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標題: 101嘉義高中(代理) [打印本頁]

作者: weiye    時間: 2012-5-13 22:29     標題: 101嘉義高中(代理)

官方剛剛公布的試題與答案,如附件。

附件: 101嘉義高中(代理)試題與答案.pdf (2012-5-13 22:41, 776.31 KB) / 該附件被下載次數 11654
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1088&k=594a88969f45ba91c9f614da7097724d&t=1711701367
作者: bugmens    時間: 2012-5-14 06:29

5.
正五邊形的對角線\( \overline{BD} \),\( \overline{CE} \),\( \overline{DA} \),\( \overline{EB} \)與\( \overline{AC} \)分別兩兩相交P,Q,R,S,T。已知\( \displaystyle sin18^o=\frac{\sqrt{5}-1}{4} \),求正五邊形PQRST與正五邊形ABCDE的面積的比為?

圓內接正五邊形,連接其對角線,在內部得一小正五邊形,已知內接圓半徑為1,求小正五邊形面積為?
(96景美女中,http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=23292)

連接正五邊形ABCDE的五條對角線,圍成一個較小的正五邊形FGHIJ,在繼續作五條對角線再圍成更小的正五邊形,如灰色區域。若灰色區域的邊長為1,則正五邊形ABCDE的面積為灰色面積的\( Φ^k \)倍,則k=?
(100楊梅高中,https://math.pro/db/thread-1162-1-2.html)

6.
\( \overline{BD}=\overline{CD} \),\( \overline{AE}=2\overline{CE} \),\( \overline{BF}=3\overline{AF} \),\( \overline{AD} \),\( \overline{BE} \),\( \overline{CD} \)交成△PQR。求△PQR之面積:△ABC之面積為?
更多類似問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=948&page=1#pid2128

計算2.
若圓內接四邊形ABCD的四邊長分別為a,b,c,d,設\( \displaystyle s=\frac{1}{2}(a+b+c+d) \),則四邊形ABCD之面積\( =\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \)
更多類似問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=2#pid2434

[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-5-15 09:59 PM 編輯 ]
作者: poemghost    時間: 2012-5-14 18:46

老實說,以正式教甄的標準來看

考卷的版面不是很精美

至少圖可以重畫 = =!!
作者: pizza    時間: 2012-6-2 22:55

想請問#13該怎麼做?謝謝
作者: weiye    時間: 2012-6-2 23:51     標題: 回復 4# pizza 的帖子

填充第 13 題:

\(\angle OQP=\angle AQO=\angle QAO=\theta\) 且 \(\angle QOP=2\theta\)

\(\Rightarrow \angle OPQ=180^\circ-3\theta\)

在 \(\triangle OQP\) 中,由正弦定理,可得

\(\displaystyle \frac{\overline{OP}}{\sin\theta}=\frac{\overline{OQ}}{\sin\left(180^\circ-3\theta\right)}\)

\(\displaystyle\Rightarrow \overline{OP}=\frac{r}{3-4\sin^2\theta}\)

\(\displaystyle\Rightarrow \overline{AP}=r+\frac{r}{3-4\sin^2\theta}\)

當 \(\theta\to0\) 時,\(\displaystyle\overline{AP}\to r+\frac{r}{3}=\frac{4r}{3}\) 且 \(\displaystyle\overline{BP}= \overline{AB}-\overline{AP}\to\frac{2r}{3}\)

因此,\(\overline{AP}:\overline{BP}\) 將會趨近於 \(\displaystyle\frac{4r}{3}:\frac{2r}{3}=2:1\)
作者: pizza    時間: 2012-6-3 00:02     標題: 回復 5# weiye 的帖子

感謝weiye 大,沒想到這麼晚還會回,
過程寫得很清楚且詳細,我會了!!謝謝
作者: 阿光    時間: 2012-6-7 15:16

想請教填充第12題,謝謝
作者: weiye    時間: 2012-6-8 09:32     標題: 回復 7# 阿光 的帖子

填充第 12 題:


\(\displaystyle y=\frac{\sqrt{3}}{x}\Rightarrow y\,'=-\frac{\sqrt{3}}{x^2}\)

過 \(P\) 之切線方程式:\(\displaystyle y-\frac{\sqrt{3}}{t}=-\frac{\sqrt{3}}{t^2}\left(x-t\right)\Rightarrow A(2t,0)\)

過 \(P\) 之法線方程式:\(\displaystyle y-\frac{\sqrt{3}}{t}=\frac{t^2}{\sqrt{3}}\left(x-t\right)\Rightarrow B(t-\frac{3}{t^3},0)\)

因為 \(t>0\),所以

\(\displaystyle \overline{AB}=t+\frac{3}{t^3}=\frac{t}{3}+\frac{t}{3}+\frac{t}{3}+\frac{3}{t^3}\geq4\sqrt[4]{\left(\frac{t}{3}\right)^3\cdot\frac{3}{t^3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\)
作者: redik    時間: 2012-6-16 20:57

1.想請教計算第一題第三小題的解,複數解的部分

(而且答案的w是指cos2pi/3+isin2pi/3嗎?應該要稍微定義一下?)

2.填充第16題問的是(a,b),可是題意似乎還有問以cos(2/9pi),cos(4/9pi),cos(8/9pi)為三根之三次方程式為何

我算三根任意兩根相乘之和為 -3/4

所以所求方程式為  x^3 - (3/4)x + (1/8) = 0  (假設此三次方程式最高係數為1,畢竟題目也沒說到底最高次項係數是多少....)

不知道答案有沒有算對@@

[ 本帖最後由 redik 於 2012-6-16 10:12 PM 編輯 ]
作者: tsusy    時間: 2012-6-17 00:56     標題: 回復 9# redik 的帖子

填充 16. 題目敘述問題而已,你的方程式算對了

\( (a,b) \) 雖然可以直接算出來,但如果用三倍角公式造方程式,也可從根與係數關係得到

計算 1. \( \omega \) 是在公告的答案裡出現,不影響作答

當然以考試來說,寫的時候是要小心一點。
作者: redik    時間: 2012-6-17 14:15

引用:
原帖由 tsusy 於 2012-6-17 12:56 AM 發表
填充 16. 題目敘述問題而已,你的方程式算對了

\( (a,b) \) 雖然可以直接算出來,但如果用三倍角公式造方程式,也可從根與係數關係得到

計算 1. \( \omega \) 是在公告的答案裡出現,不影響作答

當然以考試來說,寫的時候是 ...
1.「求」以cos2pi/9,cos4pi/9,cos8pi/9為根的三次方程式「並求」a,b之值

我總覺得看起來應該是要求方程式,但出考官複製貼上時沒注意到吧?XD

畢竟根據根與係數,求方程式跟求a,b道理根本都一樣....

2.其實我是想問計算二的那兩個複數解怎麼來的...orz,我只有解出實數解...
作者: tsusy    時間: 2012-6-17 14:25     標題: 回復 11# redik 的帖子

計算 2. 其實是卡丹公式的推導

(1) (2) 做出後聯立,可得 \( u^3 \) 的兩個值,\(u, v \) 對稱,其實另一個就是 \( v^3 \)

然以要取三次方根,三次方程式有三個根,只是你太順手自動只寫實數根而已
作者: redik    時間: 2012-6-19 15:26

引用:
原帖由 tsusy 於 2012-6-17 02:25 PM 發表
計算 2. 其實是卡丹公式的推導

(1) (2) 做出後聯立,可得 \( u^3 \) 的兩個值,\(u, v \) 對稱,其實另一個就是 \( v^3 \)

然以要取三次方根,三次方程式有三個根,只是你太順手自動只寫實數根而已 ...
原來如此,謝謝!orz
作者: catglow    時間: 2012-8-16 23:28

不好意思,想請問第8題,集合的問題,A={a、b、c、d、e},B={1,2,3,4},自A到B中任取一個,滿足f(a)<=f(b)<=f(c),其中他講的滿足條件是指a或比任取一個元素,這個元素要取最小嗎?不好意思,麻煩各位高手了。我很單純的想一共九個元素,任取一個,但不知要如何符合f(a)<=f(b)<=f(c)這個條件。
作者: tsusy    時間: 2012-8-17 07:43     標題: 回復 14# catglow 的帖子

不知道是不是您漏看了

題目問的是"函數"

還有 A, B 聯集起來是九個元素沒錯,但 a,b,c,d,e 能比大小嗎?

看起來您覺得誤解題意了
作者: catglow    時間: 2012-8-17 10:17

我了解了~~是取A到B的函數,原來是這樣,非常感謝。之前一直卡在您說的a,b,c,d,e並不能比較大小,所以不知道怎麼取,謝謝大大。

[ 本帖最後由 catglow 於 2012-8-17 10:19 AM 編輯 ]
作者: nianzu    時間: 2013-1-3 14:40     標題: 請教第16題

第16題
直接算出a b
但之前做過的差都一樣
不過這一題的差都不一樣
請問該如何下筆??
麻請各位前輩幫忙!!!
作者: tsusy    時間: 2013-1-3 15:03     標題: 回復 17# nianzu 的帖子

考慮

\( \cos 3\theta = \cos \frac{2\pi}{3} \)

的解有 \( \displaystyle \theta = \frac{2\pi}{9}, \frac{4\pi}{9}, \frac{8\pi}{9} \)

由有三倍公式可得 \( 4t^3 -3t = -\frac{1}{2} \)

有三相異解 \( \displaystyle \cos \frac{2\pi}{9}, \cos \frac{4\pi}{9}, cos\frac{8\pi}{9} \)

由根與係數關係知:三根之和為 0, 三根的乘積為 \( \frac{-1}{8} \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-1-3 10:34 PM 編輯 ]
作者: nianzu    時間: 2013-1-4 07:08     標題: 回復 18# tsusy 的帖子

感謝tsusy老師!!
原來這樣就可以!!!
我了解自己錯在哪了~~
感恩~~
作者: idontnow90    時間: 2013-3-20 00:11

我不是很懂你的做法...請問有什麼可以參考的資料?感謝~
引用:
原帖由 tsusy 於 2013-1-3 03:03 PM 發表
考慮

\( \cos 3\theta = \cos \frac{2\pi}{3} \)

的解有 \( \theta = \frac{2\pi}{9}, \frac{4\pi}{9}, \frac{8\pi}{9} \)

由有三倍公式可得 \( 4t^3 -3t = -\frac{1}{2} \)

有三相異解 \( \cos \frac{2\pi}{9}, ...

作者: 俞克斌    時間: 2013-3-20 01:29     標題: 回復 20# idontnow90 的帖子

前面幾位老師所載徇已精闢
個人僅略作闡述
敬請卓參
謝謝

圖片附件: 精彩考題解析舉隅2013.03.20-2_頁面_1.jpg (2013-3-20 01:29, 192.67 KB) / 該附件被下載次數 5155
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1552&k=9a44b14a9f65e75a59b5718962f1974d&t=1711701367



圖片附件: 精彩考題解析舉隅2013.03.20-2_頁面_2.jpg (2013-3-20 01:29, 77.64 KB) / 該附件被下載次數 5091
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1553&k=7f5cfea7828a35e198ae490a5f637f41&t=1711701367


作者: leo790124    時間: 2014-6-5 14:05     標題: 回復 2# bugmens 的帖子

請問第6題,類似提中的邊長比例三邊是固定的
但這提三邊等分點比例均不同

除了將裡面線段各自的比例都各自解出來再求所求外
還有其他的方法嗎???
作者: thepiano    時間: 2014-6-5 16:00     標題: 回復 22# leo790124 的帖子

用孟氏定理可算出
AR:DR = EP:BP = CQ:FQ = 2:3

△AFR:△ABD = (1 * 2):(4 * 5) = 1:10
△AFR:△ABC = 1:20

△BDP:△BCE = (1 * 3):(2 * 5) = 3:10
△BDP:△ABC = 1:10

△CEQ:△ACF = (1 * 2):(3 * 5) = 2:15
△CEQ:△ABC = 1:30

△PQR = △ABC - (△ABD + △BCE + △ACF) + (△AFR + △BDP + △CEQ)
△PQR:△ABC = 1:10
作者: leo790124    時間: 2014-6-6 15:53     標題: 回復 23# thepiano 的帖子

了解
簡化了我最後的幾個步驟
謝謝老師!!!!!




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