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標題: 102 武陵高中 [打印本頁]

作者: shingjay176 時間: 2013-5-11 15:26 標題: 102 武陵高中

考了十三題計算證明題。。
剛考回來。。提供第一題(這一提到後來考場上有想到，等等把證明貼上來)
隨機變數X服從二項分配(n, p).. 試證明E(X)=np, var(X)=np(1-p)
Pk是投擲成功k次的機率

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2013-5-13 02:14 PM 編輯 ]

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作者: tsusy 時間: 2013-5-11 17:43 標題: 回復 1# shingjay176 的帖子

感謝提供試題。

隨機變數這題，可以用期望值的性質。即令 \( X_i \) i.i.d. 的白努力試驗，滿足 \( X_i = 0 \) 或 1，而且 \( P( X_i=1) =p \)

則 \( X_1+X_2+X_3+\ldots+X_n \) 和 \( X \) 有相同之分布，故期望值和變數異皆相相等。

而得 \( E(X) = np \), \( \mbox{Var}(X) = np(1-p) \)

三平面這題

令 \( \vec{n_i} = (a_i,b_i,c_i) \)。若 \( \Delta \neq 0 \) ，則方程式有唯一解，而得三平面交於一點，故 \( \Delta = 0 \)，所以 \( \vec{n_i} \)'s 線性相依。

不失一般性可假設 \( \vec{n_3} = \alpha \vec{n_1} + \beta \vec{n_2} \)

將第三式減法 ( 第一式乘法 \( \alpha \) 及第二式乘上 \( \beta \) ) 可得一新的方程組，記之為

\( \begin{cases}
a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z & =d_{1}\\
a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z & =d_{2}\\
0x+0y+0z & =\gamma
\end{cases} \)，其中 \( \gamma = d_3 - \alpha d_1 - \beta d_2 \)。

由三平面相交之情，得 \( \gamma \neq 0 \) 和 \( \vec{n_1} \times \vec{n_2} \neq \vec{0} \)
(感謝 casanova，指出筆誤，紅字部分已修正之)

注意這樣的消去(列運算，不改變各行列式之值。

故 \( \Delta_x, \Delta_y, \Delta_x = \gamma \vec{n_1} \times \vec{n_2} \neq \vec{0} \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-5-11 11:35 PM 編輯 ]

作者: kevin32303 時間: 2013-5-11 19:09 標題: 題目

抄在准考證上的，有些條件可能會遺漏

大家參考看看

附件: 102年武陵高中試題.rar (2013-5-11 19:09, 50.47 KB) / 該附件被下載次數 11894
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1679&k=e1adc7c2fa5791db62832c97aa62d52a&t=1732562278

作者: bugmens 時間: 2013-5-11 19:30

11.
\( |\; z_1 |\;=|\; z_2 |\;=3 \)，\( |\; z_1-z_2 |\;=3 \sqrt{3} \)，\( log_3 |\; (z_1 \bar{z_2})^{20}-(\bar{z_1} z_2)^{20} |\;= \)？

已知\( Z_1,Z_2 \)均為複數，若\( |\; Z_1 |\;=|\; Z_2 |\;=3 \)，\( |\; Z_1-Z_2 |\;=3 \sqrt{3} \)，則\( log_3 |\; (Z_1 \bar{Z_2})^{20}+(\bar{Z_1}Z_2)^{20} |\; \)之值為多少？
(2008TRML團體賽)

13.
\( x,y,z>0 \)，\( \displaystyle \cases{x^2+xy+\frac{y^2}{3}=17 \cr \frac{y^2}{3}+x^2=5 \cr z^2+xz+x^2=8} \)，求\( xy+2yz+3xz \)的值。
[提示]
\( \displaystyle x^2+\Bigg(\; \frac{y}{\sqrt{3}} \Bigg)\;^2-2x \Bigg(\; \frac{y}{\sqrt{3}} \Bigg)\; cos150^o=\sqrt{17}^2 \)

\( \displaystyle \Bigg(\; \frac{y}{\sqrt{3}} \Bigg)\;^2+z^2=\sqrt{5}^2 \)

\( \displaystyle z^2+x^2-2xzcos120^o=\sqrt{8}^2 \)

邊長\( \sqrt{17} \)、\( \sqrt{5} \)、\( \sqrt{8} \)的三角形會落在長為4寬為2的長方形中，三角形面積為3
\( \displaystyle \frac{1}{4 \sqrt{3}}\Bigg(\; xy+2yz+3xz \Bigg)\;=\frac{1}{2}x \times \frac{y}{\sqrt{3}}sin150^o+\frac{1}{2}z \times \frac{y}{\sqrt{3}} sin90^o+\frac{1}{2}xzsin120^o \)

正數x,y,z滿足方程組\( \displaystyle \Bigg\{\ \matrix{x^2+xy+\frac{y^2}{3}=25 \cr \frac{y^2}{3}+x^2=9 \cr z^2+xz+x^2=16} \)，求\( xy+2yz+3xz \)的值。
(高中數學競賽教程P261)
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1482&page=1#pid7654

112.4.25補充
已知\(x\)、\(y\)、\(z\)為三個實數且滿足\(\cases{x^2+y^2=18 \cr y^2+\sqrt{3}yz+z^2=13\cr x^2+xz+z^2=19}\)，則\(2xy+yz+\sqrt{3}xz=\)　　　。
(112師大附中，https://math.pro/db/thread-3735-1-1.html)

102.5.12補充
4.
三平面兩兩相交一直線，且三直線平行，證明\( \Delta=0 \)，\( \Delta_x,\Delta_y,\Delta_z \)至少有一個不為0

設\( E_1 \)：\( a_1 x+b_1 y+c_1 z=d_1 \)，\( E_2 \)：\( a_2 x+b_2 y+c_2 z=d_2 \)，\( E_3 \)：\( a_3 x+b_3 y+c_3 z=d_3 \)為空間中三平面，令
\( \Delta=\Bigg\vert\; \matrix{a_1 & a_1 & c_1 \cr a_2 & b_2 & c_2 \cr a_3 & b_3 & c_3} \Bigg\vert\; \)，\( \Delta_x=\Bigg\vert\; \matrix{d_1 & a_1 & c_1 \cr d_2 & b_2 & c_2 \cr d_3 & b_3 & c_3} \Bigg\vert\; \)，\( \Delta_y=\Bigg\vert\; \matrix{a_1 & d_1 & c_1 \cr a_2 & d_2 & c_2 \cr a_3 & d_3 & c_3} \Bigg\vert\; \)，\( \Delta_z=\Bigg\vert\; \matrix{a_1 & a_1 & d_1 \cr a_2 & b_2 & d_2 \cr a_3 & b_3 & d_3} \Bigg\vert\; \)，
試證：若此三平面相異且相交於一直線，則\( \Delta=\Delta_x=\Delta_y=\Delta_z=0 \)
(97松山家商，h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=49554 連結已失效)
在網頁最底下有一篇文章可以看，蘇俊鴻　用向量來看平面族定理https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1116&page=3#pid4748

作者: shingjay176 時間: 2013-5-11 19:37 標題: 回復 4# bugmens 的帖子

這題目在考場，一瞬間沒有想法，就先跳過。等待 bugmens 老師的解答。
第十三題我現場直覺應該是餘弦定理，畫圖去思考，不過時間不夠，就沒有去寫完這題
。好像哪一年的中壢高中考題出過。

作者: tsusy 時間: 2013-5-11 20:08

寫寫 12 題

\( \frac{\sin 9x}{\sin x}+\frac{\cos 9x}{\cos x} = \frac{2\sin 10x}{\sin 2x}\)。

令 \( t = 2x \)，則上式為 \( \frac{2\sin 5t}{\sin t} \)。

由和角公式、及 \( |\cos x|\leq 1 \) 可遞推得 \( |\sin nt| \leq n |\sin t|, n \in \mathbb{N} \)

故得 \( -10 \leq \frac{2\sin 5t}{\sin t} \leq 10\)，而當 \( t \to 0 \) 時，其值收斂至 10；當 \( t \to \pi \) 其值收斂至 \( -10 \)
(紅字是錯的，下界估錯了，那極限也是正的...)
--------------以下刪除----------------

原本不想用 5 倍的式子，看來失敗了

令 \( y=\sin t \)

則 \( \begin{aligned}\sin5t & =\sin3t\cos2t+\cos3t\sin2t\\
& =(3y-4y^{3})(1-2y^{2})+2y(4\cos^{4}y-3\cos^{2}y)\\
& =(3y-4y^{3})(1-2y^{2})+2t(4(1-y^{2})^{2}-3(1-y^{2}))\\
& =16y^{5}-20y^{3}+5y
\end{aligned} \)

當 \( \sin t\neq0 \)，時 \( \frac{\sin5}{\sin t}=16y^{4}-20y^{2}+5=16(y^{2}-\frac{5}{8})^{2}-\frac{5}{4} \)

而 \( 0 < y^2 \leq 1 \)，故其值域為 \( [-\frac{5}{2}, 10) \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-5-11 10:24 PM 編輯 ]

作者: sliver 時間: 2013-5-11 20:58

#13 和之前做過的某題很像

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作者: shingjay176 時間: 2013-5-11 21:21

第十二題 y=2sin(10x)/sin(2x)，我用GeoGebra畫圖畫出來。值域如圖。

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作者: shingjay176 時間: 2013-5-11 22:32 標題: 回復 3# kevin32303 的帖子

第二題我印象中，一共有六個複數解，在複數平面上，這六個點任意兩點構成的線段長，一共有十五條。就這十五條的平方和

作者: casanova 時間: 2013-5-11 23:26 標題: 回復 2# tsusy 的帖子

「由三平面相交之情，得 \( d_3 \neq 0 \) 和 \( \vec{n_1} \times \vec{n_2} \neq \vec{0} \)」

\( d_3 \neq 0 \)是否該改成 \( \gamma \neq 0 \)呢？

作者: tsusy 時間: 2013-5-11 23:33 標題: 回復 10# casanova 的帖子

對，是個筆誤，謝謝！

作者: YAG 時間: 2013-5-12 22:51 標題: 請問文章中至少有一不為零如何得知?

請問文章中至少有一不為零如何得知?

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作者: simon112266 時間: 2013-5-13 15:13

引用:

原帖由 YAG 於 2013-5-12 10:51 PM 發表
請問文章中至少有一不為零如何得知?

1686

可以配合前面寸絲老師寫的

最後會得到(△x,△y,△z)=r*(n1外積n2) 不等於0向量

所以△x,△y,△z 至少一個不為零

[ 本帖最後由 simon112266 於 2013-5-13 03:14 PM 編輯 ]

作者: martinofncku 時間: 2013-5-15 20:32 標題: 請問老師

請問老師，第10題要怎麼做呢?

作者: weiye 時間: 2013-5-15 21:24 標題: 回復 14# martinofncku 的帖子

第 10 題：

令 \(P(1+2t,0+t,3-2t)\)

\(\overline{PA}+\overline{PB}\)

　　\(=\sqrt{\left(2t+2\right)^2+\left(t-2\right)^2+\left(2t+8\right)^2}+\sqrt{\left(2t-22\right)^2+\left(t-2\right)^2+\left(2t-13\right)^2}\)

　　\(=3\left(\sqrt{\left(t+2\right)^2+2^2}+\sqrt{\left(t-8\right)^2+3^2}\right)\)

題目轉換成：在直角坐標平面上， \(Q(t,0)\) 位於 \(x\) 軸，\(M(-2,2), N(8,-3)\)，求 \(3\left(\overline{MQ}+\overline{QN}\right)\) 之最小值？

　　（　因為　\(\sqrt{\left(t+2\right)^2+2^2}+\sqrt{\left(t-8\right)^2+3^2}=\overline{MQ}+\overline{QN}\)　）

　　易知 \(\overline{MQ}+\overline{QN}\) 之最小值為 \(\overline{MN}=5\sqrt{5}\)，

　　\(\Rightarrow 3\left(\overline{MQ}+\overline{QN}\right)\) 之最小值為 \(15\sqrt{5}\)

　　此時 \(M,Q,N\) 三點共線，可解得 \(t\) 值，帶回 \(P\) 可得點坐標。

作者: martinofncku 時間: 2013-5-16 00:22

引用:

原帖由 weiye 於 2013-5-15 09:24 PM 發表
第 10 題：

令 \(P(1+2t,0+t,3-2t)\)

\(\overline{PA}+\overline{PB}\)

　　\(=\sqrt{\left(2t+2\right)^2+\left(t-2\right)^2+\left(2t+8\right)^2}+\sqrt{\left(2t-22\right)^2+\left(t-2\right)^2+\left(2t-13\right)^2}\)

　　\(=3\left(\sqrt{\left(t+2\right)^2+2^2}+\sqrt{\left(t-8\right)^2+3^2}\right)\)

　　...

謝謝老師。
我的作法前面和老師一樣, 只是到後面我寫成

請問老師這樣寫可以嗎?

作者: weiye 時間: 2013-5-16 08:14

引用:

原帖由 martinofncku 於 2013-5-16 12:22 AM 發表

謝謝老師。
我的作法前面和老師一樣, 只是到後面我寫成

qq.gif (5.18 KB)

2013-5-16 08:14

請問老師這樣寫可以嗎?

可以呀~ ：Ｄ

圖片附件: qq.gif (2013-5-16 08:14, 5.18 KB) / 該附件被下載次數 6919
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作者: tunmu 時間: 2013-5-19 11:29

請教第8題中，怎麼證明出a_{n} + a_{n+1} = n；另外，第9題(2)是收斂嗎？

作者: tsusy 時間: 2013-5-19 20:04 標題: 回復 18# tunmu 的帖子

第8題.

\( a_{n}-[a_{n}]=\begin{cases}
\frac{1}{3} & \mbox{, n is odd}\\
\frac{2}{3} & \mbox{, n is even}
\end{cases} \)，由此可得 \( a_{n+1}=\begin{cases}
a_{n}+\frac{1}{3} & \mbox{, n is odd}\\
a_{n}+\frac{2}{3} & \mbox{, n is even}
\end{cases} \Rightarrow a_{n+2}+a_{n+1}=a_{n+1}+a_{n}+1 \) (\( 1=\frac{1}{3}+\frac{2}{3} \))。

又 \( a_{1}+a_{2}=1 \)，故得 \( a_{n}+a_{n+1}=n \)。

第 9 題，這樣的級數看起來像黎曼和，稍微試一下

\(\displaystyle \frac{4k}{\sqrt{n^{4}+4k^{2}n^{2}}}=\frac{2}{n}\cdot\frac{\frac{2k}{n}}{\sqrt{1+\left(\frac{2k}{n}\right)^{2}}} \)，故 \(\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}\frac{4k}{\sqrt{n^{4}+4k^{2}n^{2}}}=\sum\limits _{k=1}^{n}\frac{2} {n}\cdot\frac{\frac{2k}{n}}{\sqrt{1+\left(\frac{2k}{n}\right)^{2}}} \)

其為 \( \int_{0}^{2}\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}dx \) 之黎曼和，故其極限為 \( \int_{0}^{2}\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}dx=\sqrt{1+x^{2}}\Big|_{0}^{2} = \sqrt{5}-1 \)。

作者: panda.xiong 時間: 2013-5-22 22:42

請問第3題...

作者: weiye 時間: 2013-5-23 10:11 標題: 回復 20# panda.xiong 的帖子

第 3 題：

\(n^3-1=\left(n^2+n+1\right)\left(n-1\right)\)

\(\Rightarrow n^3-1\equiv0\pmod{n^2+n+1}\)

\(\Rightarrow n^3\equiv1\pmod{n^2+n+1}\)

\(\Rightarrow n^{2010}\equiv1\pmod{n^2+n+1}\)

\(\Rightarrow n^{2010}+20\equiv21\pmod{n^2+n+1}\)

因為 \(n^2+n+1\Bigg|n^{2010}+20\)，所以 \(n^2+n+1\Bigg|21\)

且因為 \(n\in\mathbb{N}\) ，所以 \(n^2+n+1=3,7,\) 或 \(21\)

可解得 \(n=1,2,\) 或 \(4\)

作者: panda.xiong 時間: 2013-5-23 12:18 標題: 回復 21# weiye 的帖子

感謝啦,這個做法比較好理解。
請問第7題，有比較好的方法嗎？有老師用列向量的線性組合，但是看不太懂？

作者: panda.xiong 時間: 2013-5-23 16:09

請問第12題如果沒有用5倍角那個方法做的話，有其他方式嗎？

作者: tsusy 時間: 2013-5-28 19:27 標題: 回復 23# panda.xiong 的帖子

計算 12 試著玩看看，難然沒有用到 5 倍角，但不見得比較高明

令 \( t=2x \)，則 \( \frac{\sin9x}{\sin x}+\frac{\cos9x}{\cos x}=\frac{\sin10x}{\sin2x}=\frac{\sin5t}{\sin t} \)。

注意這個過程，我們應用了二倍角公式進行化簡。如果要再玩一次，就乘個 \( \frac{\cos t}{\cos t} \) 給它，就會有

\( \frac{\sin5t}{\sin t}=\frac{\sin5t\cos t}{\sin t\cos t}=\frac{\sin6t+\sin4t}{\sin2t} \)，再令 \( y=2t=4x \)。

則又可改寫為 \( \frac{\sin3y+\sin2y}{\sin y}=4\cos^{2}y+2\cos y-1 \)。

上面的式子，嚴謹一點，應該寫作「若 \( \sin t\neq0 \) 且 \( \cos t\neq0 \)，則 \( \frac{\sin5t}{\sin t}=4\cos^{2}y+2\cos y-1 \)」

但其兩端函數在 \( t \) 使得 \( \cos t=0 \) 處，皆連續，因此可寫為「若 \( \sin t\neq0 \)，則 \( \frac{\sin5t}{\sin t}=4\cos^{2}y+2\cos y-1 \)」

故當 \( \sin x\neq0 \) 且 \( \cos x\neq0 \) 時 \( \frac{\sin9x}{\sin x}+\frac{\cos9x}{\cos x}=4\cos^{2}y+2\cos y-1 \)，其中 \( y=4x \)。

因此 \( \cos y=-\frac{1}{4} \) 時，上式有最小值 \( -\frac{5}{4} \)。

作者: airfish37 時間: 2013-6-5 20:13

11題命題有誤，感謝鋼琴老師解惑^^
原帖有些凌亂，把11題的論述理整後po上來：

[ 本帖最後由 airfish37 於 2013-6-22 01:53 PM 編輯 ]

圖片附件: 11題命題有誤.jpg (2013-6-22 13:53, 36.16 KB) / 該附件被下載次數 4361
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1825&k=947589db5f9f9d42c4ce4bbc3f149cd7&t=1732562278

作者: thepiano 時間: 2013-6-5 22:26

第 11 題
出題老師不想整題都抄對岸的題目，結果又沒注意，然後題目就出錯了！

作者: peter0210 時間: 2014-1-21 19:50

瑋岳老師想請教第三題你的解法中
為何可知n²+n+2可整除n^2010+20 ??
想好久再麻煩老師解惑！！

作者: weiye 時間: 2014-1-21 20:02

那是打錯字，前後文一起看就可以接起來了。（立即修正，感謝您。

）

題目有給 \(n^2+n+1\Bigg| n^{2010}+20\) 。

作者: weiye 時間: 2014-1-22 08:39 標題: 回復 22# panda.xiong 的帖子

第 7 題：（提供一個笨方法，或許有更快的方法。）

令 \(\displaystyle A=\left[\begin{matrix} 2 & 1 & 2 \\ 1 & -3 & -2 \\ 4 & 1 & 3 \end{matrix}\right]\)，\(\displaystyle B=\left[\begin{matrix} 4 & 6 & 8 \\ -1 & 0 & 1 \\ 7 & 11 & 15 \end{matrix}\right]\)，\(\displaystyle C=\left[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6 \end{matrix}\right]\)，\(\displaystyle D=\left[\begin{matrix} a & 5 & 6 \\ 7 & b & 11 \\ 9 & 12 & c \end{matrix}\right]\)，

\(E\) 表示由左方矩陣到右方矩陣所做列運算對應的基本矩陣的乘積，

則 \(EA=C\) 且 \(EB=D\)，

\(\Rightarrow E=CA^{-1}\) 且 \(E=DB^{-1}\)

\(\Rightarrow CA^{-1}=DB^{-1}\)

\(\Rightarrow D=CA^{-1}B=\left[\begin{matrix}1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 5\\ 3 & 5 & 6\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}-7 & -1 & 4\\ -11 & -2 & 6\\ 13 & 2 & -7\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}4 & 6 & 8\\ -1 & 0 & 1\\ 7 & 11 & 15\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}4 & 5 & 6\\ 7 & 9 & 11\\ 9 & 12 & 15\end{matrix}\right]\)

作者: chiang 時間: 2015-12-21 21:48

引用:

原帖由 tsusy 於 2013-5-19 08:04 PM 發表
第8題.

\( a_{n}-[a_{n}]=\begin{cases}
\frac{1}{3} & \mbox{, n is odd}\\
\frac{2}{3} & \mbox{, n is even}
\end{cases} \)，由此可得 \( a_{n+1}=\begin{cases}
a_{n}+\frac{1}{3} & \mbox{, n is odd}\\
a_{n}+ ...

很想哭ㄟ~~
雖然老師您有給提示，可是我還是不會?
因為連您的提示怎麼來我都不知道原因?
可以請老師在解一次嗎?
我想我可能連過程都需要

謝謝您

圖片附件: 未命名.png (2015-12-21 21:48, 12.42 KB) / 該附件被下載次數 5327
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3158&k=2690957e8ed3dd66182b628b7efafabc&t=1732562278

作者: tsusy 時間: 2015-12-21 22:47 標題: 回復 30# chiang 的帖子

第8題. 不知道是示怎麼來的，我不知該說什麼

沒有想法的時候，就單純代代數字，看看可以看到什麼

\( \left\langle a_{n}\right\rangle :\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{4}{3},\frac{5}{3},\frac{7}{3},\frac{8}{3},\frac{10}{3},\frac{11}{3},\ldots \)

自己代，應該是看得出規則(律)的

作者: chiang 時間: 2015-12-22 13:16 標題: 回復 31# tsusy 的帖子

謝謝您~~

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