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標題: 101新竹女中 [打印本頁]

作者: 八神庵 時間: 2012-5-14 09:42 標題: 101新竹女中

各位早安
好久沒來了
自從去年八月換學校後....囧
今年第一砲
給從未公佈過題目的新竹女中!
有去考的可以分享計算題嗎?

附件: 101新竹女中.pdf (2012-5-14 11:20, 200.18 KB) / 該附件被下載次數 16955
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1089&k=bfebf3868583e3d1f36aba5274766f9c&t=1732255855

作者: Ellipse 時間: 2012-5-14 11:22

引用:

原帖由 八神庵 於 2012-5-14 09:42 AM 發表
各位早安
好久沒來了
自從去年八月換學校後....囧
今年第一砲
給從未公佈過題目的新竹女中!
有去考的可以分享計算題嗎?

八神庵大大重出江湖了~
是現在這個學校太操了?
怎麼那麼久都沒您的消息?

作者: tacokao 時間: 2012-5-14 12:20 標題: 新竹女中計算題

PPT有人分享，做了個簡單的整理，請橢圓老師及各位老師享用。

附件: 新竹女中計算題.pdf (2012-5-14 12:20, 123.16 KB) / 該附件被下載次數 15770
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1090&k=2f0fe0ceccf074bde4ca4114d4ffa080&t=1732255855

作者: weiye 時間: 2012-5-14 20:32

附上 ptt 的 lovestupid 網友所提供的計算題。

附件: 新竹女中101計算題（lovestupid＠ptt）.PDF (2012-5-14 20:32, 51.92 KB) / 該附件被下載次數 17548
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1091&k=a2ff4a625d533fb811338dd26b675511&t=1732255855

作者: hua0127 時間: 2012-5-15 00:08

感謝各位前輩分享考題，
今天晚上也練習了一下，將依些填充的部分整理過
分享給大家。

附件: 101 新竹女中部分填充題.pdf (2012-5-15 00:08, 151.66 KB) / 該附件被下載次數 18341
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1092&k=fdbe41413fbb8d3a07e22ee27b00331d&t=1732255855

作者: 阿光 時間: 2012-5-15 05:51

想請教填充第3,6,7題,謝謝

作者: hua0127 時間: 2012-5-15 09:43

引用:

原帖由阿光於 2012-5-15 05:51 AM 發表
想請教填充第3,6,7題,謝謝

第7題
設空間中兩直線\(L_1\)：\(\displaystyle \frac{x}{2}=\frac{y+1}{3}=z+3\)與\(L_2\)：\(\displaystyle \frac{x+1}{4}=\frac{4-y}{2}=\frac{z+2}{-1}\)，若直線\(L\)過\(P(1,2,-1)\)且與\(L_1\)、\(L_2\)分別交於\(A\)、\(B\)兩點，則\(\overline{AB}\)長為　　　。
[解答]
目前只想到用暴力的方式解，等其他老師分享其他想法
（抱歉本站的數學語法仍在摸索中，故麻煩點打成PDF）

附件: 7.pdf (2012-5-15 09:43, 41.6 KB) / 該附件被下載次數 16312
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1093&k=c8f5e3a1aa2497f321806bac0a2cf339&t=1732255855

作者: tsusy 時間: 2012-5-15 13:21 標題: 回復 7# hua0127 的帖子

第 7 題和剛考完的 101附中填充1 是一樣的類型，兩間同時考，還考一樣的...真是巧合

小弟的作法如下：作過 \( P,\, L_1 \) 之平面 \( E_1 \)，與 \( L_2 \) 交點即為 \( B \)

同理的，作過 \( P,\, L_2 \) 之平面 \( E_2 \)，與 \( L_1 \) 交點即為 \( A \)

但附中的那一題，是求對稱比例式，所以只需求一個交點，比好好算

不過竹女這題，求線段長，兩個交點都要求，這個方法，就不見得快了
P.S. 附中那題 \( A,\, B\) 是同一個點，被出題者整了

作者: hua0127 時間: 2012-5-15 14:59

引用:

原帖由 tsusy 於 2012-5-15 01:21 PM 發表
第 7 題和剛考完的 101附中填充1 是一樣的類型，兩間同時考，還考一樣的...真是巧合

小弟的作法如下：作過 \( P,\, L_1 \) 之平面 \( E_1 \)，與 \( L_2 \) 交點即為 \( B \)

同理的，作過 \( P,\, L_2 \) 之平面 \( E_2 \) ...

這個想法比硬解好太多了～附中的第一題當場也是被唬到了...哭哭

另外，填充題3,6有把他硬解出來，也算了部分的計算題，但計算題沒有答案
也請大家有空幫小弟看看。
好像計算題的第三跟第五題好像分享的題目敘述不太一樣，故可能有些問題，待補完
之後有時間會將整篇整理再PO

附件: 101 新竹女中填充題3,6+部分計算題.pdf (2012-5-15 14:59, 89.72 KB) / 該附件被下載次數 17519
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1095&k=179ecfd7cbec211aed899889068da0da&t=1732255855

作者: lianger 時間: 2012-5-15 16:49 標題: 回復 5# hua0127 的帖子

8.
\(x\)為非零實數，\(\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{4+32x^2+x^4}-\sqrt{4+x^4}}{x}\)，若\(x=x_0\)時，\(f(x)\)有最大值\(M\)，則數對\((x_0,M)=\)　　　。
[解答]
第8題想到一個另解︰
考慮\(  x>0  \)，
\( f(x)=\sqrt{x^2+32+\frac{4}{x^2}}-\sqrt{x^2+\frac{4}{x^2}} \)
   \(=\sqrt{(x-\frac{2}{x})^2+(0-6)^2}-\sqrt{(x-\frac{2}{x})^2+(0-2)^2} \)
令\( t=x-\frac{2}{x} \)，則所求即為點\( (t,0) \)至點\( (0,6) \) 與點 \( (0,2) \)的距離差的最大值。
畫圖可得此時 \(( t,0)=(0,0) \)，\(  t=0 \)，\( x-\frac{2}{x}=0 \)，\( x=\sqrt{2} \)，
最大值即為點\( (0,6) \) 與點 \( (0,2) \)的距離4。

作者: bugmens 時間: 2012-5-15 18:54

8.
x為非零實數，\( \displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{4+32x^2+x^4}-\sqrt{4+x^4}}{x} \)，若\( x=x_0 \)時，\( f(x) \)有最大值M，則數對\( (x_0,M)= \)？

若x為正數，求\( \displaystyle \frac{\sqrt{x^4+x^2+2x+1}+\sqrt{x^4-2x^3+5x^2-4x+1}}{x} \)的最小值？
(2007國際數學奧林匹克香港選拔賽初賽，h ttp://gifted.hkedcity.net/Gifted/IMO/index.html連結已失效)

lovestupid所提供的計算題第三題的文字敘述和原試卷相同
另外計算第五題的\( Γ_2:x^2+y^2=4 \)應該更正為\( Γ_2:x^2+y^2=64 \)

作者: hua0127 時間: 2012-5-16 10:00

引用:

原帖由 lianger 於 2012-5-15 04:49 PM 發表
第8題想到一個另解︰
考慮\( x>0 \)，
\( f(x)=\sqrt{x^2+32+\frac{4}{x^2}}-\sqrt{x^2+\frac{4}{x^2}} \)
\(=\sqrt{(x-\frac{2}{x})^2+(0-6)^2}-\sqrt{(x-\frac{2}{x})^2+(0-2)^2} \)
令\( t=x-\frac{2}{x} \) ...

這方法真漂亮，當初有嘗試把x關進根號，但沒有化簡到這一步，
這方法比較簡潔有力。

作者: hua0127 時間: 2012-5-16 10:05

引用:

原帖由 bugmens 於 2012-5-15 06:54 PM 發表
8.
x為非零實數，\( \displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{4+32x^2+x^4}-\sqrt{4+x^4}}{x} \)，若\( x=x_0 \)時，\( f(x) \)有最大值M，則數對\( (x_0,M)= \)？

若x為正數，求 ...

感謝告知，那lovestupid網友的第五題的點是否要改為\((4 \sqrt{2}, 3 \sqrt{2})\) 呢？因為原來的點好像不在橢圓上
我是參考前一篇的題目去作的，

最後整篇的題目大致上都補的差不多了，在此獻醜分享給大家，有些題目也參考了其他老師的解法也特地附上註解。

附件: 101 新竹女中數學科教師甄試.pdf (2012-5-16 10:05, 144.63 KB) / 該附件被下載次數 10466
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1100&k=e862635841ce2aa74b61f04422dfb945&t=1732255855

作者: Ellipse 時間: 2012-5-16 20:56

引用:

原帖由 hua0127 於 2012-5-16 10:05 AM 發表

感謝告知，那lovestupid網友的第五題的點是否要改為（4 sqrt(2), 3 sqrt(2) ) 呢？因為原來的點好像不在橢圓上
我是參考前一篇的題目去作的，

最後整篇的題目大致上都補的差不多了，在此獻醜分享給大家，有些題目也參考了其他 ...

填充10:
方程式\(\sqrt{x^2-x+2}+\sqrt{2x^2+2x+3}=\sqrt{2x^2-1}+\sqrt{x^2-3x-2}\)之解為　　　。
[提示]
在裡面的解答用兩端平方,會造成增根的危險
其實這題的解只有x=-2
x=(-3-5^0.5)/2是不合的

竹女答案給錯了,多給了(-3-5^0.5)/2

都已經公佈初試名單了...冏...

(我有用mathematica再確認一次)

作者: Ellipse 時間: 2012-5-16 21:44

填充10
方程式\(\sqrt{x^2-x+2}+\sqrt{2x^2+2x+3}=\sqrt{2x^2-1}+\sqrt{x^2-3x-2}\)之解為　　　。
[解答]
(沒有用到增根的方法)
令a=(x^2-x+2)^0.5 ,b=(2x^2+2x+3)^0.5 ,c=(2x^2-1)^0.5 ,d=(x^2-3x-2)^0.5
則a+b=c+d--------------(1)
且a^2-d^2=b^2-c^2,得(a+b)(a-b)=(d+c)(d-c)------------(2)
由(1)&(2)得a-b=d-c--------------(3)
(1)+(3)得 a=d ,解(x^2-x+2)^0.5=(x^2-3x-2)^0.5 ,得x=-2
(1)-(3)得 b=c ,解(2x^2+2x+3)^0.5=(2x^2-1)^0.5 ,得x=-2

作者: 邱中 時間: 2012-5-17 01:32

引用:

原帖由 Ellipse 於 2012-5-16 09:44 PM 發表
填充10(沒有用到增根的方法)
令a=(x^2-x+2)^0.5 ,b=(2x^2+2x+3)^0.5 ,c=(2x^2-1)^0.5 ,d=(x^2-3x-2)^0.5
則a+b=c+d--------------(1)
且a^2-d^2=b^2-c^2,得(a+d)(a-d)=(b+c)(b-c)------------(2)
由(1)&(2)得a-d=b-c ...

我的作法是
\(a-d=c-b\)分子有理化變成\(\displaystyle \frac{2x+4}{a+d}=\frac{-2x-4}{c+b}\)

所以\(x=-2\)若\(x\)不等於\(-2\)則分子約掉變成\(\displaystyle \frac{1}{a+d}=\frac{-1}{c+b}\)

整理可得\(a+b+c+d=0\)但\(a,b,c,d\)皆大於等於0且無法同時等於0 所以\(a+b+c+d\)不等於0

可確定只有\(x=-2\)一解

作者: hua0127 時間: 2012-5-17 08:38

感謝樓上兩位的提醒，的確平方造成了增根，
代入原方程式剛好造成兩邊差一個負號，故
x=(-3-5^0.5)/2是不合的，當時只意識到只要滿足定義域即可，是個大疏忽

樓上的作法都蠻簡潔有力~推!
又長了一些知識......以後處理這一類問題要更加小心才是

作者: man90244 時間: 2012-5-24 22:55

想請教填充第五題一下!!!!!!!!

作者: 老王 時間: 2012-5-24 22:59 標題: 回復 18# man90244 的帖子

5.
若實係數多項式\(f(x)=x^4+(2-k^2)x^2-2k^2x+(1-k^2)\)且\(f(x)=0\)只有兩個相異實根，則\(k\)的範圍為　　　。
[解答]
\(\displaystyle f(x)=(x^4+2x^2+1)-k^2(x^2+2x+1) \)
\(\displaystyle =(x^2+1)^2-(kx+k)^2 \)
\(\displaystyle =(x^2+kx+(k+1))(x^2-kx+(1-k)) \)

作者: man90244 時間: 2012-5-24 23:27 標題: 回復 19# 老王的帖子

謝謝大大的解答!!!!
想順便在問一下那如果遇到不能因式分解該怎麼辦???
如:
\(X^4-2(3a+1)X^2+7a^2+3a=0\)恰有2實根，求實數\(a\)的範圍??????

作者: weiye 時間: 2012-5-24 23:40 標題: 回復 20# man90244 的帖子

題目：\(X^4-2(3a+1)X^2+7a^2+3a=0\) 恰有 \(2\) 相異實根，求實數 \(a\) 的範圍?

思考：

令 \(t=x^2\)，則 \(t^2-2(3a+1)t+(7a^2+3a)=0\) 恰有1正根1負根

再來讓你想（善用判別式＆根與係數關係式），

想想看要怎樣才能保證 \(t\) 的一元二次方程式才會有一正根一負根。：）

作者: man90244 時間: 2012-5-24 23:49 標題: 回復 21# weiye 的帖子

為什麼會剛好一正根一負根阿???????

作者: weiye 時間: 2012-5-24 23:53 標題: 回復 22# man90244 的帖子

因為 \(t\) 的每個正根都可以對應到 \(x\) 的兩個互為相反數的實根，

而 \(t\) 的每個負根都可以對應到 \(x\) 的兩個共軛的純虛根。

作者: man90244 時間: 2012-5-25 00:07 標題: 回復 23# weiye 的帖子

不好意思
那我可以再問一下
怎麼知道X為兩個互為相反數的實根以及兩個共軛的純虛根
不可能為a+bi嗎???

作者: weiye 時間: 2012-5-25 00:16

因為 \(t=x^2\)，

若 \(t>0\)，則 \(x=\pm\sqrt{t}\)，

若 \(t<0\)，則 \(x=\pm\sqrt{(-t)}\,\,i\)。

作者: man90244 時間: 2012-5-25 00:23 標題: 回復 25# weiye 的帖子

所以簡單說:
題目可以用t=x^2下去代換
就可以確定X為兩個互為相反數的實根以及兩個共軛的純虛根!!!!!

作者: weiye 時間: 2012-5-25 00:24 標題: 回復 26# man90244 的帖子

是的！：）

作者: man90244 時間: 2012-5-25 00:25 標題: 回復 27# weiye 的帖子

謝謝學長教導!!!!
我的功力還是太弱!!!!!!!

作者: man90244 時間: 2012-5-25 00:34 標題: 回復 27# weiye 的帖子

利用\(7a^2+3a<0\) 算出\(\displaystyle -\frac{3}{7}<a<0\)
那\(7a^2+3a=0\)也算嗎???

作者: weiye 時間: 2012-5-25 00:39 標題: 回復 29# man90244 的帖子

因為你舉例的題目沒有特別說明重根算不算好幾個實根（通常是算啦），

但是為了避免沒有說清楚，我刻意把你的題目加上＂相異＂兩實根，

這樣就不用考慮 0 了，也避免掉了題目沒有說明清楚重根算不算好幾個實根的問題。

另外，還要檢查判別式喔！這樣才能保證有實根呀！：）

作者: man90244 時間: 2012-5-25 00:47 標題: 回復 30# weiye 的帖子

了解!!!!
謝謝學長!!!!

作者: redik 時間: 2012-5-26 16:41

不好意思，第一次上來問問題

我想請教填充第九題中，hua0127老師考慮軸 x= - cosΘ/2的做法

(1)為何 - cosΘ/2 <0 就不需要討論f(t)的圖形在x軸上方的狀態呢?

(2)基本想法我還是看不太懂，為何會考慮用軸 x= - cosΘ/2 的做法呢？大概可以理解的是使用f(t)配方觀察頂點，可是這樣就會有第一個問題發生...

希望能夠不吝指教，謝謝！

作者: hua0127 時間: 2012-5-26 20:14

引用:

原帖由 redik 於 2012-5-26 04:41 PM 發表
不好意思，第一次上來問問題

我想請教填充第九題中，hua0127老師考慮軸 x= - cosΘ/2的做法

(1)為何 - cosΘ/2

其實軸的方程式就是頂點的x座標，所以第一種情況相當於頂點的x座標為負的時候
此時若想要讓 f(t)>0 在 t不為負的時候成立，相當於只要考慮在0的函數值為正即可
(因為二次函數開口向上的時候在軸的右邊函數會遞增，你可以畫幾個圖當例子看看，
至於你說為何不用考慮上方的狀態，因為此時圖形是有可能在x軸下方的例如 y=(x+2)^2 -1)

但第二種情況就是頂點x座標為正的時候，這個時候討論 f(0)的值沒什麼用
若頂點的y座標為負的時候就沒有辦法滿足需求，但是因為頂點的y座標為最小值
故此時有兩種做法: 一種是考慮圖形跟 x 軸無交點，另一種就是頂點的 y座標>0
這兩種考慮方式都可以達到目的: f(t)>0 在 t不為負的時候成立

希望不會講得太抽象，能幫你解到惑

作者: redik 時間: 2012-5-26 22:16 標題: 回復 33# hua0127 的帖子

感謝hua0127老師，謝謝您詳細的解說

我發覺是我自己沒注意到\(t=x^2\)，\(t\)的定義域只需觀察\(y\)軸右側的部分

因為我一直困惑於如果頂點在\(x\)軸下方，那第一種情況就會產生\(f(t)<0\)的狀態....orz

作者: hua0127 時間: 2012-5-28 13:12

引用:

原帖由 redik 於 2012-5-26 10:16 PM 發表
感謝hua0127老師，謝謝您詳細的解說

我發覺是我自己沒注意到t=x^2，t的定義域只需觀察y軸右側的部分

因為我一直困惑於如果頂點在x軸下方，那第一種情況就會產生f(t) ...

你客氣了，我自己要學習的地方也是非常的多，若有不足之處，也煩請指教
大家教學相長，一起進步^^

作者: poemghost 時間: 2012-8-8 23:06

引用:

原帖由邱中於 2012-5-17 01:32 AM 發表

我的作法是
a-d=c-b  分子有理化變成 (2x+4)/(a+d)=(-2x-4)/(c+b)

所以x=-2 若x不等於-2 則分子約掉變成  1/(a+d)=-1/(c+b)

整理可得 a+b+c+d=0  但a,b,c,d皆大於等於0且無法同時等於0  所以a+b+c+d不等於0
...

如果 \(a,b,c,d\) 是複數的話，就無法保證 \(a=b=c=d=0\)

另外，稍微修正hua0127填充9的作法，

情況一可以直接討論 \(\displaystyle -\frac{cos\theta}{2}\leq0\) ，這樣就可以直接包含90度了，不用討論第三種情況

作者: martinofncku 時間: 2013-10-23 16:27

填充題 3. 請問在這一題中, 在文氏圖中, 要不要考慮三題都答錯的人？

作者: thepiano 時間: 2013-10-23 17:48

引用:

原帖由 martinofncku 於 2013-10-23 04:27 PM 發表
填充題 3. 請問在這一題中, 在文氏圖中, 要不要考慮三題都答錯的人？

不用，這是 1966 IMO 的第 1 題

出題老師的中文要再加強...，應說"與賽的 25 位學生，每位學生都至少答對一題"

作者: peter0210 時間: 2014-9-11 21:58

hua0127老師
首先很謝謝您提供的詳解

小弟想請教一個問題

計算題第3題(1)(b)
照老師所寫的過程，答案是不是1/2呢?

作者: 小傑 時間: 2014-9-16 11:22 標題: 請教各位老師第1題該如何下手?

作者: thepiano 時間: 2014-9-16 12:22 標題: 回復 40# 小傑的帖子

第 1 題
\(\left\{ \begin{align}
& 6x=30\times 8+\frac{y}{2} \\
& 6y=30\times 3+\frac{x}{2} \\
\end{align} \right.\)

作者: satsuki931000 時間: 2020-10-1 16:42

想請問第10題這個想法OK不OK
會不會踢到鐵板

圖片附件: 1.JPG (2020-10-1 16:42, 21.92 KB) / 該附件被下載次數 4323
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5650&k=2ef015a0b7c4da434333768c5fbb995a&t=1732255855

作者: Lopez 時間: 2020-10-1 18:32 標題: 回復 42# satsuki931000 的帖子

[ 本帖最後由 Lopez 於 2020-10-1 18:58 編輯 ]

作者: Lopez 時間: 2020-10-1 20:20 標題: 回復 42# satsuki931000 的帖子

作者: anyway13 時間: 2020-10-17 11:42 標題: 請教第6題

版上老師好

第六題想請教算式

所求=7!-C(7,1)X6!+16X5!-14X4!+4X3!=1608

這是用九樓hua0127老師提供的算式,可以請問一下

中間的係數16,14,4是怎麼得來得? 因為用錯排的公式為7!-C(7,1)X6!+C(7,2)X5!-C(7,3)X4!+C(7,4)X3!-C(7,5)X2!+C(7,6)X1!-C(7,7)X0!

題意和錯排的公式又不太一樣,請老師指點

作者: satsuki931000 時間: 2020-10-17 14:36 標題: 回復 45# anyway13 的帖子

令A表示甲不排1 2的事件 B:乙不排2 3 C:丙不排3 4 D:丁不排5
全部扣掉(甲排1，甲排2，乙排2，乙排3...丁排5) 這邊有7*6!種
加上(甲1乙2，甲1乙3，甲2乙3，甲1丙3。甲1丙4...) 這邊有(3+4+2+3+2+2)*5!=16*5! (可以看成AB AC...的交集)
扣掉(甲1乙2丙3，甲1乙2丙4，甲2乙3丙4，甲1乙3丙4，甲1乙2丁5，甲1乙3丁5...) 這邊有(4+3+3+4)*4!=14*4!(可看成ABC ABD...的交集)
加上(甲1乙2丙3丁5，甲1乙2丙4丁5，甲2乙3丙4丁5，甲1乙3丙4丁5) 這邊有4*3!(ABCD的交集)

作者: anyway13 時間: 2020-10-17 15:12 標題: 回復 46# satsuki931000 的帖子

謝謝satsuki931000老師,小第了解了

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