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標題: 101桃園縣高中聯招 [打印本頁]

作者: bugmens 時間: 2012-6-16 14:59 標題: 101桃園縣高中聯招

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101.6.17補充
桃園縣立高級中學101學年度新進教師甄選筆試試題答案疑議處理公告
三、數學科：
多重選擇題，第8題，正確答案更正為：BD。
多重選擇題，第10題，正確答案更正為：AC。
非選擇題，第2題，正確答案為無解。

101.6.24補充各校初試最低錄取分數
壽山高中44分
大園國際高中(一般教師)57分
觀音高中57分

[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-6-24 07:07 AM 編輯 ]

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作者: bugmens 時間: 2012-6-16 15:01

3.
右圖為某函數\( y=f(x)=x^3+ax^2+bx+c \)的圖形，則下列四個數値何者最小？
(A)\( a+b+c \)
(B)\( f(x)=0 \)的三根總和
(C)\( f(x)=0 \)的三根倒數和
(D)\( f(x)=0 \)的三根乘積

右圖為某函數\( p(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d \)的圖形，請問：下列五個數值何者最小。
(1)\( p(-1) \)　(2)\( p(x) \)的係數總和　(3)\( p(x)=0 \)的實根總和　(4)\( p(x)=0 \)的所有根乘積　(5)\( p(x)=0 \)的所有虛根乘積
(2011臺北區公立高中第1次學科能力測驗，http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/rab/RA156.swf)

The graph below shows a portion of the curve defined by the quartic polynomial \( P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d \). Which of the following is the smallest?
(A)\( P(-1) \)　(B)The product of the zeros of P　(C)The product of the non-real zeros of P　(D)The sum of the coefficients of P　(E)The sum of the real zeros of P
(2000AMC12，http://www.artofproblemsolving.c ... 82&cid=44&year=2000)

10.
\( 2^{\sqrt{2}} \)是(A)實數　(B)虛數　(C)複數　(D)1/2　(E)無法定義
[補充資料]
這題只問到屬於哪種數實在很可惜。應該要搭配對數表來問近似值為何？

http://en.wikipedia.org/wiki/Gelfond%E2%80%93Schneider_constant
希爾伯特的第七個問題
http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_seventh_problem
如果a是一個不等於0或1的代數數，b是一個無理代數數，則\( a^b \)總是超越數。

非選擇題
二、
設\( deg(f(x))=3 \)，且已知\( f(1)=1.7 \)，\( f(2)=1.8 \)，\( f(3)=2.3 \)，\( f(4)=3.2 \)，則\( f(8)= \)？
[解答]
\( \matrix{f(0) & & f(1) & & f(2) & & f(3) & & f(4) \cr 2 & & 1.7 & & 1.8 & & 2.3 & & 3.2 \cr
& -0.3 & & 0.1 & & 0.5 & & 0.9 & \cr
& & 0.4 & & 0.4 & & 0.4 & & } \)
\( \displaystyle f(n)=2 \times C_0^n-0.3 \times C_1^n+0.4 \times C_2^n=\frac{1}{5}n^2-\frac{1}{2}n+2 \)
題目應該要是\( deg(f(x))=2 \) 才對

三、
一袋中有3個黃球、4個綠球、5個紅球，今每次隨機從袋中取出一球，取後不放回，則紅球最先被取完的機率為何？

一袋中有三個紅球，四個綠球，五個白球，每球被取機率相同，每次取一球，取後不放回，紅球最先被取完的機率為？
(99嘉義高工，https://math.pro/db/thread-964-1-3.html)

袋中有3個紅球，2個黑球與4個黃球，設每一球被取到的機會相等，今由袋中一次任取一球，每次取完後不放回，則紅球先取完的機率為？
(100玉井工商，https://math.pro/db/thread-1131-1-1.html)

袋中有紅球4個，白球5個，黑球6個，每次由袋中取一球不放回，則紅球最先取完之機率
(高中數學101 P301)

五、
已知a、b為實數，\( f(x)=ax^2+bx \)，滿足\( 1 \le f(1) \le 2 \)，\( 2 \le f(2) \le 4 \)，若\( P \le f(3) \le Q \)，則數對\( (P,Q) \)為何？

已知函數\( f(x)=ax^2-c \)( \( a,c \in R \) )滿足\( -4 \le f(1) \le -1 \)，\( -1 \le f(2) \le 5 \)，
(1)利用Lagrange多項式，將\( f(x) \)表為\( P_1(x)f(1)+P_2(x)f(2) \)，其中\( P_1(x) \)與\( P_2(x) \)均為二次多項式，則\( P_1(x)= \)？\( P_2(x)= \)？
(2)求\( f(3) \)之值的範圍？
(101中正高中，https://math.pro/db/thread-1422-1-1.html)

已知二次函數\( f(x)=ax^2+bx \)滿足\( -1 \le f(-1) \le 2 \),\( 3 \le f(1) \le 4 \)，求f(-2)的取值範圍

[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-6-24 07:09 AM 編輯 ]

圖片附件: 金牌奧校數學奧林匹克教程.gif (2012-6-16 17:23, 67.04 KB) / 該附件被下載次數 9160
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作者: yaung 時間: 2012-6-16 22:50 標題: 回復 2# bugmens 的帖子

請問選擇10，實數不是複數嗎? 為何C不能選?謝謝

作者: agan325 時間: 2012-6-17 00:51 標題: 回復 2# bugmens 的帖子

想要請問計算題第2題
因為一開始假設 f(x)=ax^3+bx^2+cx+d 結果算出來 a=0..
後來才用插值下去算....

想要請問納題目有問題...它們會如何處理???

作者: brace 時間: 2012-6-17 13:26 標題: 回復 4# agan325 的帖子

他解答釋疑為寫無解才給分,暈倒
這感覺不合理,因為用lagrange可以算出答案,
是題目出錯用一般算法才會無法算下去,
並不是沒有f(8)之值,否則f(1).f(2).f(3).f(4)的值也沒辦法算
,所以答案也不是無解,
是題目一開始就錯了,應該都送分才合理....@@~~

[ 本帖最後由 brace 於 2012-6-17 02:47 PM 編輯 ]

作者: dennisal2000 時間: 2012-6-17 15:50

想請問第八題的 C 選項為何不對

以及  非選第四題的期望值問題

還有  非選第七題的中間值定理該如何用實數完備性去證?
      我的想法是多項式函數必定連續
      所以若 P(a) P(b) 異號可得存在 c 屬於 a,b之間使得 P(c)=0
      而實數完備性保證c 的存在性?
      請高手不吝指點

作者: tsusy 時間: 2012-6-17 16:20 標題: 回復 6# dennisal2000 的帖子

非選 7. 你說的沒錯，但就是題目要我們證的事"實數完備性如何保證c 的存在性"

想法：多項式函數必定連續，這是一定要用到的條件

至於怎麼做，至少先問問自己，實數完備性是什麼吧

非選 4. 可以把它拆解成兩個幾何分布，\( X \): 收集到魯夫或喬巴的點擊次數；\( Y \): 收到到其中一個後，再收集到另一個所需的點擊次數。

從幾何分布容易計算得 \( (\frac{2}{6})^{-1} + (\frac{1}{6})^{-1} = 9 \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-6-17 04:28 PM 編輯 ]

作者: dtc5527 時間: 2012-6-17 17:47 標題: 請問單選2

如何將題目看成是雙曲線
我有用geogebra畫出來跟xy=1的圖型很像
但不知怎麼求出答案
感謝各位的解惑

作者: shiauy 時間: 2012-6-17 18:25

引用:

原帖由 dtc5527 於 2012-6-17 05:47 PM 發表
如何將題目看成是雙曲線
我有用geogebra畫出來跟xy=1的圖型很像
但不知怎麼求出答案
感謝各位的解惑

就只是旋轉座標軸後
得到方程式\(\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{y^2}}}{{\frac{1}{2}}} = 1\)
所以就可以知道貫軸長是\(2\sqrt 2 \)

旋轉座標軸是舊教材的單元，所以建議你可以去找舊教材的高三課本
或是可以搜尋“不變量旋轉”

作者: yaung 時間: 2012-6-17 18:59 標題: 回復 5# brace 的帖子

請問為何是無解呢？用lagrange算出的答案不對嗎？謝謝

作者: dtc5527 時間: 2012-6-17 21:06 標題: 回復 9# shiauy 的帖子

謝謝

作者: shiauy 時間: 2012-6-18 04:54

複選第8題答案更正為BD
其中(D)選項：無法計算答案
是為什麼無法計算，不是發散級數了嗎？
且\(S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} + ... > 1 + \frac{1}{2} + [\frac{1}{4} + \frac{1}{4}] + [\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}] + ... = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + ... = \infty \)
不就是無限大嗎？
不知道為什麼答案是這樣

作者: nanpolend 時間: 2012-6-18 22:10 標題: 回復 12# shiauy 的帖子

無窮大是個概念
其實數值是不存在的
無法求和
例如123456789是無窮大
123456789+1比無窮大還大

作者: tsusy 時間: 2012-6-18 22:45 標題: 回復 13# nanpolend 的帖子

說它不存在，不太恰當。

因為，只是在實數裡，它不存在而已，

就像 \( i \) 也不在實數裡，自然不必滿足 \( i+1>i\) 這件事

有個東西叫 Extended Real number system，裡面就有無限大，當然其運算要小心的定義

回到高中數學的範疇，無窮級數的和是指其極限(如果存在)

這種發散的情況，也是您所說的極限「不存在」，或稱之為「無法求和」

另外，選項 (D) 的文字敘述，讓小弟覺得很奇怪：「它無法求出答案」

有問才有答，給定一個調和級數，哪來所謂的答案是什麼？

就像這樣的例子：給定 \( a= 1 \)，請問：「它無法求出答案」這句話是否正確？

或是給定正三角形 \( ABC \)，請問：「它無法求出答案」這句話是否正確？

當然如果補上一個等號，像是 \( 1+1 = \), 這樣應該就沒問題，可以求得答案是 2。

以上是個人的瘋言瘋語，也許小弟執著了，在找題目麻煩，也給自己麻煩

作者: dtc5527 時間: 2012-6-26 11:38 標題: 請教非選第一題

完全平方數的問題
謝謝

作者: 阿光 時間: 2012-6-26 19:16

想請教選擇第5,11題和第二部分第一題,謝謝

作者: idontnow90 時間: 2012-6-28 00:04

11.
U_2(f)=U_4(f)=-1為最大值.所以A對B錯
D選項:應該是大於等於
E選項:U_n(-f)是把U_n(f)翻過來.所以最大值在兩端..自然相加不會是0
C選項我不確定><"
我猜想應該是因為切太細了..而且曲線都在下半平面.所以小於0
如果有錯請指正..感謝..

[ 本帖最後由 idontnow90 於 2012-6-28 12:12 AM 編輯 ]

作者: wdemhueebhee 時間: 2012-6-28 13:14 標題: 回復 2# bugmens 的帖子

請問非選二的f(0)=2要怎麼看呢??謝謝

作者: 阿光 時間: 2012-6-28 19:33

想請教非選擇一和七題

作者: 老王 時間: 2012-6-28 20:51

非選第一題
我覺得這題的算法大家都應該會，只是缺乏勇氣；反正就硬算拼了吧!!
設 \(\displaystyle \sqrt{m^2+101m+2012}=n , n \in \mathbb{N} \)
\(\displaystyle n^2=(m+\frac{101}{2})^2-\frac{2153}{4} \)
\(\displaystyle (2m+101)^2-n^2=2153 \)
\(\displaystyle (2m+101+2n)(2m+101-2n)=2153 \)
麻煩的是要確定 \( 2153 \) 是質數，請親自驗算!!
\(\displaystyle 2m+101+2n > 2m+101-2n \)
\(\displaystyle (2m+101+2n,2m+101-2n)=(2153,1) or (-1,-2153) \)
\(\displaystyle m=488 or -589 \)

[ 本帖最後由老王於 2012-6-28 08:57 PM 編輯 ]

作者: vicky614 時間: 2012-8-31 15:13

引用:

原帖由 tsusy 於 2012-6-17 04:20 PM 發表
非選 7. 你說的沒錯，但就是題目要我們證的事"實數完備性如何保證c 的存在性"

想法：多項式函數必定連續，這是一定要用到的條件

至於怎麼做，至少先問問自己，實數完備性是什麼吧

非選 4. 可以把它拆解成兩個幾何分布，\( X \ ...

非選四:
還是不了解,分成兩個幾何分布X和Y之後,下面那行的計算如何得到?
本人駑鈍,請老師解說,謝謝!

作者: tsusy 時間: 2012-8-31 19:12 標題: 回復 21# vicky614 的帖子

幾何分布的 \( X \sim G(p) \)

的期望值是 \( EX = \sum (1-p)^{n-1}p\cdot n \)

差比級數求和 \( EX = \frac{1}{p} \)

只是單純的定義操作而已

作者: martinofncku 時間: 2012-9-6 08:46

10.
22 是(A)實數　(B)虛數　(C)複數　(D)1/2　(E)無法定義
[補充資料]
這題只問到屬於哪種數實在很可惜。應該要搭配對數表來問近似值為何？

請問可以在那裏看到您說的例子呢？謝謝您！

作者: bugmens 時間: 2012-9-6 18:14

你可以試看看這題

2.請利用底下的對數表求\( \displaystyle \sqrt{2}^{(\sqrt{2}^{\sqrt{2}})} \)的近似值至小數點後第一位(由第二位作四捨五入)？
(101松山工農，https://math.pro/db/thread-1482-1-2.html)

作者: martinofncku 時間: 2012-9-7 11:02

請問，函数 f（x）=ax+b/x, a>0, b>0 的圖形一定是雙曲線嗎？

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