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標題: 102北一女中二招 [打印本頁]

作者: bugmens 時間: 2013-5-4 22:14 標題: 102北一女中二招

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作者: bugmens 時間: 2013-5-4 22:16

1.
設實數\( a,b,c,d \)滿足\( a^2+b^2=2 \)且\( (c-3)^2+(d-4)^2=1 \)，則\( \displaystyle \Bigg\vert\; \matrix{a & c \cr b & d} \Bigg\vert\; \)的最大值為？

若\( a^2+b^2=1 \)，\( c^2+d^2=1 \)，\( \displaystyle ac+bd=\frac{1}{2} \)，則\( \displaystyle \Bigg\vert\; \matrix{a & c \cr b & d} \Bigg\vert\; \)之值為？
(99中正預校，https://math.pro/db/thread-990-1-1.html)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2013-5-4 10:49 PM 編輯 ]

作者: drexler5422 時間: 2013-5-7 15:10 標題: 計算題第四題

我算的答案是2√2+√3 希望是對ㄉ~~~~

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作者: thepiano 時間: 2013-5-7 17:20

引用:

原帖由 drexler5422 於 2013-5-7 03:10 PM 發表
我算的答案是2√2+√3

標準答案!

作者: 阿光 時間: 2013-5-7 20:55

想請教第3,4和6題謝謝

作者: weiye 時間: 2013-5-14 11:58 標題: 回復 5# 阿光的帖子

第 3 題：

　　\(M\) 內的任何一個元素，都會出現在 \(M\) 的某 \(2^9\) 個子集合中，

　　因此，所求＝\(\displaystyle\left(-1+2-3+4-5+6-7+8-9+10\right)\cdot2^9=2560.\)

第 6 題：

\(a\) 所求方法數＝n（兩黃色袋子內的卡片相同）＋n（兩黃色袋子內的卡片相異）

　　　　　　\(\displaystyle =2^3+\frac{4^3-2^3}{2}=36\)

\(b\) 所求方法數＝n（兩黃色袋子內的卡片相同）＋n（兩黃色袋子內的卡片相異）

　　　　　　\(\displaystyle =2^3\left(H_4^2+H_2^2+H_0^2\right)+\frac{4^3H_4^4-2^3\left(H_4^2+H_2^2+H_0^2\right)}{2}\)

　　　　　　\(\displaystyle =72+\frac{2240-72}{2}=1156\)

作者: weiye 時間: 2013-5-14 13:58 標題: 回復 5# 阿光的帖子

第 4 題：

\(1!\cdot2!\cdot3!\cdot4!\cdot5!\cdot6!\cdots35!\cdot36!=\left(1!\right)^2\cdot2\cdot\left(3!\right)^2\cdot4\cdot\left(5!\right)^2\cdot6\cdots\left(35!\right)^2\cdot36\)

　　\(=\left(1!3!5!\cdots35!\right)^2\cdot\left(2\cdot4\cdot6\cdots36\right)\)

　　\(=\left(1!3!5!\cdots35!\cdot2^9\right)^2\cdot\left(18!\right)\)

可見，拿掉 \(18!\) 可使得剩下各元數乘積為完全平方數。

不過，如何證明沒有其它的解呢？（唯一性）有勞各位大俠了。

作者: tsusy 時間: 2013-5-14 14:22 標題: 回復 7# weiye 的帖子

第四題，幫補刀(唯一性)。

若有另一解 \( k'!>18! \)，則 \( \frac{k'!}{18!} \) 為完全平方數。

而 19 為質數，且 \( 19 \mid \frac{k'!}{18!} \) 但 \( 19^2 \not| \frac{k'!}{18!} \)，得矛盾。
(\nmid 失效，那個是不整除)

故不存在這樣的 \( k'!>18! \)。

若有另一解 \( k''!<18! \) 則 \( \frac{18!}{k''!} \) 為完全平方數。

易驗 \( k''!=17! \) 不合，故 \( k''!<17! \)

而有 \( 17 \mid \frac{18!}{k''!} \) 但 \( 17^2 \not| \frac{18!}{k''!} \)，得矛盾。

故亦不存在這樣的 \( k''<18 \)。

綜合以上二情況，得僅有 \( k=18 \) 之唯一解

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-5-14 02:33 PM 編輯 ]

作者: ilikemath 時間: 2013-5-22 19:38

想請教drexler5422提供的計算題
感謝

作者: Joy091 時間: 2013-8-15 22:43 標題: 回復 9# ilikemath 的帖子

請參考附件!

[ 本帖最後由 Joy091 於 2013-8-15 11:25 PM 編輯 ]

圖片附件: [題目與參考解答] 102北一女二招計算第四題.jpg (2013-8-15 23:25, 41.48 KB) / 該附件被下載次數 6917
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附件: [題目與參考解答] 102北一女二招計算第四題.pdf (2013-8-15 23:25, 77.63 KB) / 該附件被下載次數 9785
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1944&k=47178707fad3012c00204845960148f9&t=1713973155

作者: martinofncku 時間: 2013-9-27 00:29

請問填充題 1.

作者: weiye 時間: 2013-9-27 00:43 標題: 回復 11# martinofncku 的帖子

填充第 1 題：

令向量 \(\vec{u}=(a,b), \vec{v}=(c,d)\)

則如下圖當此兩向量互相垂直，且 \(\vec{v}\) 有最大長度時，

可得兩者所張的平行四邊形面積有最大值為 \(\displaystyle\sqrt{2}\cdot\left(1+\sqrt{3^2+4^2}\right)=6\sqrt{2}\)

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作者: mathca 時間: 2016-1-25 12:59 標題: 回復 6# weiye 的帖子

a 所求方法數＝n（兩黃色袋子內的卡片相同）＋n（兩黃色袋子內的卡片相異），
請問這裡的相同，是同"為空"的意思嗎？而相異是"非空"的意思嗎？
b 所求方法數＝n（兩黃色袋子內的卡片相同）＋n（兩黃色袋子內的卡片相異）
H(2,4)
H(2,2)
H(2,0)
請教這些代表的意義，感謝。

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