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標題: 101松山家商 [打印本頁]

作者: 八神庵    時間: 2012-6-18 08:39     標題: 101松山家商

如題
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作者: bombwemg    時間: 2012-6-19 15:05

不好意思,想請教填充5 , 8 , 9 (印象中第8題好像哪裡看過...)
作者: 老王    時間: 2012-6-19 21:08     標題: 回復 2# bombwemg 的帖子

第5題
\(\displaystyle z=\frac{6}{4x+3y} \)
\(\displaystyle \frac{4}{x}=1-2z+z^2 \)
\(\displaystyle \frac{16}{y}=1+2z+z^2 \)
\(\displaystyle \frac{16}{y}-\frac{4}{x}=4z \)
\(\displaystyle \frac{4x-y}{xy}=\frac{6}{4x+3y} \)
\(\displaystyle 16x^2+8xy-3y^2=6xy \)
\(\displaystyle (8x-3y)(2x+y)=0 \)
\(\displaystyle 8x=3y \)
\(\displaystyle 1-\frac{6}{12x}=\frac{2}{\sqrt x} \)
\(\displaystyle 2x-4\sqrt x-1=0 \)
\(\displaystyle \sqrt x=\frac{2+\sqrt6}{2} \)
\(\displaystyle x=\frac{5+2\sqrt6}{2} \)
\(\displaystyle y=\frac{20+8\sqrt6}{3} \)


第8題
由尤拉線性質知道
\(\displaystyle \vec{OH}=3\vec{OG}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC} \)
然後就平方計算
作者: bombwemg    時間: 2012-6-19 22:43     標題: 回復 3# 老王 的帖子

謝謝老王,原來是尤拉線!
作者: yustarhunter    時間: 2012-6-19 23:20     標題: 回復 2# bombwemg 的帖子

第九題
h ttp://project.hgsh.hc.edu.tw/DataBase/169.pdf(連結已失效)
作者: jmfeng2001    時間: 2012-6-20 20:47

不好意思...
想請問計算證明第三題...
是否是用數學歸納法...
但是...最後一步...想不出來...
想請教各位先進
謝謝
作者: tuhunger    時間: 2012-6-21 20:31

引用:
原帖由 jmfeng2001 於 2012-6-20 08:47 PM 發表
不好意思...
想請問計算證明第三題...
是否是用數學歸納法...
但是...最後一步...想不出來...
想請教各位先進
謝謝
計算三:已知\( a_0=1 \),且\( \displaystyle a_n=\frac{a_{n-1}}{1+a_{n-1}^2} \),其中\( n \)為任意正整數。試證:\( \displaystyle a_n \le \frac{3}{4 \sqrt{n}} \),\( n \in N \)。
我的方法參考看看  (我算了我總分扣填充題的得分,發現我這題應該有拿到分數)
\( \displaystyle a_{k+1}=\frac{a_k}{1+a_k^2}<\frac{\displaystyle \frac{3}{4 \sqrt{k}}}{1+\left( \displaystyle \frac{3}{4 \sqrt{k}} \right)^2}=\frac{12}{\displaystyle 16 \sqrt{k}+\frac{9}{\sqrt{k}}}<\frac{12}{16\sqrt{k+1}} \)
處,需再證:\( \displaystyle (16\sqrt{k}+\frac{9}{\sqrt{k}})-(16\sqrt{k+1})>0 \)
使用基本微分,即可證明
作者: tuhunger    時間: 2012-6-22 00:09     標題: 第2,3,4題

填充第二題:
設\( \displaystyle f(x)=\frac{1+x}{1-3x} \)。令\( f_1(x)=f(f(x)) \),且\( f_n(x)=f(f_{n-1}(x)) \),\( n \ge 2 \)且\( n \in N \),則\( f_{2012}(2012) \)之值為   

\( \displaystyle f_1(x)=\frac{1+f(x)}{1-3f(x)}=\frac{1-x}{-1-3x} \),\( \displaystyle f_2(x)=\frac{1+f_1(x)}{1-3f_1(x)}=x \),\( \displaystyle f_3(x)=\frac{1+f_2(x)}{1-3f_2(x)}=f(x) \),…
每三個一循環,故\( f_{2012}(x)=f_2(x)=x \)


填充第三題:
若\( z \)為複數,\( \displaystyle arg(z^2-8)=\frac{5 \pi}{6} \),\( \displaystyle arg(z^2+8)=\frac{\pi}{8} \),則\( z \)之值為   

\( z^2+8=(a+bi)^2+8=8(cos 60^\circ+i sin 60^\circ) \) 即可解出\( z \)



填充第四題:
在袋中有紅球、白球各100個,每次從中取出一個球,若為紅球即得1分,白球不計分,滿足下列任一條件即停止:(1)得分達5分,(2)取出球數達10個。試問取球過程會出現幾種不同的方法?   

(5紅)+(球數達10顆)\( =[C_4^4+C_4^5+C_4^6+C_4^7+C_4^8+C_4^9]+[C_0^{10}+C_1^{10}+C_2^{10}+C_3^{10}+C_4^{10}]=638 \)

圖片附件: 填充第3題.gif (2014-11-22 07:15, 2.87 KB) / 該附件被下載次數 2564
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作者: tuhunger    時間: 2012-6-22 00:14     標題: 我想問第1題

有高手可以幫忙解答第一題嗎?   orz
作者: bugmens    時間: 2012-6-22 05:37

1.
\( \matrix{& & & & 1 & & & & \cr
& & & 3 & & 3 & & & \cr
& & 5 & & 6 & & 5 & &  \cr
& 7 & & 11 & & 11 & & 7 & \cr
9 & & 18 & & 22 & & 18 & & 9} \)
如右圖所示,令第i行第k個數字為\( f(i,k) \),此圖中之規則為\( f(i,1)=2i-1=f(i,i) \),且\( f(i,k)=f(i-1,k-1)+f(i-1,k) \),其中\( 2 \le k \le i-1 \)。則\( f(i,3) \)之值為?
[解答]
\( \matrix{f(0) & & f(1) & & f(2) & & f(3) & & f(4) & & f(5) & & f(6) \cr
-3 & & 0 & & 2 & & 5 & & 11 & & 22 & & 40 \cr
& 3 & & 2 & & 3 & & 6 & & 11 & & 18 & \cr
& & -1 & & 1 & & 3 & & 5 & & 7 & & \cr
& & & 2 & & 2 & & 2  & & 2 & } \)
\( f(n)=-3 \times C_0^n+3 \times C_1^n-1 \times C_2^n+2 \times C_3^n \)
我的教甄準備之路 找出圖形的規律 有更多類題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid5274


6.
已知\( n \in N \),且n為6的倍數,則\( C_0^n+C_3^n+C_6^n+...+C_n^n \)之值為

求\( C_0^n+C_3^n+C_6^n+...+C_{3m-3}^n+C_{3m}^n \),其中\( 3m \)是不大於n的最大的3的倍數
神奇的複數 如何利用複數解中學數學難題P24
\( \displaystyle \frac{1}{3}(2^n+2cos\frac{n \pi}{3}) \)

觀察\( \displaystyle C_0^n+C_1^n+...+C_n^n=(C_0^n+C_3^n+C_6^n+...)+(C_1^n+C_4^n+...)+(C_2^n+C_5^n+...) \)
令\( \displaystyle A=C_0^n+C_3^n+C_6^n+...+C_{3k}^{3k} \),\( \displaystyle B=C_1^{3k}+C_4^{3k}+...+C_{3k-2}^{3k} \),\( k \in N \)
(1)比較A與B的大小關係。
(2)計算A值。
(100桃園縣現職教師高中聯招,https://math.pro/db/thread-1106-1-1.html)


計算與證明題
1.
設\( a>b>0 \),則橢圓\( \displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \)之內接三角形面積最大値為何?試證之。
老王的夢田
橢圓內接面積最大三角形(上),http://tw.myblog.yahoo.com/oldblack-wang/article?mid=3421
橢圓內接面積最大三角形(下),http://tw.myblog.yahoo.com/oldblack-wang/article?mid=3429

[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-6-22 06:10 AM 編輯 ]
作者: WAYNE10000    時間: 2012-6-24 09:39     標題: 想請問填充9

底數不是很漂亮

請問此題如何拆解?

謝謝
作者: Ellipse    時間: 2012-6-24 10:24

引用:
原帖由 WAYNE10000 於 2012-6-24 09:39 AM 發表
底數不是很漂亮

請問此題如何拆解?

謝謝
這題表面上看起來不好解
其實是在考圖形觀念
令x=k^6
原式<=>
Log (14,k^3+k^2+k) > Log (64,k^6)=Log(2,k)
只有當0<k^3+k^2+k<14 且0<k<2 (why? 請想一下)
才會符合不等式的解
解出0<k<2
所以0<x<64
作者: arend    時間: 2012-6-24 21:22

引用:
原帖由 Ellipse 於 2012-6-24 10:24 AM 發表


這題表面上看起來不好解
其實是在考圖形觀念
令x=k^6
原式
Log (14,k^3+k^2+k) > Log (64,k^6)=Log(2,k)
只有當0
Ellipse老師妳好

您這做法很漂亮

我剛想了一下
若直接用14與64為底
由圖形結構來看
不等式恆成立時
x>64, 好像也成立

不知我哪裡疏忽,或是我沒弄懂你上面所做的

打擾一下

謝謝

[ 本帖最後由 arend 於 2012-6-26 12:32 AM 編輯 ]
作者: tsusy    時間: 2012-6-24 21:38     標題: 回復 12# Ellipse 的帖子

填充 9. 這題之前也卡住了,樓樓上的橢圓兄似有妙招

來個比較笨的方法,磨它一下

令 \( x=k^{6}, t=\log_{2}7 \),可化簡成 \( \ln(1+k+k^{2})>\ln k^{t}\Leftrightarrow k^{2}+k+1-k^{t}>0 \) 且 \( k>0 \)

\( f(k)=k^{2}+k+1-k^{t}, f(0)=f(2)=0 \),

\( f'(k)=2k+1-tk^{t-1}, f'(0)=1 \), 注意 \( t=\log_{2}7>2 \)。

所以 \( f'(k)  \) 在 \( [0,\infty) \),是有對像開口向下的拋物線,且與 \( x \) 軸有唯一交點 \( x=s \)。

\( \Rightarrow f'(x)>0 \) on \( [0,s) \), \( f'(x)<0 \) on \( (s,\infty)\Rightarrow f \) 在 \( [0,\infty) \) 先遞增至 \( x=s \) 處,之後遞減。

又 \( f(0)=f(2)=0 \),所以 \( f(x)=\begin{cases}
+ & ,\, x\in(0,2)\\
- & ,\, x>2\end{cases} \)

因此,其解為 \( (0,2) \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-6-25 11:20 AM 編輯 ]
作者: 老王    時間: 2012-7-1 20:31

第9題
令 \(\displaystyle \sqrt[6]{x}=k \)
原式整理成  
\(\displaystyle \log_{14}(k+k^2+k^3) > \log_2 k \)
再假設  \(\displaystyle \log_2 k=y, \Rightarrow k=2^y \)
又可整理成
\(\displaystyle \log_{14}(2^y+4^y+8^y) > y \)
\(\displaystyle 2^y+4^y+8^y > 14^y \)
\(\displaystyle (\frac{1}{7})^y+(\frac{2}{7})^y+(\frac{4}{7})^y > 1 \)

當 \( y=1 \) 時,\(\displaystyle \frac{1}{7}+\frac{2}{7}+\frac{4}{7} = 1 \)
所以當 \(\displaystyle y > 1 \) 時,
\(\displaystyle (\frac{1}{7})^y+(\frac{2}{7})^y+(\frac{4}{7})^y < \frac{1}{7}+\frac{2}{7}+\frac{4}{7}=1 \)
當 \(\displaystyle y < 1 \) 時,
\(\displaystyle (\frac{1}{7})^y+(\frac{2}{7})^y+(\frac{4}{7})^y > \frac{1}{7}+\frac{2}{7}+\frac{4}{7}=1 \)
所以解為 \(\displaystyle y < 1 \)
即 \(\displaystyle 0 < k < 2 \)
\(\displaystyle 0 < x < 64 \)

[ 本帖最後由 老王 於 2012-7-1 08:33 PM 編輯 ]
作者: arend    時間: 2012-7-1 21:04

引用:
原帖由 老王 於 2012-7-1 08:31 PM 發表
第9題
令 \(\displaystyle \sqrt[6]{x}=k \)
原式整理成  
\(\displaystyle \log_{14}(k+k^2+k^3) > \log_2 k \)
再假設  \(\displaystyle \log_2 k=y, \Rightarrow k=2^y \)
又可整理成...
感謝王老師提供這個解法
作者: maymay    時間: 2012-8-4 22:55     標題: 回復 12# Ellipse 的帖子

我也想知道
可以請橢圓老師講解詳細點嗎?
關於圖形,謝謝
作者: casanova    時間: 2012-12-6 22:19

引用:
原帖由 Ellipse 於 2012-6-24 10:24 AM 發表


這題表面上看起來不好解
其實是在考圖形觀念
令x=k^6
原式
Log (14,k^3+k^2+k) > Log (64,k^6)=Log(2,k)
只有當0
1.請問ellipse老師,填充第9題要怎麼用圖形看呢?想了很久還是不知道。
2.請問計算題的2和3要怎麼證明呢?3之前有人貼解法,看不太懂。
作者: Ellipse    時間: 2012-12-8 08:55

引用:
原帖由 casanova 於 2012-12-6 10:19 PM 發表

1.請問ellipse老師,填充第9題要怎麼用圖形看呢?想了很久還是不知道。
(以下是thepiano老師的說明)

log(14,k^3 + k^2 + k) 和 log(2,k) 在 (2,1) 相交
所以在 0<k<2 和 k>2 這兩個區間,兩者之間的大小關係必相反

k = 1
log(14,k^3 + k^2 + k) = log(14,3) > 0
log(2,k) = 0

故 0 < k < 2,log(14,k^3 + k^2 + k) > log(2,k)
k > 2,log(14,k^3 + k^2 + k) < log(2,k)
作者: bugmens    時間: 2012-12-9 02:23

計算2.
△ABC中,D為\( \overline{BC} \)上任一點,\( ∠BAD=\alpha \),\( ∠CAD=\beta \),\( ∠ACD=\gamma \),\( ∠ABD=\delta \),\( ∠ADC=t \),試證:\( sin(\alpha+\beta)\cdot sin(\beta+\gamma)=sin \alpha \cdot sin \gamma+sin \beta \cdot sin \delta \)。
[提示]
我辛苦地翻書終於找到出處,想知道是如何證明的請自行查閱。
張景中,曹培生,從數學教育到教育數學p115

102.3.28補充
張景中,平面三角解題新思路p59也有這題


計算3.
已知\( a_0=1 \),且\( \displaystyle a_n=\frac{a_{n-1}}{1+a_{n-1}^2} \),其中n為任意正整數。試證:\( \displaystyle a_n \le \frac{3}{4 \sqrt{n}} \),\( n \in N \)。

\( \displaystyle a_{k+1}=\frac{a_k}{1+a_k^2}<\frac{\displaystyle \frac{3}{4 \sqrt{k}}}{1+\left( \displaystyle \frac{3}{4 \sqrt{k}} \right)^2}=\frac{12}{\displaystyle 16 \sqrt{k}+\frac{9}{\sqrt{k}}}<\frac{12}{16\sqrt{k+1}} \)
處,需再證:\( \displaystyle (16\sqrt{k}+\frac{9}{\sqrt{k}})-(16\sqrt{k+1})>0 \)
使用基本微分,即可證明

我覺得這步會有問題\( \displaystyle \frac{a_k}{1+a_k^2}<\frac{\frac{3}{4 \sqrt{k}}}{1+(\frac{3}{4 \sqrt{k}})^2} \),因為\( \displaystyle \frac{1}{1+a_k^2}>\frac{1}{1+(\frac{3}{4 \sqrt{k}})^2} \)

我的方法是
1.先證明\( a_n>0 \)(自己試著證明看看)
2.數學歸納法
\( \displaystyle \frac{1}{a_{n+1}^2}=(a_n+\frac{1}{a_n})^2=a_n^2+2+\frac{1}{a_n^2}>2+\frac{16n}{9}>\frac{16(n+1)}{9} \)
\( \displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}>\frac{4 \sqrt{n+1}}{3} \)
因為前面有證明\( a_n \)為正數,所以開根號不會是負的
\( \displaystyle a_{n+1}<\frac{3}{4 \sqrt{n+1}} \)
(證明的過程等號不會成立)
作者: kittyyaya    時間: 2013-3-26 23:43     標題: 回復 8# tuhunger 的帖子

想請教填充4的5紅 老師的解法 C(4,4)+C(5,4)+...+C(9,4) 該如何解釋 ?
另外 填充7如何算 ? 謝謝
作者: weiye    時間: 2013-3-27 09:18     標題: 回復 21# kittyyaya 的帖子

引用:
想請教填充4的5紅 老師的解法 C(4,4)+C(5,4)+...+C(9,4) 該如何解釋 ?
在第五科紅球的前面有四紅的排列,
在第五科紅球的前面有四紅一白的排列,
在第五科紅球的前面有四紅兩白的排列,
‧‧‧
在第五科紅球的前面有四紅九白的排列。
作者: weiye    時間: 2013-3-27 10:03     標題: 回復 21# kittyyaya 的帖子

填充第 7 題:

令 \(P(1+2t, t, 3-2t)\)

則 \(\overline{PA}+\overline{PB}=\sqrt{\left(\left(1+2t\right)-7\right)^2+\left(t-6\right)^2+\left(\left(3-2t\right)-3\right)^2}+\sqrt{\left(\left(1+2t\right)-5\right)^2+\left(t+1\right)^2+\left(\left(3-2t\right)-2\right)^2}\)

       \(=\sqrt{9t^2-36t+72}+\sqrt{9t^2-18t+18}\)

       \(=\sqrt{\left(3t-6\right)^2+36}+\sqrt{\left(3t-3\right)^2+9}\)

可以看成是平面上的動點 \(Q(3t,0)\) 到兩點 \(C(6,6)\) 與 \(D(3,-3)\) 的距離和 \(\overline{QC}+\overline{QD}\)

\(\overline{QC}+\overline{QD}\geq \overline{CD}=3\sqrt{10}\)

此時 \(\displaystyle \frac{3t-6}{0-6}=\frac{3-6}{(-3)-6}\Rightarrow t=\frac{4}{3}\)

可得 \(P\) 點坐標。
作者: shingjay176    時間: 2013-5-20 22:09

填充題第六題:
已知\( n \in N \),且\( n \)為6的倍數,則\( C_0^n+C_3^n+C_6^n+\ldots+C_n^n \)之值為   

令\( n=6k \) \( k \)為正整數
\( C_0^n+C_3^n+C_6^n+\ldots+C_n^n=C_0^{6k}+C_3^{6k}+C_6^{6k}+\ldots+C_{6k}^{6k} \)

\( x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) \)
\( x^3-1=0 \)三根為\( \omega,\omega^2,\omega^3=1 \) \( \displaystyle \omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} \) \( \omega^2+\omega+1=0 \)

\( (1+x)^{6k}=C_0^{6k}x^0+C_1^{6k}x+C_2^{6k}x^2+C_3^{6k}x^3+\ldots+C_{6k}^{6k}x^{6k} \)
\( x=1 \) \( 2^{6k}=C_0^{6k}+C_1^{6k}+C_2^{6k}+C_3^{6k}+\ldots+C_{6k}^{6k} \)
\( x=\omega \) \( (1+\omega)^{6k}=C_0^{6k}\omega^0+C_1^{6k}\omega^1+C_2^{6k}\omega^2+C_3^{6k}\omega^3+\ldots+C_{6k}^{6k}\omega^{6k} \)
\( x=\omega^2 \) \( (1+\omega^2)^{6k}=C_0^{6k}(\omega^2)^0+C_1^{6k}(\omega^2)^1+C_2^{6k}(\omega^2)^2+C_3^{6k}(\omega^2)^3+\ldots+C_{6k}^{6k}(\omega^2)^{6k} \)

上面三個等式相加
\( 2^{6k}+(1+\omega)^{6k}+(1+\omega^2)^{6k}=3(C_0^{6k}+C_3^{6k}+C_6^{6k}+\ldots+C_{6k}^{6k}) \)
\( 1+\omega=-\omega^2 \),\( (1+\omega)^{6k}=(-\omega^2)^{6k}=(\omega^3)^{4k}=1 \)

同法得到\( (1+\omega^2)^{6k}=1 \)
\( \displaystyle C_0^{6k}+C_3^{6k}+C_6^{6k}+\ldots+C_{6k}^{6k}=\frac{1}{3}(2^{6k}+1+1)=\frac{1}{3}(2^n+1+1) \)
這個題目\( n \)為六的倍數,其實只要是三的倍數,答案都會一樣。
作者: kittyyaya    時間: 2013-10-27 21:59

想請問bugments 老師 的 10# 第一題
f(0)= -3 是如何得到
謝謝
作者: tsusy    時間: 2013-10-27 22:14     標題: 回復 25# kittyyaya 的帖子

只問 f(0) 很奇怪,實際上 bugmens 大所列的數字,有很多都是題目沒給的

-3      0      2
     3      2
         -1
             2      2      2      2

右上方那塊則是題目有給的,但形狀不同,有給的和沒給的是什麼關係?

而你的困境在於由左而右,由上到下的自然書寫順序。

但實際上題目給的數字卻是在右上方,bugmens 的書寫順序自然和你想的不同,

所以從問 f(0) 開始,就問錯問題了

另外,可以參考100北一女中這篇的討論串

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-11-3 05:19 PM 編輯 ]
作者: anyway13    時間: 2020-9-6 16:04     標題: 請教計算3

請問版上老師計算3, bugmens老師在第20樓

留下一個不等式(an)^2+(1/(an)^2)+2>(16n/9)+2一直看不明白怎麼得到的?  請賜教
作者: thepiano    時間: 2020-9-6 16:43     標題: 回復 27# anyway13 的帖子

他有說是數學歸納法
作者: anyway13    時間: 2020-9-6 19:16     標題: 回復 28# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師,這樣有懂




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