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標題: 102北門高中 [打印本頁]

作者: sam 時間: 2013-7-20 20:54 標題: 102北門高中

如題！
不好意思，初次發文，請幫忙調整檔案格式！(內含國文試題，請見諒)

註：weiye 於 102.07.20 08:59PM 已處理附件（拿掉國文科試題，僅留數學科試題）。

113.5.25補充
4.
計算級數：\(\displaystyle \frac{2}{1^3}+\frac{6}{1^3+2^3}+\frac{12}{1^3+2^3+3^3}+\ldots+\frac{n(n+1)}{1^3+2^3+\ldots+n^3}\)到第35項之值為　　　。
我的教甄準備之路　裂項相消，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678

10.
已知\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=4\)、\(\overline{BC}=6\)且\(\angle A=2\angle C\)，則\(\Delta ABC\)的面積為　　　。
相關問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1078

13.
金字塔模型，底面是邊長為2的正方形，四個側面是邊常為3的等腰三角形，求相鄰兩側面夾角的餘弦值為　　　。

14.
正四面體的四頂點落在兩歪斜線\(L_1\)：\(\cases{x=4+t\cr y=-3-t\cr z=0}\)，\(t\in R\)與\(L_2\)：\(\cases{x=2+s\cr y=2+s\cr z=1}\)，\(s\in R\)上，試求此正四面體的稜長為　　　。

20.
設\(A=\left[\matrix{4&2\cr -3&-1}\right]\)，求\(A^{10}=\)　　　。
我的教甄準備之路　矩陣\(n\)次方，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid14875

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作者: Herstein 時間: 2013-7-21 01:46

請教第11題，謝謝!

作者: weiye 時間: 2013-7-21 10:48 標題: 回復 2# Herstein 的帖子

填充第 11 題：
坐標平面上，若\(\displaystyle \vec{AB}-\vec{PA}=\frac{4}{3}\vec{AC}\)且\(\Delta PBC\)面積為8，則\(\Delta ABC\)面積為　　　。
[解答]
\(\displaystyle \vec{AB}-\vec{PA}=\frac{4}{3}\vec{AC}\)

\(\displaystyle \Rightarrow\left(\vec{PB}-\vec{PA}\right)-\vec{PA}=\frac{4}{3}\left(\vec{PC}-\vec{PA}\right)\)

\(\Rightarrow 2\vec{PA}-3\vec{PB}+4\vec{PC}=\vec{0}\)

可知 \(P\) 在 \(\triangle ABC\) 外部， \(B,P\) 分別在直線 \(\overleftrightarrow{AC}\) 的兩側，

且 \(\triangle PBC\mbox{面積}:\triangle PAC\mbox{面積}:\triangle PAB\mbox{面積}=2:3:4\)

因為 \(\triangle PBC\mbox{面積}=8\) ，所以 \(\triangle PAC\mbox{面積}=12, \triangle PAB\mbox{面積}=16\)

\(\triangle ABC\mbox{面積}=\triangle PBC\mbox{面積}+\triangle PAB\mbox{面積}-\triangle PAC\mbox{面積}=8+16-12=12.\)

作者: weiye 時間: 2013-7-21 15:30

填充第 15 題：
已知坐標平面上兩點\(P(7,1)\)與\(Q(19,6)\)都在拋物線上，且拋物線的準線為\(y=k\)，求\(k\)值範圍為　　　。
[解答]
令 \(A(7,1), B(19,6)\) ，則 \(\overline{AB}=13\)

令 \(A\) 到準線 \(y=k\) 的距離為 \(r_1=\left|1-k\right|\)

　 \(B\) 到準線 \(y=k\) 的距離為 \(r_2=\left|6-k\right|\)

因為 \(y=k\) 為拋物線的準線且 \(A,B\) 為拋物線上的點

可知 \(A,B\) 在 \(y=k\) 直線的同側，即 \(1-k\) 與 \(6-k\) 同正負號。

當 \(r_1+r_2\geq \overline{AB}\) 時，則可得拋物線的焦點坐標，反之亦然。

case i: \(1-k>0\) 且 \(6-k>0\) ，則 \(\left(1-k\right)+\left(6-k\right)\geq 13\Rightarrow k\leq -3\)

case ii: \(1-k<0\) 且 \(6-k<0\) ，則 \(\left(k-1\right)+\left(k-6\right)\geq 13\Rightarrow k\geq 10\)

故，\(k\leq-3\) 或 \(k\geq10\) 時，若且唯若通過 \(A,B\) 且準線為 \(y=k\) 的拋物線會存在。

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圖片附件: qq2.png (2013-7-21 15:42, 18.24 KB) / 該附件被下載次數 9415
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作者: arend 時間: 2013-7-22 17:59

請教第8與12題
另外第18,我算的答案是-1<a<1
我算了兩次還是...

謝謝

作者: thepiano 時間: 2013-7-22 20:44

第 18 題
若 a = 0，P 就在 f(x) 的圖形上了，不合題意
官方的答案沒錯

作者: arend 時間: 2013-7-22 21:51

引用:

原帖由 thepiano 於 2013-7-22 08:44 PM 發表
第 18 題
若 a = 0，P 就在 f(x) 的圖形上了，不合題意
官方的答案沒錯

謝謝鋼琴老師
我自己忘了改一負號

作者: mcgrady0628 時間: 2013-7-27 19:42

第六題中位數是110??

作者: mcgrady0628 時間: 2013-7-27 19:54 標題: 回復 3# weiye 的帖子

老師請問一下您說的
可知 P 在 ABC 外部， BP 分別在直線 AC 的兩側，
是因為正負號嗎?

且 PBC面積: PAC面積: PAB面積=2:3:4
怎得知的??

謝謝

作者: martinofncku 時間: 2013-7-27 19:55 標題: 回復 8# mcgrady0628 的帖子

要找中位數, 好像要把數據從小到大排列。

作者: mcgrady0628 時間: 2013-7-27 23:34 標題: 回復 10# martinofncku 的帖子

哈哈!!真粗心!!感恩

作者: weiye 時間: 2013-7-29 00:20 標題: 回復 9# mcgrady0628 的帖子

令 \(\vec{PA'}=2\vec{PA}, \vec{PB'}=-3\vec{PB}, \vec{PC'}=4\vec{PC}\)

則 \(\vec{PA'}+\vec{PB'}+\vec{PC'}=\vec{0}\)

可知 \(P\) 是 \(\triangle A'B'C'\) 的重心，

\(\triangle PB'C'\mbox{面積}=\triangle PA'C'\mbox{面積}=\triangle PA'B'\mbox{面積}\)

\(\Rightarrow \left|-3\right|\cdot4\triangle PBC\mbox{面積}=2\cdot4\triangle PAC\mbox{面積}=2\cdot\left|-3\right|\triangle PAC\mbox{面積}\)

\(\Rightarrow \triangle PBC\mbox{面積}: \triangle PAC\mbox{面積}:\triangle PAB\mbox{面積}=2:\left|-3\right|:4\)

作者: ilikemath 時間: 2013-7-29 13:30

想請教第9題
謝謝

作者: Pacers31 時間: 2013-7-29 15:25 標題: 回復 13# ilikemath 的帖子

9.
兩組二維數據\((u_i,v_i)\)與\((x_i,y_i)\)，變量\(U\)與\(X\)、\(V\)與\(Y\)分別有線性關係如下：\(u_i=-x_i+7\)、\(\displaystyle v_i=\frac{1}{2}y_i+2\)，已知\(V\)對\(U\)的迴歸直線通過點\((8,3)\)且\(\mu_x=4\)、\(\mu_y=6\)則\(Y\)對\(X\)的迴歸直線方程式為\(y=\)　　　。
[解答]
\(v\) 對 \(u\)的迴歸直線通過(8, 3) \(\rightarrow\) 設\(v=a(u-8)+3\)

由題目說的線性關係得\(\displaystyle\frac{1}{2}y+2=a(-x+7-8)+3\)

\(\rightarrow\) \(y=-2a(x+1)+2\)

又此直線必過\((\mu_x, \mu_y)=(4, 6)\) 〈題目出得不好，沒講清楚這兩個分別是\(x,y\)的平均〉

解得\(\displaystyle a=\frac{-2}{5}\) \(\rightarrow\) \(\displaystyle y=\frac{4}{5}(x+1)+2\)

作者: Sandy 時間: 2013-9-13 10:51 標題: 回復 1# sam 的帖子

請問第一題
能用根與係數算出一些關係
但不曉得如何用在10的次方上

作者: weiye 時間: 2013-9-13 11:25 標題: 回復 15# Sandy 的帖子

填充第 1 題：
設\(x^2+2x log5+log\frac{5}{2}=0\)的二根為\(\alpha\)、\(\beta\)則\(10^{\alpha}+10^{\beta}=\)　　　。
[解答]
\(\displaystyle x^2+2x\log5+\log\frac{5}{2}=0\)

\(\displaystyle \Rightarrow x^2+2x\log5+\log\frac{25}{10}=0\)

\(\displaystyle \Rightarrow x^2+2x\log5+\left(2\log5-1\right)=0\)

\(\displaystyle \Rightarrow \left(x+2\log5-1\right)\left(x+1\right)=0\)

\(\displaystyle \Rightarrow x=1-2\log5\) 或 \(x=-1\)

\(\displaystyle \Rightarrow x=\log\frac{10}{5^2}=\log\frac{2}{5}\) 或 \(\displaystyle x=\log\frac{1}{10}\)

\(\displaystyle \Rightarrow 10^\alpha+10^\beta=10^{\log2/5}+10^{\log1/10}=\frac{2}{5}+\frac{1}{10}=\frac{1}{2}.\)

作者: raint 時間: 2013-9-18 15:47

想請教各位先進11題和20題的解答過程，謝謝。

作者: tsusy 時間: 2013-9-18 18:22 標題: 回復 17# raint 的帖子

11. #3 weiye 老師已解

20. 特徵值、對角化，或參考 99清水高中 Fermat 老師

作者: raint 時間: 2013-9-29 18:29

感謝#18T大的回答，

結果發現是我看錯了，可以在請問第一大題的第12題嗎??謝謝

作者: weiye 時間: 2013-10-3 10:27 標題: 回復 19# raint 的帖子

填充題第 12 題：
在坐標平面上的\(\Delta ABC\)中，\(O\)為外心、\(H\)為垂心，若\(\angle A=60^{\circ}\)、\(\angle B=75^{\circ}\)、\(\overline{AB}=4\sqrt{2}\)，求\(|\;\vec{OH}|\;=\)　　　。
[解答]
由正弦定理，求得 \(\overline{AC}=2\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right), \overline{BC}=4\sqrt{3}\)，\(\triangle ABC\) 的外接圓半徑 \(R=4\)

利用 \(\overline{OH}^2=9R^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

　　　（證明我放在 https://math.pro/db/thread-36-1-1.html ）

可得 \(\overline{OH}^2=9R^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

　　　\(=9\times16-\left[\left(4\sqrt{2}\right)^2+\left(4\sqrt{3}\right)^2+\left(2\sqrt{6}+2\sqrt{2}\right)^2\right]\)

　　　\(=32-16\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow \left|\vec{OH}\right|=2\sqrt{8-4\sqrt{3}}=2\sqrt{8-2\sqrt{12}}=2\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\)

作者: tsusy 時間: 2013-10-3 16:35 標題: 回復 20# weiye 的帖子

填12.
在坐標平面上的\(\Delta ABC\)中，\(O\)為外心、\(H\)為垂心，若\(\angle A=60^{\circ}\)、\(\angle B=75^{\circ}\)、\(\overline{AB}=4\sqrt{2}\)，求\(|\;\vec{OH}|\;=\)　　　。
[解答]
我不知道有如此妙的公式，所以請容許我暴力解一下

注意 \( \angle AOB=90^{\circ} \)，因此 \( \triangle AOB \) 是等腰直角三角形，\( \overline{AB}=4\sqrt{2}
\Rightarrow R=4 \)。

架坐標，設 \(O, A, B, C \) 之坐標分別為 \( (0,0), (4,0), (0,4), (-2\sqrt{3},-2) \)。

則其中兩條垂線之方程式為 \( x-y=2-2\sqrt{3} \)、\( \sqrt{3}x+3y=4\sqrt{3} \)。

解聯立得 \( x=4-2\sqrt{3}, y=2 \)。

所以 \( \overline{OH}^{2}=(4-2\sqrt{3})^{2}+2^{2}=32-16\sqrt{3} \)。

開方得 \( \overline{OH}=2\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)=2(\sqrt{6}-\sqrt{2}) \)。

作者: Ellipse 時間: 2013-10-3 18:17 標題: 回復 21# tsusy 的帖子

其實可以不用算H坐標,借一下您一開始的假設
設 O,A,B,C 之坐標分別為 (0,0),(4,0),(0,4),(−2*3^0.5,−2)

設G為三角形ABC重心,則G坐標為( (4-2*3^0.5)/3 ,2/3)
因為O,G,H為歐拉線, 所以OH=3*OG=2(6^0.5-2^0.5)

作者: tsusy 時間: 2013-10-3 19:35 標題: 回復 22# Ellipse 的帖子

是，我也剛剛想到，但是我忘了 \( \vec{OH} = 3\vec{OG} \)

作者: apom 時間: 2014-6-14 18:29

想請教第18題

我設切點(t,t^3-t)
令切線斜率m=3t^2-1
所以切線為y-t^3+t=(3t^2-1)(x-t) 過P(a,0)
得到2t^3-3at^2+a=0

接著應該是要找t有三個相異實根
請老師們給點想法，謝謝!

作者: Home 時間: 2014-6-14 20:11 標題: 回復 24# apom 的帖子

18.
已知函數圖形\(\Gamma\)；\(f(x)=x^3-x\)，而點\(P(a,0)\)是圖形外一點，若過\(P\)恰可作相異三條\(\Gamma\)的切線，則\(a\)的範圍為　　　。
[解答]
接著因為t有三相異實根，與X軸有三交點，兩極值應該分別在X軸異側
故微分找出極值點
f '(t) = 6t^2-6at=0 => 6t(t-a) =0 => t=0 or a
代入f(0) f(a) <0
=> a(2a^3-3a^3+a )<0
=> -a^2(a^2-1)<0
a>1 or a <-1

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