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標題: 101鳳新高中 [打印本頁]

作者: Herstein 時間: 2012-6-17 14:01 標題: 101鳳新高中

成績也出來了考好爛!

101.6.17補充
以下資料供以後考生參考：

初試最低錄取分數 45分
取12名參加複試，錄取2名
70,69,60,60,58,54,50,50,50,50,49,45

其他，
40~44分 13人
30~39分 18人
20~29分 29人
10~19分 34人
0~9分 33人(含缺考)

共計 139人

附件: 101鳳新高中.rar (2012-6-17 16:45, 95.24 KB) / 該附件被下載次數 13167
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1257&k=c629ccf7c1239723768cd8262b302f2a&t=1732274882

作者: bugmens 時間: 2012-6-17 15:54

2.
空間坐標系上，則橢圓\( \cases{x^2+y^2=4 \cr x+y+z=0} \)的兩焦點坐標為
weiye解題，https://math.pro/db/thread-578-1-1.html

3.
設\( m,n \in N \)，將n個球隨機全部投入m個不同的袋子裡，則空袋子個數的數學期望值為？
https://math.pro/db/thread-690-1-1.html

8.
a,b,c為非零實數，\( a^5+b^5+c^5=a^3+b^3+c^3 \)，\( a+b+c=0 \)，則\( a^2+b^2+c^2= \)？
[解答]
令\( f(x)=x^3+px+q \)，\( f'(x)=3x^2+p \)，計算\( \displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)} \)

\( \matrix{
3 & 0 & p & 　& 　& 　& 　& 　\cr
　& 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 　& 　\cr
　&　 & -3p& 0 & 2p^2 & 3pq & -2p^3 & 　\cr
　&　 &　 &-3q& 0 & 2pq & 3q^2 &-2p^2q \cr
－& －& －& －& －& －& －& －\cr
3 & 0 & -2p& -3q&2p^2&5pq&...&...} \Bigg\vert\;
\matrix{0 \cr -p \cr -q \cr　\cr　} \)

\( a^2+b^2+c^2=-2p \)，\( a^3+b^3+c^3=-3q \)，\( a^5+b^5+c^5=5pq \)
\( \displaystyle a^2+b^2+c^2=\frac{6}{5} \)

3個實數x,y,z，滿足下列三個等式
\( \displaystyle \cases{x+y+z=0 \cr x^3+y^3+z^3=3 \cr x^5+y^5+z^5=15} \)
試求\( x^2+y^2+z^2 \)的值？
(建中通訊解題第70期)

計算證明題
1.
如圖\( \overline{AB}=\overline{CD}=1 \)，\( ∠BDC=90^o \)，\( ∠ADB=30^o \)，求\( \overline{BC}= \)？

設P為△ABC的\( \overline{BC} \)邊上一點，且\( \overline{PB}=\overline{AC}=a \)，若\( \displaystyle ∠BAP=\frac{1}{3}∠PAC=30^o \)，則\( \overline{PC} \)？
(95中一中)

如下圖，\( ∠AOB=90^o \)，\( ∠BOC=30^o \)，且\( \overline{AO}=\overline{BC}=1 \)，則\( \overline{AB} \)長度為
(91高中數學能力競賽中彰投區試題，h ttp://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... igh_Taichung_02.pdf　連結已失效

102.1.23補充
已知\( ∠ABC=90^o \)，\( ∠ABD=45^o \)，\( \overline{BC} \)長為\( 3\sqrt{10} \)且\( \overline{AD} \)長為5，試求\( \overline{AD} \)之長。
(99臺灣大學數學系學士班甄選入學　第二階段筆試試題(一)，h ttp://www.math.ntu.edu.tw/prospective/recruit.php?Sn=32　連結已失效

2.
設函數\( f(x) \)為一可微分函數，P為\( y=f(x) \)圖形上距離原點O最近的一點，若\( y=f(x) \)之圖形不過原點，試證明直線\( \overline{OP} \)為\( y=f(x) \)之圖形上過P點之法線

設函數\( f(x) \)為一可微分函數，P為\( y=f(x) \)圖形上距離原點O最近的一點。
(1)若P點的坐標為\( (\alpha,f(\alpha)) \)，試證\( \alpha+f(\alpha)f'(\alpha)=0 \)。
(2)若\( y=f(x) \)之圖形不過原點，試利用第(1)小題之結果，證明直線\( \overline{OP} \)為\( y=f(x) \)之圖形上過P點之法線。
(85大學聯考自然組，h ttp://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/ma/M1996A.swf　連結已失效

書名："數學是什麼？"
http://i.imgur.com/DFoe5.jpg

作者: 阿光 時間: 2012-6-18 09:53

想請教計算第1,2題,謝謝

作者: icetea 時間: 2012-6-18 10:11

第7題答案不對吧,角落沒有和中間相隣,應該可以和中間塗同色,他直接套相隣異色公式算

作者: 阿光 時間: 2012-6-18 13:53

想請教計算第1,2題,和填充第5,7題謝謝

作者: rudin 時間: 2012-6-18 14:14 標題: 計算第1

令BC=x,則BD=(x^2-1)^(1/2)利用三角形ABD及三角形ACD正弦定理
得x^4+2x^3-2x-4=0
即解出x=2^(1/3)
映像中這題有速解可以不用解4次方程,誰能提供一下

作者: tsusy 時間: 2012-6-18 20:11 標題: 回復 5# 阿光的帖子

填充 5. 令三根為 \( d,\, e,\, f \)，則 \( a+b+c=-d-e-f+de+df+fe-def=(1-f)(1-e)(1-f)-1=-2010 \)。

所以 \( (d-1)(e-1)(f-1)=2009=7\times7\times41 \)。

又 \( d,\, e,\, f \) 均為大於 2 之整數，所以三根為 \( 8,\,8,\,42\Rightarrow a=-58 \)。

作者: tsusy 時間: 2012-6-18 21:42 標題: 回復 4# icetea 的帖子

填充 7.

剛才算了一下，答案沒有錯。考慮兩種情形，第二列用三色或兩色

第二列三色： \(24 \times(1\times2^{2}+2\times3\times2)^{2}=6144 \)
說明：24 是第二列用三種顏色的塗法數
之後中上有兩種情況，一者與已用三者顏色都同，一者與其一同。之後再塗上左右
第三列的情況亦同

第二列兩色： \( 12\times(2\times2^{2}+1\times3^{2})^{2}=3468 \)
說明：與上一情況類似

相加得 9612。

作者: arend 時間: 2012-6-19 18:28

請教填充第1 題

我算出來的答案...

有人可以幫忙算一下
我不知哪裡錯了

謝謝

作者: WAYNE10000 時間: 2012-6-24 09:27 標題: 想請問填充8

上述的解題過程運用到的數學概念是??

謝謝指教

作者: Duncan 時間: 2012-6-30 09:39

請問各位老師填充第六題怎麼做？感謝

作者: katama5667 時間: 2012-6-30 15:01 標題: 回復 11# Duncan 的帖子回復 9# arend 的帖子

填充1.
取\( \overline{OX}=\overline{OZ}=\sqrt{2}\)
再將\(X,Z\)投影在\(\overrightarrow{OY}\)上，投影點為\(P\)
則\(\overline{OP}=\overline{PZ}=\overline{PX}=1\)
利用三角形OXZ，以餘弦定理求出\(\overline{XZ}=\sqrt{4-2\sqrt{2}}\)
再以三角形PZX，以餘弦定理求\(cos\alpha=\frac{1+1-(4-2\sqrt{2})}{2}=-1+\sqrt{2}\)

填充6.
此題的做法可能不是很正統，假設 \(x=1\) 為其根
\( ax^3+bx=-x^4-2x^2-1 \)代入 \(x=1\)，得
\(a+b=-4\)
再利用柯西不等式
\( (a^2+b^2)(1^2+1^2)\geq (a+b)^2\)
\(a^2+b^2\geq \frac{(-4)^2}{2}=8\)

接下來驗證是否無誤，
柯西"=" 成立時，\(a=b=-2\)
原式成了 \( -2x^3-2x=-x^4-2x^2-1 \)，而 \(x=1\)確定為其根，
因此答案無誤！

作者: larson 時間: 2012-6-30 23:25

填充6：令x=1代入，請問至少有一實根用在哪？

作者: weiye 時間: 2012-7-1 22:28 標題: 回復 10# WAYNE10000 的帖子

引用:

原帖由 WAYNE10000 於 2012-6-24 09:27 AM 發表
想請問填充8

上述的解題過程運用到的數學概念是??

謝謝指教

https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1019&page=1#pid2664

作者: tuhunger 時間: 2012-7-2 09:29 標題: 回復 14# weiye 的帖子

學長,可以請教填充第一題嗎感恩 orz

作者: weiye 時間: 2012-7-2 10:00 標題: 回復 15# tuhunger 的帖子

填充第 1 題：

如圖，自 \(\overrightarrow{OX}\) 上任取一異於 \(O\) 的點 \(A\)，

自 \(A\) 往 \(OYZ\) 平面做垂線，垂足為 \(B\)，

自 \(B\) 往 \(\overrightarrow{OY}\) 做垂線，垂足為 \(C\)，

延長 \(\overline{BC}\) 交 \(\overrightarrow{OZ}\) 於 \(D\) 點，

由三垂線定理及 \(ASA\) 全等性質，易知 \(\triangle AOC\sim \triangle DOC\)（皆為內角 \(45^\circ-45^\circ-90^\circ\) 的等腰直角三角形）

得 \(\overline{AC}=\overline{CD}\)

因為 \(\overrightarrow{OX}, \overrightarrow{OY},\overrightarrow{OZ}\) 兩兩夾角都相同，

所以 \(\overline{OB}\) 平分 \(\triangle YOZ\)，可得 \(\overline{CB}:\overline{BD}=\overline{OC}:\overline{OD}=1:\sqrt{2}\)

故，\(\displaystyle\cos\alpha=\frac{\overline{BC}}{\overline{AC}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{CD}} =\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1.\)

圖片附件: qq.png (2012-7-2 10:00, 9.54 KB) / 該附件被下載次數 6084
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1327&k=a914a7a23e8adac449461e0544bf01c3&t=1732274882

作者: 老王 時間: 2012-7-21 23:05

不好意思，再把填充六提出來討論一下。
關於Katama老師的作法，總覺得太過神奇，不知道有沒有在 FunLearn 那邊討論過呢??

試過幾個作法，總是不得要領，或是覺得作法太複雜，不該是填充題的想法。(只是現在很多填充題也是滿複雜的)
底下寫出我覺得比較能夠接受的作法。

假設四根是 \( p,q,r,s \)
由根與係數關係知道
\(\displaystyle p+q+r+s=-a \)
\(\displaystyle pq+pr+ps+qr+qs+rs=2 \)
\(\displaystyle pqr+pqs+prs+qrs=-b \)
\(\displaystyle pqrs=1 \)

\(\displaystyle a^2+b^2=(p+q+r+s)^2+(pqr+pqs+prs+qrs)^2=p^2+q^2+r^2+s^2+\frac{1}{p^2}+\frac{1}{q^2}+\frac{1}{r^2}+\frac{1}{s^2}+8 \)

如果 \( p,q,r,s \) 都是實數，那麼由算幾不等式得到
\(\displaystyle a^2+b^2 \ge 16 \)
但是可以檢查出四根不會都相等，所以上式等號不成立。

接著討論四根不是都是實根，再由題目要求至少一實根，所以要討論兩實根兩虛根的情形。
假設 \( p,q \) 是實根， \( r,s \) 是虛根；
然後我要作一個我自己都覺得奇怪的轉換:
令 \( p+q=m, pq=n, r+s=h, rs=k \)
那麼
\(\displaystyle n+k+mh=2 \)
\(\displaystyle nk=1 \)
由第二式得到 \(\displaystyle k=\frac{1}{n} \)
代入第一式得到 \(\displaystyle h=\frac{-n^2+2n-1}{mn} \)
\(\displaystyle a^2+b^2=8+(1+n^2)[\frac{m^2-4n}{n^2}+\frac{(n-1)^4}{m^2n^2}] \)
因為 \( p,q \) 是實根，所以 \( m^2-4n \ge 0 \)
因此得到最小值以及最小值發生在 \( p=q=1 \) 的時候。

作者: weiye 時間: 2012-7-22 12:58 標題: 回復 17# 老王的帖子

第 6 題：

我也提供一個方法好了。

因為 \(x^4+ax^3+2x^2+bx+1=0\) 有實根，

整理成 \(\left(x^3\right)\cdot a+\left(x\right)\cdot b+\left(x^2+1\right)^2=0\) 可以視為「以\(a\)為橫坐標、以\(b\)為縱坐標的直線方程式」

\(a^2+b^2=\) 「原點到直線 \(\displaystyle \left(x^3\right)\cdot a+\left(x\right)\cdot b+\left(x^2+1\right)^2=0\) 上的任意點 \((a,b)\) 距離」的平方

　　　　\(\geq\) 「原點到直線 \(\displaystyle \left(x^3\right)\cdot a+\left(x\right)\cdot b+\left(x^2+1\right)^2=0\) 距離」的平方

　　　　\(\displaystyle =\left(\frac{\left|x^3\cdot 0+x\cdot 0+\left(x^2+1\right)^2\right|}{\sqrt{\left(x^3\right)^2+\left(x\right)^2}}\right)^2\)

　　　　\(\displaystyle =\frac{\left(x^2+1\right)^4}{x^2\left(x^4+1\right)}\)

　　　　（（或是由柯西不等式來推得上面這個式子也可以！是一樣的！

　　　　　　因為 \(\displaystyle \left(a^2+b^2\right)\left(\left(x^3\right)^2+\left(x\right)^2\right)\geq\left(\left(x^3\right)\cdot a+\left(x\right)\cdot b\right)^2=\left(-\left(x^2+1\right)^2\right)^2 \)

　　　　　））

令 \(\displaystyle f(x)=\frac{\left(x^2+1\right)^4}{x^2\left(x^4+1\right)}\)，則 \(\displaystyle f\,'(x)=\frac{2\left(x^4-1\right)^3}{x^3\left(x^4+1\right)^2}\)

可知當 \(x=\pm1\) 時，\(f\,'(x)=0\)，

當 \(x>1\) 時，\(f\,'(x)>0,\, f(x)\)↗

當 \(0<x<1\) 時，\(f\,'(x)<0,\,  f(x)\)↘

當 \(-1<x<0\) 時，\(f\,'(x)>0,\,  f(x)\)↗

當 \(x<-1\) 時，\(f\,'(x)<0,\,  f(x)\)↘

因此，當 \(x=\pm1\) 時，\(f(x)\) 有最小值為 \(f(\pm1)=8\)

此時，直線方程式為 \(a+b+4=0\)或\(a+b-4=0\) ，且原點在此直線上的垂足為 \((a,b)=(2,2)\) 或 \((-2,-2).\)

作者: weiye 時間: 2012-7-22 16:26 標題: 回復 18# weiye 的帖子

(承第 6 題) 後半段 \(\displaystyle a^2+b^2=\frac{\left(x^2+1\right)^4}{x^2\left(x^4+1\right)}\) 求最小值也可以改用算幾不等式

題述方程式顯然實根 \(x\) 非零，

因為 \((x^2+1)^2=(x^4+1)+2x^2\)，

由算幾不等式可得 \(\displaystyle \frac{(x^4+1)+2x^2}{2}\geq\sqrt{2x^2(x^4+1)}\)

　　　　　　　　\(\displaystyle \Leftrightarrow \frac{(x^2+1)^2}{2}\geq\sqrt{2x^2(x^4+1)}\)

　　　　　　　　\(\displaystyle \Leftrightarrow \frac{(x^2+1)^4}{x^2(x^4+1)}\geq 8 \)

且當等號成立時，\(\displaystyle x^4+1=2x^2\Leftrightarrow (x^2-1)^2=0\Leftrightarrow x^2=1\Leftrightarrow x=\pm1\)

作者: natureling 時間: 2012-8-18 14:41 標題: 請教填充第四

@@感覺有看過...想不來...請幫忙..感恩!.三角形ABC中,AB=2,BC=3,CA=4，設 I 為三角形ABC之內心，直線L通過內心I，與二邊AB和AC分別交於D和E，則三角形ADE最小面積為??

作者: tsusy 時間: 2012-8-18 21:18 標題: 回復 20# natureling 的帖子

99高雄高中第 9 題 https://math.pro/db/thread-957-1-4.html

100 台中二中填充 1，瑋岳老師解題 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1116&page=2#pid3321

97台南女中、101師大附中的計算題，則是考重心

作者: cally0119 時間: 2013-3-24 17:16

請問一下第8題的解法在哪可以找到資料證明?

作者: 俞克斌 時間: 2013-3-24 23:09 標題: 回復 22# cally0119 的帖子

其實瑋岳老師已作詳盡導證
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1019&page=1#pid2664

我只是從個人先前的授課講義中摘錄一些練習題權作贊言
請卓參釜正

謝謝

圖片附件: 高次方和配合微分解法_頁面_1.jpg (2013-3-24 23:09, 187.87 KB) / 該附件被下載次數 5908
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1559&k=d69723e9576ffbfd0a00e2bccc47301b&t=1732274882

圖片附件: 高次方和配合微分解法_頁面_2.jpg (2013-3-24 23:09, 178.93 KB) / 該附件被下載次數 5802
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1560&k=e296f6d1e8f0a15b2ed559124e0294c1&t=1732274882

圖片附件: 高次方和配合微分解法_頁面_3.jpg (2013-3-24 23:09, 65.33 KB) / 該附件被下載次數 5727
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1561&k=800a7200c7046327e483909bcb47e90e&t=1732274882

作者: icegoooood 時間: 2021-5-19 16:58 標題: 回復 14# weiye 的帖子

看完原理了，覺得這招超猛的!

不過想跟各位老師請教一下，如果是像填充8這種題目，我一開始假設的f(x)要如何知道假設至幾次方呢?

如果我假設f(x)到二次方或是四次方可以嗎?
還是這種方法有什麼限制?

喔，等等，我看到最後一張圖的解法了，所以如果想用這招的話，就看有幾個根與係數的數目，就假設到幾次方對吧?

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