標題: 101桃園高中 [打印本頁]

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作者: bugmens    時間: 2012-5-24 19:54     標題: 101桃園高中

各科初試最低錄取分數如下:
1. 國文科正式：82.4分
2. 數學科正式：86分
3.    國文科代理:78分
4.    數學科代理:73分
5.    地科代理:46.4分
學校僅公佈最低錄取分數，無考生個人成績

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=1142&k=dd253b2ae55f64988febabaf9ccfd1a7&t=1732297550

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作者: tacokao    時間: 2012-5-24 19:59     標題: 想請教填充第3、6、8題。謝謝!!!

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作者: weiye    時間: 2012-5-24 20:07     標題: 回復 2# tacokao 的帖子

填充第 3 題：

小於 \(3^{10}\) 且與 \(3^{10}\) 互質的正整數個數為 \(\displaystyle 3^{10}\left(1-\frac{1}{3}\right)=2\cdot 3^9\)

思考：若 \(1\leq k<3^{30}\) 且 \(gcd(k,3^{10})=1\)，則 \(\displaystyle  gcd(3^{10}-k,3^{10})=1\Rightarrow \frac{k}{3^{10}}+\frac{3^{10}-k}{3^{10}}=1\)

因此，所求＝\(\displaystyle  \frac{1}{2}\cdot \left(2\cdot3^9\right)=3^9=19683.\)

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作者: Ellipse    時間: 2012-5-24 20:15

引用:

原帖由 tacokao 於 2012-5-24 07:59 PM 發表

填充3
歐拉定理告訴我們
1~3^10正整數中與3^10互質的數共有3^10*(1-1/3)=2*3^9個
這些頭尾配的和=3^10 (第一個配最後一個,第二個配最後第二個,.....)
共有2*3^9/2=3^9組
所求的總和=(3^10)*(3^9)/ (3^10)=3^9

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2012-5-24 08:17 PM 編輯 ]

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作者: tacokao    時間: 2012-5-24 20:27     標題: 感謝瑋岳老師及橢圓老師，我懂了!!!!謝謝!!!!

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作者: weiye    時間: 2012-5-24 20:27     標題: 回復 2# tacokao 的帖子

填充第 8 題：

思考：小弟不太喜歡兩個變數互相限制來限制去的，因使先想辦法讓兩個變數沒有瓜葛～

令 \(t=x-y\Rightarrow t\geq0\)

\(\displaystyle\frac{5x+4y}{x+2y}=\frac{5t+9y}{t+3y}=3+\frac{2t}{t+9y}=3+\frac{2}{1+\frac{y}{t}}\geq3\)

先找出下界是 \(3\) 了！

當 \(t=0,y\in R^+\)時，\(\displaystyle \frac{5t+9y}{t+3y}\) 有最小值為 \(3\)

亦即當 \(x=y>0\) 時，可得 \(\displaystyle \frac{5x+4y}{x+2y}\) 有最小值為 \(3\)



因為 \(\displaystyle \frac{y}{t}\geq0\)，因此 \(\displaystyle \frac{5x+4y}{x+2y}=3+\frac{2}{1+\frac{y}{t}}\leq3+\frac{2}{1+0}=5\)

找到上界 \(5\) 了！

當 \(y=0, x>0\) 時，可得 \(\displaystyle \frac{5x+4y}{x+2y}=5\) 為最大值.


因此，所求＝最小值＋最大值＝\(8\)

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作者: weiye    時間: 2012-5-24 21:22     標題: 回復 2# tacokao 的帖子

填充第 6 題：

※　如下想了一個怪方法，我想應該有其他更漂亮的方法吧。

先畫出圖形，觀察一下～

令 \(\displaystyle \vec{BO}=p\vec{BA}+q\vec{BC}\) .......(1)

將 (1) 的等號左右同時內積 \(\displaystyle \vec{BA}\)，可得 \(\displaystyle 27=27p+(-27)q\)

將 (1) 的等號左右同時內積 \(\displaystyle \vec{BC}\)，可得 \(\displaystyle 108=(-27)p+108q\)

兩式解聯立，可得 \(\displaystyle p=\frac{8}{3}, q=\frac{5}{3}\)

亦即 \(\displaystyle \vec{BO}=\frac{8}{3}\vec{BA}+\frac{5}{3}\vec{BC}=\frac{13}{3} \left(\frac{8}{13}\vec{BA}+\frac{5}{13}\vec{BC}\right) \)

令 \(\displaystyle \overline{OB}\) 與 \(\displaystyle \overline{AC}\) 的交點為 \(\displaystyle D\)

可得 \(\displaystyle \overline{AD}:\overline{DC}=5:8\)，且 \(\displaystyle \overline{BD}:\overline{OB}=3:13\Rightarrow \overline{OD}:\overline{OB}=10:13\)

因此，\(\displaystyle \vec{OD}=\frac{8}{13}\vec{OA}+\frac{5}{13}\vec{OC}\) 且 \(\displaystyle \vec{OB}=\frac{13}{10}\vec{OD}\)

故，\(\displaystyle \vec{OB}=\frac{13}{10}\left(\frac{8}{13}\vec{OA}+\frac{5}{13}\vec{OC}\right)=\frac{4}{5}\vec{OA}+\frac{1}{2}\vec{OC}\)

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作者: 老王    時間: 2012-5-24 21:35

填充六

圖片附件: 101桃園高中6.jpg (2012-5-24 21:35, 13.5 KB) / 該附件被下載次數 8844
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1144&k=d25a7f2602cd74a18058fd8e78023d72&t=1732297550

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作者: tacokao    時間: 2012-5-24 21:58

引用:

原帖由 老王 於 2012-5-24 09:35 PM 發表
填充六

感謝老王老師，我看懂了!!!考試的時候一直執著它是圓內接四邊形，想把它坐標化，卻一直鬼打牆，謝謝您的解答。

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作者: bugmens    時間: 2012-5-24 22:20

看到老王所提供的圖，讓我想起指考研究用試題有一個類似題

已知\( ∠AOB=60^o \)，\( \overline{AE}=a \)，\( \overline{BE}=b \)，\( \vec{OE}=\alpha \vec{OA}+\beta \vec{OB} \)，請以a與b表示\( \alpha \)與\( \beta \)。
(94指定科目考試研究用試題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=932&page=1#pid2009)

我自己想請教的是計算第五題
我想以直線方程式\( ax+by=(a,b) \)的找出x,y的整數解一般項的方法應用在
平面方程式\( 36=77a+55b+35c \)的a,b,c整數解一般項
只是我自己繞來繞去仍是解不出來，不知道是否還有其他種方法

感謝weiye解題，原來是用同餘
也感謝Ellipse解題，是我太執著於找一般解，忘記要檢查是否真的有整數解

103.5.29補充
102景美女中也考了相同的題目https://math.pro/db/thread-1624-1-1.html

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作者: weiye    時間: 2012-5-24 22:42     標題: 回復 10# bugmens 的帖子

計算第 5 題：

\(\displaystyle\frac{36}{5\cdot7\cdot11}=\frac{a}{5}+\frac{b}{7}+\frac{c}{11}\)

\(\Rightarrow 36=a\cdot7\cdot11+b\cdot5\cdot11+c\cdot5\cdot7\)


\(1\equiv a\cdot2\pmod{5}\Rightarrow a\equiv3\pmod{5}\Rightarrow a=3\) 或 \(a=-2\)

\(1\equiv b\cdot6\pmod{7}\Rightarrow b\equiv6\pmod{7}\Rightarrow b=6\) 或 \(b=-1\)

\(3\equiv c\cdot2\pmod{11}\Rightarrow c\equiv7\pmod{11}\Rightarrow c=7\) 或 \(c=-4\)

因此僅有 \(2\times2\times2=8\) 種情況是有可能得，

再帶入 \(\displaystyle\frac{36}{5\cdot7\cdot11}=\frac{a}{5}+\frac{b}{7}+\frac{c}{11}\) 檢查看這八種中有多少種會成立，

可得正確的答案。

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作者: Ellipse    時間: 2012-5-24 22:53

計算5:
如果是用bugmens的想法來做的話
36=77a+55b+35c-------(*)
a=-4, 55b+35c=344 ,(55,35)不整除344. 所以b,c沒有整數解
a=-3, 55b+35c=267 ,(55,35)不整除267. 所以b,c沒有整數解
a=-2, 55b+35c=140 ,(55,35)整除140. 所以b,c有整數解 =>再找解
a=-1, 55b+35c=113 ,(55,35)不整除113. 所以b,c沒有整數解
a=0,  55b+35c=36 ,(55,35)不整除36. 所以b,c沒有整數解
a=1, 55b+35c=-41 ,(55,35)不整除-41. 所以b,c沒有整數解
a=2, 55b+35c=-118 ,(55,35)不整除-118. 所以b,c沒有整數解
a=3, 55b+35c=-195 ,(55,35)整除195. 所以b,c有整數解=>再找解
a=4, 55b+35c=-272 ,(55,35)不整除-272. 所以b,c沒有整數解


[ 本帖最後由 Ellipse 於 2012-5-24 10:55 PM 編輯 ]

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作者: weiye    時間: 2012-5-24 23:11     標題: 回復 11# weiye 的帖子

計算第 5 題：

另解，

\(36=77a+5(11b+7c)\)

解出通解 \(a=-2+5t, 11b+7c=38-77t\)，其中 \(t\) 為整數，

因為 \(|a|<5\)，所以 \(t=0\) 或 \(t=1\)

case i: 當 \(t=0\) 時，\(11b+7c=38\)，解出通解 \(b=-1+7m, c=7-11m\)，其中 \(m\) 為整數，

　　　　因為 \(|b|<7\) 且 \(|c|<11\)，所以 \(m=0\) 或 \(m=1\)，可得 \((a,b,c)=(-2,-1,7)\) 或 \((-2,6,-4)\)

case Ii: 當 \(t=1\) 時，\(11b+7c=-39\)，解出通解 \(b=-1+7m, c=-4-11m\)，其中 \(m\) 為整數，

　　　　因為 \(|b|<7\) 且 \(|c|<11\)，所以 \(m=0\)，可得 \((a,b,c)=(3,-1,-4)\)





>>>>>>>>>另外，順便來寫一下雙自由變數的通解，如下<<<<<<<<<<<<<<<<

\(36=77a+5(11b+7c)\)

先寫出 \((a,11b+7c)\) 的特解 \((-2,38)\)，再寫通解 \(a=-2+5t, 11b+7c=38-77t\)，其中 \(t\) 為整數，

再來考慮 \(11b+7c=38-77t\)，

先寫出 \((b,c)\) 的特解 \((-1,7-11t)\)，再寫通解 \(b=-1+7m, c=7-11t-11m\)，其中 \(m\) 為整數。

因此， \((a,b,c)\) 整數解的通解為 \((a,b,c)=(-2+5t, -1+7m, 7-11t-11m)\)，其中 \(t,m\) 為整數。

然後再依照本題的 \(|a|<5,|b|<7,|c|<11\)，也可解得對應的 \(t,m\) 之值。

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作者: tsusy    時間: 2012-5-25 00:01     標題: 回復 10# bugmens 的帖子

週三，武陵高中也考了一題，不過問的非負整數...

題意經轉換後為：求最大之正整數 \( a \) 使得 \( 5n +12m =a \),  \( m,  n \) 無非負整數解

不過時間緊湊，也沒時間細想它...有空再來做

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作者: 老王    時間: 2012-5-25 21:28

填充八
因為\( x \ne 0 \)
假設\(\displaystyle \frac{y}{x}=t \)
再由\( x \ge y \ge 0 \)
得到\( 0 \le t \le 1 \)

\(\displaystyle \frac{5x+4y}{x+2y}=\frac{5+4t}{1+2t}=2+\frac{3}{1+2t} \)

所以得到\( M=5,m=3 \)

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作者: brace    時間: 2012-5-28 05:51     標題: 請問一下填充5如何解,謝謝

請問一下填充5如何解,謝謝

[ 本帖最後由 brace 於 2012-5-28 06:39 AM 編輯 ]

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作者: weiye    時間: 2012-5-28 08:43     標題: 回復 16# brace 的帖子

填充第 5 題：

令 \(<a_n>\) 的公比為 \(a\)，\(<b_n>\) 的公比為 \(b\)，則

解 \(\displaystyle\left\{\begin{array}{cc}\displaystyle \frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}=\frac{8}{3}\\ \frac{1}{1-ab}=\frac{4}{5}\end{array}\right.\)，可得 \(\displaystyle(a,b)=(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})\) 或 \(\displaystyle(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})\)

因此，所求＝\(\displaystyle\frac{1}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2}+2\cdot\frac{1}{1-\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{-1}{2}\right)}+\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{64}{15}.\)

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作者: brace    時間: 2012-5-28 11:50     標題: 謝謝瑋岳老師

謝謝瑋岳老師,感謝您.^^

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作者: shiauy    時間: 2012-5-28 12:11

想請教填充第11題
如何從cos(A-B)=2/3
獲得跟邊長c有關的訊息？？

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作者: hua0127    時間: 2012-5-28 13:07

引用:

原帖由 shiauy 於 2012-5-28 12:11 PM 發表
想請教填充第11題
如何從cos(A-B)=2/3
獲得跟邊長c有關的訊息？？

我是這樣考慮，因為 BC>AC，在 BC 上取一點 D 使得 角DAC=角B
這樣的話三角形 ACD 與 三角形 BCA 相似， 令 AD=x, 則
4/6= x/AB = CD/4, 可解出 CD=8/3, AB=3x/2,
再因為 cos(A-B)=cos(角BAD)=2/3, BD=6-(8/3)=10/3, AD=x, AB=3x/2
可用餘弦定理解出x, 這樣邊長c就出來了。

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作者: chiang    時間: 2012-5-28 15:44     標題: 請教填充第10題

對不起，我想請問一下，填充第１０題
答案是３０度或６０度
＂６０度＂是怎麼算出來的？？

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作者: Ellipse    時間: 2012-5-28 17:59

引用:

原帖由 chiang 於 2012-5-28 03:44 PM 發表
對不起，我想請問一下，填充第１０題
答案是３０度或６０度
＂６０度＂是怎麼算出來的？？

假設C(0,k)
向量OA+向量AB+向量BC=向量OC
(cosa,sina)+(cos3a,sin3a)+(cos5a,sin5a)=(0,k)
解cosa+cos3a+cos5a=0(0<a<Pi/2)
利用和差化積,可得a=30度或60度


註:紅色是修改數據,那時趕去上課,匆忙中打錯了
     感謝mandy老師指正~

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2012-5-29 09:07 PM 編輯 ]

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作者: pizza    時間: 2012-5-30 00:10

想請問計算證明的#3,#4

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作者: hua0127    時間: 2012-5-30 09:01

引用:

原帖由 pizza 於 2012-5-30 12:10 AM 發表
想請問計算證明的#3,#4

計算第3題：
x^n=1 的所有根為 cos(2k(pi) / n) + isin (2k(pi) / n) ,k=1,2,...,(n-1)  令 w=cos(2(pi) / n) + isin (2(pi) / n)
則所有根為 1,w,w^2,...,w^(n-1), 所以 S=1+w+w^2+...+w^(n-1)=0
P=w^(n(n-1) / 2) 討論一下：若 n 為奇數 (注意到題目 n>1），則 2整除 n-1, 所以 P=(w^n)^(n-1 / 2) =1
若 n 為偶數，令n=2m, m大於等於1, 則 P=(w^m)^(2m-1) ,  注意到此時 w^m=cos(pi)+iisin(pi)=-1
所以P=-1

計算第4題：
因為a-b / a+b = sinA-sinB / sinA+sinB 用和差化積就可得證了

[ 本帖最後由 hua0127 於 2012-5-30 04:40 PM 編輯 ]

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作者: natureling    時間: 2012-6-7 10:45     標題: 請教填充7..11

感恩....

[ 本帖最後由 natureling 於 2012-6-7 11:29 AM 編輯 ]

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作者: tsusy    時間: 2012-6-7 17:32     標題: 回復 25# natureling 的帖子

填充 11. # 20 hua 兄已給方法

填充 7. 利用正弦定理可得 \( \frac{\overline{PA}}{\sin \angle PQA} =4\sqrt{3} \) 和 \( \frac{\overline{PB}}{\sin \angle PQB} = 4 \)

又 \( A,\, B,\, Q \) 共線，所以 \( \angle PQA \) 和 \( \angle PQB \) 互為補角，正弦值相同

將兩正弦之式子相除得 \( \frac{\overline{PB}}{\overline{PA}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \)

另外，其實如果猜出它是定值的話，可假設 \( \angle PQA = 90^\circ \), 亦可湊出答案

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作者: WAYNE10000    時間: 2012-7-1 20:21     標題: 請教計算2

為什麼我算了N次

a的範圍都是1到3+2根號3 ?? 與解答不同

盼請賜教

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作者: 老王    時間: 2012-7-1 20:52     標題: 回復 27# WAYNE10000 的帖子

猜測你忘了要去算"真數恆正"的條件。

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作者: 老王    時間: 2012-7-1 21:05     標題: 回復 25# natureling 的帖子

填充7
請參考
http://tw.myblog.yahoo.com/oldbl ... rev=5241&l=f&fid=11

填充11
在 \( BA \) 延長線上取 \( D \) 使得 \( CD=CB=6 \) ，(註:因為 \( CD=CB>CA \) ，所以 \( D \) 點在 \( BA \) 延長線上。)
那麼 \( \angle{ACD}=\angle{A}-\angle{B} \)
所以 \(\displaystyle \cos{\angle{ACD}}=\frac{2}{3} \)
\(\displaystyle CD \times \cos{\angle{ACD}}=4=CA \)
所以 \( CA \perp BA \)
面積為 \(\displaystyle \frac{1}{2} \times 4 \times \sqrt{20} =4\sqrt{5} \)

圖片附件: 101桃園高中11.jpg (2012-7-1 21:05, 8.91 KB) / 該附件被下載次數 6164
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作者: Singing    時間: 2014-2-10 20:12     標題: 回復 13# weiye 的帖子

不好意思，我想請問特解（-2，38)怎麼求

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作者: weiye    時間: 2014-2-10 21:28     標題: 回復 30# Singing 的帖子

令 \(k=11b+7c\)，則 \(36 = 77a + 5 k\)

欲求 \(a,k\) 的整數解，

法一： 尤拉法，\(\displaystyle 36 = 77a +5k\Rightarrow k=7-15a + \frac{1-2a}{5}\)

　　　 欲求整數 \(a\) ，使得 \(k\) 亦為整數，可取 \(1-2a=5\Rightarrow a=-2\)

　　　 此時 \(k=38\) 亦為整數。


法二：因為 \(gcd(77,5)=1\) ，所以先找 「\(77\times\mbox{第一數}+5\times\mbox{第二數}=1\)」

　　　利用輾轉相除法（ＰＯ文不方便寫成表格狀，以下改以橫式書寫～），

　　　\(77÷5=15 \cdots 2\Rightarrow 77=15\cdot5+2\)

　　　\(5÷2=2 \cdots 1 \Rightarrow 5 = 2\cdot2+1\)

　　　由最後一式往上帶回去，

　　　可知 \(1 = 5 - 2\cdot2\)

　　　\(\Rightarrow 1 = 5 - 2\cdot\left(77-15\cdot 5\right)\)

　　　\(\Rightarrow 1 = 5\times31 +77\times\left(-2\right)\)

　　　左右兩邊同時乘以 \(36\)，可得

　　　\(36 = 5\times\left(31\cdot36\right)+77\times\left(-2\cdot36\right)\)

　　　\(36 = 5\times\left(1116\right)+77\times\left(-72\right)\)

　　　再找通解 \(36 = 5\times\left(1116-77k\right)+77\times\left(-72+5k\right)\)，其中 \(k\) 為任意整數

　　　取 \(k=-14\)，即可得 \(36 = 5\times38+77\times\left(-2\right)\)

法三： google "秦九韶大衍求一術"

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作者: Singing    時間: 2014-2-12 23:01     標題: 回復 31# weiye 的帖子

謝謝weiye的詳解。懂了！

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