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標題: 101新化高中代理 [打印本頁]

作者: redik 時間: 2012-6-19 15:25 標題: 101新化高中代理

如附件

個人想請教填充1、16、18

(第16題好眼熟)

附件: 101新化高中（代理）.pdf (2012-6-26 15:57, 284.67 KB) / 該附件被下載次數 11253
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1276&k=03d91754fa0968086fa85ad2ee1c7ac5&t=1732258397

作者: 老王 時間: 2012-6-19 20:05 標題: 回復 1# redik 的帖子

第1題
設\( a_n=2^{n-1} \)，\( n \)是正整數，求\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{(1+2^{a_1})(1+2^{a_2})(1+2^{a_3})\ldots (1+2^{a_n})}{2^{a_1+a_2+\ldots+a_n}}= \)？

\(\displaystyle a_1+a_2+\cdots+a_n=1+2+4+\cdots+2^{n-1}=2^n-1 \)
\(\displaystyle (1+2)(1+2^2)(1+2^4)\cdots(1+2^{2^{n-1}}) \)
\(\displaystyle =(2-1)(1+2)(1+2^2)(1+2^4)\cdots(1+2^{2^{n-1}}) \)
\(\displaystyle =(2^2-1)(1+2^2)(1+2^4)\cdots(1+2^{2^{n-1}}) \)
\(\displaystyle =(2^4-1)(1+2^4)(1+2^8)\cdots(1+2^{2^{n-1}}) \)
\(\displaystyle =2^{2^n}-1 \)
\(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2^{2^n}-1}{2^{2^n-1}}=2 \)
不知哪裡算錯??

第16題
二數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)、\( \langle\; b_n \rangle\; \)具有\( a_1=1 \),\( b_1=1 \)，且\( \forall n \in N \)，\( \cases{a_{n+1}=a_n-2b_n \cr b_{n+1}=a_n+4b_n} \)。求\( a_n= \)？

由(1) \(\displaystyle b_n=\frac{1}{2}a_n-\frac{1}{2}a_{n+1} \) 代入 (2)　得到
\(\displaystyle \frac{1}{2}a_{n+1}-\frac{1}{2}a_{n+2}=a_n+2a_n-2a_{n+1} \)
\(\displaystyle a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n=0 \)
特徵方程式為 \(\displaystyle x^2-5x+6=0 \) ，兩根 \( 2,3 \)
所以假設 \(\displaystyle a_n=c_1\times2^n+c_2\times3^n \)
由初始條件 \( a_1=1, a_2=1-2=-1 \) 代入解得 \( c_1=2, c_2=-1 \)
所以 \(\displaystyle a_n=2\times2^n-1\times3^n=2^{n+1}-3^n \)

第18題
\( \Delta ABC \)中，\( ∠B=90^{\circ} \)，且\( \overline{BC}=a \),\( \overline{CA}=b \),\( \overline{AB}=c \)，若\( \forall x \in R \)，恆有\( ax^2+bx+c \ge 0 \)，求\( ∠A \)之最大值？

\(\displaystyle b^2=a^2+c^2 \)
\(\displaystyle b^2-4ac \le 0 \)
所以 \(\displaystyle a^2-4ac+c^2 \le 0 \)
令 \(\displaystyle t=\tan A=\frac{a}{c} \)
\(\displaystyle t^2-4t+1 \le 0 \)
\(\displaystyle 2-\sqrt3 \le t \le 2+\sqrt3 \)
所以 \( \angle A \) 最大值為 \( 75^o \)

作者: redik 時間: 2012-6-20 11:26

引用:

原帖由老王於 2012-6-19 08:05 PM 發表
第一題
\(\displaystyle a_1+a_2+\cdots+a_n=1+2+4+\cdots+2^{n-1}=2^n-1 \)
\(\displaystyle (1+2)(1+2^2)(1+2^4)\cdots(1+2^{2^{n-1}}) \)
\(\displaystyle =(2-1)(1+2)(1+2^2)(1+2^4)\cdots(1+2^{2^{n-1}}) \)
...

感謝老王老師！

是說我算第一題答案也是2說....?所以是答案錯了嗎？

P.S.:

第8題我算f(-a)=b+c-a，f(-b)=a+c-b，f(-c)=a+b-c，接著就沒頭緒了

那時我答案直接代-1，0，1去解，可是不知道還有沒有正統的做法....

第13題我是想說先展開P(r1)P(r2)P(r3)P(r4),再用根與係數硬解，可以得到答案

可是不知道有沒有更好看的做法(式子實在不好做)

作者: tsusy 時間: 2012-6-20 11:39 標題: 回復 3# redik 的帖子

第8題
\( a \)、\( b \)、\( c \)為相異定實數，且\( \displaystyle f(x)=\frac{a(x+a)^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{b(x+b)^2}{(b-c)(b-a)}+\frac{c(x+c)^2}{(c-a)(c-b)} \)，求\( \displaystyle f \left( -\frac{a+b+c}{2} \right) \)？

改寫一下 \( f(-a) =a+b+c-2a \), \( f(-b) = a+b+c-2b \), \( f(-c) =a+b+c-2c \)
這樣應該就有會有頭緒了

第13 題
若\( x^4+x+1=0 \)之四根為\( r_1 \),\( r_2 \),\( r_3 \),\( r_4 \)，又\( p(x)=x^2-2 \)，求\( p(r_1)\times p(r_2) \times p(r_3) \times p(r_4) \)？

參考瑋岳老師在 99萬芳 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=969&page=1#pid2254 的做法

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-6-20 11:41 AM 編輯 ]

作者: arend 時間: 2012-6-20 13:49

請教第2題
展開常數項為-(2^3*3*5*67*503*a+48)

下來就沒頭緒

第17題
請教一下 , 毫無頭緒

第20題
P點到兩漸近線等距
那p就在共軛軸上?

此題a=4,b=3,所以c=5
不妨令中心在原點
方程式:y^2/16-x^2/9=1
兩漸近線為9y+16x=0 9y-16x=0
點p(x,0)到兩漸近線距離為8
所以x=25/2

我不知錯在哪裡?

請不吝指點

謝謝

作者: 老王 時間: 2012-6-20 16:33 標題: 回復 5# arend 的帖子

第2題
設\( a \)為整數，若多項式\( f(x)=(x-2012)(x-2010)(x-a)-48 \)有整係數一次因式，試求\( a \)？

題目是分解好的，不必展開；或是說，展開只要知道最高次項係數為 \( 1 \) ，所以有整數根；
設為 \( n \) ，那麼就是 \( (n-2010)(n-2012)(n-a)-48=0 \)
\( (n-2010)(n-2012)(n-a)=48 \)
注意到 \( (n-2010)-(n-2012)=2 \) ，去找可能的分解方式就可以求出。

第17題
如右圖設\( a>0 \)，點\( P(3a,a^2) \)在Γ：\( \displaystyle y=\frac{1}{9}x^2 \)上，點\( Q \)在\( x \)軸正向上，且\( \overline{OP}=\overline{OQ} \)，直線\( \overline{PQ} \)交\( y \)軸於\( R \)點，當\( P \)沿曲線Γ趨近於原點時，試求點\( R \)的極限位置坐標為？

沒啥好想法，就硬作
\(\displaystyle Q(\sqrt{a^4+9a^2},0) \)
\(\displaystyle PQ: y-a^2=\frac{a^2}{3a-\sqrt{a^4+9a^2}}(x-3a)=\frac{a}{3-\sqrt{a^2+9}}(x-3a) \)
\(\displaystyle R(0,a^2+\frac{3a^2}{\sqrt{a^2+9}-3}) \)
\(\displaystyle \lim_{a \rightarrow 0} (a^2+\frac{3a^2}{\sqrt{a^2+9}-3}) \)
\(\displaystyle =\lim_{a \rightarrow 0} (a^2+\frac{3a^2(\sqrt{a^2+9}+3)}{a^2+9-9}) \)
\(\displaystyle =\lim_{a \rightarrow 0} (a^2+3(\sqrt{a^2+9}+3))=18 \)

第20題
\( F_1 \),\( F_2 \)為圖中雙曲線Γ的兩個焦點，\( ABCD \)為矩形，兩直線\( AC \),\( BD \)為Γ的漸近線，若有一點\( P \)到兩漸近線的距離都是8，且\( P \)不在貫軸上，又\( \overline{AB}=8 \),\( \overline{AD}=6 \)，求\( \Delta PF_1 F_2 \)的面積？

漸近線是 \( 3y+4x=0, 3y-4x=0 \)

[ 本帖最後由老王於 2012-6-20 04:34 PM 編輯 ]

作者: rudin 時間: 2012-6-22 14:39 標題: 第7題

這題我可以偏微，但想請問幾何的解法？

[ 本帖最後由 rudin 於 2012-6-22 02:48 PM 編輯 ]

作者: jmfeng2001 時間: 2012-6-22 15:42

第7題
\( x,y \)為實數，求\( \sqrt{(x-4)^2+9}+\sqrt{(y-7)^2+1}+\sqrt{x^2+y^2} \)之最小值？

可以想成(-1,7)-(0,y)-(x,0)-(4,-3)之間距離和
所以直線為最短距離
即(-1,7)-(4,-3)間距離

作者: jmfeng2001 時間: 2012-6-22 18:01

請問各位老師
第11題
我算出99/512
跟答案不一樣...查了一下網路...跟2003AMC12的22題一樣...
是我哪裡算錯了嗎...
還想請問第12題...有點看不懂...
謝謝

作者: bugmens 時間: 2012-6-24 09:55

7.
x,y為實數，求\( \sqrt{(x-4)^2+9}+\sqrt{(y-7)^2+1}+\sqrt{x^2+y^2} \)之最小値

求\( \sqrt{x^2-12x+40}+\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2-8y+20} \)的最小值？
(95台南高商)

8.
a、b、c為相異定實數，且\( \displaystyle f(x)=\frac{a(x+a)^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{b(x+b)^2}{(b-c)(b-a)}+\frac{c(x+c)^2}{(c-a)(c-b)} \)，求\( \displaystyle f(-\frac{a+b+c}{2}) \)
(高中數學101 P81，99松山高中，https://math.pro/db/thread-1044-1-1.html)

11.
兩物體A與B經由一系列步驟同時等速在座標平面上移動，每次移動一個單位。物體A從(0,0)開始移動，且每一步驟是向右或向上，兩者機率一樣。物體B從(5,7)開始移動，且每一步驟是向左或向下，兩者機率一樣，則兩物體A與B相遇的機率為？

Objects A and B move simultaneously in the coordinate plane via a sequence of steps, each of length one. Object A starts at (0,0) and each of its steps is either right or up, both equally likely. Object B starts at (5,7) and each of its steps is either left or down, both equally likely. Which of the following is closest to the probability that the objects meet?
(A)0.10　(B)0.15　(C)0.20　(D)0.25　(E)0.30
(2003AMC12，http://www.artofproblemsolving.c ... 82&cid=44&year=2003)

12.
連續擲一個均勻公正骰子兩次。第一次出現x點，第二次出現y點，求\( \displaystyle \frac{x+y-|x-y|}{2} \)之期望値
(97松山家商，https://math.pro/db/thread-649-1-1.html)
感謝weiye解答

13.
若\( x^4+x+1=0 \)之四根為\( r_1,r_2,r_3,r_4 \)，又\( p(x)=x^2-2 \)，求\( p(r_1)\times p(r_2) \times p(r_3) \times p(r_4)= \)？

設方程式\( x^4+x+1=0 \)的四個複數根為\( r_1,r_2,r_3,r_4 \)，若\( P(x)=x^2-3 \)，則\( P(r_1) \times P(r_2) \times P(r_3) \times P(r_4) \)
(99萬芳高中，https://math.pro/db/thread-969-1-1.html)

16.
二數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)、\( \langle\; b_n \rangle\; \)具有\( a_1=1 \)，\( b_1=1 \)，且\( \forall n \in N \)，\( \cases{a_{n+1}=a_n-2b_n \cr b_{n+1}=a_n+4b_n} \)。求\( a_n \)

設\( \displaystyle \cases{a_n=a_{n-1}-2b_{n-1} \cr b_n=a_{n-1}+4b_{n-1}} \)表為\( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{a_n \cr b_n} \Bigg]\ =A \Bigg[\; \matrix{a_{n-1} \cr b_{n-1}} \Bigg]\ \)
(1)令\( \displaystyle P=\Bigg[\; \matrix{1 & 2 \cr -1 & -1} \Bigg]\ \)時，求\( P^{-1}AP \)
(2)利用\( P^{-1}A^n P=(P^{-1}AP)^n \)( \( n \in N \) )，求\( A^n \)
(3)數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)，\( \langle\; b_n \rangle\; \)，\( a_1=b_1=1 \)，求\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n} \)
(九十學年度台中區指定考科數學甲試題，http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/rab/Ra511.swf)
(北區公立高中100學年度第2次數學甲指定科目複習考試，http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/rab/RA660.swf)

21.
某籃球選手經常作罰球線投籃練習，依過去經驗，當他前一球投進時，下一球的命中率為\( \displaystyle \frac{4}{5} \)；當他前一球不進時，下一球的命中率為\( \displaystyle \frac{3}{5} \)，設此選手第一球投進，試求第n球投進的機率為？

[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-6-24 03:12 PM 編輯 ]

作者: jmfeng2001 時間: 2012-6-24 10:33

感謝...
二題都懂了...
謝謝bugmens老師

作者: katama5667 時間: 2012-6-25 18:18 標題: 回復 9# jmfeng2001 的帖子

你可以參考此篇中第一題的解答

作者: jmfeng2001 時間: 2012-6-25 21:01

已瞭解...
感謝katama5667老師

作者: rudin 時間: 2012-6-25 21:21 標題: 第14題

可參考wieye在以下的解法99 台中二中教甄第5題https://math.pro/db/thread-934-1-5.html

[ 本帖最後由 rudin 於 2012-6-25 09:24 PM 編輯 ]

作者: larson 時間: 2012-7-2 17:01

引用:

原帖由 jmfeng2001 於 2012-6-22 06:01 PM 發表
請問各位老師
第11題
我算出99/512
跟答案不一樣...查了一下網路...跟2003AMC12的22題一樣...
是我哪裡算錯了嗎...
還想請問第12題...有點看不懂...
謝謝

想請問99/512 是否是正確答案？

想再請問19題作法，立體很弱！

[ 本帖最後由 larson 於 2012-7-2 05:06 PM 編輯 ]

圖片附件: [11題] 11.JPG (2012-7-2 17:01, 35.31 KB) / 該附件被下載次數 6494
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1328&k=0ae54389c739a379705052f55ee6c3a6&t=1732258397

作者: katama5667 時間: 2012-7-2 18:01 標題: 回復 15# larson 的帖子

第19題
\( \Delta ABC \)中，\( A(4,0,0) \),\( B(0,4,0) \),\( C(0,0,4) \)，\( M \)為\( \overline{BC} \)中點，今將\( C \)點沿\( \overline{AM} \)對折至\( C' \)點使\( \overline{BC'}=2\sqrt{2} \)，則\( C' \)點坐標為？

可知\(M(0,2,2)\)，且\(\overrightarrow{MA}=2(2,-1,-1) \)，
令\(C'(a,b,c)\)
依題意可知
(1)\(\overrightarrow{MA}\perp \overrightarrow{MC'}\Rightarrow (a-0,b-2,c-2)\cdot (2,-1,-1)=0\Rightarrow 2a-b-c=-4 \)
(2)\(\overline{BC'}=2\sqrt{2}\Rightarrow (a-0)^2+(b-4)^2+(c-0)^2=8\Rightarrow a^2+b^2+c^2-8b=-8\)
(3)\(\overline{MC'}=2\sqrt{2}\Rightarrow (a-0)^2+(b-2)^2+(c-2)^2=8\Rightarrow a^2+b^2+c^2-4b-4c=0\)

(3)-(2)，化簡得 \(b=2+c\)
再代入(1)，化簡得 \(c=1+a\Rightarrow b=3+a\)
最後全代入(2)，計算得\(a=\pm \sqrt{2}\)

所以\(C'(\sqrt{2},3+\sqrt{2},1+\sqrt{2})\) 或\(C'(-\sqrt{2},3-\sqrt{2},1-\sqrt{2})\)

[ 本帖最後由 katama5667 於 2012-7-2 06:03 PM 編輯 ]

作者: l123eric 時間: 2012-7-5 00:46 標題: 請教第22題

我怎麼算都是2/7

作者: katama5667 時間: 2012-7-5 07:54 標題: 回復 17# l123eric 的帖子

第22題
有一箱子內一開始裝有 2個白球，[u]曉明[/u]從箱子內玩抽球遊戲，每一次[u]曉明[/u]從箱子中任取一球，取完球後再擲一骰子，若出現 3 的倍數的點數，則另取一個黑球與所抽出的球交換並將黑球放入箱子內，否則另取一個白球與所抽出的球交換並將白球放入箱子內，使箱子內仍保持 2 個球，再做下一次抽取，求[u]曉明[/u]抽很多次後，箱子內有 2 個白球的機率？

先求出(2白，1白1黑，2黑) ==> (2白，1白1黑，2黑) 的轉移矩陣

\(\begin{bmatrix}
\frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0\\\\
\frac{1}{3} & \frac{1}{2} & \frac{2}{3}\\\\
0 & \frac{1}{6} & \frac{1}{3}
\end{bmatrix}\)

令最後平衡時 (2白,1白1黑,2黑) 的機率分別為 \(x,y,z\)

則 \(\begin{bmatrix}
\frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0\\\\
\frac{1}{3} & \frac{1}{2} & \frac{2}{3}\\\\
0 & \frac{1}{6} & \frac{1}{3}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x \\\\
y \\\\
z
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
x \\\\
y \\\\
z
\end{bmatrix}\)

則可解出 \(x:y:z=4:4:1\)

故所求即 \(x=\frac{4}{9}\)

作者: l123eric 時間: 2012-7-11 00:35 標題: 回復 18# katama5667 的帖子

我想請問一下做到這種轉移矩陣，真的好耗時，光是對角化就要花很多時間，
這題為什麼可以這樣做?

作者: Ellipse 時間: 2012-7-11 13:28

引用:

原帖由 l123eric 於 2012-7-11 12:35 AM 發表
我想請問一下做到這種轉移矩陣，真的好耗時，光是對角化就要花很多時間，
這題為什麼可以這樣做?

這題並沒有用到對角化
了解作法後,也不會花很多時間
還是請您看一下99課綱
第四冊第3章
裡面有完整說明轉移矩陣定義
以及穩定狀態要如何求
若有問題再上來問~

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2012-7-11 01:30 PM 編輯 ]

作者: l123eric 時間: 2012-7-12 01:25 標題: 回復 20# Ellipse 的帖子

感謝你，我懂了穩定狀態不用對角化，就可用上面方法做。但遇到不是求穩定狀態還是要乖乖的對角化

作者: redik 時間: 2012-7-22 21:12

引用:

原帖由 tsusy 於 2012-6-20 11:39 AM 發表
第 8 題. 還沒看題目

改寫一下 \( f(-a) =a+b+c-2a \), \( f(-b) = a+b+c-2b \), \( f(-c) =a+b+c-2c \)

這樣應該就有會有頭緒了

13 題，參考瑋岳老師在 99萬芳 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=969&page=1#pid2254 ...

感謝寸絲老師跟bugmens老師

老實說我還是沒有想出來XD

查一查高中101才發現，果然我還是天資駑鈍orz

作者: maymay 時間: 2012-8-13 17:11 標題: 第11題

圖片附件: IMAG1163.jpg (2012-8-13 17:11, 106.87 KB) / 該附件被下載次數 6117
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1420&k=5f5c775474b7eb8b87d1aab0f02c9b4d&t=1732258397

作者: 吳東岳 時間: 2012-10-9 14:22 標題: 回復 23# maymay 的帖子

99/512應該才是正解吧?

兩物體是可以在座標平面上運動的

並非侷限於四邊形中 (題目並沒有說A一定要走到B點且B一定要走到A點)

作者: kittyyaya 時間: 2014-3-24 22:50

請問各位老師
填充題 a=2059 如何找的謝謝

作者: thepiano 時間: 2014-3-25 08:04

（x-2012)(x-2010)(x-a)=(-1)*1*(-48)

作者: Ellipse 時間: 2014-3-25 10:31

引用:

原帖由 thepiano 於 2014-3-25 08:04 AM 發表
（x-2012)(x-2010)(x-a)=(-1)*1*(-48)

這種題型,光是家齊女中就考過兩次

作者: kittyyaya 時間: 2014-3-27 00:57

可以再請問老師們
填充15題和23題嗎謝謝

[ 本帖最後由 kittyyaya 於 2014-3-27 01:01 AM 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2014-3-27 08:35

第23題
如圖，\( \overline{AB}⊥\overline{AC} \)且\( \overline{AB}⊥L \)於\( B \)，\( \overline{AB}=14 \)，\( \overline{AC}=3 \)，\( P \)、\( Q \)分別為\( \overline{AB} \)、\( L \)上的動點，滿足\( ∠CPQ=90^{\circ} \)，求\( \Delta CPQ \)的最大面積為？

令 AP = x
由 AP：AC = BQ：BP 得 BQ = -(1/3)x^2 + (14/3)x

△CPQ = ABQC - △APC - △BPQ = -(1/6)x^3 + (7/3)x^2 - (3/2)x + 21
微分可知 x = 9 時，△CPQ 有最大值 75

作者: weiye 時間: 2014-3-27 09:19 標題: 回復 28# kittyyaya 的帖子

填充第 15 題：

設 \(O,P,Q,R\) 分別表示在複數平面上的原點、\(z_1, z_2, z_1+z_2\)，

設 \(\theta=\angle{POQ}\)

則 \(\overline{OR}^2 = \overline{OP}^2+\overline{PR}^2-2\cdot\overline{OP}\cdot\overline{PR}\cdot\cos\left(\pi-\theta\right)\)

\(\Rightarrow 7 = 3^2+5^2-2\cdot3\cdot5\cdot\cos\left(\pi-\theta\right)\)

\(\displaystyle\Rightarrow \cos\theta=\frac{1}{2}\)

\(\displaystyle\Rightarrow \theta=\frac{\pi}{3}\)

因此，

\(\displaystyle\left(\frac{z_2}{z_1}\right)^3=\left(\frac{5}{3}\left(\cos\left(\pm\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(\pm\frac{\pi}{3}\right)\right)\right)^3\)

　　　　　　\(\displaystyle=\frac{125}{27}\left(\cos\left(\pm\pi\right)+i\sin\left(\pm\pi\right)\right)\)

　　　　　　\(\displaystyle=-\frac{125}{27}\)

作者: kittyyaya 時間: 2014-3-31 22:30 標題: 回復 30# weiye 的帖子

請問瑋岳老師
第三行為何是cos(pi-sita)
可否有圖解麻煩您了謝謝

作者: weiye 時間: 2014-3-31 23:01 標題: 回復 31# kittyyaya 的帖子

把平行四邊形 OPRQ 畫出來，

然後再把對角線 OR 畫出來，

看三角形 OPR，想想餘弦定理。

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