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標題: 101松山家商 [打印本頁]

作者: 八神庵 時間: 2012-6-18 08:39 標題: 101松山家商

如題
請享用

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=1268&k=57ca4e977b1e1c91a9c58a21cf318fa4&t=1732253247

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作者: bombwemg 時間: 2012-6-19 15:05

不好意思,想請教填充5 , 8 , 9 (印象中第8題好像哪裡看過...)

作者: 老王 時間: 2012-6-19 21:08 標題: 回復 2# bombwemg 的帖子

第5題
設\(x,y\)均大於0，則聯立方程組\(\cases{\displaystyle \frac{4x+3y-6}{4x+3y}=\frac{2}{\sqrt{x}}\cr \frac{4x+3y+6}{4x+3y}=\frac{4}{\sqrt{y}}}\)之解\((x,y)\)為　　　。
[解答]
\(\displaystyle z=\frac{6}{4x+3y} \)
\(\displaystyle \frac{4}{x}=1-2z+z^2 \)
\(\displaystyle \frac{16}{y}=1+2z+z^2 \)
\(\displaystyle \frac{16}{y}-\frac{4}{x}=4z \)
\(\displaystyle \frac{4x-y}{xy}=\frac{6}{4x+3y} \)
\(\displaystyle 16x^2+8xy-3y^2=6xy \)
\(\displaystyle (8x-3y)(2x+y)=0 \)
\(\displaystyle 8x=3y \)
\(\displaystyle 1-\frac{6}{12x}=\frac{2}{\sqrt x} \)
\(\displaystyle 2x-4\sqrt x-1=0 \)
\(\displaystyle \sqrt x=\frac{2+\sqrt6}{2} \)
\(\displaystyle x=\frac{5+2\sqrt6}{2} \)
\(\displaystyle y=\frac{20+8\sqrt6}{3} \)

第8題
令\(\Delta ABC\)的外心為\(O\)，垂心為\(H\)。若\(\Delta ABC\)的外接圓半徑為3，\(∠A=60^{\circ}\)，\(∠B=45^{\circ}\)，則\(\overline{OH}^2\)之值為　　　。
[解答]
由尤拉線性質知道
\(\displaystyle \vec{OH}=3\vec{OG}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC} \)
然後就平方計算

作者: bombwemg 時間: 2012-6-19 22:43 標題: 回復 3# 老王的帖子

謝謝老王,原來是尤拉線!

作者: yustarhunter 時間: 2012-6-19 23:20 標題: 回復 2# bombwemg 的帖子

第九題
h ttp://project.hgsh.hc.edu.tw/DataBase/169.pdf(連結已失效)

作者: jmfeng2001 時間: 2012-6-20 20:47

不好意思...
想請問計算證明第三題...
是否是用數學歸納法...
但是...最後一步...想不出來...
想請教各位先進
謝謝

作者: tuhunger 時間: 2012-6-21 20:31

引用:

原帖由 jmfeng2001 於 2012-6-20 08:47 PM 發表
不好意思...
想請問計算證明第三題...
是否是用數學歸納法...
但是...最後一步...想不出來...
想請教各位先進
謝謝

計算三：
已知\( a_0=1 \)，且\( \displaystyle a_n=\frac{a_{n-1}}{1+a_{n-1}^2} \)，其中\( n \)為任意正整數。試證：\( \displaystyle a_n \le \frac{3}{4 \sqrt{n}} \)，\( n \in N \)。
[解答]
我的方法參考看看 (我算了我總分扣填充題的得分,發現我這題應該有拿到分數)
\( \displaystyle a_{k+1}=\frac{a_k}{1+a_k^2}<\frac{\displaystyle \frac{3}{4 \sqrt{k}}}{1+\left( \displaystyle \frac{3}{4 \sqrt{k}} \right)^2}=\frac{12}{\displaystyle 16 \sqrt{k}+\frac{9}{\sqrt{k}}}<\frac{12}{16\sqrt{k+1}} \)
＜處，需再證：\( \displaystyle (16\sqrt{k}+\frac{9}{\sqrt{k}})-(16\sqrt{k+1})>0 \)
使用基本微分，即可證明

作者: tuhunger 時間: 2012-6-22 00:09 標題: 第2,3,4題

填充第二題：
設\( \displaystyle f(x)=\frac{1+x}{1-3x} \)。令\( f_1(x)=f(f(x)) \)，且\( f_n(x)=f(f_{n-1}(x)) \)，\( n \ge 2 \)且\( n \in N \)，則\( f_{2012}(2012) \)之值為　　　。
[解答]
\( \displaystyle f_1(x)=\frac{1+f(x)}{1-3f(x)}=\frac{1-x}{-1-3x} \)，\( \displaystyle f_2(x)=\frac{1+f_1(x)}{1-3f_1(x)}=x \)，\( \displaystyle f_3(x)=\frac{1+f_2(x)}{1-3f_2(x)}=f(x) \)，…
每三個一循環，故\( f_{2012}(x)=f_2(x)=x \)

填充第三題：
若\( z \)為複數，\( \displaystyle arg(z^2-8)=\frac{5 \pi}{6} \)，\( \displaystyle arg(z^2+8)=\frac{\pi}{8} \)，則\( z \)之值為　　　。
[解答]
\( z^2+8=(a+bi)^2+8=8(cos 60^\circ+i sin 60^\circ) \)　即可解出\( z \)

填充第四題：
在袋中有紅球、白球各100個，每次從中取出一個球，若為紅球即得1分，白球不計分，滿足下列任一條件即停止：(1)得分達5分，(2)取出球數達10個。試問取球過程會出現幾種不同的方法？　　　。
[解答]
(5紅)+(球數達10顆)\( =[C_4^4+C_4^5+C_4^6+C_4^7+C_4^8+C_4^9]+[C_0^{10}+C_1^{10}+C_2^{10}+C_3^{10}+C_4^{10}]=638 \)

圖片附件: 填充第3題.gif (2014-11-22 07:15, 2.87 KB) / 該附件被下載次數 9359
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2610&k=d9bc42e47fe2b58e42854fe34ff1984d&t=1732253247

作者: tuhunger 時間: 2012-6-22 00:14 標題: 我想問第1題

有高手可以幫忙解答第一題嗎? orz

作者: bugmens 時間: 2012-6-22 05:37

1.
\( \matrix{& & & & 1 & & & & \cr
& & & 3 & & 3 & & & \cr
& & 5 & & 6 & & 5 & & \cr
& 7 & & 11 & & 11 & & 7 & \cr
9 & & 18 & & 22 & & 18 & & 9} \)
如右圖所示，令第i行第k個數字為\( f(i,k) \)，此圖中之規則為\( f(i,1)=2i-1=f(i,i) \)，且\( f(i,k)=f(i-1,k-1)+f(i-1,k) \)，其中\( 2 \le k \le i-1 \)。則\( f(i,3) \)之值為？
[解答]
\( \matrix{f(0) & & f(1) & & f(2) & & f(3) & & f(4) & & f(5) & & f(6) \cr
-3 & & 0 & & 2 & & 5 & & 11 & & 22 & & 40 \cr
& 3 & & 2 & & 3 & & 6 & & 11 & & 18 & \cr
& & -1 & & 1 & & 3 & & 5 & & 7 & & \cr
& & & 2 & & 2 & & 2 & & 2 & } \)
\( f(n)=-3 \times C_0^n+3 \times C_1^n-1 \times C_2^n+2 \times C_3^n \)
我的教甄準備之路　找出圖形的規律有更多類題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid5274

6.
已知\( n \in N \)，且n為6的倍數，則\( C_0^n+C_3^n+C_6^n+...+C_n^n \)之值為

求\( C_0^n+C_3^n+C_6^n+...+C_{3m-3}^n+C_{3m}^n \)，其中\( 3m \)是不大於n的最大的3的倍數
神奇的複數　如何利用複數解中學數學難題P24
\( \displaystyle \frac{1}{3}(2^n+2cos\frac{n \pi}{3}) \)

觀察\( \displaystyle C_0^n+C_1^n+...+C_n^n=(C_0^n+C_3^n+C_6^n+...)+(C_1^n+C_4^n+...)+(C_2^n+C_5^n+...) \)
令\( \displaystyle A=C_0^n+C_3^n+C_6^n+...+C_{3k}^{3k} \)，\( \displaystyle B=C_1^{3k}+C_4^{3k}+...+C_{3k-2}^{3k} \)，\( k \in N \)
(1)比較A與B的大小關係。
(2)計算A值。
(100桃園縣現職教師高中聯招，https://math.pro/db/thread-1106-1-1.html)

計算與證明題
1.
設\( a>b>0 \)，則橢圓\( \displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \)之內接三角形面積最大値為何？試證之。
老王的夢田
橢圓內接面積最大三角形(上)，https://lyingheart6174.pixnet.net/blog/post/5122072
橢圓內接面積最大三角形(下)，https://lyingheart6174.pixnet.net/blog/post/5122069

作者: WAYNE10000 時間: 2012-6-24 09:39 標題: 想請問填充9

底數不是很漂亮

請問此題如何拆解?

謝謝

作者: Ellipse 時間: 2012-6-24 10:24

引用:

原帖由 WAYNE10000 於 2012-6-24 09:39 AM 發表
底數不是很漂亮

請問此題如何拆解?

謝謝

填充9.
不等式\(log_{14}(\sqrt{x}+\root 3\of x+\root 6 \of x)>log_{64}x\)之解集合為　　　。
[解答]
這題表面上看起來不好解
其實是在考圖形觀念
令x=k^6
原式<=>
Log (14,k^3+k^2+k) > Log (64,k^6)=Log(2,k)
只有當0<k^3+k^2+k<14 且0<k<2 (why? 請想一下)
才會符合不等式的解
解出0<k<2
所以0<x<64

作者: arend 時間: 2012-6-24 21:22

引用:

原帖由 Ellipse 於 2012-6-24 10:24 AM 發表

這題表面上看起來不好解
其實是在考圖形觀念
令x=k^6
原式
Log (14,k^3+k^2+k) > Log (64,k^6)=Log(2,k)
只有當0

Ellipse老師妳好

您這做法很漂亮

我剛想了一下
若直接用14與64為底
由圖形結構來看
不等式恆成立時
x>64, 好像也成立

不知我哪裡疏忽,或是我沒弄懂你上面所做的

打擾一下

謝謝

[ 本帖最後由 arend 於 2012-6-26 12:32 AM 編輯 ]

作者: tsusy 時間: 2012-6-24 21:38 標題: 回復 12# Ellipse 的帖子

填充 9.
不等式\(log_{14}(\sqrt{x}+\root 3\of x+\root 6 \of x)>log_{64}x\)之解集合為　　　。
[解答]
這題之前也卡住了，樓樓上的橢圓兄似有妙招

來個比較笨的方法，磨它一下

令 \( x=k^{6}, t=\log_{2}7 \)，可化簡成 \( \ln(1+k+k^{2})>\ln k^{t}\Leftrightarrow k^{2}+k+1-k^{t}>0 \) 且 \( k>0 \)

\( f(k)=k^{2}+k+1-k^{t}, f(0)=f(2)=0 \),

\( f'(k)=2k+1-tk^{t-1}, f'(0)=1 \), 注意 \( t=\log_{2}7>2 \)。

所以 \( f'(k) \) 在 \( [0,\infty) \)，是有對像開口向下的拋物線，且與 \( x \) 軸有唯一交點 \( x=s \)。

\( \Rightarrow f'(x)>0 \) on \( [0,s) \), \( f'(x)<0 \) on \( (s,\infty)\Rightarrow f \) 在 \( [0,\infty) \) 先遞增至 \( x=s \) 處，之後遞減。

又 \( f(0)=f(2)=0 \)，所以 \( f(x)=\begin{cases}
+ & ,\, x\in(0,2)\\
- & ,\, x>2\end{cases} \)

因此，其解為 \( (0,2) \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-6-25 11:20 AM 編輯 ]

作者: 老王 時間: 2012-7-1 20:31

第9題
不等式\(log_{14}(\sqrt{x}+\root 3\of x+\root 6 \of x)>log_{64}x\)之解集合為　　　。
[解答]
令 \(\displaystyle \sqrt[6]{x}=k \)
原式整理成
\(\displaystyle \log_{14}(k+k^2+k^3) > \log_2 k \)
再假設 \(\displaystyle \log_2 k=y, \Rightarrow k=2^y \)
又可整理成
\(\displaystyle \log_{14}(2^y+4^y+8^y) > y \)
\(\displaystyle 2^y+4^y+8^y > 14^y \)
\(\displaystyle (\frac{1}{7})^y+(\frac{2}{7})^y+(\frac{4}{7})^y > 1 \)

當 \( y=1 \) 時，\(\displaystyle \frac{1}{7}+\frac{2}{7}+\frac{4}{7} = 1 \)
所以當 \(\displaystyle y > 1 \) 時，
\(\displaystyle (\frac{1}{7})^y+(\frac{2}{7})^y+(\frac{4}{7})^y < \frac{1}{7}+\frac{2}{7}+\frac{4}{7}=1 \)
當 \(\displaystyle y < 1 \) 時，
\(\displaystyle (\frac{1}{7})^y+(\frac{2}{7})^y+(\frac{4}{7})^y > \frac{1}{7}+\frac{2}{7}+\frac{4}{7}=1 \)
所以解為 \(\displaystyle y < 1 \)
即 \(\displaystyle 0 < k < 2 \)
\(\displaystyle 0 < x < 64 \)

作者: arend 時間: 2012-7-1 21:04

引用:

原帖由老王於 2012-7-1 08:31 PM 發表
第9題
令 \(\displaystyle \sqrt[6]{x}=k \)
原式整理成
\(\displaystyle \log_{14}(k+k^2+k^3) > \log_2 k \)
再假設 \(\displaystyle \log_2 k=y, \Rightarrow k=2^y \)
又可整理成...

感謝王老師提供這個解法

作者: maymay 時間: 2012-8-4 22:55 標題: 回復 12# Ellipse 的帖子

我也想知道
可以請橢圓老師講解詳細點嗎?
關於圖形,謝謝

作者: casanova 時間: 2012-12-6 22:19

引用:

原帖由 Ellipse 於 2012-6-24 10:24 AM 發表

這題表面上看起來不好解
其實是在考圖形觀念
令x=k^6
原式
Log (14,k^3+k^2+k) > Log (64,k^6)=Log(2,k)
只有當0

1.請問ellipse老師，填充第9題要怎麼用圖形看呢？想了很久還是不知道。
2.請問計算題的2和3要怎麼證明呢？3之前有人貼解法，看不太懂。

作者: Ellipse 時間: 2012-12-8 08:55

引用:

原帖由 casanova 於 2012-12-6 10:19 PM 發表

1.請問ellipse老師，填充第9題要怎麼用圖形看呢？想了很久還是不知道。

(以下是thepiano老師的說明)

log(14，k^3 + k^2 + k) 和 log(2，k) 在 (2，1) 相交
所以在 0＜k＜2 和 k＞2 這兩個區間，兩者之間的大小關係必相反

k = 1
log(14，k^3 + k^2 + k) = log(14，3) ＞ 0
log(2，k) = 0

故 0 ＜ k ＜ 2，log(14，k^3 + k^2 + k) ＞ log(2，k)
k ＞ 2，log(14，k^3 + k^2 + k) ＜ log(2，k)

作者: bugmens 時間: 2012-12-9 02:23

計算2.
△ABC中，D為\( \overline{BC} \)上任一點，\( ∠BAD=\alpha \)，\( ∠CAD=\beta \)，\( ∠ACD=\gamma \)，\( ∠ABD=\delta \)，\( ∠ADC=t \)，試證：\( sin(\alpha+\beta)\cdot sin(\beta+\gamma)=sin \alpha \cdot sin \gamma+sin \beta \cdot sin \delta \)。
[提示]
我辛苦地翻書終於找到出處，想知道是如何證明的請自行查閱。
張景中,曹培生，從數學教育到教育數學p115

102.3.28補充
張景中，平面三角解題新思路p59也有這題

計算3.
已知\( a_0=1 \)，且\( \displaystyle a_n=\frac{a_{n-1}}{1+a_{n-1}^2} \)，其中n為任意正整數。試證：\( \displaystyle a_n \le \frac{3}{4 \sqrt{n}} \)，\( n \in N \)。

\( \displaystyle a_{k+1}=\frac{a_k}{1+a_k^2}<\frac{\displaystyle \frac{3}{4 \sqrt{k}}}{1+\left( \displaystyle \frac{3}{4 \sqrt{k}} \right)^2}=\frac{12}{\displaystyle 16 \sqrt{k}+\frac{9}{\sqrt{k}}}<\frac{12}{16\sqrt{k+1}} \)
＜處，需再證：\( \displaystyle (16\sqrt{k}+\frac{9}{\sqrt{k}})-(16\sqrt{k+1})>0 \)
使用基本微分，即可證明

我覺得這步會有問題\( \displaystyle \frac{a_k}{1+a_k^2}<\frac{\frac{3}{4 \sqrt{k}}}{1+(\frac{3}{4 \sqrt{k}})^2} \)，因為\( \displaystyle \frac{1}{1+a_k^2}>\frac{1}{1+(\frac{3}{4 \sqrt{k}})^2} \)

我的方法是
1.先證明\( a_n>0 \)(自己試著證明看看)
2.數學歸納法
\( \displaystyle \frac{1}{a_{n+1}^2}=(a_n+\frac{1}{a_n})^2=a_n^2+2+\frac{1}{a_n^2}>2+\frac{16n}{9}>\frac{16(n+1)}{9} \)
\( \displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}>\frac{4 \sqrt{n+1}}{3} \)
因為前面有證明\( a_n \)為正數，所以開根號不會是負的
\( \displaystyle a_{n+1}<\frac{3}{4 \sqrt{n+1}} \)
(證明的過程等號不會成立)

作者: kittyyaya 時間: 2013-3-26 23:43 標題: 回復 8# tuhunger 的帖子

想請教填充4的5紅老師的解法 C(4,4)+C(5,4)+...+C(9,4) 該如何解釋 ?
另外填充7如何算 ? 謝謝

作者: weiye 時間: 2013-3-27 09:18 標題: 回復 21# kittyyaya 的帖子

引用:

想請教填充4的5紅老師的解法 C(4,4)+C(5,4)+...+C(9,4) 該如何解釋 ?

在第五科紅球的前面有四紅的排列，
在第五科紅球的前面有四紅一白的排列，
在第五科紅球的前面有四紅兩白的排列，
‧‧‧
在第五科紅球的前面有四紅九白的排列。

作者: weiye 時間: 2013-3-27 10:03 標題: 回復 21# kittyyaya 的帖子

填充第 7 題：
已知空間中兩點\(A(7,6,3)\)、\(B(5,-1,2)\)，直線\(L\)：\(\displaystyle \frac{x-1}{2}=y=\frac{z-3}{-2}\)，且\(P\)為\(L\)上之點。若\(\overline{PA}+\overline{PB}\)有最小值時，\(P\)點之坐標為　　　。
[解答]
令 \(P(1+2t, t, 3-2t)\)

則 \(\overline{PA}+\overline{PB}=\sqrt{\left(\left(1+2t\right)-7\right)^2+\left(t-6\right)^2+\left(\left(3-2t\right)-3\right)^2}+\sqrt{\left(\left(1+2t\right)-5\right)^2+\left(t+1\right)^2+\left(\left(3-2t\right)-2\right)^2}\)

　　　　　　　\(=\sqrt{9t^2-36t+72}+\sqrt{9t^2-18t+18}\)

　　　　　　　\(=\sqrt{\left(3t-6\right)^2+36}+\sqrt{\left(3t-3\right)^2+9}\)

可以看成是平面上的動點 \(Q(3t,0)\) 到兩點 \(C(6,6)\) 與 \(D(3,-3)\) 的距離和 \(\overline{QC}+\overline{QD}\)

\(\overline{QC}+\overline{QD}\geq \overline{CD}=3\sqrt{10}\)

此時 \(\displaystyle \frac{3t-6}{0-6}=\frac{3-6}{(-3)-6}\Rightarrow t=\frac{4}{3}\)

可得 \(P\) 點坐標。

作者: shingjay176 時間: 2013-5-20 22:09

填充題第六題：
已知\( n \in N \)，且\( n \)為6的倍數，則\( C_0^n+C_3^n+C_6^n+\ldots+C_n^n \)之值為　　　。
[解答]
令\( n=6k \)　\( k \)為正整數
\( C_0^n+C_3^n+C_6^n+\ldots+C_n^n=C_0^{6k}+C_3^{6k}+C_6^{6k}+\ldots+C_{6k}^{6k} \)

\( x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) \)
\( x^3-1=0 \)三根為\( \omega,\omega^2,\omega^3=1 \)　\( \displaystyle \omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} \)　\( \omega^2+\omega+1=0 \)

\( (1+x)^{6k}=C_0^{6k}x^0+C_1^{6k}x+C_2^{6k}x^2+C_3^{6k}x^3+\ldots+C_{6k}^{6k}x^{6k} \)
\( x=1 \)　\( 2^{6k}=C_0^{6k}+C_1^{6k}+C_2^{6k}+C_3^{6k}+\ldots+C_{6k}^{6k} \)
\( x=\omega \)　\( (1+\omega)^{6k}=C_0^{6k}\omega^0+C_1^{6k}\omega^1+C_2^{6k}\omega^2+C_3^{6k}\omega^3+\ldots+C_{6k}^{6k}\omega^{6k} \)
\( x=\omega^2 \)　\( (1+\omega^2)^{6k}=C_0^{6k}(\omega^2)^0+C_1^{6k}(\omega^2)^1+C_2^{6k}(\omega^2)^2+C_3^{6k}(\omega^2)^3+\ldots+C_{6k}^{6k}(\omega^2)^{6k} \)

上面三個等式相加
\( 2^{6k}+(1+\omega)^{6k}+(1+\omega^2)^{6k}=3(C_0^{6k}+C_3^{6k}+C_6^{6k}+\ldots+C_{6k}^{6k}) \)
\( 1+\omega=-\omega^2 \)，\( (1+\omega)^{6k}=(-\omega^2)^{6k}=(\omega^3)^{4k}=1 \)

同法得到\( (1+\omega^2)^{6k}=1 \)
\( \displaystyle C_0^{6k}+C_3^{6k}+C_6^{6k}+\ldots+C_{6k}^{6k}=\frac{1}{3}(2^{6k}+1+1)=\frac{1}{3}(2^n+1+1) \)
這個題目\( n \)為六的倍數，其實只要是三的倍數，答案都會一樣。

作者: kittyyaya 時間: 2013-10-27 21:59

想請問bugments 老師的 10# 第一題
f(0)= -3 是如何得到
謝謝

作者: tsusy 時間: 2013-10-27 22:14 標題: 回復 25# kittyyaya 的帖子

只問 f(0) 很奇怪，實際上 bugmens 大所列的數字，有很多都是題目沒給的

-3    0    2
   3    2
      -1
         2    2    2    2

右上方那塊則是題目有給的，但形狀不同，有給的和沒給的是什麼關係？

而你的困境在於由左而右，由上到下的自然書寫順序。

但實際上題目給的數字卻是在右上方，bugmens 的書寫順序自然和你想的不同，

所以從問 f(0) 開始，就問錯問題了

另外，可以參考100北一女中這篇的討論串

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-11-3 05:19 PM 編輯 ]

作者: anyway13 時間: 2020-9-6 16:04 標題: 請教計算3

請問版上老師計算3, bugmens老師在第20樓

留下一個不等式(an)^2+(1/(an)^2)+2>(16n/9)+2一直看不明白怎麼得到的? 請賜教

作者: thepiano 時間: 2020-9-6 16:43 標題: 回復 27# anyway13 的帖子

他有說是數學歸納法

作者: anyway13 時間: 2020-9-6 19:16 標題: 回復 28# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師,這樣有懂

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