Math Pro 數學補給站

標題: 101高雄市聯招 [打印本頁]

作者: shiauy 時間: 2012-6-17 19:26 標題: 101高雄市聯招

計算題配分很重

這邊給一些hint
填充部分很歡樂，我想沒有太大的問題了
#1求出B點，A點在平面E的投影點A'，面積最大值為向量AB與向量AA'所展開的平行四邊形
以A'為圓心，A'B為半徑的圓上任一點C'，皆滿足AB=AC'
滿足三角形ABC面積最大的C點在B對稱於A'之點

#5用畢氏跟餘弦定理就可以把兩個角的餘弦值算出來，接下來就和角公式了

#10 邊長替換成sinA,sinB,sinC代入即可化簡得到三角形是直角三角形，周長給定時，在等腰直角三角形時面積最大
#13 一看就知到要用反證法，先假設三數皆小於1/2，則2=|f(1)+f(3)-2f(2)|<|f(1)|+|f(3)|+2|f(2)|<2得到矛盾
#14 設z=cosθ+isinθ，z^49=1，所求原式=1+2z+3z^2+...+49z^48的實數部分，所以把他算出來吧^^
#15 不巧101台南二中考過了，請自行參考
#16 表示成黎曼和的積分型式吧

2012-6-18
計算第一題已更正，感謝指正

2012-6-23
填充第一題與第五題沒抄錯題目喔！！而且也解的出來

[ 本帖最後由 shiauy 於 2012-6-24 08:23 PM 編輯 ]

附件: 101高雄市聯招.pdf (2012-6-24 01:09, 149.96 KB) / 該附件被下載次數 22824
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1262&k=fb2a3a5c23b2e3a7204028f76323dce3&t=1713938234

圖片附件: MWSnap027 2012-06-23, 19_48_56.jpg (2012-6-23 19:49, 37.19 KB) / 該附件被下載次數 9846
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1301&k=c2ab9064019045408c0e60606aa991ad&t=1713938234

作者: dav 時間: 2012-6-18 10:20

引用:

原帖由 shiauy 於 2012-6-17 07:26 PM 發表
計算題配分很重

這邊給一些hint
填充部分很歡樂，我想沒有太大的問題了
#10 邊長替換成sinA,sinB,sinC代入即可化簡得到三角形是直角三角形，周長給定時，在等腰直角三角形時面積最大
#13 一看就知到要用反證法，先假設三數 ...

慘了
計算第一題的(C)選項是正確的嗎？
因為我算出來就是您寫的(C)選項的答案...(大家意出的考卷)
但是...我去考試...考卷上的答案 (C) 怎麼後面答案是 n1( 平均數1 - 平均數)^2....... ..
是我眼花了嗎？天呀！
我看了5便耶冏了

[ 本帖最後由 dav 於 2012-6-18 03:15 PM 編輯 ]

作者: Herstein 時間: 2012-6-18 11:22 標題: 回復 2# dav 的帖子

不是是原po 題目抄錯了你的是對的

作者: meifang 時間: 2012-6-20 00:44

我想問一下最後一題16題要怎麼算我知道是黎曼積分的形式但還是不會

作者: lianger 時間: 2012-6-20 19:27 標題: 回復 4# meifang 的帖子

底下這樣寫不知道會不會有問題，歡迎批評指教。
16.
\( \displaystyle \lim_{n \to \infty }\frac{1}{n\sqrt{n}}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{\frac{2k-1}{2}} \)
\( \displaystyle = \lim_{n \to \infty }\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{\frac{2k-1}{2n}} \)
\( \displaystyle \leq \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{\frac{2k}{2n}}\)
\( \displaystyle =\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{\frac{k}{n}} \)
\( \displaystyle = \int_{0}^{1}\sqrt{x}dx\)
\( \displaystyle =\frac{2}{3} \)
又
\( \displaystyle \lim_{n \to \infty }\frac{1}{n\sqrt{n}}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{\frac{2k-1}{2}} \)
\( \displaystyle = \lim_{n \to \infty }\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{\frac{2k-1}{2n}} \)
\( \displaystyle = \lim_{n \to \infty }\frac{1}{n}\sum_{k=2}^{n}\sqrt{\frac{2k-1}{2n}} \)
\( \displaystyle = \lim_{n \to \infty }\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1}\sqrt{\frac{2k+1}{2n}} \)
\( \displaystyle = \lim_{n \to \infty }\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{\frac{2k+1}{2n}} \)
\( \displaystyle \geq \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{\frac{2k}{2n}}\)
\( \displaystyle =\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{\frac{k}{n}} \)
\( \displaystyle = \int_{0}^{1}\sqrt{x}dx\)
\( \displaystyle =\frac{2}{3} \)
所以， \( \displaystyle \lim_{n \to \infty }\frac{1}{n\sqrt{n}}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{\frac{2k-1}{2}}=\frac{2}{3} \)

作者: 老王 時間: 2012-6-20 19:44 標題: 回復 5# lianger 的帖子

第二行直接跳第五行就行，想成把 \( [0,1] \) 分成 \( n \) 等分，取各組中點值。

作者: lianger 時間: 2012-6-20 20:06 標題: 回復 6# 老王的帖子

對齁~那剛好是中點~這樣一行就結束了~感謝老王老師~你太帥了~

作者: dav 時間: 2012-6-22 15:05

可否詢問一下
填充1...怪了知道要夾角90度時面積最大, 但對他一點感覺都沒有..可否給個hint
填充3...抱歉沒做過這類題目~也不知道想的有沒有正確~可否幫忙一下...
計算題第15題..南二中掛了一次~這次又掛了~看似很簡單~但是動不了手..腦袋凝固了.冏
(有去美夢成真都沒看到解法>.<~)感謝幫忙

作者: meifang 時間: 2012-6-22 22:49

我想問一下第14題接下來要怎麼算
我用了等比級數和和微分算出來答案是 0
但總覺得怪怪的

作者: meifang 時間: 2012-6-22 23:06 標題: 回復 8# dav 的帖子

我在台南二中的討論區找到第15題的詳解
https://math.pro/db/thread-1335-1-4.html
\( X^{10} \)我用對角化的方法計算 eigenvalue 是0 和1 所以\( X^{10}=X \)

作者: dav 時間: 2012-6-22 23:58

引用:

原帖由 meifang 於 2012-6-22 11:06 PM 發表
我在台南二中的討論區找到第15題的詳解
https://math.pro/db/thread-1335-1-4.html
X^10 我用對角化的方法計算 eigenvalue 是0 和1 所以X^10=X

感謝，我看到了，哈
之前在查詢打台南二中結果沒搜到
原來是"臺"南二中壓...非常感謝

作者: arend 時間: 2012-6-22 23:59

請教1,6,8題

第6題不是一個阿波羅鈕斯圓

可是算起來有點怪怪

第1題
當AB=AC時
B,C點都在平面上

這裡就考不懂了

請教版上高手指點一下

謝謝
並祝端午佳節愉快

作者: dav 時間: 2012-6-23 15:51

引用:

原帖由 meifang 於 2012-6-22 10:49 PM 發表
我想問一下第14題接下來要怎麼算
我用了等比級數和和微分算出來答案是 0
但總覺得怪怪的

14題我是這樣解的不知道有沒有錯誤
爆了 .......錯了冏

[ 本帖最後由 dav 於 2012-6-23 05:54 PM 編輯 ]

作者: dav 時間: 2012-6-23 16:05

引用:

原帖由 arend 於 2012-6-22 11:59 PM 發表
請教1,6,8題

第6題不是一個阿波羅鈕斯圓

可是算起來有點怪怪

第1題
當AB=AC時
B,C點都在平面上

這裡就考不懂了

請教版上高手指點一下

謝謝
並祝端午佳節愉快 ...

第六題我是直接令z 來暴力解耶...不知道有無更好方式

[ 本帖最後由 dav 於 2012-6-23 06:24 PM 編輯 ]

作者: tsusy 時間: 2012-6-23 16:09 標題: 回復 13# dav 的帖子

的確有問題...

\( \displaystyle \theta = \frac{2\pi}{49} \) 是一個固定的常數，微分之後就變成 0 了

而考慮 \( z=\cos \theta + i\sin \theta \) 的想法是好的

考慮差比級數 \( 1+2z+3z^2+4z^3+\ldots+49z^{48} \)

可用等比級數的方法求和，而其實部即為所求。

作者: dav 時間: 2012-6-23 16:16

引用:

原帖由 tsusy 於 2012-6-23 04:09 PM 發表
的確有問題...

\( \theta = \frac{2\pi}{49} \) 是一個固定的常數，微分之後就變成 0 了

而考慮 \( z=\cos \theta + i\sin \theta \) 的想法是好的

考慮差比級數 \( 1+2z+3z^2+4z^3+\ldots+49z^{48} \)

可用等比級 ...

請問若把\( \theta \)看成一個未知數來做~
最後在帶入其值是否就無問題?

作者: yaung 時間: 2012-6-23 17:24 標題: 回復 9# meifang 的帖子

這樣解不知對不對？請指證
再想請問#10 邊長替換成sinA,sinB,sinC代入，如何得知三角形是直角三角形？謝謝

圖片附件: IMG_1172 .JPG (2012-6-24 01:07, 48.43 KB) / 該附件被下載次數 6072
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1297&k=f8217742f6e5f6b8a5e2933c9e7510e5&t=1713938234

作者: dav 時間: 2012-6-23 18:02

引用:

原帖由 yaung 於 2012-6-23 05:24 PM 發表
這樣解不知對不對？請指證
再想請問#10 邊長替換成sinA,sinB,sinC代入，如何得知三角形是直角三角形？謝謝

嗚~那一題真的爆了...
10是我的想法 >_<~參考看看...又有錯麻煩告訴我
ps.最後一步b^2=正負(a^2-c^2)可能需要討論，但C直角或A直角應該都可做..反正都一個直角 XD~~

[ 本帖最後由 dav 於 2012-6-23 06:20 PM 編輯 ]

圖片附件: _抒_.JPG (2012-6-23 18:02, 87.68 KB) / 該附件被下載次數 6453
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1298&k=578f99bc05bc6b3ceac5fc08355c74d1&t=1713938234

作者: yaung 時間: 2012-6-23 18:33 標題: 回復 18# dav 的帖子

我用正弦一直做不出來～原來是用餘弦～謝謝～

作者: shiauy 時間: 2012-6-23 18:47

我懶的再從mathtype轉檔過來
直接貼圖嚕
#10

#14

圖片附件: MWSnap025 2012-06-23, 18_44_31.jpg (2012-6-23 18:47, 48.86 KB) / 該附件被下載次數 7877
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1299&k=00a371fea8453198d79a071a8b96f46e&t=1713938234

圖片附件: MWSnap026 2012-06-23, 18_44_47.jpg (2012-6-23 18:47, 50.24 KB) / 該附件被下載次數 7356
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1300&k=2d86dd8691d9d17df3f92e948fa39125&t=1713938234

作者: Ellipse 時間: 2012-6-23 23:10

引用:

原帖由 tsusy 於 2012-6-23 04:09 PM 發表
的確有問題...

\( \theta = \frac{2\pi}{49} \) 是一個固定的常數，微分之後就變成 0 了

而考慮 \( z=\cos \theta + i\sin \theta \) 的想法是好的

考慮差比級數 \( 1+2z+3z^2+4z^3+\ldots+49z^{48} \)

可用等比級 ...

用微分的方法也是可以

令z=cosa+i*sina,
1+z+z^2+z^3+..........+z^49=(z^50-1)/(z-1) ------------(*1)
兩邊對z微分得1+2z+3z^2+.....................49z^48 =[50*z^49(z-1) -(z^50-1)]/(z-1)^2
=(49*z^50-50*z^49+1) /(z-1)^2 -------------(*2)
令a=2Pi/49 ,所以z^49=1 ,z^50=z代入(*2)
右式=(49*z-49)/(z-1)^2 =49/(z-1)
接下來就是將後面化簡
再比較左右兩邊的實部~~

作者: dav 時間: 2012-6-24 11:55

引用:

原帖由 Ellipse 於 2012-6-23 11:10 PM 發表

用微分的方法也是可以

令z=cosa+i*sina,
1+z+z^2+z^3+..........+z^49=(z^50-1)/(z-1) ------------(*1)
兩邊對z微分得1+2z+3z^2+.....................49z^48 =[50*z^49(z-1) -(z^50-1)]/(z-1)^2
=(49*z^50- ...

感恩~了解了

作者: meifang 時間: 2012-6-26 00:06

謝謝各位老師^^
我想問一下第16的類題
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty }\frac{1}{n^{2}}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{k(k+2)}=\frac{1}{2}\) (97中和高中)
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty }\frac{1}{\sqrt{n+1}}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}=2\) (97台南女中)
這兩題要怎麼用黎曼積分解釋好像不是組中點這種題目是不是有出現 +1 +2都可以不用理他

作者: Hanshen 時間: 2012-6-27 12:07 標題: 回復 14# dav 的帖子

第六題可以用複平面來看它
\(z\)可看成是在\( \displaystyle y=-\frac{1}{2}x\)上的一點
且與\( (-1,\sqrt{3}),(3,-3 \sqrt{3}) \)的距離比為4:3
就可以用分點公式求\(z\)了

作者: katama5667 時間: 2012-7-3 08:29

引用:

原帖由 meifang 於 2012-6-26 12:06 AM 發表
我想問一下第16的類題
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty }\frac{1}{n^{2}}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{k(k+2)}=\frac{1}{2}\) (97中和高中)
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty }\frac{1}{\sqrt{n+1}}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}=2\) (97台南女中)

(1)\(\displaystyle \lim_{n \to \infty }\frac{1}{n^{2}}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{k(k+2)}=\lim_{n \to \infty }\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{\frac{k}{n}(\frac{k}{n}+\frac{2}{n})}\)

\(=\int^{1}_{0}\sqrt{x^2}dx=\frac{1}{2}\)
(2)\(\displaystyle \lim_{n \to \infty }\frac{1}{\sqrt{n+1}}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}=\lim_{n \to \infty }\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{n}{\sqrt{k(n+1)}}\)

\( \displaystyle =\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{\frac{n}{k}\times \frac{n}{n+1}}=\int^{1}_{0}\sqrt{\frac{1}{x}}dx=2\)
不過，基本上你應該去爬一下文

作者: nanpolend 時間: 2012-7-22 22:16 標題: 回復 1# shiauy 的帖子

請教一下填充4.7.11

作者: nanpolend 時間: 2012-7-23 02:37 標題: 回復 12# arend 的帖子

填充第8題
將(2,1,3)代入方程組調整成另一方程組
即可求出(x,y,z)=?

出處新高中101
p207演練題5.
題目數字調換數字而已

作者: andyhsiao 時間: 2012-7-23 11:00

填充7...參考看看...101那本有類似題

圖片附件: 7.png (2012-7-23 11:00, 49.64 KB) / 該附件被下載次數 4659
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1407&k=fe2a5d9e35831ee972e5cd52b2dbda80&t=1713938234

作者: andyhsiao 時間: 2012-7-23 11:16

11題..一堆符號.....不知道有沒有打錯..參考看看@@

圖片附件: 11.png (2012-7-23 11:16, 84.33 KB) / 該附件被下載次數 4696
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1408&k=c13e98b19bbf0bd58fb4ba54a4daac32&t=1713938234

作者: nanpolend 時間: 2012-7-23 19:20 標題: 回復 29# andyhsiao 的帖子

請教一下填充第4題和填充第6題詳細作法

作者: cally0119 時間: 2013-4-2 17:08

請問一下.
第 1 題我覺得面積最大的時候應該是AB線段與AC線段夾90度,這樣答案應該是兩解對嗎?
第10題我也有把直角的關係求出來,但想不出來用甚麼方法求面積最大值!

作者: 俞克斌 時間: 2013-4-3 02:10 標題: 回復 30# nanpolend 的帖子

個人淺見
請參考
謝謝

圖片附件: 精彩考題解析舉隅2013.04.03.jpg (2013-4-3 02:10, 86.47 KB) / 該附件被下載次數 6257
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1568&k=b55882f9a8c2d46d549be28b6f96725e&t=1713938234

作者: liuo 時間: 2013-4-23 15:20 標題: 回復 30# nanpolend 的帖子

第一次回復
不知道答案對不對
大家多多指教喔!
第四題

圖片附件: 1.jpg (2013-4-23 15:20, 35.91 KB) / 該附件被下載次數 5256
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1620&k=60f131e475d5571b9a064156e78b43a2&t=1713938234

作者: nanpolend 時間: 2013-5-24 07:28 標題: 回復 33# liuo 的帖子

感謝32 33樓的大大幫忙
順便請教15題詳解
pdf中只有題目沒有詳解或提示

作者: tsusy 時間: 2013-5-24 19:29 標題: 回復 34# nanpolend 的帖子

15 題

由 \( X+Y=I \) and \( XY=O \Rightarrow X^{2}=X, Y^{2}=Y, YX=O \)。

\( A=aX+bY\Rightarrow AX=aX^{2}=aX\Rightarrow (A-aI)X=O \)。

故 \( a \) 為 \( A \) 之特徵值，且 \( X \) 之兩行向量皆為 \( a \) 對應之特徵向量。
\( Y,b \) 亦同。

\( \det(A-xI)=(x-5)(x+2) \) 故 \( a=5>-2=b \)。

計算特徵向量得 \( X=\begin{bmatrix}1\\
1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u & v\end{bmatrix}
, Y=\begin{bmatrix}4\\
-3
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}w & z\end{bmatrix} \)。

\( X+Y=\begin{bmatrix}1 & 4\\
1 & -3
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u & v\\
w & z
\end{bmatrix}=I_{2}\Rightarrow\begin{bmatrix}u & v\\
w & z
\end{bmatrix}=\frac{1}{7}\begin{bmatrix}3 & 4\\
1 & -1
\end{bmatrix} \)。

故 \( X^{10}=X=\frac{1}{7}\begin{bmatrix}1\\
1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3 & 4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{3}{7} & \frac{4}{7}\\
\frac{3}{7} & \frac{4}{7}
\end{bmatrix} \)。

101 台中女中和台南二中也有類似之題

作者: nanpolend 時間: 2013-5-24 21:48 標題: 回復 35# tsusy 的帖子

感謝

作者: panda.xiong 時間: 2013-6-5 13:48

第2題
E=15*(1/32)+9*(5/32)+6*(10/32)+E*(10/32)+E*(5/32)+E*(1/32)
E=15/2
請問紅色部分怎麼解釋啊??
又為什麼需考慮正面次數少於反面次數時重擲的情況？他的期望值為何不是0?

作者: tsusy 時間: 2013-6-5 18:48 標題: 回復 37# panda.xiong 的帖子

因為他要「重擲」，題目問的是「玩此遊戲」的期望擲，而不是「擲一次」的期望值。

作者: panda.xiong 時間: 2013-6-5 20:44 標題: 回復 38# tsusy 的帖子

不好意思齁，笨笨的我想問那重擲的部分為什麼是這樣子列式啊？為什麼是乘以E?

作者: arend 時間: 2013-8-20 21:17

引用:

原帖由 dav 於 2012-6-23 06:02 PM 發表

嗚~那一題真的爆了...
10是我的想法 >_

這一題球最大面積
我算是\( 108-72\sqrt{2} \)
不知是否正確?

作者: cefepime 時間: 2016-10-8 23:58

14. 設 θ = 2π/49，求 1 + 2*cosθ + 3*cos2θ + ... + 49*cos48θ。

解: 本題除了利用極式，也可以用對稱性 : cosφ = cos(2π-φ)

θ = 2π/49，令

S = 1 + 2*cosθ + 3*cos2θ + ... + 49*cos48θ ...(1)

S = 1 + 2*cos48θ + 3*cos47θ + ... + 49*cosθ ...(2)

(1) + (2)

2S = 2 + 51*(cosθ + cos2θ + ... + cos48θ ) = 2 + 51*(-1) = -49

S = -49/2

作者: anyway13 時間: 2020-2-22 17:37 標題: 請教第1題

參考版上老師的做法,解出B(1,2,1),假設C(m,n,p)
利用已知條件,當AB向量垂直AC向量得到三角形ABC面積最大
4m+3n+p=37......(1)

接者利用C點落在平面E上得到,2m+n+3p=7......(2)

最後再利用AB線段=AC線段=根號26
(m-5)^2+(n-5)^2+(p-2)^2=26......(3)

得到m=-4p-8, n=5p+23代入(3)得到42p^2+280p+471=0
p解出複數根,請問哪裡做錯了?

作者: thepiano 時間: 2020-2-22 19:49 標題: 回復 42# anyway13 的帖子

△ABC 面積最大時，AB 和 AC 並不會垂直
解法請看一樓一心老師的提示

作者: anyway13 時間: 2020-2-22 20:35 標題: 回復 43# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師解惑,C解出來了.C(5,6,-3)

本來以為,(0.5)(AB)(AC)sin90度才會是最大值,結果這樣的話,C居然是複數根(不存在E上)

作者: 克勞棣 時間: 2020-2-23 19:49 標題: 回復 41# cefepime 的帖子

那請問為什麼θ = 2π/49，則cosθ + cos2θ + ... + cos24θ = -1/2呢？或者說，為什麼cosθ + cos2θ + ... + cos48θ = -1呢？謝謝！

作者: thepiano 時間: 2020-2-23 21:10 標題: 回復 45# 克勞棣的帖子

θ = (2/49)π，cosθ + cos2θ + ... + cos48θ = -1
用尤拉公式，取實部

作者: 克勞棣 時間: 2020-2-29 02:58 標題: 回復 46# thepiano 的帖子

所以閣下的意思是這樣嗎？
(抱歉！下面的"n是非負整數"是錯的，應該是"n是正整數")

作者: thepiano 時間: 2020-2-29 10:14 標題: 回復 47# 克勞棣的帖子

對

歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/)

論壇程式使用 Discuz! 6.1.0