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https://math.pro/db/attachment.php?aid=1269&k=af424e7e8aa3b1638b1ff62369c3edd6&t=1603704746

$$\displaystyle z=\frac{6}{4x+3y}$$
$$\displaystyle \frac{4}{x}=1-2z+z^2$$
$$\displaystyle \frac{16}{y}=1+2z+z^2$$
$$\displaystyle \frac{16}{y}-\frac{4}{x}=4z$$
$$\displaystyle \frac{4x-y}{xy}=\frac{6}{4x+3y}$$
$$\displaystyle 16x^2+8xy-3y^2=6xy$$
$$\displaystyle (8x-3y)(2x+y)=0$$
$$\displaystyle 8x=3y$$
$$\displaystyle 1-\frac{6}{12x}=\frac{2}{\sqrt x}$$
$$\displaystyle 2x-4\sqrt x-1=0$$
$$\displaystyle \sqrt x=\frac{2+\sqrt6}{2}$$
$$\displaystyle x=\frac{5+2\sqrt6}{2}$$
$$\displaystyle y=\frac{20+8\sqrt6}{3}$$

$$\displaystyle \vec{OH}=3\vec{OG}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}$$

h ttp://project.hgsh.hc.edu.tw/DataBase/169.pdf(連結已失效)

##### 引用:

$$\displaystyle a_{k+1}=\frac{a_k}{1+a_k^2}<\frac{\displaystyle \frac{3}{4 \sqrt{k}}}{1+\left( \displaystyle \frac{3}{4 \sqrt{k}} \right)^2}=\frac{12}{\displaystyle 16 \sqrt{k}+\frac{9}{\sqrt{k}}}<\frac{12}{16\sqrt{k+1}}$$

$$\displaystyle f_1(x)=\frac{1+f(x)}{1-3f(x)}=\frac{1-x}{-1-3x}$$，$$\displaystyle f_2(x)=\frac{1+f_1(x)}{1-3f_1(x)}=x$$，$$\displaystyle f_3(x)=\frac{1+f_2(x)}{1-3f_2(x)}=f(x)$$，…

$$z^2+8=(a+bi)^2+8=8(cos 60^\circ+i sin 60^\circ)$$　即可解出$$z$$

(5紅)+(球數達10顆)$$=[C_4^4+C_4^5+C_4^6+C_4^7+C_4^8+C_4^9]+[C_0^{10}+C_1^{10}+C_2^{10}+C_3^{10}+C_4^{10}]=638$$

https://math.pro/db/attachment.php?aid=2610&k=2f70d38c1142116483e9e473c31e657b&t=1603704746

1.
$$\matrix{& & & & 1 & & & & \cr & & & 3 & & 3 & & & \cr & & 5 & & 6 & & 5 & & \cr & 7 & & 11 & & 11 & & 7 & \cr 9 & & 18 & & 22 & & 18 & & 9}$$

[解答]
$$\matrix{f(0) & & f(1) & & f(2) & & f(3) & & f(4) & & f(5) & & f(6) \cr -3 & & 0 & & 2 & & 5 & & 11 & & 22 & & 40 \cr & 3 & & 2 & & 3 & & 6 & & 11 & & 18 & \cr & & -1 & & 1 & & 3 & & 5 & & 7 & & \cr & & & 2 & & 2 & & 2 & & 2 & }$$
$$f(n)=-3 \times C_0^n+3 \times C_1^n-1 \times C_2^n+2 \times C_3^n$$

6.

$$\displaystyle \frac{1}{3}(2^n+2cos\frac{n \pi}{3})$$

(1)比較A與B的大小關係。
(2)計算A值。

1.

[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-6-22 06:10 AM 編輯 ]

##### 引用:

Log (14,k^3+k^2+k) > Log (64,k^6)=Log(2,k)

##### 引用:

Log (14,k^3+k^2+k) > Log (64,k^6)=Log(2,k)

Ellipse老師妳好

x>64, 好像也成立

[ 本帖最後由 arend 於 2012-6-26 12:32 AM 編輯 ]

$$f(k)=k^{2}+k+1-k^{t}, f(0)=f(2)=0$$,

$$f'(k)=2k+1-tk^{t-1}, f'(0)=1$$, 注意 $$t=\log_{2}7>2$$。

$$\Rightarrow f'(x)>0$$ on $$[0,s)$$, $$f'(x)<0$$ on $$(s,\infty)\Rightarrow f$$ 在 $$[0,\infty)$$ 先遞增至 $$x=s$$ 處，之後遞減。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-6-25 11:20 AM 編輯 ]

$$\displaystyle \log_{14}(k+k^2+k^3) > \log_2 k$$

$$\displaystyle \log_{14}(2^y+4^y+8^y) > y$$
$$\displaystyle 2^y+4^y+8^y > 14^y$$
$$\displaystyle (\frac{1}{7})^y+(\frac{2}{7})^y+(\frac{4}{7})^y > 1$$

$$\displaystyle (\frac{1}{7})^y+(\frac{2}{7})^y+(\frac{4}{7})^y < \frac{1}{7}+\frac{2}{7}+\frac{4}{7}=1$$

$$\displaystyle (\frac{1}{7})^y+(\frac{2}{7})^y+(\frac{4}{7})^y > \frac{1}{7}+\frac{2}{7}+\frac{4}{7}=1$$

$$\displaystyle 0 < x < 64$$

[ 本帖最後由 老王 於 2012-7-1 08:33 PM 編輯 ]

##### 引用:

$$\displaystyle \log_{14}(k+k^2+k^3) > \log_2 k$$

##### 引用:

Log (14,k^3+k^2+k) > Log (64,k^6)=Log(2,k)

1.請問ellipse老師，填充第9題要怎麼用圖形看呢？想了很久還是不知道。
2.請問計算題的2和3要怎麼證明呢？3之前有人貼解法，看不太懂。

##### 引用:

1.請問ellipse老師，填充第9題要怎麼用圖形看呢？想了很久還是不知道。
(以下是thepiano老師的說明)

log(14，k^3 + k^2 + k) 和 log(2，k) 在 (2，1) 相交

k = 1
log(14，k^3 + k^2 + k) = log(14，3) ＞ 0
log(2，k) = 0

k ＞ 2，log(14，k^3 + k^2 + k) ＜ log(2，k)

△ABC中，D為$$\overline{BC}$$上任一點，$$∠BAD=\alpha$$，$$∠CAD=\beta$$，$$∠ACD=\gamma$$，$$∠ABD=\delta$$，$$∠ADC=t$$，試證：$$sin(\alpha+\beta)\cdot sin(\beta+\gamma)=sin \alpha \cdot sin \gamma+sin \beta \cdot sin \delta$$。
[提示]

102.3.28補充

$$\displaystyle a_{k+1}=\frac{a_k}{1+a_k^2}<\frac{\displaystyle \frac{3}{4 \sqrt{k}}}{1+\left( \displaystyle \frac{3}{4 \sqrt{k}} \right)^2}=\frac{12}{\displaystyle 16 \sqrt{k}+\frac{9}{\sqrt{k}}}<\frac{12}{16\sqrt{k+1}}$$

1.先證明$$a_n>0$$(自己試著證明看看)
2.數學歸納法
$$\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}^2}=(a_n+\frac{1}{a_n})^2=a_n^2+2+\frac{1}{a_n^2}>2+\frac{16n}{9}>\frac{16(n+1)}{9}$$
$$\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}>\frac{4 \sqrt{n+1}}{3}$$

$$\displaystyle a_{n+1}<\frac{3}{4 \sqrt{n+1}}$$
(證明的過程等號不會成立)

##### 引用:

‧‧‧

$$=\sqrt{9t^2-36t+72}+\sqrt{9t^2-18t+18}$$

$$=\sqrt{\left(3t-6\right)^2+36}+\sqrt{\left(3t-3\right)^2+9}$$

$$\overline{QC}+\overline{QD}\geq \overline{CD}=3\sqrt{10}$$

$$C_0^n+C_3^n+C_6^n+\ldots+C_n^n=C_0^{6k}+C_3^{6k}+C_6^{6k}+\ldots+C_{6k}^{6k}$$

$$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$$
$$x^3-1=0$$三根為$$\omega,\omega^2,\omega^3=1$$　$$\displaystyle \omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$　$$\omega^2+\omega+1=0$$

$$(1+x)^{6k}=C_0^{6k}x^0+C_1^{6k}x+C_2^{6k}x^2+C_3^{6k}x^3+\ldots+C_{6k}^{6k}x^{6k}$$
$$x=1$$　$$2^{6k}=C_0^{6k}+C_1^{6k}+C_2^{6k}+C_3^{6k}+\ldots+C_{6k}^{6k}$$
$$x=\omega$$　$$(1+\omega)^{6k}=C_0^{6k}\omega^0+C_1^{6k}\omega^1+C_2^{6k}\omega^2+C_3^{6k}\omega^3+\ldots+C_{6k}^{6k}\omega^{6k}$$
$$x=\omega^2$$　$$(1+\omega^2)^{6k}=C_0^{6k}(\omega^2)^0+C_1^{6k}(\omega^2)^1+C_2^{6k}(\omega^2)^2+C_3^{6k}(\omega^2)^3+\ldots+C_{6k}^{6k}(\omega^2)^{6k}$$

$$2^{6k}+(1+\omega)^{6k}+(1+\omega^2)^{6k}=3(C_0^{6k}+C_3^{6k}+C_6^{6k}+\ldots+C_{6k}^{6k})$$
$$1+\omega=-\omega^2$$，$$(1+\omega)^{6k}=(-\omega^2)^{6k}=(\omega^3)^{4k}=1$$

$$\displaystyle C_0^{6k}+C_3^{6k}+C_6^{6k}+\ldots+C_{6k}^{6k}=\frac{1}{3}(2^{6k}+1+1)=\frac{1}{3}(2^n+1+1)$$

f(0)= -3 是如何得到

-3      0      2
3      2
-1
2      2      2      2

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-11-3 05:19 PM 編輯 ]

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