx=\frac{\int_{0}^{1}g(x)dx+\int_{0}^{1}g(x+\frac{1}{2})dx}{2}=\int_{0}^{1}\frac{g(x)+g(x+\frac{1}{2})}{2}dx\geq1 $。

作者: shingjay176 時間: 2014-5-1 21:23

引用:

原帖由 Ellipse 於 2014-5-1 09:15 PM 發表

後面用"積分測試法"證 (Integral test)

可以直接當作先備知識，就帶過去嗎?不知道會不會被扣分。
\[\int_1^\infty {\frac{1}{x}} dx = \ln \infty - \ln 1\]

作者: Ellipse 時間: 2014-5-1 21:36

引用:

原帖由 shingjay176 於 2014-5-1 09:23 PM 發表

可以直接當作先備知識，就帶過去嗎?不知道會不會被扣分。
\[\int_1^\infty {\frac{1}{x}} dx = \ln \infty - \ln 1\]

應該還是要證一下~
Σ {x=1 to ∞ } 1/x
跟Σ {x=1 to ∞ } 1/x²
也很像阿,但後面收斂到π²/6

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-1 09:37 PM 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2014-5-1 21:52

計算第 6 題
奇數^2 ≡ 1 (mod 8)
偶數^2 ≡ 0 or 4 (mod 8)

(1) a、b、c 是三奇數
a^2 + b^2 + c^2 ≡ 3 (mod 8)
7d^2 ≡ 7 or 0 or 4 (mod 8)
a^2 + b^2 + c^2 ≠ 7d^2

(2) a、b、c 是二奇數一偶數
a^2 + b^2 + c^2 ≡ 2 or 6 (mod 8)
7d^2 ≡ 7 or 0 or 4 (mod 8)
a^2 + b^2 + c^2 ≠ 7d^2

(3) a、b、c 是一奇數二偶數
a^2 + b^2 + c^2 ≡ 1 or 5 (mod 8)
7d^2 ≡ 7 or 0 or 4 (mod 8)
a^2 + b^2 + c^2 ≠ 7d^2

(4) a、b、c 是三偶數
此時 d 須為偶數，a^2 + b^2 + c^2 = 7d^2 才可能成立

令 a^2 + b^2 + c^2 = (2p)^2 + (2q)^2 + (2r)^2 = 4(p^2 + q^2 + r^2)
7d^2 = 7(2s)^2 = 28s^2

p^2 + q^2 + r^2 = 7s^2
若 p、q、r 仍是三偶數，則再依上列步驟進行，如此繼續不斷，一定會產生 (1) or (2) or (3) 三種情形之一

故不存在不為 0 的整數 a、b、c、d 讓 a^2 + b^2 + c^2 - 7d^2 = 0

作者: David 時間: 2014-5-1 21:58 標題: 回復 32# thepiano 的帖子

謝謝!

作者: shingjay176 時間: 2014-5-1 22:31

引用:

原帖由 Ellipse 於 2014-5-1 09:36 PM 發表

應該還是要證一下~
Σ {x=1 to ∞ } 1/x
跟Σ {x=1 to ∞ } 1/x²
也很像阿,但後面收斂到π²/6

\[\begin{array}{l}
\sum\limits_{k = 1}^\infty  {\frac{1}{k} = 1 + \left( {\frac{1}{2}} \right)}  + \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{4}} \right) + \left( {\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}} \right) + \frac{1}{9} +  \cdots \\
\;\;\;\;\;\;\;\;\; \ge 1 + \left( {\frac{1}{2}} \right) + \left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} \right) + \left( {\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}} \right)\; + \frac{1}{{16}}\; +  \cdots \\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = 1 + \frac{1}{2}\; + \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{2}\; + \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{2}\; + \frac{1}{2}\; +  \cdots \\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \;1 + \frac{1}{2}\; \times \infty  = \infty \;\;
\end{array}\]

作者: idontnow90 時間: 2014-5-1 22:35

想請教動點P那題...為什麼區域長這樣??要如何思考呢?感謝

作者: idontnow90 時間: 2014-5-1 22:39 標題: 回復 34# Ellipse 的帖子

謝謝Ellipse老師~

作者: shingjay176 時間: 2014-5-1 22:53

引用:

原帖由 idontnow90 於 2014-5-1 10:35 PM 發表
想請教動點P那題...為什麼區域長這樣??要如何思考呢?感謝

計算題第五題怪怪的喔，$p$點應該是在正方形ABCD的內部。

以邊長1為半徑。四個頂點為圓心。分別畫出四個圓來觀察

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-1 11:07 PM 編輯 ]

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作者: linteacher 時間: 2014-5-2 00:51

計算第七題
證明:
積分(1/2 -->1) [f(x)/f(x+1/2)]dx
=積分(1/2 -->1) [f(x)/f(x-1/2)]dx
(令t=x-1/2)
=積分( 0 -->1/2) [f(t+1/2)/f(t)]dt
=積分( 0 -->1/2) [f(x+1/2)/f(x)]dx
因此
積分(0 -->1) [f(x)/f(x+1/2)]dx
=積分(0 -->1/2) [f(x)/f(x+1/2)]dx + 積分(1/2 -->1) [f(x)/f(x+1/2)]dx
=積分(0 -->1/2) [f(x)/f(x+1/2)]dx + 積分( 0 -->1/2) [f(x+1/2)/f(x)]dx
=積分(0 -->1/2) [f(x)/f(x+1/2)+f(x+1/2)/f(x)]dx
由算幾不等式
>=積分(0 -->1/2) [2]dx
=1，得證。

作者: linteacher 時間: 2014-5-2 01:21

計算第八題:

證明在正整數的定義域以及對應域之下，f(x)必為x。
證明:
反覆運用規則 f [ f(x)+f(y) ] = x+y
f(x+y+z+u)
=f { f [(f(x)+f(y)] + f [(f(z)+f(u)] }
=f(x)+f(y)+f(z)+f(u)
因此
f(4)=f(1+1+1+1)=f(1)+f(1)+f(1)+f(1)=4×f(1) .......第一式
f(4+a+b)=f(3+1+a+b)=f(3)+f(1)+f(a)+f(b)  又  f(4+a+b)=f(2+2+a+b)=f(2)+f(2)+f(a)+f(b)
對照得 f(3)+f(1)=2×f(2) .......第二式
f(5+a+b)=f(3+2+a+b)=f(3)+f(2)+f(a)+f(b)  又  f(5+a+b)=f(4+1+a+b)=f(4)+f(1)+f(a)+f(b)=4×f(1)+f(1)+f(a)+f(b) (由第一式)
對照得 f(3)+f(2)=5×f(1)  .......第三式
由二、三兩式得 f(2)=2×f(1)，f(3)=3×f(1)，
由數學歸納法可證得 f(n)=n×f(1) 對所有正整數n皆成立。 ......結論1
令 f(1)=t，
將x=1，y=1 代入f [ f(x)+f(y) ] = x+y 之中，
得f [ f(1)+f(1) ] = 1+1 ， f(2t)=2，
又由結論1，f(2t)=2t×f(1)=2t^2，
因此2t^2=2，得t^2=1，t=1。
故f(n)=n 對所有正整數n皆成立。

[ 本帖最後由 linteacher 於 2014-5-2 01:28 AM 編輯 ]

作者: shingjay176 時間: 2014-5-10 11:04 標題: 回復 15# thepiano 的帖子

鋼琴老師，你的這個想法，我也有想到。靠著化簡過後，置換到題目要求的式子。在用三角函數的二倍角公式。我剛剛在腦力激盪，想了另外一個方法。從圖形下手。
最近都在忙著做教師甄選題目。就直接照相貼圖檔上來了。

我剛剛才看到橢圓老師已經貼過圖解的解法了。

$ \displaystyle \frac{z-5}{z}=\frac{3}{2}(cos84^o+isin84^o) $
∴$ |\; z-5 |\;=|\; z |\;=3:2 $
由此可知紅色線為角平分線
因$ |\; z-5 |\;=|\; z |\;=|\; (z-5)-(z-2) |\; : |\; (z-2)-z |\;=3:2 $
∴$ \displaystyle \frac{z-2}{z} $的主幅角$ \displaystyle \theta_1=\frac{84^o}{2}=42^o $

[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-5-10 12:31 PM 編輯 ]

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作者: tsusy 時間: 2014-5-10 11:11 標題: 回復 48# shingjay176 的帖子

第二題，這題的設計和100桃園高中相同。

100桃園高中：設 $ z $ 為複數，若 $ \frac{z-3}{z}=2(\cos80^{\circ}+i\sin80^{\circ}) $，則複數 $ \frac{z-1}{z} $ 之主輻角為 __________。

作者: shingjay176 時間: 2014-5-10 11:45

引用:

原帖由 thepiano 於 2014-4-29 11:20 AM 發表
填充 3
這題的類似題，去年竹北高中代理就考過了

此題相當於把 1~12 這 12 個自然數不重複填入一個二列六行(共 12 格)的表格中
且同一列中，右比左大；同一行中，上比下大，問有幾種填法？

轉化成一個 6 * 6 的表格，A 在左下角，B ...

thepiano 老師，你這個想法很棒。沒有做過的人，一定不可能馬上在考場想到這個方法。
技巧性太高了。所以考古題一定要熟練。

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-10 12:01 PM 編輯 ]

作者: shingjay176 時間: 2014-5-10 12:36 標題: 回復 50# shingjay176 的帖子

剛剛做這份考題，看到填充題第四題，有種好熟悉的感覺。
原來是前年考上教師甄選那年，隨身筆記本，把不會的題目都寫下來。
我印象中這題目是出自於舊版的高中數學101。
紅筆那個部分，就是我覺得這個題目的思考關鍵。
紅色那個部分為何最關鍵，$f(k - 1) \le f(k)\;,\;f(k) \ge f(k + 1)$，只要你寫出幾組組合數，
例如 1,2,1 1,3,3,1 1,4,6,4,1....你就會發現當中間附近那個會最大

例：投擲一粒公正骰子50次，1點出現次數為r次的機率為$ P_r $，當$ P_r $為最大值，則其r之值為？
$ \displaystyle P_r=C_{r}^{50}(\; \frac{1}{6} )\;^6 (\; \frac{5}{6} )\;^{50-r}=\frac{C_r^{50}5^{50-r}}{6^{50}} $
只需求$ f(r)=C_r^{50}5^{50-r} $的最大值即可。

①$ f(r+1)\le f(r) $
⇒$ \displaystyle C_{r+1}^{50}5^{49-r}\le C_r^{50}5^{50-r} $

⇒$ \displaystyle \frac{50!}{(r+1)!(49-r)!}5^{49-r} \le \frac{50!}{r!(50-r)!}5^{50-r} $

⇒$ \displaystyle \frac{1}{r+1} \le \frac{5}{50-r} $⇒$ r \ge 7點多 $

②另外$ f(r-1) \le f(r) $
⇒$ \displaystyle C_{r-1}^{50}5^{51-r} \le C_r^{50}5^{50-r} $

⇒$ \displaystyle \frac{50!}{(r-1)!(51-r)!}5^{51-r} \le \frac{50!}{r!(50-r!)}5^{50-r} $

⇒$ \displaystyle \frac{5}{51-r} \le \frac{1}{r} $⇒$ 5r \le 51-r $⇒$ r \le 8點多 $

故$ r=8 $有最大值

作者: shingjay176 時間: 2014-5-10 16:18

填充題第五題
28樓和2樓的答案怎麼不一樣?
誰對?

............................
剛剛我自己解了一次，二樓答案對~~
一起來偵錯，看看28樓哪裡發生錯誤

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-10 04:35 PM 編輯 ]

作者: shingjay176 時間: 2014-5-10 16:43

引用:

原帖由 David 於 2014-5-1 12:11 PM 發表
填充第五題, 我算的答案和二樓的大大不同, 貼出來想和各位請教一下, 是哪裏有問題??

所求為$g(\frac{1}{2})$. 將$x=\frac{1}{2}$代入二式, 得
$$f(\frac{1}{2})=\frac{3}{2}+\int_0^2g(\frac{1}{2})dx=\frac{3} ...

我覺得問題出在$f(x) = x + 1 + \int_0^2 {g(x)dx} $,→$f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + 1 + \int_0^2 {g(\frac{1}{2})dx} $

$\frac{1}{2}$不可以這樣直接帶入。$\int_0^2 {g(x)dx} $ 積分完之後是一個定值，這是一個定積分。

原本被積分函數是$g(x)$，那樣帶入變成對常數 $g(\frac{1}{2})$積分。
希望這回答，對你有幫助。

5.
令$ \int_{0}^{1}f(x)dx=a $，$ \int_{0}^{2}g(x)dx=b $
$ \displaystyle \cases{\int_0^1f(x)dx=\int_0^1(x+1)dx+\int_0^1 b dx⇒a=\frac{1}{2}+1+b \cr
\int_0^2 g(x)dx=\int_0^2 (2x-3)dx+\int_0^2 a dx⇒b=4-6+2a} $
$ \displaystyle a=\frac{1}{2} $，$ b=-1 $
$ \displaystyle g(x)=2x-3+\frac{1}{2}=2x-\frac{5}{2} $
所求$ \displaystyle g(\frac{1}{2})=2(\; \frac{1}{2} )\;-\frac{5}{2}=\frac{-3}{2} $

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-11 09:35 AM 編輯 ]

作者: Ellipse 時間: 2014-5-10 18:08

例：投擲一粒公正骰子50次，1點出現次數為r次的機率為Pr，當Pr為最大值，則其r之值為？

給個公式: (請網友自行證明)
(a+b)^n ,一般項為C(n,r)*(a)^(n-r) * b^r---------(*)
令t=a/b , m=[ (n+1) / (t+1)] (下高斯)
(i)當 (n+1) / (t+1) 為"非整數" , r=m 使得(*)有最大值
(ii)當 (n+1) / (t+1) 為"整數" , r=m 與r=m-1使得(*)有最大值

例: (5/6 +1/6)^50
n=50 ,a=5/6 ,b=1/6 ,t=5
m=[(n+1)/(t+1)] = [51/6] =8
r=8 使得(*)有最大值

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-10 06:22 PM 編輯 ]

作者: shingjay176 時間: 2014-5-10 18:50 標題: 回復 10# Ellipse 的帖子

Ellipse 老師
針對填充題第六題，我本來想看看有沒有其他解法。
結論投降
沒有更好的方法。這個題目設定就是要從幾何圖形出發，我剛剛想用代數，三角函數，複數，想辦法圖形架在座標平面上，給定座標。未必好解。因為我要假設出很多變數。這個題目的$AC=BC+BI$等於是設計好的。接受記住這個輔助線的做法。我會再來說服自己，為何要這樣做。

基本上我還是使用輔助線的方法，我換個脈絡來思考。以下是我的想法，供大家參考
想法
從內心可以推出那個角度和是78度
想辦法找出這兩個角度關係。內心條件已經用了。剩下就是AC=BC+BI
看看可以證明出三角形全等，或是相似嗎?這樣角度之間就有個連結。
為了這個目的，才搭起做(BC延長線)輔助線的想法。為了到達河的對岸。這樣你會記憶比較牢靠
我不喜歡上課，天外飛來一筆，告訴學生做輔助線。很突兀的起頭...

①
I是內心，所以$ ∠ABI=∠CBI=\alpha $。
　　　　　　$ ∠BAI=∠CAI=\theta $。
$ 2 \theta+2 \theta+24^o=180^o $⇒$ \theta+\alpha=78^o $
②
作$ \overline{BK}=\overline{BI} $
$ \overline{BI}+\overline{BC}=\overline{AC} $⇒$ \overline{BK}+\overline{BC}=\overline{AC} $⇒$ \overline{KC}=\overline{AC} $
$ ΔAIC=ΔKIC $
∴$ ∠IKB=∠CAI=\theta $
$ ΔIBK $為等腰三角形∴$ \alpha=2\theta $
③
$ \theta+\alpha=\theta+2\theta=3\theta=78^o $⇒$ \theta=26^o $
∴$ ∠BAC=52^o $

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-11 09:40 AM 編輯 ]

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作者: shingjay176 時間: 2014-5-11 11:06 標題: 回復 40# thepiano 的帖子

這題目我看到時候，考古題有考過，就是用同餘理論去證明。
如果考場上沒有直接想出來是用 $mod 8$，用$mod 4$可以證明出來嗎??

作者: thepiano 時間: 2014-5-11 11:43

引用:

原帖由 shingjay176 於 2014-5-11 11:06 AM 發表
用$mod 4$可以證明出來嗎??

a、b、c 是三奇數
a^2 + b^2 + c^2 ≡ 3 (mod 4)
7d^2 ≡ 0 or 3 (mod 4)
在這裡就會卡住 ...

作者: shingjay176 時間: 2014-5-11 11:47 標題: 回復 57# thepiano 的帖子

謝謝。一卡住趕緊換$mod 8$證明

作者: shingjay176 時間: 2014-5-11 13:53 標題: 回復 30# thepiano 的帖子

\[{a^3} + {b^3} + {c^3} = {\left( {a + b + c} \right)^3} - 3\left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) + 3abc\]
針對計算題第四題，就是要使用乘法公式來解。如果善用乘法公式，這個題目可以解得很快。
上面這個乘法公式。前年考上教師甄選那年，這個公式有特別去記，但久沒用。還是忘記了。
剛剛在做計算題第四題。。擔心考場公式忘記。自己換個方式思考，推導了一次
$\begin{array}{l}
{\left( {a + b + c} \right)^3} = 1{\left( {a + b} \right)^3} + 3{\left( {a + b} \right)^2}c + 3\left( {a + b} \right){c^2} + {c^3}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {c^3} + 3{a^2}c + 6abc + 3{b^2}c + 3a{c^2} + 3b{c^2} + {c^3}
\end{array}$
下面這步就是關鍵整合了
$\begin{array}{l}
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) + 6abc + 3\left\{ {{a^2}\left( {b + c} \right) + {b^2}\left( {c + a} \right) + {c^2}\left( {a + b} \right)} \right\}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) + 6abc + 3\left\{ {{a^2}\left( {b + c + a - a} \right) + {b^2}\left( {c + a + b - b} \right) + {c^2}\left( {a + b + c - c} \right)} \right\}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) + 6abc + 3\left\{ {{a^2}\left( {a + b + c} \right) + {b^2}\left( {a + b + c} \right) + {c^2}\left( {a + b + c} \right) - \left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)} \right\}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) + 6abc + 3\left\{ {\left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) - \left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)} \right\}
\end{array}$
剩下就是分別把題目給的條件給帶入，找出其他需要的條件
這樣在考場，不會因為沒有記公式，題目白白放掉了

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-11 02:00 PM 編輯 ]

作者: hua0127 時間: 2014-5-11 17:06 標題: 回復 59# shingjay176 的帖子

興傑兄，這個公式小弟以前也有背過，但每年都會忘冏
我自己是用另一個我比較熟悉的公式去推：

${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}-3abc=\left( a+b+c \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-\left( ab+bc+ca \right) \right)$
$\Rightarrow {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=\left( a+b+c \right)\left( {{\left( a+b+c \right)}^{2}}-3\left( ab+bc+ca \right) \right)+3abc$
$\Rightarrow {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}={{\left( a+b+c \right)}^{3}}-3\left( a+b+c \right)\left( ab+bc+ca \right)+3abc$

這樣會比較好推嗎?還是不會XD

作者: hua0127 時間: 2014-5-11 17:43 標題: 回復 54# Ellipse 的帖子

我記得的公式是：(推導方式如之前興傑兄所提到

若 $X\sim B\left( n,p \right)$, 假設最高點產生在$x=k$的位置，則
\[\left( n+1 \right)p-1\le k\le \left( n+1 \right)p\]
,故當 $\left( n+1 \right)p$為整數時，最高點有兩個產生在$k=\left( n+1 \right)p-1$ 以及 $k=\left( n+1 \right)p$

跟橢圓老師的公式有異曲同工之妙

作者: tsusy 時間: 2014-5-12 09:02 標題: 回復 62# shingjay176 的帖子

$ f(x+1) = f(x) \Rightarrow g(x+1) = g(x) $

所以 $ g(x) $ 也是週期函數且 1 為其週期，故 $ \int_0^1 g(x) dx = \int_0^1 g(x+\frac12) dx $

作者: shingjay176 時間: 2014-5-12 09:20 標題: 回復 62# tsusy 的帖子

感謝寸絲的解答。。
我知道下面紅色箭頭部分的解釋了。

圖片附件: received_m_mid_1399854769376_fc24765643604a9b39_0.jpeg (2014-5-12 09:20, 76.02 KB) / 該附件被下載次數 5180
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2247&k=db6e5f848a6c54d8862ba67d06223171&t=1714141103

作者: shingjay176 時間: 2014-5-12 19:54

引用:

原帖由 tsusy 於 2014-4-28 10:02 AM 發表
計算 8.
1. 題意中，並無任何地方指出 $ f(x) $ 是一個多項式。

2. 題幹不完整，缺少函數 $ f $ 的定義域及對應域，且敘述有瑕疵

個人傾向解讀為：$ f(f(x)+f(y)) = x+y $, for all $ x, y \in \mathbb{N} $。

...

寸絲
請問一下喔，關於十八樓，松山高中計算題第八題做法。
應該就是設法找出函數$f$的長相，這中間可能包含了週期性，因為之前做過類似的題目，用週期性去倒推算$f(2014)$
所以這個題目，也盡可能去找出函數$f$的規則，這個題目是$f:N \to N$
所以你一開始推測最小正整數 $N=1$，$f(1)=k$，$k$是正整數。這部分可以理解。
之後就開始循環帶入，依照題目給定的規則。就會發現你寫出的結論。

如此重覆(或數學歸納法)可得 $ f(p)=pk $ 且 $ f(qk)=q $, for $ p=1,4,7,10,\ldots $ 和 $ q=2,5,8,\ldots $。

接下來如我紅色框框的部分，這部分在做甚麼？如何思考?
思考更妙的是，怎麼會想到引進同餘的理論。

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-12 07:56 PM 編輯 ]

圖片附件: 圖片1.jpg (2014-5-12 19:54, 217.96 KB) / 該附件被下載次數 5109
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作者: tsusy 時間: 2014-5-12 21:04 標題: 回復 64# shingjay176 的帖子

那邊只是一些不重要繁鎖的細節，重點在一開始，到底想做什麼？

解出 $ k $，如何解 $ k $，一開始很有規律的發現 $ f(1) = k, f(4) = 4k, f(7) =7k, \ldots $

是不是可以利用那些關係式，使用不同順序組合，再組合出一次，像是 $ f(31) $ 的值

這麼一來對於 $ f(31) $ 我們就有兩個值必須相等，而解出 $ k $。

整個主要的想法就只有上面，剩下來對當時的我來說，就是 Try and Error

Try 幾次之後，發現不順，我就乾脆更狠心一點，不要一次代兩個數進關係式，一次帶無限多個數

原本的是 $ p,p $ 型代入得 $ qk $ 型的結果，$ qk,qk $ 型代入得 $ p $ 型結果，

所以接下來我就只剩一條路 $ p,qk $ 型代入，而得到 $ pk+q $ 型的值，如此重覆下去，相信一定會出現某些型的數列會有交集，也就是說紅框處，只是這種任意代的其中一種代法而已。

但實際上代到 $ f(pk+q) = p +qk $ 的結果，就可以解方程式了

一個整數被寫成 $ pk + q $ 的型式是不唯一的，由兩種以上不同的表示式，就可以確定 $ k $ 的值。

$ f((p+3)k+q) = f( pk + (q+3k)) $ 便可解出 $ k = \pm 1 $

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-22 02:03 PM 編輯 ]

作者: shingjay176 時間: 2014-5-12 21:15 標題: 回復 65# tsusy 的帖子

寸絲老師，謝謝囉。
我來好好仔細消化理解你的整個絲路過程。
寸絲老師思考路線的過程~~絲路

作者: Ellipse 時間: 2014-5-18 19:07

引用:

原帖由 thepiano 於 2014-5-1 07:42 PM 發表
計算第 4 題
xy + yz + zx = [(x + y + z)^2 - (x^2 + y^2 + z^2)]/2 = -3

xyz = [(x^3 + y^3 + z^3) - (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)]/3 = -8

(xy)^2 + (yz)^2 + (zx)^2 = (xy + yz + zx)^2 - 2xy ...

另解:前面仿鋼琴兄做法先算出xy+yz+zx=-3, xyz=-8
設x,y,z為f(t)=t^3-2t^2-3t+8=0的三解
所以x^3+1=2x^2+3x-7 ,y^3+1=2y^2+3y-7 , z^3+1=2z^2+3z-7
又2t^2+3t-7=0其解為p=(-3+√65)/4 ,q=(-3-√65)/4
所求=(2x^2+3x-7)(2y^2+3y-7)(2z^2+3z-7)=8(x-p)(y-p)(z-p)(x-q)(y-q)(z-q)------------(*)
又f(p)=(p-x)(p-y)(p-z)=23p/4 -17/4 ; f(q)=(q-x)(q-y)(q-z)=23q/4 -17/4 (由綜合除法得) 代入(*)
所求=8*(-61)=-488 (後面-61的化簡可用平方差效果)

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-18 07:12 PM 編輯 ]

作者: kyrandia 時間: 2014-8-26 14:42 標題: 計算第2

之前有老師說
計算第二
log(sin1*sin2*....*sin89)) 在數學101 裡面有
我都找不到....懇求頁數為何....感恩

順便再請問計算第5 這一題是不是p點應該在ABCD的內部才對.....

計算第八之前有老師解出來真的非常漂亮...有很多地方真的是神來之筆
但是我有一個疑問...如果f(x)=x的話那為什麼題目要限制自變數和應變數都為自然數
最大必要條件應該不是限制在任何實數....甚至是任何複數....在這個條件下不影響答案....
當然題目要給哪些條件是看出題老師...但是以往各位老師在出題目時不是都會思考這一點嗎....
而之前老師的解法把自變數和應變數都為自然數的這個條件發揮的淋淋盡致
小弟的認知是那位老師的解法是唯一解法...但是前提必須為自然數
所以題目才給自然數.....才疏學淺....請各位老師指正......

作者: tsusy 時間: 2014-8-26 15:31 標題: 回復 68# kyrandia 的帖子

計算 2. 你打錯題目了，松山高中這題，只有奇數的度是

是求 $ \log_2 ( \sin1^\circ \sin3^\circ \sin5^\circ \cdots \sin 89^\circ ) $

在新高中數學101(修訂版) 42.三角(九) 和角公式與倍角公式 p147 例題 4

至於不小心打錯的題目，也有類似題 46 複數之方根與幾何意義 p161 例題 3

而計算 8. 定義域、對應域的問題在 #18 處，我的回文第 2 點，有討論到，在定義域和對應域都是實數系的情況下，滿足該條件的函數會不唯一，使得 $ f(2014) $ 的值有不只一種可能(實際上是無限多種可能)

作者: kyrandia 時間: 2014-8-26 19:05

感謝寸絲老師的回覆，原來是在修訂版，看來得再去找這一本書
另外計算第一題我的做法如下，但是跟老師的答案有出入，請老師指正
做橢圓，令焦點為a,b 過b做焦弦交橢圓於c,d
分別做過c,d兩點的切線為m,n
再分別以m,n為對稱軸做a的對稱點e,f
由光線性質可知e,c,d,f共線
再令三角形acd的內心為i,則不難發現三角形idc和三角形afe相似
我的想法是這樣，因為三角形acd的周長固定，所以要面積最大等同於內切圓半徑越大，
也就是需i點到線段cd的距離越大越好
又因為三角形idc相似於三角形afe,所以等同於a點到線段ef的距離越大越好(屬於連續型變化)
因此可知當cd為正焦弦時即為所求
不好意思，手機發文在加上不會上傳附加檔案，希望各位看的懂感恩

作者: tsusy 時間: 2014-8-26 19:39 標題: 回復 70# kyrandia 的帖子

我手邊並沒有舊版，不知道舊本有沒有。因此除了頁碼外，也附上了單元名稱

作者: tsusy 時間: 2014-8-26 20:08 標題: 回復 70# kyrandia 的帖子

引用:

原帖由 kyrandia 於 2014-8-26 07:05 PM 發表
...
又因為三角形idc相似於三角形afe,所以等同於a點到線段ef的距離越大越好(屬於連續型變化)
因此可知當cd為正焦弦時即為所求
不好意思，手機發文在加上不會上傳附加檔案，希望各位看的懂感恩

到相似形為止的論證都沒什麼問題，但兩三角形的比例不是常數，

所以 a 到 ef 有最大值時， i 到 cd 不一定是最大值！！

作者: kyrandia 時間: 2014-8-26 20:34

感謝我想通了.....

作者: thepiano 時間: 2014-8-26 20:54

引用:

原帖由 kyrandia 於 2014-8-26 07:05 PM 發表
原來是在修訂版，看來得再去找這一本書

舊版的這題在 P146

作者: kyrandia 時間: 2014-8-27 09:29 標題: 70樓的帖子是103年桃園高中的計算題

如標題....發完之後才發現發錯...不好意思....

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