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標題: 101新竹女中 [打印本頁]

作者: 八神庵    時間: 2012-5-14 09:42     標題: 101新竹女中

各位早安
好久沒來了
自從去年八月換學校後....囧
今年第一砲
給從未公佈過題目的新竹女中!
有去考的可以分享計算題嗎?

附件: 101新竹女中.pdf (2012-5-14 11:20, 200.18 KB) / 該附件被下載次數 6873
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1089&k=316e265da629ac60f45368052a63d2f6&t=1624562962
作者: Ellipse    時間: 2012-5-14 11:22

引用:
原帖由 八神庵 於 2012-5-14 09:42 AM 發表
各位早安
好久沒來了
自從去年八月換學校後....囧
今年第一砲
給從未公佈過題目的新竹女中!
有去考的可以分享計算題嗎?
八神庵大大重出江湖了~
是現在這個學校太操了?
怎麼那麼久都沒您的消息?
作者: tacokao    時間: 2012-5-14 12:20     標題: 新竹女中計算題

PPT有人分享,做了個簡單的整理,請橢圓老師及各位老師享用。

附件: 新竹女中計算題.pdf (2012-5-14 12:20, 123.16 KB) / 該附件被下載次數 6195
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1090&k=258bb2daba10be1a1b7c334733894870&t=1624562962
作者: weiye    時間: 2012-5-14 20:32

附上 ptt 的 lovestupid 網友所提供的計算題。

附件: 新竹女中101計算題(lovestupid@ptt).PDF (2012-5-14 20:32, 51.92 KB) / 該附件被下載次數 6413
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1091&k=1f8d658e5f7c83844d2904bd5d7c3bc6&t=1624562962
作者: hua0127    時間: 2012-5-15 00:08

感謝各位前輩分享考題,
今天晚上也練習了一下,將依些填充的部分整理過
分享給大家。

附件: 101 新竹女中 部分填充題.pdf (2012-5-15 00:08, 151.66 KB) / 該附件被下載次數 6932
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1092&k=1651d81c2dcee04d90e7f9dbb9541e7a&t=1624562962
作者: 阿光    時間: 2012-5-15 05:51

想請教填充第3,6,7題,謝謝
作者: hua0127    時間: 2012-5-15 09:43

引用:
原帖由 阿光 於 2012-5-15 05:51 AM 發表
想請教填充第3,6,7題,謝謝
第7題
設空間中兩直線\(L_1\):\(\displaystyle \frac{x}{2}=\frac{y+1}{3}=z+3\)與\(L_2\):\(\displaystyle \frac{x+1}{4}=\frac{4-y}{2}=\frac{z+2}{-1}\),若直線\(L\)過\(P(1,2,-1)\)且與\(L_1\)、\(L_2\)分別交於\(A\)、\(B\)兩點,則\(\overline{AB}\)長為   
[解答]
目前只想到用暴力的方式解,等其他老師分享其他想法
(抱歉本站的數學語法仍在摸索中,故麻煩點打成PDF)

附件: 7.pdf (2012-5-15 09:43, 41.6 KB) / 該附件被下載次數 6058
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1093&k=f3a4177b798149fa7f64e11005a0de24&t=1624562962
作者: tsusy    時間: 2012-5-15 13:21     標題: 回復 7# hua0127 的帖子

第 7 題和剛考完的  101附中填充1 是一樣的類型,兩間同時考,還考一樣的...真是巧合

小弟的作法如下:作過 \( P,\, L_1 \) 之平面 \( E_1 \),與 \( L_2 \) 交點即為 \( B \)

同理的,作過 \( P,\, L_2 \) 之平面 \( E_2 \),與 \( L_1 \) 交點即為 \( A \)

但附中的那一題,是求對稱比例式,所以只需求一個交點,比好好算

不過竹女這題,求線段長,兩個交點都要求,這個方法,就不見得快了
P.S. 附中那題  \( A,\, B\) 是同一個點,被出題者整了
作者: hua0127    時間: 2012-5-15 14:59

引用:
原帖由 tsusy 於 2012-5-15 01:21 PM 發表
第 7 題和剛考完的  101附中填充1 是一樣的類型,兩間同時考,還考一樣的...真是巧合

小弟的作法如下:作過 \( P,\, L_1 \) 之平面 \( E_1 \),與 \( L_2 \) 交點即為 \( B \)

同理的,作過 \( P,\, L_2 \) 之平面 \( E_2 \) ...
這個想法比硬解好太多了~附中的第一題當場也是被唬到了...哭哭

另外,填充題3,6有把他硬解出來,也算了部分的計算題,但計算題沒有答案
也請大家有空幫小弟看看。
好像計算題的第三跟第五題好像分享的題目敘述不太一樣,故可能有些問題,待補完
之後有時間會將整篇整理再PO

附件: 101 新竹女中 填充題3,6+部分計算題.pdf (2012-5-15 14:59, 89.72 KB) / 該附件被下載次數 6494
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1095&k=9c4ec325fdb87e3f4a85d65f92526121&t=1624562962
作者: lianger    時間: 2012-5-15 16:49     標題: 回復 5# hua0127 的帖子

8.
\(x\)為非零實數,\(\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{4+32x^2+x^4}-\sqrt{4+x^4}}{x}\),若\(x=x_0\)時,\(f(x)\)有最大值\(M\),則數對\((x_0,M)=\)   
[解答]
第8題想到一個另解︰
考慮\(  x>0  \),
\( f(x)=\sqrt{x^2+32+\frac{4}{x^2}}-\sqrt{x^2+\frac{4}{x^2}} \)
       \(=\sqrt{(x-\frac{2}{x})^2+(0-6)^2}-\sqrt{(x-\frac{2}{x})^2+(0-2)^2} \)
令\( t=x-\frac{2}{x} \),則所求即為點\( (t,0) \)至點\( (0,6) \) 與點 \( (0,2) \)的距離差的最大值。
畫圖可得此時 \(( t,0)=(0,0) \),\(  t=0 \),\( x-\frac{2}{x}=0 \),\( x=\sqrt{2} \),
最大值即為點\( (0,6) \) 與點 \( (0,2) \)的距離4。

[ 本帖最後由 lianger 於 2012-5-15 04:53 PM 編輯 ]
作者: bugmens    時間: 2012-5-15 18:54

8.
x為非零實數,\( \displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{4+32x^2+x^4}-\sqrt{4+x^4}}{x} \),若\( x=x_0 \)時,\( f(x) \)有最大值M,則數對\( (x_0,M)= \)?

若x為正數,求\( \displaystyle \frac{\sqrt{x^4+x^2+2x+1}+\sqrt{x^4-2x^3+5x^2-4x+1}}{x} \)的最小值?
(2007國際數學奧林匹克香港選拔賽初賽,http://gifted.hkedcity.net/Gifted/IMO/index.html)

lovestupid所提供的計算題第三題的文字敘述和原試卷相同
另外計算第五題的\( Γ_2:x^2+y^2=4 \)應該更正為\( Γ_2:x^2+y^2=64 \)
作者: hua0127    時間: 2012-5-16 10:00

引用:
原帖由 lianger 於 2012-5-15 04:49 PM 發表
第8題想到一個另解︰
考慮\(  x>0  \),
\( f(x)=\sqrt{x^2+32+\frac{4}{x^2}}-\sqrt{x^2+\frac{4}{x^2}} \)
       \(=\sqrt{(x-\frac{2}{x})^2+(0-6)^2}-\sqrt{(x-\frac{2}{x})^2+(0-2)^2} \)
令\( t=x-\frac{2}{x} \) ...
這方法真漂亮,當初有嘗試把x關進根號,但沒有化簡到這一步,
這方法比較簡潔有力。
作者: hua0127    時間: 2012-5-16 10:05

引用:
原帖由 bugmens 於 2012-5-15 06:54 PM 發表
8.
x為非零實數,\( \displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{4+32x^2+x^4}-\sqrt{4+x^4}}{x} \),若\( x=x_0 \)時,\( f(x) \)有最大值M,則數對\( (x_0,M)= \)?

若x為正數,求 ...
感謝告知,那lovestupid網友的第五題的點是否要改為(4 sqrt(2), 3 sqrt(2) ) 呢?因為原來的點好像不在橢圓上
我是參考前一篇的題目去作的,

最後整篇的題目大致上都補的差不多了,在此獻醜分享給大家,有些題目也參考了其他老師的解法也特地附上註解。

附件: 101 新竹女中 數學科 教師甄試.pdf (2012-5-16 10:05, 144.63 KB) / 該附件被下載次數 4824
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1100&k=5cc115f1144619d8c7095936b58b6f56&t=1624562962
作者: Ellipse    時間: 2012-5-16 20:56

引用:
原帖由 hua0127 於 2012-5-16 10:05 AM 發表


感謝告知,那lovestupid網友的第五題的點是否要改為(4 sqrt(2), 3 sqrt(2) ) 呢?因為原來的點好像不在橢圓上
我是參考前一篇的題目去作的,

最後整篇的題目大致上都補的差不多了,在此獻醜分享給大家,有些題目也參考了其他 ...
填充10:
方程式\(\sqrt{x^2-x+2}+\sqrt{2x^2+2x+3}=\sqrt{2x^2-1}+\sqrt{x^2-3x-2}\)之解為   
[提示]
在裡面的解答用兩端平方,會造成增根的危險
其實這題的解只有x=-2
x=(-3-5^0.5)/2是不合的


竹女答案給錯了,多給了(-3-5^0.5)/2

都已經公佈初試名單了...冏...

(我有用mathematica再確認一次)
作者: Ellipse    時間: 2012-5-16 21:44

填充10
方程式\(\sqrt{x^2-x+2}+\sqrt{2x^2+2x+3}=\sqrt{2x^2-1}+\sqrt{x^2-3x-2}\)之解為   
[解答]
(沒有用到增根的方法)
令a=(x^2-x+2)^0.5 ,b=(2x^2+2x+3)^0.5 ,c=(2x^2-1)^0.5 ,d=(x^2-3x-2)^0.5
則a+b=c+d--------------(1)
且a^2-d^2=b^2-c^2,得(a+b)(a-b)=(d+c)(d-c)------------(2)
由(1)&(2)得a-b=d-c--------------(3)
(1)+(3)得 a=d ,解(x^2-x+2)^0.5=(x^2-3x-2)^0.5 ,得x=-2
(1)-(3)得  b=c ,解(2x^2+2x+3)^0.5=(2x^2-1)^0.5 ,得x=-2
作者: 邱中    時間: 2012-5-17 01:32

引用:
原帖由 Ellipse 於 2012-5-16 09:44 PM 發表
填充10(沒有用到增根的方法)
令a=(x^2-x+2)^0.5 ,b=(2x^2+2x+3)^0.5 ,c=(2x^2-1)^0.5 ,d=(x^2-3x-2)^0.5
則a+b=c+d--------------(1)
且a^2-d^2=b^2-c^2,得(a+d)(a-d)=(b+c)(b-c)------------(2)
由(1)&(2)得a-d=b-c ...
我的作法是
a-d=c-b  分子有理化變成   (2x+4)/(a+d)=(-2x-4)/(c+b)

所以x=-2   若x不等於-2 則分子約掉變成  1/(a+d)=-1/(c+b)

整理可得 a+b+c+d=0  但a,b,c,d皆大於等於0且無法同時等於0  所以a+b+c+d不等於0

可確定只有x=-2  一解
作者: hua0127    時間: 2012-5-17 08:38

感謝樓上兩位的提醒,的確平方造成了增根,
代入原方程式剛好造成兩邊差一個負號,故
x=(-3-5^0.5)/2是不合的,當時只意識到只要滿足定義域即可,是個大疏忽

樓上的作法都蠻簡潔有力~推!
又長了一些知識......以後處理這一類問題要更加小心才是
作者: man90244    時間: 2012-5-24 22:55

想請教填充第五題一下!!!!!!!!
作者: 老王    時間: 2012-5-24 22:59     標題: 回復 18# man90244 的帖子

5.
若實係數多項式\(f(x)=x^4+(2-k^2)x^2-2k^2x+(1-k^2)\)且\(f(x)=0\)只有兩個相異實根,則\(k\)的範圍為   
[解答]
\(\displaystyle f(x)=(x^4+2x^2+1)-k^2(x^2+2x+1) \)
\(\displaystyle =(x^2+1)^2-(kx+k)^2 \)
\(\displaystyle =(x^2+kx+(k+1))(x^2-kx+(1-k)) \)
作者: man90244    時間: 2012-5-24 23:27     標題: 回復 19# 老王 的帖子

謝謝大大的解答!!!!
想順便在問一下那如果遇到不能因式分解該怎麼辦???
如:
\(X^4-2(3a+1)X^2+7a^2+3a=0\)恰有2實根,求實數\(a\)的範圍??????
作者: weiye    時間: 2012-5-24 23:40     標題: 回復 20# man90244 的帖子

題目:\(X^4-2(3a+1)X^2+7a^2+3a=0\) 恰有 \(2\) 相異實根,求實數 \(a\) 的範圍?

思考:

令 \(t=x^2\),則 \(t^2-2(3a+1)t+(7a^2+3a)=0\) 恰有1正根1負根

再來讓你想(善用判別式&根與係數關係式),

想想看要怎樣才能保證 \(t\) 的一元二次方程式才會有一正根一負根。:)
作者: man90244    時間: 2012-5-24 23:49     標題: 回復 21# weiye 的帖子

為什麼會剛好一正根一負根阿???????
作者: weiye    時間: 2012-5-24 23:53     標題: 回復 22# man90244 的帖子

因為 \(t\) 的每個正根都可以對應到 \(x\) 的兩個互為相反數的實根,

而 \(t\) 的每個負根都可以對應到 \(x\) 的兩個共軛的純虛根。
作者: man90244    時間: 2012-5-25 00:07     標題: 回復 23# weiye 的帖子

不好意思
那我可以再問一下
怎麼知道X為兩個互為相反數的實根以及兩個共軛的純虛根
不可能為a+bi嗎???
作者: weiye    時間: 2012-5-25 00:16

因為 \(t=x^2\),

若 \(t>0\),則 \(x=\pm\sqrt{t}\),

若 \(t<0\),則 \(x=\pm\sqrt{(-t)}\,\,i\)。
作者: man90244    時間: 2012-5-25 00:23     標題: 回復 25# weiye 的帖子

所以簡單說:
題目可以用t=x^2下去代換
就可以確定X為兩個互為相反數的實根以及兩個共軛的純虛根!!!!!
作者: weiye    時間: 2012-5-25 00:24     標題: 回復 26# man90244 的帖子

是的!:)
作者: man90244    時間: 2012-5-25 00:25     標題: 回復 27# weiye 的帖子

謝謝學長教導!!!!
我的功力還是太弱!!!!!!!
作者: man90244    時間: 2012-5-25 00:34     標題: 回復 27# weiye 的帖子

利用\(7a^2+3a<0\)  算出\(\displaystyle -\frac{3}{7}<a<0\)
那\(7a^2+3a=0\)也算嗎???
作者: weiye    時間: 2012-5-25 00:39     標題: 回復 29# man90244 的帖子

因為你舉例的題目沒有特別說明重根算不算好幾個實根(通常是算啦),

但是為了避免沒有說清楚,我刻意把你的題目加上"相異"兩實根,

這樣就不用考慮 0 了,也避免掉了題目沒有說明清楚重根算不算好幾個實根的問題。

另外,還要檢查判別式喔!這樣才能保證有實根呀!:)
作者: man90244    時間: 2012-5-25 00:47     標題: 回復 30# weiye 的帖子

了解!!!!
謝謝學長!!!!
作者: redik    時間: 2012-5-26 16:41

不好意思,第一次上來問問題

我想請教填充第九題中,hua0127老師考慮軸 x= - cosΘ/2的做法

(1)為何 - cosΘ/2 <0 就不需要討論f(t)的圖形在x軸上方的狀態呢?

(2)基本想法我還是看不太懂,為何會考慮用軸 x= - cosΘ/2 的做法呢?大概可以理解的是使用f(t)配方觀察頂點,可是這樣就會有第一個問題發生...

希望能夠不吝指教,謝謝!
作者: hua0127    時間: 2012-5-26 20:14

引用:
原帖由 redik 於 2012-5-26 04:41 PM 發表
不好意思,第一次上來問問題

我想請教填充第九題中,hua0127老師考慮軸 x= - cosΘ/2的做法

(1)為何 - cosΘ/2  
其實軸的方程式就是頂點的x座標,所以第一種情況相當於頂點的x座標為負的時候
此時若想要讓 f(t)>0 在 t不為負的時候成立,相當於只要考慮在0的函數值為正即可
(因為二次函數開口向上的時候在軸的右邊函數會遞增,你可以畫幾個圖當例子看看,
至於你說為何不用考慮上方的狀態,因為此時圖形是有可能在x軸下方的 例如 y=(x+2)^2 -1)

但第二種情況就是頂點x座標為正的時候,這個時候討論 f(0)的值沒什麼用
若頂點的y座標為負的時候就沒有辦法滿足需求,但是因為頂點的y座標為最小值
故此時有兩種做法: 一種是考慮 圖形跟 x 軸無交點,另一種就是 頂點的 y座標>0
這兩種考慮方式都可以達到目的: f(t)>0 在 t不為負的時候成立

希望不會講得太抽象,能幫你解到惑

[ 本帖最後由 hua0127 於 2012-5-26 08:16 PM 編輯 ]
作者: redik    時間: 2012-5-26 22:16     標題: 回復 33# hua0127 的帖子

感謝hua0127老師,謝謝您詳細的解說

我發覺是我自己沒注意到t=x^2,t的定義域只需觀察y軸右側的部分

因為我一直困惑於如果頂點在x軸下方,那第一種情況就會產生f(t)<0的狀態....orz

[ 本帖最後由 redik 於 2012-5-26 10:24 PM 編輯 ]
作者: hua0127    時間: 2012-5-28 13:12

引用:
原帖由 redik 於 2012-5-26 10:16 PM 發表
感謝hua0127老師,謝謝您詳細的解說

我發覺是我自己沒注意到t=x^2,t的定義域只需觀察y軸右側的部分

因為我一直困惑於如果頂點在x軸下方,那第一種情況就會產生f(t) ...
你客氣了,我自己要學習的地方也是非常的多,若有不足之處,也煩請指教
大家教學相長,一起進步^^
作者: poemghost    時間: 2012-8-8 23:06

引用:
原帖由 邱中 於 2012-5-17 01:32 AM 發表


我的作法是
a-d=c-b  分子有理化變成   (2x+4)/(a+d)=(-2x-4)/(c+b)

所以x=-2   若x不等於-2 則分子約掉變成  1/(a+d)=-1/(c+b)

整理可得 a+b+c+d=0  但a,b,c,d皆大於等於0且無法同時等於0  所以a+b+c+d不等於0
...
如果 \(a,b,c,d\) 是複數的話,就無法保證 \(a=b=c=d=0\)

另外,稍微修正hua0127填充9的作法,

情況一可以直接討論 \(\displaystyle -\frac{cos\theta}{2}\leq0\) ,這樣就可以直接包含90度了,不用討論第三種情況

[ 本帖最後由 poemghost 於 2012-8-16 12:46 PM 編輯 ]
作者: martinofncku    時間: 2013-10-23 16:27

填充題 3. 請問在這一題中, 在文氏圖中, 要不要考慮三題都答錯的人?
作者: thepiano    時間: 2013-10-23 17:48

引用:
原帖由 martinofncku 於 2013-10-23 04:27 PM 發表
填充題 3. 請問在這一題中, 在文氏圖中, 要不要考慮三題都答錯的人?
不用,這是 1966 IMO 的第 1 題

出題老師的中文要再加強...,應說"與賽的 25 位學生,每位學生都至少答對一題"
作者: peter0210    時間: 2014-9-11 21:58

hua0127老師
首先很謝謝您提供的詳解

小弟想請教一個問題

計算題第3題(1)(b)
照老師所寫的過程,答案是不是1/2呢?
作者: 小傑    時間: 2014-9-16 11:22     標題: 請教各位老師第1題該如何下手?


作者: thepiano    時間: 2014-9-16 12:22     標題: 回復 40# 小傑 的帖子

第 1 題
\(\left\{ \begin{align}
  & 6x=30\times 8+\frac{y}{2} \\
& 6y=30\times 3+\frac{x}{2} \\
\end{align} \right.\)
作者: satsuki931000    時間: 2020-10-1 16:42

想請問第10題這個想法OK不OK
會不會踢到鐵板



圖片附件: 1.JPG (2020-10-1 16:42, 21.92 KB) / 該附件被下載次數 594
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5650&k=57ced03e18a3f3a56360e9fa5aedd7f6&t=1624562962


作者: Lopez    時間: 2020-10-1 18:32     標題: 回復 42# satsuki931000 的帖子



[ 本帖最後由 Lopez 於 2020-10-1 18:58 編輯 ]
作者: Lopez    時間: 2020-10-1 20:20     標題: 回復 42# satsuki931000 的帖子


作者: anyway13    時間: 2020-10-17 11:42     標題: 請教第6題

版上老師好

第六題想請教 算式

所求=7!-C(7,1)X6!+16X5!-14X4!+4X3!=1608

這是用九樓hua0127老師提供的算式,可以請問一下

中間的係數16,14,4是怎麼得來得? 因為用錯排的公式為7!-C(7,1)X6!+C(7,2)X5!-C(7,3)X4!+C(7,4)X3!-C(7,5)X2!+C(7,6)X1!-C(7,7)X0!

題意和錯排的公式又不太一樣,請老師指點
作者: satsuki931000    時間: 2020-10-17 14:36     標題: 回復 45# anyway13 的帖子

令A表示甲不排1 2的事件   B:乙不排2 3    C:丙不排3 4   D:丁不排5
全部扣掉(甲排1,甲排2,乙排2,乙排3...丁排5) 這邊有7*6!種
加上(甲1乙2,甲1乙3,甲2乙3,甲1丙3。甲1丙4...) 這邊有(3+4+2+3+2+2)*5!=16*5! (可以看成AB AC...的交集)
扣掉(甲1乙2丙3,甲1乙2丙4,甲2乙3丙4,甲1乙3丙4,甲1乙2丁5,甲1乙3丁5...) 這邊有(4+3+3+4)*4!=14*4!(可看成ABC ABD...的交集)
加上(甲1乙2丙3丁5,甲1乙2丙4丁5,甲2乙3丙4丁5,甲1乙3丙4丁5) 這邊有4*3!(ABCD的交集)
作者: anyway13    時間: 2020-10-17 15:12     標題: 回復 46# satsuki931000 的帖子

謝謝satsuki931000老師,小第了解了




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