Math Pro 數學補給站

標題: 101台中二中二招 [打印本頁]

作者: mandy 時間: 2012-7-5 22:18 標題: 101台中二中二招

請問ㄧ題:

求y=x^2 與 y=-x^2+2x-5 之公切線與二曲線所為成的區域面積=?

其他題目等二中公佈.

101.7.6補充
學校已公佈試題，感謝zeratulok告知

以下資料供以後考生參考：

初試最低錄取分數 58分
取10名參加複試，錄取1名
72,64,64,62,60,60,60,60,60,58

其他，
50~57分 26人
40~49分 29人
30~39分 41人
20~29分 14人
10~19分 12人
0~9分 0人
缺考 31人

共計 163人

附件: 101台中二中二招.rar (2012-7-6 22:56, 233.32 KB) / 該附件被下載次數 10836
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1355&k=f0718d3f3d69bcaca36afdf5092e8638&t=1713301948

作者: shiauy 時間: 2012-7-5 22:58

引用:

原帖由 mandy 於 2012-7-5 10:18 PM 發表
請問ㄧ題:

求y=x^2 與 y=-x^2+2x-5 之公切線與二曲線所為成的區域面積=?

其他題目等二中公佈.

我把兩條公切線算出來時間就到了說@@
令切線斜率m，分別切兩圖形於\(({x_1},{y_1})({x_2},{y_2})\)
則有\(m = \frac{{{y_2} - {y_1}}}{{{x_2} - {x_1}}} = 2{x_1} =  - 2{x_2} + 2\)
\({x_1} =  - {x_2} + 1\)代入
\(\frac{{ - {x_2}^2 + 2{x_2} - 5 - {{( - {x_2} + 1)}^2}}}{{{x_2} - ( - {x_2} + 1)}} =  - 2{x_2} + 2\)
可解得\({x_2} = 2, - 1\)，\(m =  - 2,4\)
兩公切線分別為\(y =  - 2x - 1\)、\(y = 4x - 4\)
至於面積部份只要算上部分的面積再乘以2就好了

圖片附件: MWSnap030 2012-07-05, 22_54_26.jpg (2012-7-5 22:58, 28.41 KB) / 該附件被下載次數 7549
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1346&k=b4c335569cc5641ffe7e90eedc8e9bbc&t=1713301948

作者: zeratulok 時間: 2012-7-6 22:45 標題: 題目已經公佈了！

h ttp://announce.tcssh.tc.edu.tw/download.php?dpid=3&duid=10&dfn=%E6%95%B8%E5%AD%B8%E9%A1%8C%E7%9B%AE.pdf　連結已失效

想要請問一下填充7，我算的出移動24
應該比答案的25少吧…還是有什麼特殊的解法呢？
感謝！

作者: onenineone 時間: 2012-7-6 22:58 標題: 回復 3# zeratulok 的帖子

填充7
如圖，設有6個盒子，各盒內分別有8,14,15,19,25,21個乒乓球。如果想一次從一個盒內搬一個球到相鄰的盒內，那麼最少要搬　　　次才能使每個盒子裡的球數相同。

99高雄市聯招14題
大哥請~
https://math.pro/db/thread-975-1-4.html

作者: zeratulok 時間: 2012-7-7 10:10 標題: 回復 4# onenineone 的帖子

可能我當時鬼打牆吧…
因為方法差不多…
感謝大哥的回應！

作者: tunmu 時間: 2012-7-15 11:31

可以請問一下填充5 & 9 計算5 感謝！

作者: mandy 時間: 2012-7-15 13:39 標題: 請問填充４

請問填充４　謝謝!!

作者: tsusy 時間: 2012-7-15 17:15 標題: 回復 7# mandy 的帖子

填充4.
一位小孩在地面上\(A,B,C,D,E\)等5個點跳動，且每次跳動一定跳至相異於起跳點的位置且每一點機會均等。現在這位小孩在\(A\)點處，若已知這小孩跳動4次後跳在\(A\)點處，求他四次中恰有兩次跳到\(A\)點的機率。
[解答]
x 代表非 a，所求即 \(\displaystyle \frac{xaxa}{xaxa+xxxa} \)

\( \displaystyle P = \frac{4\cdot1\cdot4\cdot1}{4\cdot1\cdot4\cdot1+4\cdot3\cdot3\cdot 1} = \frac{4}{13}\)

填充9.
已知函數\(f(x)=x^3-ax^2+(a^2-1)x\)有極值。設\(I=\{\;x \in R|f'(x)\ge0 \}\;\)，且\(I\)包含區間\( (\; -\infty,0)\; \)與\( (\;1,\infty )\; \)，則實數\(a\)的範圍為　　　。
[解答]
\( f'(x)=3x^{2}-2ax+a^{2}-1 \) , 兩根 \( 0\leq\alpha<\beta\leq1 \)

(1) \( D\geq0\Rightarrow-\frac{\sqrt{6}}{2}<a<\frac{\sqrt{6}}{2} \)

(2) \( 0\leq\alpha<\beta\Rightarrow2a>0 \) 且 \( a^{2}-1\geq0\Rightarrow a\geq1 \)

(3) 令\( y=x-1 \) , 則 \( y \) 之兩根 \( \alpha'<\beta'\leq0 \)

\( f'(x)=3y^{2}-(2a-6)y+(a^{2}-2a+2)\Rightarrow2a-6<0\) 且 \( a^{2}-2a+2\geq0\Rightarrow a<3 \)

綜合以上得 \( 1\leq a<\frac{\sqrt{6}}{2} \)

作者: mandy 時間: 2012-7-15 21:45 標題: 請問

請問填充５　謝謝

作者: 阿光 時間: 2012-7-16 10:00

填充5
已知\(L\)：\( \Bigg\{\; \matrix{x+2y-7=0 \cr 2y+z-7=0} \)為\(L_1\)：\( \displaystyle \frac{x-1}{4}=\frac{y-6}{-5}=\frac{z+2}{7} \)與\(L_2\)：\(\displaystyle \frac{x-5}{a}=\frac{y-1}{b}=\frac{z-5}{-5}\)之角平分線，試求\(a+b=\)　　　。
[解答]
\(L_1\)上一點\(A(1,6,-2)\)在\(L\)上投影點為\(B(-1,4,-1)\)，\(C\)在\(L_2\)上,
\(B\)為\(\overline{AC}\)的中點，\(C(-3,2,0)\)帶入\(L_2\)得\(a=-8,b=1\)

作者: 阿光 時間: 2012-7-16 10:02

想請教計算4,5題

作者: andyhsiao 時間: 2012-7-16 20:26

計算5
如圖，平面上三角形\(ABC\)，已知\(D,E\)分別在線段\(\overline{AB},\overline{BC}\)上，且\( \overline{AD}:\overline{BD}=4:5 \)，\( \overline{BE}:\overline{EC}=3:2 \)，\(\overline{AE}\)和\(\overline{CD}\)交於點\(O\)，若點\(O\)為三角形\(ABC\)之外心，試求\(\overline{AB}^2:\overline{BC}^2:\overline{AC}^2\)

我的方法有點麻煩...參考看看....有錯請訂正...
應該會有比較快的方法吧...

圖片附件: 5.jpg (2012-7-16 20:26, 67.61 KB) / 該附件被下載次數 5176
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1389&k=4acc8cd4e2d5caab25c8ea14b8459d80&t=1713301948

作者: 阿光 時間: 2012-7-18 20:10

想請教計算第4題謝謝

作者: andyhsiao 時間: 2012-7-19 07:49

第4題
有五筆二維數據\((0,4),(1,2),(-2,-2),(5,0)\)及\((x,y)\)，若點\((x,y)\)為直線\(L\)：\(y=mx-2\)上一點，且滿足此五筆數據的相關係數為0，試求\(m\)的範圍。

只想得到這原始方法...不知道對不對...參考看看就好

圖片附件: 4.jpg (2012-7-19 07:49, 73.18 KB) / 該附件被下載次數 5101
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1394&k=a902cde2c409b9910a6993250673a254&t=1713301948

作者: tsusy 時間: 2012-7-19 08:10 標題: 回復 14# andyhsiao 的帖子

計算 4. 用不平移的應該會稍微好算一點

也就是 0 = Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]

作者: jmfeng2001 時間: 2012-7-31 09:31

填充8.
平面上，\(\Delta ABC\)中\(D、E\)依序為線段\(\overline{AB}\)與\(\overline{AC}\)上一點，\(F\)為線段\(\overline{DE}\)上一點，且\( \displaystyle \frac{\overline{AD}}{\overline{AB}}=x \),\( \displaystyle \frac{\overline{AE}}{\overline{AC}}=y \),\( \displaystyle \frac{\overline{DF}}{\overline{DE}}=z \),滿足\(\displaystyle 2y+z-x=\frac{4}{5}\)，若\( \Delta BDF \)面積為\( \Delta ABC \)面積的\(a\)倍，則\(a\)的最大值為　　　。

想請問各位先進
填充八該如何做
我令三角形面積=1,BCF面積=a
用比例慢慢求關係式(a/z)x(1/1-x)ABx(1/1-y)AC=ABC面積
然後...我就...做不出來...
想請教大家...該如何做
謝謝!

作者: weiye 時間: 2012-7-31 12:19 標題: 回復 16# jmfeng2001 的帖子

填充第 8 題：

\(\triangle BDF \mbox{面積}=z \triangle BDE \mbox{面積}\)

　　　　　　　　\(=z\cdot (1-x) \triangle ABE \mbox{面積}\)

　　　　　　　　\(=z(1-x)\cdot y \triangle ABC \mbox{面積}\)

所以 \(a=(1-x)yz\)，

由題述 \(\displaystyle 2y+z-x=\frac{4}{5}\Leftrightarrow 2y+z+(1-x)=\frac{9}{5}\)，

因為 \(2y, z, (1-x)\) 皆非負，由算幾不等式，

可得 \(\displaystyle \frac{2y+z+(1-x)}{3}\geq \sqrt[3]{2y\cdot z\cdot (1-x)}\)

　　　　\(\displaystyle \Leftrightarrow \frac{3}{5}\geq\sqrt[3]{2a}\Leftrightarrow \frac{27}{250}\geq a\)

可知，\(a\) 之最大值為 \(\displaystyle \frac{27}{250}\)，

且此時，\(\displaystyle 2y=z=1-x=\frac{3}{5}\Leftrightarrow x=\frac{2}{5},y=\frac{3}{10},z=\frac{3}{5}\)

作者: jmfeng2001 時間: 2012-7-31 18:06

謝謝瑋岳老師,原來我搞錯了...難怪一直算不出來
謝謝

作者: casanova 時間: 2012-10-3 14:21

引用:

原帖由 tsusy 於 2012-7-15 05:15 PM 發表
填充 4. x 代表非 a，所求即 \(\displaystyle \frac{xaxa}{xaxa+xxxa} \)

\( P = \frac{4\cdot1\cdot4\cdot1}{4\cdot1\cdot4\cdot1+4\cdot3\cdot3\cdot 1} = \frac{4}{13}\)
填充 9.

\( f'(x)=3x^{2}-2ax+a^{2}-1 \) ...

請問為什麼還要多討論(3)呢？
(3) 令 \( y=x-1 \)，則 \( y \) 之兩根 \( \alpha' < \beta' \leq 0 \)

作者: casanova 時間: 2012-10-4 15:44

引用:

原帖由 shiauy 於 2012-7-5 10:58 PM 發表

我把兩條公切線算出來時間就到了說@@
令切線斜率m，分別切兩圖形於\(({x_1},{y_1})({x_2},{y_2})\)
則有\(m = \frac{{{y_2} - {y_1}}}{{{x_2} - {x_1}}} = 2{x_1} = - 2{x_2} + 2\)
\({x_1} = - {x_2} + 1\)代入 ...

為何面積部份只要算上部分的面積再乘以2就好了呢？
請問要怎麼看呢？

作者: martinofncku 時間: 2012-10-6 19:09

您好,tsusy,請問,為什麼還要寫紅色框框中的計算呢？謝謝您。

圖片附件: 第七題.jpg (2012-10-6 19:59, 62.31 KB) / 該附件被下載次數 5809
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1444&k=6747fbc60eb790e608714ca86483e845&t=1713301948

作者: tsusy 時間: 2012-10-6 19:25 標題: 回復 22# martinofncku 的帖子

不好意思這邊有個小筆誤

(1) \( D\geq 0 \) 應修正為 \( D>0 \) 。因為 \( D=0 \) 時，是沒極值的

而 \( I = (-\infty, \alpha], [\beta, \infty ) \)

在 \( D>0 \) 的條件下 (2) 其實是 \( \alpha \geq 0 \) 的等價條件 (3) 則是 \( \beta \leq 1\) 的等價條件

只不過在這裡 "\( D>0 \)" 會自動使得 \( \beta \leq 1 \) 成立

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-10-6 07:32 PM 編輯 ]

作者: martinofncku 時間: 2012-10-6 20:58

謝謝版主,謝謝寸絲

作者: martinofncku 時間: 2012-10-6 23:23

請問填充題 6 .謝謝。

若\(n\)為正整數，且滿足\(2n\)有40個正因數，\(3n\)有42個正因數，則試問\(6n\)有　　　個正因數。

作者: weiye 時間: 2012-10-6 23:57 標題: 回復 24# martinofncku 的帖子

填充第 6 題：

令 \(n = 2^a 3^b p_1^{r_1} p_2^{r_2} \cdots p_k^{r_k}\)

其中 \(p_1,p_2,\cdots,p_k\) 為大於 \(3\) 的相異質數，

　　 \(a,b,r_1,r_2,\cdots r_k\) 為非負整數

則

\((a+2)(b+1)(r_1+1)(r_2+1)\cdots(r_k+1)=40=8\times5\)

\((a+1)(b+2)(r_1+1)(r_2+1)\cdots(r_k+1)=42=7\times6\)

（如果有猜到後面的因數分解幾乎就結束了，不然就如下～）

因為 \((r_1+1)(r_2+1)\cdots(r_k+1)\Bigg|gcd(40,42)\)

所以 \((r_1+1)(r_2+1)\cdots(r_k+1)=1\) 或 \(2\)

Case i: 若 \((r_1+1)(r_2+1)\cdots(r_k+1)=1\)，則

　　　解得 \((a,b)=(6,4)\) 或 \((-7,-9)\) (不合)

　　　　所求＝\((a+2)(b+2)(r_1+1)(r_2+1)\cdots(r_k+1)=8\times6\times1=48\)

Case ii: 若 \((r_1+1)(r_2+1)\cdots(r_k+1)=2\)，則

　　　解得 \(a,b\) 之解皆非整數，不合。

故，所求＝\(48\)

作者: natureling 時間: 2012-12-8 13:02 標題: [請教]填充10、計算1...感恩

填充10...是把全部坐標都算出直接代嗎?..我算出 A(-根號6,0) B(-3根號5/2,3/2) C(3根號2,0)D(3根號5/2,-3/2)但真的是硬算嗎???
計算一 @@..

作者: natureling 時間: 2012-12-8 15:26

請問一下....算上半部*2就是所求...是因為二個抛物線的開口大小相同嗎?....若開口大小不同是否要分開算呢?另外算出的答案是9/2嗎??因為沒有答案想對一下謝謝

引用:

原帖由 shiauy 於 2012-7-5 10:58 PM 發表

我把兩條公切線算出來時間就到了說@@
令切線斜率m，分別切兩圖形於\(({x_1},{y_1})({x_2},{y_2})\)
則有\(m = \frac{{{y_2} - {y_1}}}{{{x_2} - {x_1}}} = 2{x_1} = - 2{x_2} + 2\)
\({x_1} = - {x_2} + 1\)代入...

作者: natureling 時間: 2012-12-8 16:01

tsusy 大，能否再更加說明呢?統計實在是要加強>"<..感恩

引用:

原帖由 tsusy 於 2012-7-19 08:10 AM 發表
計算 4. 用不平移的應該會稍微好算一點

也就是 0 = Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]

作者: tsusy 時間: 2012-12-8 19:36 標題: 回復 28# natureling 的帖子

這個式子應該很熟悉吧，我只是懶得打式子，所以寫期望值的符號

\( E[XY] - E[X]E[Y] = \frac{1}{n} \left( \sum x_iy_i - n\bar{x}\bar{y} \right) \)

作者: arend 時間: 2013-9-8 20:55

引用:

原帖由阿光於 2012-7-16 10:00 AM 發表
L1上一點A(1,6,-2)在L上投影點為B(-1,4,-1)C在L2上,
B為AC的中點,C(-3,2,0)帶入L2得a=-8,b=1

請教一下
B為何是AC的中點
若A在L_1上,B為A在L的投影點,那麼AB垂直L
同時BC也同時垂直於L
這今天想了老半天,還是....
請板上高手指點一下迷津
謝謝

作者: tsusy 時間: 2013-9-8 21:53 標題: 回復 30# arend 的帖子

填充 5. 等腰三角形中，底邊的中垂線、高，及其對角的分角線都是同一條線

作者: arend 時間: 2013-9-8 22:10

引用:

原帖由 tsusy 於 2013-9-8 09:53 PM 發表
填充 5. 等腰三角形中，底邊的中垂線、高，及其對角的分角線都是同一條線

謝謝tsusy老師
我一直想說若兩直線是沒有相交的歪斜線,這角平分線如何定義
因為從題目中看不出來兩直線有交點
所以就一直轉不出來
感謝

作者: kittyyaya 時間: 2013-12-25 22:39

請問老師們
填充3如何作答 ?
數列\(\langle\; a_n \rangle\;\)滿足\( \Bigg\{\; \matrix{a_0=3 \cr a_n=\frac{3a_{n-1}+1}{a_{n-1}+3},n \ge 1} \)，求\( n \ge 1 \)時，一般項\(a_n=\)？

填充10
已知橢圓：\( \displaystyle \frac{x^2}{15}+\frac{y^2}{9}=1 \)，\(A\)為橢圓在負\(x\)軸的焦點，雙曲線：\( \displaystyle \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{9}=1 \)，\(C\)為雙曲線在正\(x\)軸上的焦點，\(B,D\)分別為橢圓與雙曲線在第二與第四象限的交點，試求四邊形\(ABCD\)的周長。

是否要把ABCD四點座標找到
我畫圖得知AB + AD = 橢圓長軸長
可是我算出D點座標求CD長很難整理得到3*(根號10)

計算第1題答案是否為 5*(根號3)/2

在複數平面上，\( \Delta ABO \)的頂點\(A,B\)分別對應複數\(z_1\)，\(z_2\)，\(O\)為原點。若\( |z_1-1-3i|=|z_1-5+5i| \)且\(z_2=(1+\sqrt{3}i)z_1\)，試求\(\Delta ABO\)的最小面積。

以上3題麻煩老師們謝謝

作者: weiye 時間: 2013-12-26 00:04 標題: 回復 33# kittyyaya 的帖子

填充第 3 題：

先解不動點 \(\displaystyle x=\frac{3x+1}{x+3}\Rightarrow x=\pm1\)

然後

\(\displaystyle \frac{a_n+1}{a_n-1}=\frac{\displaystyle \frac{3a_{n-1}+1}{a_{n-1}+3}+1}{\displaystyle \frac{3a_{n-1}+1}{a_{n-1}+3}-1}\Rightarrow \frac{a_n+1}{a_n-1}=2\cdot\frac{a_{n-1}+1}{a_{n-1}-1}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{a_n+1}{a_n-1}=2^n\cdot\frac{a_0+1}{a_0-1}=2^{n+1}\)

\(\displaystyle \Rightarrow a_n=\frac{2^{n+1}+1}{2^{n+1}-1}\)

相關討論與題目： https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=2#pid2434

作者: weiye 時間: 2013-12-26 00:28 標題: 回復 33# kittyyaya 的帖子

填充題第 10 題的 \(\overline{BC}, \overline{DC}\) 可以利用雙重根號的化簡，

　　　　　　　或是先求 \(\left(\overline{BC}+\overline{DC}\right)^2\) ，算完再開根號也可以。

計算題第 1 題，我的答案也是 \(\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{2}\)

（\(z_1=x+yi\) 滿足 \(x-2y-5=0\)，\(\triangle ABO\) 是一個 \(30^\circ-60^\circ-90^\circ\) 的直角三角形。）

作者: mathca 時間: 2016-1-3 20:24 標題: 回復 1# mandy 的帖子

請教填充第9題，感謝。

作者: thepiano 時間: 2016-1-3 20:35 標題: 回復 36# mathca 的帖子

第 9 頁
第一頁，寸絲大已解
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1459&page=1#pid6940

作者: mathca 時間: 2016-1-3 20:46 標題: 回復 37# thepiano 的帖子

抱歉沒注意看到題號夾在P=底下，以為整題都是第4題。感謝。

歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/)

論壇程式使用 Discuz! 6.1.0