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標題: 101復興高中二招 [打印本頁]

作者: agan325 時間: 2012-7-2 16:33 標題: 101復興高中二招

就小弟的印象記憶法，僅供大家參考和討論(題號無法清楚背誦，很抱歉！)
1. 袋中有2個白球和4個紅球，朱哥手中有1個白球，規則為從袋中取一球，在將手中的球放入袋中。每次取球機率都相等，且第三次取出為白球，求第六次取出白球的機率為何？？
2. 甲乙丙三人打靶的機率為\(\alpha 、\beta 、\gamma \)，且\(\alpha < \beta < \gamma \)。三個人都沒打中靶的機率為\(\frac{4}{15}\)，洽中一發的機率為\(\frac{7}{15}\)，洽中兩發的機率為\(\frac{7}{30}\)，且都是獨立事件，求\(\alpha 、\beta 、\gamma \)=？？
3. 若a、b、c、d、e為 \(X^5-2X^4+3X^3-4X^2+5X-6\)的五個根，請求\(\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}+\frac{1}{1-d}+\frac{1}{1-e}\)=？？
4.請證明\(\sum_{K=1}^{n}K^{4}\)
5.若\(Z\)為一個複數，且\(\left | Z \right |\leq \frac{1}{2}\)，請求出 \(Arg(1+Z)\)=？？
6.解出\(cos4\theta =sin\theta\)，且\(0\leq \theta \leq 2\pi \)
7.證明\(X^{n+1}+n> X(n+1)\)
8.計算出\(y^2=x(x-4)^2\)的面積=？？
9.有一個橢圓為\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，且\(a>b>0\)，若在橢圓上找一個點為成一個梯形，且下底為長軸，試問此梯形面積最大值為=？？

如果有任何記錯題目的部分，還希望各位老師多多指教！！

自己想要問第5題和第8題！多謝各位老師

(第八題已修改！多謝！)

【註：weiye 將八神庵所提供之官方公告版試題附加於附件。101.07.04】

附件: 101復興高中(二招).pdf (2012-7-4 23:23, 116.74 KB) / 該附件被下載次數 8955
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1338&k=56276460b9165ff1b2484d563fce89ab&t=1732299083

作者: katama5667 時間: 2012-7-2 17:24 標題: 回復 1# agan325 的帖子

第5題
畫個圖就解出來了啊！

\(z\) 原在以複數平面上的原點為圓心，半徑為 \(\frac{1}{2}\) 的圓內與圓上

則 \(1+z\) 即整個圓右移 \(1\) 單位，所以 \(1+z\) 與原點的連線就在上圖中兩條綠色線的夾角區域

所以 \(0\leq Arg(1+z)\leq \frac{\pi}{6},~\frac{11\pi}{6}\leq Arg(1+z)<2\pi\)

第8題

應該是求所圍區域的面積吧！
如圖：

所求面積為

\(2\int^{2}_{0} \sqrt{x(x-2)^2}dx=2\int^{2}_{0} (2-x)\sqrt{x}dx = 2\int^{2}_{0} (2x^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{3}{2}})dx \)

\(=2 \left( \frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} \right)^{2}_{0}=\frac{32}{15}\sqrt{2}\)

樓下說題目應該為 \(y^2=x(x-4)^2\) ，那圖形類似上述

做法也一樣得，面積為 \(2\int^{4}_{0} \sqrt{x(x-4)^2}dx=\frac{256}{15}\)

[ 本帖最後由 katama5667 於 2012-7-4 09:56 PM 編輯 ]

作者: brace 時間: 2012-7-3 00:56 標題: 可以請教第七題證明題嗎?

可以請教第七題證明題嗎?謝謝

作者: chung4033b 時間: 2012-7-3 02:22 標題: 第八題

y^2=x(x-4)^2

作者: tacokao 時間: 2012-7-3 09:10 標題: 回復 3# brace 的帖子

我是假設\(f(x)=x^{n+1}+n-x(n+1)\)，再用一次微分及二次微分做，題目好像有給x>1，利用一次微分及二次微分判定遞增及開口向上且當x=1時，f(1)=0，所以當x>1時，f(x)>0。所以\(x^{n+1}+n>x(n+1)\)。題目感覺有點像新北市聯招的一題計算題。

[ 本帖最後由 tacokao 於 2012-7-3 09:11 AM 編輯 ]

作者: 八神庵 時間: 2012-7-4 21:26

題目有公告喔
如附件

【註：weiye 將八神庵所提供之官方公告版試題附加於首篇之附件。101.07.04】

作者: yaung 時間: 2012-7-4 22:08 標題: 回復 1# agan325 的帖子

因為他沒有公告答案，我想確認自己有沒有算錯，請問有老師可以提供答案嗎?謝謝

作者: yaung 時間: 2012-7-4 22:09

引用:

原帖由 yaung 於 2012-7-4 10:08 PM 發表
因為他沒有公告答案，我想確認自己有沒有算錯，請問有老師可以提供答案嗎?謝謝

另外想請問第二題，謝謝

作者: lukehuang 時間: 2012-7-5 00:04 標題: 證明題不知道是否可以這樣做?

利用算幾不等式證明，因為x>1，等號不成立，只有大於符號成立，

根據算幾不等式
\( \displaystyle \frac{x^{n+1}+(1+1+\ldots+1)}{n+1}>\root{n+1} \of {x^{n+1}\times (1 \times 1 \times \ldots \times 1)}=\root{n+1} \of {x^{n+1}}=x \)

\( x^{n+1}+n>x(n+1) \)

作者: tacokao 時間: 2012-7-11 20:48 標題: 想請教第2題的數列

已知兩數列 { an } 與 { bn } 有以下的關係：a_n＋3＝3a_n－10b_n，b_n＋3＝2a_n－7b_n；a_n＋5＝7a_n－25b_n，b_n＋5＝5a_n－18b_n，其中 n 為自然數。若a_n＋1＝pa_n＋qb_n，b_n＋1＝ra_n＋sb_n，試求數對 ( p，q，r，s )。

我用了矩陣去做，但怎麼都換不出a_n+1與a_n及b_n的關係，不知道哪出錯？

作者: andyhsiao 時間: 2012-7-11 22:09

臨時寫的...不知道對不對...^^看看先

圖片附件: 1.jpg (2012-7-11 22:09, 57.5 KB) / 該附件被下載次數 4464
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1383&k=b89324d45e6dd6ac42a8c63d64f01a39&t=1732299083

作者: weiye 時間: 2012-7-11 23:16 標題: 回復 10# tacokao 的帖子

第 2 題：

令 \(\displaystyle A=\left[\begin{array}{cc}p&q\\ r&s\end{array}\right]\)，則

依題意可得 \(\displaystyle \displaystyle A^3=\left[\begin{array}{cc}3&-10\\ 2&-7\end{array}\right]\) 且 \(\displaystyle A^5=\left[\begin{array}{cc}7&-25\\ 5&-18\end{array}\right]\)

因為 \(\det(A^5)=-1\neq0\)，可知 \(A^5\) 為可逆矩陣，

因此，\(\displaystyle A=\left(A^3\right)^2\cdot \left(A^5\right)^{-1}=\left[\begin{array}{cc}3&-10\\ 2&-7\end{array}\right]^2\cdot\frac{1}{-1}\left[\begin{array}{cc}-18&25\\ -5&7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2&-5\\ 1&-3\end{array}\right]\)

作者: tacokao 時間: 2012-7-12 08:48 標題: 回復 12# weiye 的帖子

我了解了，感謝andyhsiao及weiye老師的解答，感謝。

作者: maymay 時間: 2012-7-16 22:39 標題: 請教1,謝謝

作者: ilikemath 時間: 2012-11-10 16:09

想請教第1和6題
感謝

作者: tsusy 時間: 2012-11-10 16:54 標題: 回復 15# ilikemath 的帖子

第一題令 \( p_n \) 為第 n 次取到白球的機率，前手上是白或紅，可得遞迴式：

\( p_{n+1}=\frac{1}{3}p_{n}+\frac{1}{2}(1-p_{n})=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}p_{n} \)

\( p_{0}=1, p_{1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}=\frac{1}{3}, p_{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{3}=\frac{4}{9}, p_{3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\cdot\frac{4}{9}=\frac{23}{54} \)。

\( P( 6th W \mid 3rd W)=p_{3}=\frac{23}{54} \) (Markov chain)

第六題由參數式假設另兩點(不在 x 軸上) 的坐標為 \( (\pm a\cos\theta,b\sin\theta) \), 其中 \( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \)

故等腰梯形之面積為 \( (2a+2a\cos\theta)\cdot b\sin\theta\cdot\frac{1}{2}=ab(1+\cos\theta)\sin\theta \)

利用二倍角公式可得 \( (1+\cos\theta)\sin\theta=2\cos^{2}\frac{\theta}{2}\cdot2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}=4\cos^{3}\frac{\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2} \)

再由算幾不等式 \( \displaystyle \frac{1}{4}=\frac{\frac{1}{3}\cos^{2}\frac{\theta}{2}+\frac{1}{3}\cos^{2}\frac{\theta}{2}+\frac{1}{3}\cos^{2}\frac{\theta}{2}+\sin^{2}\frac{\theta}{2}}{4}\geq\sqrt[4]{\frac{\cos^{6}\frac{\theta}{2}\sin^2\frac{\theta}{2}}{27}} \)

因此當 \( \frac{\theta}{2}=\tan^{-1}\frac{1}{\sqrt{3}}=30^{\circ} \) 時，梯形面積有最大面積 \( 4\cdot\frac{3\sqrt{3}}{2^{4}}ab=\frac{3\sqrt{3}}{4}ab \)。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-12-31 10:00 AM 編輯 ]

作者: casanova 時間: 2012-11-12 22:22

請問第三題的三角函數怎麼做呢？

作者: weiye 時間: 2012-11-13 10:31 標題: 回復 17# casanova 的帖子

(依官方公布版題號)

第 3 題：解方程式 \(\cos 4\theta=\sin\theta\)，其中 \(0\leq\theta<2\pi\)。

解：

\(\cos 4\theta=\sin\theta\)

\(\displaystyle\Rightarrow\cos 4\theta=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)\)

\(\displaystyle\Rightarrow 4\theta = \frac{\pi}{2}-\theta+2k\pi\) 或 \(\displaystyle 4\theta = \theta-\frac{\pi}{2}+2k\pi\)，其中 \(k\in\mathbb{Z}\)

\(\displaystyle\Rightarrow \theta = \frac{(1+4k)\pi}{10}\) 或 \(\displaystyle \theta = \frac{(-1+4k)\pi}{6}\) ，其中 \(k\in\mathbb{Z}\)

且因為 \(0\leq\theta<2\pi\)，所以 \(\displaystyle \theta=\frac{\pi}{10},\frac{5\pi}{10},\frac{9\pi}{10},\frac{13\pi}{10},\frac{17\pi}{10},\frac{3\pi}{6},\frac{7\pi}{6},\mbox{ 或 }\frac{11\pi}{6}\)

作者: kittyyaya 時間: 2013-5-21 20:38

請問老師們第10題如何利用3個基本sigma公式去導出 4次方的sigma
謝謝

[ 本帖最後由 kittyyaya 於 2013-5-21 08:41 PM 編輯 ]

作者: zeratulok 時間: 2013-5-21 21:00 標題: 回復 19# kittyyaya 的帖子

101中一中第一題，沒記錯一心老師有解過

作者: Callmeluluz 時間: 2014-10-13 11:59 標題: 回復 20# zeratulok 的帖子

不好意思想請教一下

101台中一中
https://math.pro/db/thread-1334-1-5.html
好像不是用和平方和立方合來導出四次方合

想請問要如何用和平方和立方合來導出四次方合呢?

另外想請教第九題

感謝老師們的指點

作者: thepiano 時間: 2014-10-13 12:46 標題: 回復 21# Callmeluluz 的帖子

參考李政豐老師的大作
http://ppt.cc/Gwc-

第9題
\(\begin{align}
& f\left( x \right)=\left( x-a \right)\left( x-b \right)\left( x-c \right)\left( x-d \right)\left( x-e \right) \\
& f\,'\left( x \right)=\left( x-b \right)\left( x-c \right)\left( x-d \right)\left( x-e \right)+ \\
& \left( x-a \right)\left( x-c \right)\left( x-d \right)\left( x-e \right)+ \\
& \left( x-a \right)\left( x-b \right)\left( x-d \right)\left( x-e \right)+ \\
& \left( x-a \right)\left( x-b \right)\left( x-c \right)\left( x-e \right)+ \\
& \left( x-a \right)\left( x-b \right)\left( x-c \right)\left( x-d \right) \\
& \frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}+\frac{1}{1-d}+\frac{1}{1-e}=\frac{f\,'\left( 1 \right)}{f\left( 1 \right)} \\
\end{align}\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-10-13 01:04 PM 編輯 ]

作者: tsusy 時間: 2014-10-14 10:11 標題: 回復 21# Callmeluluz 的帖子

101 台中一中某題
\( \displaystyle \sum_{k=1}^n (k+1)^5 = \sum_{k=1}^n\left(k^5+5k^4+10k^3+10k^2+5k+1 \right ) \)

\( \displaystyle \Rightarrow (n+1)^5-1 = \sum_{k=1}^n 5k^4 + \sum_{k=1}^n \left(10k^3+10k^2+5k+1 \right ) \)

\( \displaystyle \Rightarrow 5\sum_{k=1}^nk^4 = (n+1)^5-1 - \sum_{k=1}^n \left(10k^3+10k^2+5k+1 \right ) \)

\( \displaystyle \Rightarrow \sum_{k=1}^nk^4 = \frac{(n+1)^5-1 - \displaystyle \sum_{k=1}^n \left(10k^3+10k^2+5k+1 \right )}{5} \)

將 1,2,3 次的公式代入得 \( \displaystyle \sum_{k=1}^nk^4 = \frac{n^5}5 + \frac{n^4}2 + \frac{n^3}3 - \frac{n}{30} \)

作者: jackyxul4 時間: 2015-4-1 11:53 標題: 回復 23# tsusy 的帖子

有更簡潔一點點的方法
用(k+1)^5-(k-1)^5
會把中間三次方的項消掉，化簡起來比較方便

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