標題: 102中正高中 [打印本頁]

---

作者: simon112266    時間: 2013-4-25 20:24     標題: 102中正高中

星期二考的

有很多問題晚一點來請教>"<

請參閱附件

附件: 102中正高中.pdf (2013-4-25 20:24, 133.57 KB) / 該附件被下載次數 15658
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1625&k=3620a12a82f6799716366af5355fdf6b&t=1732278571

---

作者: bugmens    時間: 2013-4-25 21:11

計算3.
設\( a+b+c=3 \)，\( a^2+b^2+c^2=45 \)
(1)求\( \displaystyle \frac{a^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^2}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^2}{(c-a)(c-b)}= \)？
(2)求\( \displaystyle \frac{a^4}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^4}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^4}{(c-a)(c-b)}= \)？
[解答]
(1)
假設\( \displaystyle f(x)=\frac{(x-a)^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{(x-b)^2}{(b-a)(b-c)}+\frac{(x-c)^2}{(c-a)(c-b)} \)
\( deg(f(x)) \le 2 \)
\( \displaystyle f(a)=\frac{(a-b)^2}{(b-a)(b-c)}+\frac{(a-c)^2}{(c-a)(c-b)}=\frac{a-b}{-(b-c)}+\frac{a-c}{-(c-b)}=1 \)
同理\( f(b)=1 \)，\( f(c)=1 \)，可知\( \forall x \in R \)，\( f(x)=1 \)
\( \displaystyle f(0)=\frac{a^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^2}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^2}{(c-a)(c-b)}=1 \)

這個方法卻無法應用在(2)小題
(2)
\( \displaystyle \frac{a^4}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^4}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^4}{(c-a)(c-b)} \)
\( =\displaystyle \frac{-a^4(b-c)-b^4(c-a)-c^4(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)} \)
用數學軟體因式分解可得
\( =\displaystyle \frac{(a-b)(b-c)(c-a)(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)}{(a-b)(b-c)(c-a)} \)
\( =a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca \)
\( =45+(-18)=27 \)

thepiano的解答http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&p=9021


類題
Simplify：\( \displaystyle \frac{a^3}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^3}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^3}{(c-a)(c-b)} \)
(USA Stanford Mathematics Tournament 2006，http://www.artofproblemsolving.c ... d=166&year=2006)
[答案]
\( a+b+c \)

\( a、b、c \)為相異三實數，試證\( \forall x \in R \)，\( \displaystyle \frac{(x-a)^2}{(b-a)(c-a)}+\frac{(x-b)^2}{(c-b)(a-b)}+\frac{(x-c)^2}{(a-c)(b-c)} \)之值恆為一常數。
(79夜大社會組，新高中數學101修訂版p84)

104.5.2補充
若三次方程式\( x^3-x^2+2x-3=0 \)的三個根分別為\( a,b,c \)，則\( \displaystyle \frac{a^3}{(a^2-b^2)(a^2-c^2)}+\frac{b^3}{(b^2-a^2)(b^2-c^2)}+\frac{c^3}{(c^2-a^2)(c^2-b^2)}= \)　　　。
(104鳳山高中，https://math.pro/db/thread-2244-1-1.html)


計算4.
(1)設\( a_1,a_2,\ldots,a_n \)；\( b_1,b_2,\ldots,b_n \)均為正數，
求證：\( \displaystyle \root n \of{(a_1+b_1)(a_2+b_2) \times \ldots(a_n+b_n)} \ge \root n \of{a_1 a_2 \ldots a_n}+\root n \of{b_1 b_2 \ldots b_n} \)
(2)設\( \displaystyle 0<\theta <\frac{\pi}{2} \)，求\( \displaystyle \frac{1}{cos^3 \theta}+\frac{32}{sin^3 \theta} \)之最小值
[提示]
(1)
\( \displaystyle \Bigg(\; \root n \of{a_1}^n+\root n \of{b_1}^n \Bigg)\; \Bigg(\; \root n \of{a_2}^n+\root n \of{b_2}^n \Bigg)\; \times \ldots \times \Bigg(\; \root n \of{a_n}^n+\root n \of{b_n}^n \Bigg)\; \ge \Bigg(\ \root n \of{a_1 a_2 \ldots a_n}+\root n \of{b_1 b_2 \ldots b_n} \Bigg)\; ^n \)

感謝寸絲提供的意見
但就我對這份試題的理解，該計算有兩小題，第一小題就是要我們去證廣義柯西，然後再給第二小題套。
所以如果我是出題者的話，看到考生接套廣義柯西，大概是拿不到什麼分數？

thepiano的解答http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&p=9021

(2)
\( \displaystyle
\Bigg[\; \Bigg(\; \frac{1}{cos^{3/5} \theta} \Bigg)\;^5+\Bigg(\; \frac{2}{sin^{3/5} \theta}\Bigg)\;^5 \Bigg]\;
\Bigg[\; \Bigg(\; \frac{1}{cos^{3/5} \theta} \Bigg)\;^5+\Bigg(\; \frac{2}{sin^{3/5} \theta}\Bigg)\;^5 \Bigg]\; \)
\( \Bigg[\; (cos^{2/5} \theta )^5+( sin^{2/5} \theta )^5 \Bigg]\; \Bigg[\; (cos^{2/5} \theta )^5+( sin^{2/5} \theta )^5 \Bigg]\; \Bigg[\; (cos^{2/5} \theta )^5+( sin^{2/5} \theta )^5 \Bigg]\; \ge \Bigg(\;1 \times 1+2 \times 2 \Bigg)\;^5 \)

(我的教甄準備之路　廣義的科西不等式，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1075)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2015-5-3 04:48 PM 編輯 ]

---

作者: simon112266    時間: 2013-4-25 22:25

想問填充1.5 計算3

填充1. 用牛頓一次因式檢驗...只能這樣嗎?因為他的可能還滿多的...

        5.可以硬把a d算出來...但是我想一定有更好的做法

計算3  (2)要怎麼因式分解阿...

以上  謝謝

[ 本帖最後由 simon112266 於 2013-4-25 10:29 PM 編輯 ]

---

作者: lyingheart    時間: 2013-4-25 22:40     標題: 回復 3# simon112266 的帖子

填充1
觀察係數
\(\displaystyle 6x^6+5x^5-6x^4+6x^3+11x^2-x-6 \)
\(\displaystyle =6x^6+5x^5-6x^4+6x^3+6x^2+5x^2-6x+5x-6 \)
\(\displaystyle =(6x^6+6x^3+6x^2)+(5x^5+5x^2+5x)-(6x^4-6x-6) \)
\(\displaystyle =(x^4+x+1)(6x^2+5x-6) \)

計算3(2)
\(\displaystyle \frac{1}{(a-b)(a-c)}+\frac{1}{(b-a)(b-c)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)}=0 \)

所以求值式
\(\displaystyle \frac{a^4}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^4}{(b-a)(b-c)}-\frac{c^4}{(a-b)(a-c)}-\frac{c^4}{(b-a)(b-c)} \)

\(\displaystyle =\frac{a-c)(a^3+a^2c+ac^2+c^2)}{(a-b)(a-c)}+\frac{(b-c)(b^3+b^2c+bc^2+c^3}{(b-a)(b-c)} \)

\(\displaystyle =\frac{(a^3-b^3)+(a^2c-b^2c)+(ac^2-bc^2)}{a-b} \)

\(\displaystyle =a^2+ab+b^2+ac+bc+c^2 \)

[ 本帖最後由 lyingheart 於 2013-4-26 08:19 AM 編輯 ]

---

作者: Joy091    時間: 2013-4-25 23:16     標題: 回復 3# simon112266 的帖子

填充5.
可將數列分成三段:

前段 \(a_1,a_2,...,a_{2013}\)，共2013項

中段 \(a_{2014},a_{2015},...,a_{3102}\)，共1089項，和為 \(\displaystyle 1302 - 3102 =-1800\)

後段 \(a_{3103},a_{3104},...,a_{5115}\)，共2013項

可看出中段的平均就是全部 (\(a_1\) 到 \(a_{5115}\)) 的平均

故所求 \(\displaystyle S_{5115}=\frac{-1800}{1089}\cdot 5115=-\frac{93000}{11}\)


附帶一提，計算3 (2) 若是填充題，湊出 \(a=6\)，\(b=-3\)，\(c=0\) 代入即可!

[ 本帖最後由 Joy091 於 2013-4-26 06:54 AM 編輯 ]

---

作者: tsusy    時間: 2013-4-26 00:48     標題: 回復 2# bugmens 的帖子

計算 3(2) 提供一個另解

令 \( \alpha=\frac{c-b}{\Delta}, \beta=\frac{a-c}{\Delta}, \gamma=\frac{b-a}{\Delta} \)，其中 \( \Delta=(a-b)(b-c)(c-a) \)。

再令 \( x_{n}=\alpha a^{n}+\beta b^{n}+\gamma c^{n}, y=abc \)，則 \( a, b, c \) 滿足三次方程式 \( t^{3}-3t^{2}-18t-y=0\Rightarrow t^{3}=3t^{2}+18t+y \)。

故有 \( x_{n+3}=3x_{n+2}+18x_{n+1}+yx_{n} \)。

而 \( x_{0}=0, x_{1}=\frac{ac-ab+ba-bc+cb-ca}{\Delta}=0, x_{2}=1 \) by (1)

因此\( x_{3}=3+0+0, x_{4}=3\cdot3+18\cdot1+0=27 \)。

其中 \( x_3, x_4 \) 即為 \( \frac{a^3}{(a-b)(a-c)} + \frac{b^3}{(b-a)(b-c)} +\frac{c^3}{(c-a)(c-b)} \) 和 \( \frac{a^4}{(a-b)(a-c)} + \frac{b^4}{(b-a)(b-c)} +\frac{c^4}{(c-a)(c-b)} \)

---

作者: lyingheart    時間: 2013-4-26 08:14

填充5
\(\displaystyle S_n=\frac{1}{2}n(2a+(n-1)d) \) 為 n 的二次函數
推廣成 x 的二次函數, \(\displaystyle f(x) \) 滿足 \(\displaystyle f(2013)=3102,f(3102)=1302,f(0)=0 \)
於是
\(\displaystyle f(x)=3102 \times \frac{x(x-3102)}{2013(2013-3102)}+1302 \times \frac{x(x-2013)}{3102(3102-2013)} \)

[ 本帖最後由 lyingheart 於 2013-4-26 04:38 PM 編輯 ]

---

作者: best2218    時間: 2013-4-26 09:12     標題: 回復 3# simon112266 的帖子

分享填充一的另一種看法!
觀察方程式\( 6x^6+5x^5-6x^4+6x^3+11x^2-x-6=0 \)
其中\( 6x^6+5x^5-6x^4=x^4(2x+3)(3x-2) \)
所以猜測接下來的\( 6x^3+11x^2-x-6 \)是否有相關因式
就可以檢測出來!

---

作者: shingjay176    時間: 2013-4-26 12:59

填充題第一題。以下是我的算法。
若\(f(x)=(ax+b)Q(x)\) ， \( \Rightarrow \)   \(     
\begin{array}{l}
(a + b)|f(1) \\
(a - b)|f( - 1) \\
\end{array} \)
1、\(
6x^6  + 5x^5  - 6x^4  + 6x^3  + 11x^2  - x - 6 = 0
    \)
一次因式檢驗法，可能的一次因式有，
\(     
\begin{array}{l}
x + 1,x - 1,x + 2,x - 2,x + 3,x - 3,x + 6,x - 6, \\
2x + 1,2x - 1,2x + 3,2x - 3,3x + 1,3x - 1,3x + 2, \\
3x - 2,6x + 1,6x - 1 \\
f(1) = 6 + 5 - 6 + 6 + 11 - 1 - 6 = 15 \\
f( - 1) = 6 - 5 - 6 - 6 + 11 + 1 - 6 =  - 5 \\
\end{array}

    \)
用 \(     
\begin{array}{l}
a + b|f(1) = 15 \\
a - b|f( - 1) =  - 5 \\
\end{array}

    \)篩選
剩下可能的一次因式有， \(
x + 2,2x + 1,2x + 3,2x - 3,3x + 2,3x - 2
    \)
在使用綜合除法檢查，可得有理根為  \(     \frac{{ - 3}}{2},\frac{2}{3}    \)

所以此兩個有理根相加， \(     
\frac{{ - 3}}{2} + \frac{2}{3} = \frac{{ - 5}}{6}


    \)

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-4-20 05:00 PM 編輯 ]

---

作者: simon112266    時間: 2013-4-26 14:41

感謝各位強者老師

我還是需要多多加油阿!!

---

作者: shingjay176    時間: 2013-4-26 20:57

填充題第二題。慢慢討論各種狀況。
\( M-m<5 \)的情形有：
(1)\( n \)次全部都沒有出現6點和1點：\( 4^n \)
(2)\( n \)次中有出現6點但完全沒有出現1點：
　\( \displaystyle \matrix{出現一次 \cr C_1^n 4^{n-1}}+\matrix{二次 \cr C_2^n 4^{n-2}}+\matrix{三次 \cr C_3^n 4^{n-3}}+\ldots+\matrix{n次 \cr C_n^n 4^0}=(4+1)^n-C_0^n 4^n=5^n-4^n \)
(3)\( n \)次中有出現1點但完全沒有出現6點：
　方法數同(2)　\( 5^n-4^n \)

\( \displaystyle P_n=\frac{(4^n)+(5^n-4^n)+(5^n-4^n)}{6^n}=\frac{2 \cdot 5^n-4^n}{6^n} \)

\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}P_n=2 \times \frac{\frac{5}{6}}{1-\frac{5}{6}}-\frac{\frac{4}{6}}{1-\frac{4}{6}}=2 \times \frac{\frac{5}{6}}{\frac{1}{6}}-\frac{\frac{4}{6}}{\frac{2}{6}}=10-2=8 \)

---

作者: shingjay176    時間: 2013-4-26 21:16

填充題第三題
恰有3個數字相同的四位數共有　　個
(1)三個0
　000□
　\( C_1^9=9 \)
(2)三個數字相同，另一個不為0
　aaab
　\( \displaystyle C_2^9 \times 2 \times \frac{4!}{3!}=\frac{9 \times 8}{2 \times 1}\times 2 \times 4=288 \)
(3)三個數字相同，另一個為0
　aaa0
　\( \displaystyle C_1^9 \times \frac{3!}{2!}=27 \)

\( 9+288+27=324 \)

---

作者: martinofncku    時間: 2013-4-27 02:16

請問老師，填充 7（2）

---

作者: GGQ    時間: 2013-4-27 03:09     標題: 回復 13# martinofncku 的帖子

7(2)條件機率
題目說: 在兩次都是擲同一個硬幣之下,因此,可從題意推出就是第一次一定要擲正面的情況了
(因為題目說 第一次若擲反面,就要換成另外兩枚硬幣了,所以,代表第一次一定是擲正面,才有機會兩次擲同一硬幣)

題目 7.(2) 問: 在已知兩次都是投擲同一個硬幣之下,是由硬幣C擲出的?
就相當於 我們去算 第一次在擲正面的情況之下,是由硬幣C所擲出的? (因為題目說:若第一次擲正面的話,就第二次繼續同擲同一個硬幣)

由題目已知
第一次若擲A硬幣 正面機率為 1/2
第一次若擲B硬幣 正面機率為 3/10
第一次若擲C硬幣 正面機率為  3/5
且 每一枚硬幣被挑中的機率都一樣(都1/3)

條件機率:
p(由硬幣C擲出 | 兩次擲同一個硬幣) =
p(由C硬幣擲出正面 | 第一擲正面情況之下  )  =  (3/5)  除以  [ 1/2 + 3/10 + 3/5 ]  = 6/14 =  3/7

[ 本帖最後由 GGQ 於 2013-4-27 03:24 AM 編輯 ]

---

作者: martinofncku    時間: 2013-4-27 10:12

引用:

原帖由 GGQ 於 2013-4-27 03:09 AM 發表
7(2)條件機率
題目說: 在兩次都是擲同一個硬幣之下,因此,可從題意推出就是第一次一定要擲正面的情況了
(因為題目說 第一次若擲反面,就要換成另外兩枚硬幣了,所以,代表第一次一定是擲正面,才有機會兩次擲同一硬幣)

...

謝謝老師超詳細的解釋。可是，我的做法是：1/3＊3/5＊3/5除以7/30。可否請老師告訴我那裡出錯了？

---

作者: tsusy    時間: 2013-4-27 10:35     標題: 回復 15# martinofncku 的帖子

7(2)「若已知兩次均投擲同一枚的條件」的條件是「第一次丟出正面」。

而對第二次沒有任何限制，你的算式中分子多乘了一次，分母用第一小題的數字也不對

應該，做的太順手，被拐過去

---

作者: ksy    時間: 2013-5-3 10:19

引用:

原帖由 simon112266 於 2013-4-25 08:24 PM 發表
星期二考的

有很多問題晚一點來請教>"<

請參閱附件

請教各位老師:填充第二題怎麼做

謝謝(已解決,謝謝各位)

[ 本帖最後由 ksy 於 2013-5-3 10:23 AM 編輯 ]

---

作者: poemghost    時間: 2013-5-3 11:03     標題: 回復 17# ksy 的帖子

補充：填充2
利用取捨原理即可得 \(\Large P_{n}=\frac{5^n+5^n-4^n}{6^n}\)

---

作者: shingjay176    時間: 2013-5-3 23:27

第七題第一小題，我畫樹狀圖發現，要出現兩個正面的情形。會一直無窮下去。把所有情況都列出來也太複雜了。莫非用轉移矩陣嗎??有更好的想法嗎?

---

作者: weiye    時間: 2013-5-3 23:47     標題: 回復 19# shingjay176 的帖子

你誤會題目了，題目沒有說可以擲第三次、第四次、第五次‧‧‧

依照題意就只丟兩次而已。

填充第 7 題的 (1)：

所求＝\(\displaystyle\frac{1}{3}\cdot\left(\left(50/100\right)^2+\left(30/100\right)^2+\left(60/100\right)^2\right)=\frac{7}{30}\)

---

作者: shingjay176    時間: 2013-5-3 23:54     標題: 回復 20# weiye 的帖子

感激，誤會可大了。如果考場犯了這種錯誤，一定噢死。原來重頭到尾只有投擲兩次。那這題目不難。謝謝

---

作者: tsusy    時間: 2013-5-4 10:35     標題: 回復 19# shingjay176 的帖子

那乾脆把這美麗的誤會繼續玩下去

改成：一直擲，過程中，會連續出現兩次正面的機率。

直覺上的答案應該是 1，計算如下，以 A, B, C 三數代表，由 A, B, C 硬幣開始擲會連續出現兩次的機率

則有以下遞迴關係

\( \begin{cases}
A & =\frac{1}{4}+\frac{3}{4}(\frac{1}{2}B+\frac{1}{2}C)\\
B & =\frac{9}{100}+\frac{91}{100}(\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}C)\\
C & =\frac{9}{25}+\frac{16}{25}(\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}B)
\end{cases} \)

其中，若由 A 開始，兩次內，有可能連續二次正面，亦有可能出現反面後改擲 B 或 C。

解聯立方程式可得 \( A=B=C=1 \)，故在此誤會情況下，所求 \( \frac{A+B+C}{3} =1 \)

話說，這類的問題，應該是有機會用 Borel-Cantelli Lemma 去處理，說它的補事件的機率為 0

---

作者: shingjay176    時間: 2013-5-5 18:02

填充題第九題

\( \displaystyle A=\frac{3^{100}}{2^{50}} \)
(1)\( log A=100 log 3 -50 log 2 =100 \times 0.4771 -50 \times 0.3010=32.66 \)
所以\( A \)為33位數

(2)\( \displaystyle \frac{3^{100}}{2^{50}}\times \frac{5^{50}}{5^{50}}=\frac{3^{100}\times 5^{50}}{10^{50}} \)
\( 3^{100} \times 5^{100} \)乘完後，小數點往左移50位。

(3)\( 33+50=83 \)

---

作者: tuhunger    時間: 2013-5-6 00:21     標題: 填充8

獻醜

圖片附件: 未命名.png (2013-5-6 00:21, 10.76 KB) / 該附件被下載次數 6125
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1654&k=482584adf93cc455bbb7e1c927c3d08d&t=1732278571

---

作者: shingjay176    時間: 2013-5-6 14:47

計算題第一題，錯誤的原因可以這樣解釋嗎？學生那樣假設是空間中直線的參數式。。題目x+y+z=1是空間中的平面方程式。正確的解法是用柯西不等式。。。

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2013-5-6 02:50 PM 編輯 ]

---

作者: dav    時間: 2013-5-6 16:00

引用:

原帖由 shingjay176 於 2013-5-6 02:47 PM 發表
計算題第一題，錯誤的原因可以這樣解釋嗎？學生那樣假設是空間中直線的參數式。。題目x+y+z=1是空間中的平面方程式。正確的解法是用柯西不等式。。。 ...

我也是這樣想耶，學生假設的只是包含於空間平面上的某一條直線而已...還需要舉反例嗎（在平面上但不再學生舉的線上）？還是？

---

作者: shingjay176    時間: 2013-5-10 21:22

計算題第四題第一小題。我發表一下自己的看法

圖片附件: 20130425_2.jpg (2013-5-10 21:22, 194.83 KB) / 該附件被下載次數 6706
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1670&k=d72d26d1d3f07d9de8a749aad22f2fd8&t=1732278571

---

作者: tsusy    時間: 2013-5-10 22:00     標題: 回復 27# shingjay176 的帖子

也來一點個人的想法：那個證明手法，每次看完之後就忘了，到底有幾次...至少也有5-6 次以上吧。

所以只好用證明 \( n \) 個數的算幾的那招方法來證廣義柯西：多用幾次柯西不等式，可以先做出 \( n \) 為 2 的冪次的結果。

當 \( n \) 不是 2 的冪次時，用幾何平均把它補到 \( 2^k > n \) 個，即令 \( a = \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n} \), \( b = \sqrt[n]{b_1b_2\cdots b_n} \)。

這樣的 \( (a+b) \) 要補 \( 2^k - n \) 個，再利用 \( 2^k \) 的結果，即得

\(\left[\prod\limits _{j=1}^{n}(a_{j}+b_{j})\right]\times(a+b)^{2^{k}-n}\geq\left[\sqrt[n]{\left(\prod_{j=1}^{n}a_{j}\right)\times a^{2^{k}-n}}+\sqrt[n]{\left(\prod_{j=1}^{n}b_{j}\right)\times b^{2^{k}-n}}\right]^{2^{k}} \)

而右式中，因 \( a , b \) 分別為 \( a_j, b_j \) 的幾何平均，故右式 \( = (a+b)^{2^k} \)

再與左式相約，即得 \( \prod_{j=1}^n (a_j+b_j) \geq (a+b)^n \)，開 n 次方，即得證之。

---

作者: shingjay176    時間: 2013-5-10 22:05     標題: 回復 28# tsusy 的帖子

就是要這樣討論，才能擦出火花。更多想法才可以消化吸收後。變成自己的解題技巧。

---

作者: lyingheart    時間: 2013-5-10 22:49     標題: 回復 28# tsusy 的帖子

這兩種解法也太強大!!!
比我的好多了，我的解法很難寫......
我是先除以 \(\displaystyle \sqrt[n]{a_1a_2 \cdots a_n} \) ，

並令  \(\displaystyle \frac{b_i}{a_i}=r_i \)

變成  \(\displaystyle \sqrt[n]{(1+r_1)(1+r_2) \cdots (1+r_n)} \ge 1+\sqrt[n]{r_1r_2 \cdots r_n} \)

這就跟之前有人PO過的這個年度學科能力競賽台北市複賽其中一題一樣了。
接著兩邊n次方後用二項式定理和算幾不等式完成。
補充，據說北市複賽講評時，教授說此題用廣義柯西不得分。

---

作者: tsusy    時間: 2013-5-11 10:02     標題: 回復 30# lyingheart 的帖子

哈~你的補充說明，倒是讓人不意外，在下的看法也是一樣，見 #2

記得去年(101年) 師大附中的計算第一題 \( a>0, b>0, \theta \) 為銳角，求 \( \frac{a}{\cos \theta} + \frac{b}{\sin \theta} \) 的最小值。

即便這題不是直接考廣義柯西的等價式子，直接用廣義柯西不等式的考生也是被扣了 5 分 (本題滿分 9 分)。

師大附中的出題和閱卷，沒意外應該都是師大的教授，由此可見其對「廣義柯西」的定位。

101附中，這題應用廣西柯西的解法，都被扣了超過一半的分數。北市能力競賽或102 中正這題廣義柯西的等價式子，自然是拿不到分的

至於二項式定理展開 + 算幾不等式，乍聽之下很暴力，但實際一做卻不是想條的這麼難做，也是個好方法！

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-5-11 06:59 PM 編輯 ]

---

作者: superlori    時間: 2018-5-22 18:16     標題: 回復 6# tsusy 的帖子

抱歉，計算錯誤
避免誤導其他老師
自行刪文

[ 本帖最後由 superlori 於 2018-5-23 09:46 編輯 ]

---

作者: laylay    時間: 2018-5-22 22:27     標題: 計算

3（2）  對稱式的運用

[ 本帖最後由 laylay 於 2018-5-23 09:22 編輯 ]

圖片附件: 1526999200329.jpg (2018-5-22 22:27, 607.17 KB) / 該附件被下載次數 5547
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4489&k=6152950a3856cd83f5c9a6b41b16ac5a&t=1732278571

---

作者: Ellipse    時間: 2018-5-22 23:29

引用:

原帖由 superlori 於 2018-5-22 18:16 發表
今天朋友問這題，
還記得以前根本不知道怎麼下筆
看到寸絲的神解根本也想不到
今日運氣很好的想到了一個方法
給各位老師參考

參考小弟行列式作法

圖片附件: 20180522_230825.jpg (2018-5-22 23:29, 1.76 MB) / 該附件被下載次數 5618
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4490&k=7a8a67c55c2133de5376bf936b38907e&t=1732278571

---

作者: laylay    時間: 2018-5-23 09:14     標題: 回復 32# superlori 的帖子

計算3（2）您提供的 f`(x)/f(x)=1/(x-a)+1/(x-b)+1/(x-c)=1/x*(1/(1-a/x))+.......=1/x*(1+a/x+(a/x)^2+.....)+.........
                  =(1+1+1)/x+(a+b+c)/x^2+(a^2+b^2+c^2)/x^3+(a^3+b^3+c^3)/x^4+........是很棒的喔!

[ 本帖最後由 laylay 於 2018-5-23 22:35 編輯 ]

---

作者: superlori    時間: 2018-5-23 09:42     標題: 回復 35# laylay 的帖子

感謝laylay以及Ellipse的分享,
小弟學到很多!!!
也謝謝laylay老師發現計算錯誤，
小弟自刪文章，不誤導他人
謝謝兩位的解題!!

---

歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/)

論壇程式使用 Discuz! 6.1.0