標題: [3D 建模軟體]　SketchUp [打印本頁]

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作者: weiye    時間: 2007-1-8 22:51     標題: [3D 建模軟體]　SketchUp

1. SketchUp 的官方網頁：h ttps://www.sketchup.com　(連結已失效)


2. SketchUp 3D 模型庫：https://3dwarehouse.sketchup.com/?hl=zh-TW


3. SketchUp 影音教學課程　h ttps://www.sketchup.com/zh-TW/learn/training　(連結已失效)



4. SketchUp與高中數學教學（台北縣立錦和高中　陳禾凱）

　h ttp://learn.jhsh.tpc.edu.tw/~jojoba26/SketchUp/document/sketchup7.doc（Word 檔）　(連結已失效)


※　希望有一天教到到空間坐標時，可以用 SketchUp 來當作教學工具！

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作者: 荷荷葩    時間: 2011-5-4 10:04     標題: 關於 Google SketchUP

現今公認最好的高中數學3D繪圖軟體, 應是Cabri 3D
但因價錢太貴(剛出來時 8000元, 現已降價為5500元) , 沒辦法要求每位學生都買來研究
我轉而尋找替代用品 GooGle SketchUP ,這是免費的 (另外也有付費的 GooGle SketchUP Pro , 這可要不少錢)
雖說其主要功能是用來設計, 畫建築物, 室內設計.......等
不過用來畫數學上的3D 物件也不錯,
我寫了幾篇有關  Google SketchUP的文章, 並把繪圖過程錄下來上傳到youTube
各位可上本校的數學科網站參觀 :
h ttp://web.jhsh.ntpc.edu.tw/web/smath/default.asp連結已失效

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作者: bugmens    時間: 2011-5-23 21:16

sketchup只提供非常基本的功能，其他進階的功能就要靠網友寫plug-in來擴充
為了能產生單葉雙曲面，我先在直線上取了14個點，以該點到y軸為半徑畫出14個大小不一的圓
再利用Curviloft 1.1a將14個圓所經過的曲面建立出來
http://forums.sketchucation.com/ ... amp;t=28586#p248195



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作者: bugmens    時間: 2011-6-9 19:24

原問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1094&page=1#pid3383

這個作品前前後後大概花了我一個月的時間，在製作的過程也發現一些問題
1.只有基本的動畫功能
SketchUp的動畫只能設定每個場景再去切換，但SketchUp沒有時間軸的功能，無法設定每個場景停留的秒數，比較不重要的過場部份無法快轉，有計算式的場景也無法延長，後來只好轉成.gif檔來設定停留秒數。

2.文字標籤不會隨著場景變化而移動
在GeoGebra可以設定文字要跟隨哪一點，這樣當點坐標變化時，該文字也會隨著移動，這在數學動畫是非常重要的功能。
但在SketchUp的文字標籤卻是靜止的，為了要移動文字我將SketchUp輸出成幾十張bmp檔案，然後用PhotoImpact一張一張將文字加上去，而且要去記錄每個文字在每張圖的位置，否則做出來的動畫文字看起來會抖動。

第一個動畫由64張圖所組成，第二個動畫由39張圖所組成，就可以知道要花多少時間在文字上。
而且可以觀察第一個動畫左上角的P'有抖動的情況，那就是我一開始沒去紀錄文字位置的關係。





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作者: bugmens    時間: 2011-6-12 11:11

原問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1118&page=2#pid3471

其實GeoGebra是2D的軟體，要產生3D的球面只能靠模擬的方式，要用幾十個點和四邊形才能湊出一個球面，結果球面都是不必要的框線而且看起來也不美觀，而且無法複製出更多的球面。
而SketchUp就方便多了，畫好一個圓之後很容易就能複製出另一個球面，而且還可以設定半透明，讓裡面的線也能顯露出來。



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作者: Ellipse    時間: 2011-6-12 18:36     標題: 回復 4# bugmens 的帖子

辛苦了!看到您的付出讓我覺得很感動!
想當年我也用Mathematica軟體做動畫,花了半年到一年的時間...

現在很多軟體製作數學動畫都很方便
千萬不要自己關起房門來自行研究
可以大家一起討論,可以節省一些時間
對了,Geogebra不是也有出3d beta版?
用那個來做不知如何?

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作者: bugmens    時間: 2011-6-14 22:44

連結已失效h ttp://www.geogebra.org/forum/viewtopic.php?f=52&t=19846
之前有試用過但覺得還有改善空間，操作時也覺得卡卡的，等作者推出正式版再測試看看

其實我現在的問題不在於軟體而是在於題材。像教甄考過的題目就比較適合用數學軟體呈現
因為版上有很多老師都是要考教甄的，作品若能淺顯易懂的點出其中解題的關鍵就是好作品
像100中正高中計算證明題第4題找出圓錐上拋物線的焦點就是很好的題材
做成數學動畫讓人可以了解要怎麼找到焦點，至於要用哪個軟體就看網友的選擇

當然版上有許多的範例後才能吸引更多人一起來使用SketchUp，這也是我目前努力的方向

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作者: bugmens    時間: 2011-12-2 21:13

SketchUp雖然簡單易用，但使用上還是有小小的不便
我將球面設定為元件後，但為了要移到我想要的位置
必須要沿著三個座標軸各移動三次才能到位，不能直接設定球心位置來移動
這次只有四顆球所以還好，下次題目改為裝入20顆或35顆球可就頭大了



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作者: bugmens    時間: 2012-1-15 17:09

這個問題花了我很多時間在找圓錐的正確比例上。
一開始我以為圓錐的側面平面圖會和三個圓相切，結果轉一下球面的一部份就跑出圓錐外。
陸陸續續我還試著用不同的比例做調整，但有時平面圖看起來是正確的，但一旋轉就破功了。
最後我嘗試著將四個球面和圓錐內切的連線畫出來，連起來我才發現這是個大正四面體。
剛好和四個球面的球心所形成的小正面體相似，這時轉成平面圖就能找到相似三角形進而找到答案。

我深深覺得這次SketchUp幫了很大的忙，縮放工具可以讓我隨意調整圓錐大小來猜測可能的答案，
而旋轉工具能快速的印證猜測是否正確，最後再輔以數學計算出正確的答案，這是傳統紙筆計算難以做到的。



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作者: 荷荷葩    時間: 2012-1-19 12:51     標題: YouTube 上的

最近錄了兩個繪圖過程,
1. http://youtu.be/If279Js0nuM 階梯圖

2.http://youtu.be/cqRo9N3a_EcWolfram Logo的繪製
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作者: bugmens    時間: 2012-2-20 19:58

問題出處https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1291&page=1#pid4821

SketchUp只能設定不同的場景來改變鏡頭的位置，但這次我需要的是物件的移動，可惜這個功能只能靠Plug-in來達成。
Keyframe Animation for SketchUp
http://regularpolygon.org/keyframe-animation/
雖然只能試用10天，但也足夠完成這個作品了

我當初就看範例影片就了解該如何使用，簡單講就是設定好幾個場景，每個場景都去紀錄物件的位置，只要有物件的位置不一樣，當你切換場景時就會移動了。
http://regularpolygon.org/keyframe-animation/tutorials.php
http://regularpolygon.org/keyframe-animation/user-guide.php

只是要輸出成影片時就發生問題了，按下工具列的Make Tweens另外產生tweens.skp檔，開啟檔案後發現會產生更多的場景，每個場景都是物件移動後的位置。
但是原本設定隱藏的物件都顯現出來，變成自己要再重新設定隱藏，希望這個問題在新版的時候能修正。



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作者: bugmens    時間: 2012-4-9 17:43

原問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=567&page=1#pid5066

這次實作時又遇到問題了，當我要將BCFE沿著\( \overline{EF} \)折成90度時
SketchUp的旋轉工具只能讓我沿著x,y,z軸旋轉，就是不能以\( \overline{EF} \)當轉軸
這個問題我卡好久才解決，解決方式如下
1.將BCFE移動4m和2m，讓M回到原點
2.用旋轉工具，先點M為旋轉中心，再選B點旋轉到x軸上
　右下角會顯示旋轉的角度大約為26.6度
3.從功能表選取"鏡頭/標準檢視/正視圖"
4.以M為旋轉中心，將BCFE旋轉90度
5.再從功能表選取"鏡頭/標準檢視/俯視圖"
6.以M為旋轉中心，將BCFE旋轉26.6度
7.BCFE再移動4m和2m，讓BCFE回到原來位置

但每隔10度就要一個BCFE，所以以上的步驟我就重複了9次
雖然SketchUp號稱簡單容易上手，但進階的操作就會比較麻煩

101.5.15補充
感謝荷荷葩網友所提供的youtube教學，又學到一招了，感謝



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作者: bugmens    時間: 2012-4-27 23:24


A new home for SketchUp
http://sketchupdate.blogspot.com ... e-for-sketchup.html

Google已經將SketchUp賣給一家叫做Trimble的公司
新公司網址h ttp://ww2.trimble.com/3d/
https://www.sketchup.com/

當初會學SketchUp就是看上操作簡單且具備動畫的功能，雖然有些進階的功能還是要靠plug-in才能完成
整體來說SketchUp還是我最喜歡使用的3D軟體，但將來SketchUp還會不會有免費版就很難說了

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作者: 荷荷葩    時間: 2012-5-13 09:24     標題: 看這個YouTube 影片, 就知如何畫了!

http://youtu.be/wosyNA5xvj0

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作者: bugmens    時間: 2013-2-9 10:11

原問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1268&page=1#pid7516

我先畫一個半徑為1中心在原點的小球，想說大球和第八個球就用比例工具將小球放大就不需要再重畫一次。
只是實際操作時發現，將小球放大1.5倍並將球中心移動到(0,0,1.5)的位置後，再將場景切換到正視圖後發現球與球之間有縫隙，我只好將放大的倍數調整為1.51倍，看起來才有相切的樣子。



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作者: bugmens    時間: 2013-4-13 23:51

原問題https://math.pro/db/thread-1569-1-1.html

SketchUp只是3D繪圖軟體，它不會幫你找各個球心位置應該在哪裡，所以這部份要自己動手算。
兩大球面的球心位置\( \displaystyle (0,0,\frac{12 \sqrt{7}}{7}) \)，\( (0,\frac{\sqrt{21}}{7},0) \)
兩小球面的球心位置\( \displaystyle (2,-\frac{6 \sqrt{21}}{7},0) \)，\( (-2,-\frac{6 \sqrt{21}}{7},0) \)
第五個球面的球心位置\( \displaystyle (0,-\frac{9 \sqrt{21}}{77},\frac{30 \sqrt{7}}{77}) \)



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作者: bugmens    時間: 2013-5-4 22:05

原問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1588&page=1#pid8031



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作者: bugmens    時間: 2013-5-25 14:48

原問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1618&page=1#pid8244

這次解題需要積分才算得出來，但要怎麼用SketchUp表現出積分的概念讓我想了很久。
最後我想到用SketchUp的"截平面"工具來做成動畫，將每一個截平面的面積加起來就是體積，而這就是積分的概念。

截平面工具的使用步驟
1.從"工具/截平面"新增一個截平面，調整截平面位置將全部的模型都"顯現"出來。
2.從"視窗/場景"將目前的場景新增為"場景號1"。
3.從"工具/截平面"再新增另一個截平面，調整截平面位置將全部的模型都"隱藏"起來。
4.將目前場景新增為"場景號2"。
5.切換不同場景就可以看到動畫了。
6.從"檢視/截平面"可以將截平面隱藏起來。



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作者: bugmens    時間: 2013-7-25 22:36

原問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1710&page=1#pid9038

靜態的圖其實看不太出來此平行六面體的形狀，原本我想設定平行六面體原地旋轉360度來動態展示
但我設定好幾次還是無法達到我想要的效果，只好抓了一張靜態圖附上各個頂點的坐標
或者開啟SketchUp自行旋轉來觀察形狀



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作者: bugmens    時間: 2013-8-21 16:22

原問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1729&page=1#pid9130



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作者: bugmens    時間: 2013-10-1 12:20

原問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1268&page=1#pid9288



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作者: bugmens    時間: 2013-12-12 23:30

原問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1268&page=1#pid7304



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作者: bugmens    時間: 2014-4-20 20:36

原問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1853&page=2#pid9912



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作者: bugmens    時間: 2014-4-26 21:00

原問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1868&page=1#pid10019



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作者: bugmens    時間: 2014-4-30 08:30

原問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1872&page=1#pid10131



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作者: bugmens    時間: 2014-9-12 20:17

原問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=960&page=1#pid2178



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作者: bugmens    時間: 2015-5-12 15:03

原問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1268&page=1#pid13303



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作者: bugmens    時間: 2016-3-6 04:57

原問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2154&page=3#pid14888



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105.6.10補充
完成一件SketchUp作品需要以下幾個步驟
1.選題
評估該數學題目是否適合用SketchUp呈現，該採用靜態圖還是動態圖呢？

2.手畫分鏡圖


3.SketchUp畫圖


4.輸出bmp圖


5.bmp圖檔加上文字

文字A,B移動時的座標


6.製成GIF

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作者: bugmens    時間: 2016-12-24 10:31

原問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=924&page=1#pid1968


▲球面三角垛
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▲功能表 視窗/元件選項可以調整每個邊球的個數


▲在SketchUp Pro版才能在功能表 視窗/元件屬性看到運作的機制

各屬性的公式如下
Copies=三角垛!Size*(三角垛!Size+1)*(三角垛!Size+2)/6-1
Discriminant=sqrt(9*(copy+1)*(copy+1)-1/27)
PositionZ=floor(-1+power(3*(copy+1)+Discriminant,0.33333)+power(3*(copy+1)-Discriminant,0.33333))
Remainder=copy-PositionZ*(PositionZ+1)*(PositionZ+2)/6
PositionX=floor((-1+sqrt(8*Remainder+1))/2)
PositionY=Remainder-PositionX*(PositionX+1)/2
X=(sqrt(3)*PositionX-2/sqrt(3)*PositionZ-1)*100
Y=(2*PositionY-PositionX-1)*100
Z=(2/3*sqrt(6)*(-1+三角垛!Size-PositionZ))*100


簡述背後的數學原理
1.要複製幾個球
Copies=三角垛!Size*(三角垛!Size+1)*(三角垛!Size+2)/6-1
每個球編號以SketchUp內建變數copy表示，編號從0到Copies。

三角垛個數公式為\( \displaystyle 1+3+6+10+\ldots+\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6} \)
https://zh.wikipedia.org/wiki/� ... 9.E8.A7.92.E5.9E.9B


2.編號第copy號的球在第幾層
Discriminant=sqrt(9*(copy+1)*(copy+1)-1/27)
PositionZ=floor(-1+power(3*(copy+1)+Discriminant,0.33333)+power(3*(copy+1)-Discriminant,0.33333))

從三角垛最上面的球編號下來
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　21
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　11　　　　　　　　22　23
　　　　　　　　　　　５　　　　　　12　13　　　　　　24　25　26
　　　　　２　　　　６　７　　　　14　15　16　　　　27　28　29　30
　１　　３　４　　８　９　10　　17　18　19　20　　31　32　33　34　35
第1層　　第2層　　　第3層　　　　　　第4層　　　　　　　　第5層
編號從1到35個球，但SketchUp內建變數copy從0開始數，所以copy要+1才是對應的編號。

一元三次方程式\( \displaystyle \frac{Z(Z+1)(Z+2)}{6}=copy+1 \)
化簡後得到\( Z^3+3Z+2Z-6(copy+1)=0 \)
利用一元三次方程式的公式解\( ax^3+bx^2+cx+d=0 \)
判別式\( D=\sqrt{\displaystyle \left( \frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a} \right)^2+\left( \frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2} \right)^3} \)
\( \displaystyle x=-\frac{b}{3a}+\root 3 \of{\displaystyle \frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a}+D}+\root 3 \of{\displaystyle \frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a}-D} \)
https://zh.wikipedia.org/wiki/� ... B.E8.A7.A3.E6.B3.95
各項係數\( a=1 \)，\( b=3 \)，\( c=2 \)，\( d=-6(copy+1) \)
判別式\( D=\sqrt{\displaystyle 9(copy+1)^2-\frac{1}{27} } \)
\( Z=-1+\root 3 \of {3(copy+1)+D}+\root 3 \of {3(copy+1)-D} \)
\( PositionZ=\left[ Z \right] \)再取高斯函數得到整數

要注意的是PositionZ還要+1才是所在的層數
例如：copy=15，編號第16號球，計算得到PositionZ=3，但球在第4層


3.餘數多少
Remainder=copy-PositionZ*(PositionZ+1)*(PositionZ+2)/6
例如：copy=15，編號第16號球，PositionZ=3，計算得到Remainder=5(從0開始數)，在第6個位置


4.在第幾排的第幾個
PositionX=floor((-1+sqrt(8*Remainder+1))/2)
PositionY=Remainder-PositionX*(PositionX+1)/2

一元二次方程式\( \displaystyle \frac{Z(Z+1)}{2}=Remainder \)
化簡後得到\( Z^2+Z-2Remainder=0 \)
\( \displaystyle Z=\frac{-1+\sqrt{8Remainder+1}}{2} \)
\( PositionX=\left[ Z \right] \)再取高斯函數得到整數

例如：copy=15，編號第16號球，Remainder=5，計算得到PositionX=2(從0開始數)，在第3排
\( \displaystyle PositionY=Remainder-\frac{PositionX(PositionX+1)}{2}=2 \)(從0開始數)，左邊數過來第3個


5.轉換成球心坐標
X=(sqrt(3)*PositionX-2/sqrt(3)*PositionZ-1)*100
Y=(2*PositionY-PositionX-1)*100
Z=(2/3*sqrt(6)*(-1+三角垛!Size-PositionZ))*100

參考\(n=4\)各層球心坐標，就可以知道球心坐標公式
https://math.pro/db/attachment.p ... 97&t=1482545551


補充資料
SketchUp動態元件教學
http://help.sketchup.com/en/article/3000118

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作者: bugmens    時間: 2017-2-26 08:28

原問題http://math.pro/db/viewthread.php?tid=924&page=3#pid2969

其中物件移動用到plug-in，但Keyframe Animation 2.0版只適用SketchUp 2014之後的版本，而我仍在用SketchUp 8，故使用Keyframe Animation 1.3完成作品。
Keyframe Animation for SketchUp
http://regularpolygon.org/keyframe-animation/



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作者: bugmens    時間: 2017-8-10 17:59

原問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=741&page=1#pid1294



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作者: bugmens    時間: 2018-4-6 07:36

原問題https://math.pro/db/thread-2927-1-1.html



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作者: bugmens    時間: 2018-6-17 22:38

原問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2943&page=2#pid18354


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原問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2943&page=2#pid18355


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作者: bugmens    時間: 2018-9-23 17:02

原問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2927&page=1#pid19058



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作者: bugmens    時間: 2019-6-8 20:41

原問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3132&page=1#pid19867



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作者: bugmens    時間: 2021-2-16 22:17

原問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1003&page=2#pid14609

邊長13,14,15的三角形相關計算如下
設\(\Delta ABC\)各頂點坐標為\(\displaystyle A(0,0),B(15,0),C(\frac{33}{5},\frac{56}{5})\)
\(\Delta ABC\)的內切圓圓心\(I(7,4)\)，切\(\overline{AB}\)於\(F(7,0)\)，切\(\overline{BC}\)於\(\displaystyle D(\frac{51}{5},\frac{32}{5})\)，切\(\overline{CA}\)於\(\displaystyle E(\frac{231}{65},\frac{392}{65})\)

因為SketchUp的圓只是用正24邊形代替，當你在SketchUp操作以\(A\)點為圓心，半徑13畫圓和以\(B\)點為圓心，半徑14畫圓，設兩圓的交點為\(C\)，但測量線段長度得\(\overline{AC}=12.97,\overline{BC}=13.39\)，\(\Delta ABC\)形狀已經有誤差，直接計算\(C\)點坐標。
解聯立方程式\(\cases{x^2+y^2=13^2 \cr (x-15)^2+y^2=14^2}\)，得到\(\displaystyle C(\frac{33}{5},\frac{56}{5})\)

SketchUp也沒有畫角平分線工具，直接計算\(\Delta ABC\)內心坐標。

\(\displaystyle \vec{OI}=\frac{a}{a+b+c}\vec{OA}+\frac{b}{a+b+c}\vec{OB}+\frac{c}{a+b+c}\vec{OC}\)
　　\(\displaystyle =\frac{14}{13+14+15}(0,0)+\frac{13}{13+14+15}(15,0)+\frac{15}{13+14+15}(\frac{33}{5},\frac{56}{5})\)
　　\(=(7,4)\)
得到內心坐標\(I(7,4)\)

以SketchUp所畫出的內切圓和三角形三邊的交點也會有誤差，直接計算交點坐標
\(\overline{BC}\)直線方程式為\(\displaystyle y-0=\frac{0-11.2}{15-6.6}(x-15)\)，\(4x+3y=60\)
\(\overline{ID}\)直線方程式為\(\displaystyle y-4=\frac{3}{4}(x-7)\)，\(3x-4y=5\)
解聯立方程式\(\cases{4x+3y=60 \cr 3x-4y=5}\)，交點\(\displaystyle D(\frac{51}{5},\frac{32}{5})\)

\(\overline{AC}\)直線方程式為\(\displaystyle y-0=\frac{11.2-0}{6.6-0}(x-0)\)，\(56x-33y=0\)
\(\overline{IE}\)直線方程式為\(\displaystyle y-4=-\frac{33}{56}(x-7)\)，\(33x+56y=455\)
解聯立方程式\(\cases{56x-33y=0 \cr 33x+56y=455}\)，交點\(\displaystyle E(\frac{231}{65},\frac{392}{65})\)

內切圓和\(\overline{AB}\)交點為\(F(7,0)\)



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作者: bugmens    時間: 2021-3-5 23:59

原問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3490&page=1#pid22082

使用maxima計算結果如下
設半徑4的球心\(A(0,0,0)\)，半徑9的球心\(B(13,0,0)\)，半徑16的球心\(\displaystyle C\left(-\frac{28}{13},\frac{48\sqrt{29}}{13},0\right)\)
外公切平面方程式為\(30\sqrt{29}x+271y\pm 13\sqrt{455}z+312\sqrt{29}=0\)
和半徑4的球相切於\(\displaystyle A' \left(-\frac{20}{13},-\frac{542}{39\sqrt{29}},-\frac{2\sqrt{455}}{3\sqrt{29}}\right)\)
和半徑9的球相切於\(\displaystyle B' \left(\frac{124}{13},-\frac{813}{26\sqrt{29}},-\frac{3\sqrt{455}}{2\sqrt{29}}\right)\)
和半徑16的球相切於\(\displaystyle C' \left(-\frac{108}{13},\frac{2008}{39\sqrt{29}},-\frac{8\sqrt{455}}{3\sqrt{29}}\right)\)

有前一次的經驗後就直接計算各點位置
設半徑4的球心\(A(0,0,0)\)，半徑9的球心\(B(13,0,0)\)，半徑16的球心\(C(x,y,0)\)
\(\cases{\overline{BC}=25\cr \overline{CA}=20}\)，\(\cases{(x-13)^2+(y-0)^2=25^2 \cr (x-0)^2+(y-0)^2=20^2}\)，
\(\displaystyle x=-\frac{28}{13},y=\frac{48\sqrt{29}}{13}\)，得到\(\displaystyle C\left(-\frac{28}{13},\frac{48\sqrt{29}}{13},0\right)\)

設\(P(x,y,0)\)為兩個外公切平面方程式交線上一點
球心\(A(0,0,0)\)半徑4的球面和平面相切於\(A'\)點，\(\Rightarrow \overline{AA'}=4\)，\(∠PA'A=90^{\circ}\)
球心\(B(13,0,0)\)半徑9的球面和平面相切於\(B'\)點，\(\Rightarrow \overline{BB'}=9\)，\(∠PB'B=90^{\circ}\)
\(\Delta PAA'\)和\(\Delta PBB'\)為相似三角形(\(∠APA'=∠BPB'\)，\(∠PA'A=∠PB'B=90^{\circ}\))
\(\overline{PA}:\overline{PB}=\overline{AA'}:\overline{BB'}=4:9\)，\(\overline{PA}:\overline{AB}=4:5\)
由外分點公式可知\(\displaystyle P=\frac{9}{5}A-\frac{4}{5}B=\frac{9}{5}(0,0,0)-\frac{4}{5}(13,0,0)=(-\frac{52}{5},0,0)\)
得到\(\displaystyle P(-\frac{52}{5},0,0)\)

設\(Q(x,y,0)\)為兩個外公切平面方程式交線上一點
球心\(A(0,0,0)\)半徑4的球面和平面相切於\(A'\)點，\(\Rightarrow \overline{AA'}=4\)，\(∠PA'A=90^{\circ}\)
球心\(\displaystyle C\left(-\frac{28}{13},\frac{48\sqrt{29}}{13},0\right)\)半徑16的球面和平面相切於\(C'\)點，\(\Rightarrow \overline{CC'}=16\)，\(∠PC'C=90^{\circ}\)
\(\Delta PAA'\)和\(\Delta PCC'\)為相似三角形(\(∠APA'=∠CPC'\)，\(∠PA'A=∠PC'C=90^{\circ}\))
\(\overline{QA}:\overline{QC}=\overline{AA'}:\overline{CC'}=4:16\)，\(\overline{QA}:\overline{AC}=1:3\)
由外分點公式可知\(\displaystyle Q=\frac{4}{3}A-\frac{1}{3}C=\frac{4}{3}(0,0,0)-\frac{1}{3}C\left(-\frac{28}{13},\frac{48\sqrt{29}}{13},0\right)=\left(\frac{28}{39},-\frac{16\sqrt{29}}{13},0\right)\)
得到\(\displaystyle Q\left(\frac{28}{39},-\frac{16\sqrt{29}}{13},0\right)\)

從\(\displaystyle P\left(-\frac{52}{5},0,0\right)\)和\(\displaystyle Q\left(\frac{28}{39},-\frac{16\sqrt{29}}{13},0\right)\)求交線的對稱比例式
方向向量為\(\displaystyle \vec{PQ}=\left(\frac{2168}{195},-\frac{16\sqrt{29}}{13},0\right)\)
\(PQ\)直線的對稱比例式為\(\displaystyle \frac{x+\frac{52}{5}}{\frac{2168}{195}}=\frac{y-0}{-\frac{16\sqrt{29}}{13}}\)，\(z=0\)
化簡得到\(30\sqrt{29}x+271y+312\sqrt{29}=0\)，\(z=0\)

假設外公切平面方程式為\(30\sqrt{29}x+271y+312\sqrt{29}+kz=0\)，\(k\in R\)
球心\(A(0,0,0)\)到平面距離\(\displaystyle \frac{|\;0+0+0+312\sqrt{29}|\;}{\sqrt{(30\sqrt{29})^2+271^2+k^2}}=4\)，\(k=\pm 13\sqrt{455}\)
得到外公切平面方程式\(30\sqrt{29}x+271y\pm 13\sqrt{455}z+312\sqrt{29}=0\)

利用投影點公式求切點\(A',B',C'\)
投影點公式：
\(P(x_0,y_0,z_0)\)對平面\(ax+by+cz+d=0\)的投影點為\(P'(x_0-at,y_0-bt,z_0-ct)\)，其中\(\displaystyle t=\frac{ax_0+by_0+cz_0+d}{a^2+b^2+c^2}\)

計算\(A(0,0,0)\)的投影點\(A'\)
\(\displaystyle t=\frac{0+0+0+312\sqrt{29}}{(30\sqrt{29})^2+271^2+(13\sqrt{455})^2}=\frac{2}{39\sqrt{29}}\)
\(\displaystyle A'\left(0-30\sqrt{29}\cdot \frac{2}{39\sqrt{29}},0-271\cdot \frac{2}{39\sqrt{29}},0-13\sqrt{455}\cdot \frac{2}{39\sqrt{29}}\right)=
\left(-\frac{30}{13},-\frac{542}{39\sqrt{29}},-\frac{2\sqrt{455}}{3\sqrt{29}}\right)\)

計算\(B(13,0,0)\)的投影點\(B'\)
\(\displaystyle t=\frac{30\sqrt{29}\cdot 13+0+0+312\sqrt{29}}{(30\sqrt{29})^2+271^2+(13\sqrt{455})^2}=\frac{3}{26\sqrt{29}}\)
\(\displaystyle B'\left(13-30\sqrt{29}\cdot \frac{3}{26\sqrt{29}},0-271\cdot \frac{3}{26\sqrt{29}},0-13\sqrt{455}\cdot \frac{3}{26\sqrt{29}}\right)=
\left(\frac{124}{13},-\frac{813}{26\sqrt{29}},-\frac{3\sqrt{455}}{2\sqrt{29}}\right)\)

計算\(\displaystyle C\left(-\frac{28}{13},\frac{48\sqrt{29}}{13},0\right)\)的投影點\(C'\)
\(\displaystyle t=\frac{30\sqrt{29}\cdot (-\frac{28}{13})+271\cdot \frac{48\sqrt{29}}{13}+0+312\sqrt{29}}{(30\sqrt{29})^2+271^2+(13\sqrt{455})^2}=\frac{8}{39\sqrt{29}}\)
\(\displaystyle C'\left(-\frac{28}{13}-30\sqrt{29}\cdot \frac{8}{39\sqrt{29}},\frac{48\sqrt{29}}{13}-271\cdot \frac{8}{39\sqrt{29}},0-13\sqrt{455}\cdot \frac{8}{39\sqrt{29}}\right)=
\left(-\frac{108}{13},\frac{2008}{39\sqrt{29}},-\frac{8\sqrt{455}}{3\sqrt{29}}\right)\)


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作者: bugmens    時間: 2021-3-19 12:29

原問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3357&page=1#pid22282


原問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3369&page=1#pid22281


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作者: bugmens    時間: 2021-4-4 13:30

原問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1268&page=1#pid22338



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作者: bugmens    時間: 2021-5-4 23:05

原問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3515&page=1#pid22795



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作者: bugmens    時間: 2022-1-27 21:15

原問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2317&page=3#pid14966



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作者: bugmens    時間: 2023-1-5 19:25

原問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3500&page=2#pid22566



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作者: bugmens    時間: 2023-12-16 11:46

原問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3508&page=1#pid22993

Keyframe Animation 1.6只支援元件移動動畫功能，需安裝Keyframe Animation 2.5才有元件縮放大小動畫功能。
https://regular-polygon.com/keyframe-animation/download/



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作者: bugmens    時間: 2024-3-9 08:39

原問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3752&page=1#pid25174



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