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標題: 101高雄中學 [打印本頁]

作者: justhgink 時間: 2012-5-5 19:56 標題: 101高雄中學

還沒公布題目...
印象中有這題~
想請教如何解~感恩!

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=1051&k=76e03678169867e7330d3fbd43035016&t=1714849912

作者: tsusy 時間: 2012-5-5 20:37 標題: 回復 1# justhgink 的帖子

沒有去考, 猜測 $ a_n >0 $

$ a_n = S_n - S_{n-1} =\frac{4S_n}{a_n+2} $

$ a_n^2+2 a_n = 4S_n $

$ n=1 $ 代入可解得 $ a_1 = 2 $

多代幾項就會得到 $ 2,\, 4,\, 6,\, 8, \ldots 2n,\ldots $

至於證明，數歸給它歸下去就沒了

至於如何不用看規律的...等樓下的好了

作者: wbyeombd 時間: 2012-5-5 20:55 標題: 回復 1# justhgink 的帖子

答案是2550嗎？

[ 本帖最後由 wbyeombd 於 2012-5-5 08:59 PM 編輯 ]

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=1052&k=75066429ed641416f83737780cc15b60&t=1714849912

作者: cplee8tcfsh 時間: 2012-5-5 21:19 標題: 回復 1# justhgink 的帖子

$ a^2_{n+1} +2 \cdot a_{n+1} = 4 \cdot S_{n+1} $
$ a^2_{n} +2 \cdot a_{n} = 4 \cdot S_{n} $

相減得
$ a^2_{n+1} +2 \cdot a_{n+1} -( a^2_{n} +2 \cdot a_{n}) = 4( S_{n+1} - S_n ) = 4 a_{n+1} $

得
$ (a_{n+1} + a_n )(a_{n+1}-a_n -2)=0 $

若 $ a_n >0 $
則 $a_{n+1}- a_n =2 $ 等差

[ 本帖最後由 cplee8tcfsh 於 2012-5-5 09:21 PM 編輯 ]

作者: shiauy 時間: 2012-5-5 21:32

應該有給a_n>0這個條件吧，不然會有兩個答案

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作者: yustar 時間: 2012-5-6 00:47 標題: 101高雄中學

大家好，第一次回覆，也來提供今日在試場還記得的試題。
至於題數已經忘了。只憑印象歸出有以下試題內容：
題一、y=ax^3與y=x+1相交有三個相異實根，求a的範圍？
題二、一袋中有4種顏色的球，分別為白、黃、紅、綠，皆各有4顆，一共16顆。請問從袋中取四顆球(取出不放回)，四球中恰有三種顏色的機率為何？

題三、

該題目的長相應該是醬，不是很確定

[ 本帖最後由 yustar 於 2012-6-12 08:32 PM 編輯 ]

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作者: yustar 時間: 2012-5-6 07:27 標題: 回復 4# cplee8tcfsh 的帖子

題目有給a_n>0

作者: zeratulok 時間: 2012-5-6 14:26 標題: PTT有分享幾題

PTT libia 分享：

第一題我記得是三階行列式求值

tna50  tan40  tan10

tan70  tan20  tan50

tan80  tan10  tan70

PTT genelin 分享：
  a.袋中有16球，四種顏色各四顆，從袋內取出四球，三種不同顏色的機率

  b.袋中有4紅4白，一次從袋中取出兩球，取後不放回，一旦取出的球數量紅＝白即停止
請問取球的期望次數

  c.a_n > 0，S_n=a_1+a_2+...+a_n，Sigma(k=1~n)[4S_k/(a_k +2)] =S_n，求S_50

  d.degf(x)=2010，f(m)=1/m m=1.2.3.....2011，求f(2012)

  e.m,h屬於R，(x-m)^2=4(y-mh)圖形沿著 y=mx 做平移後產生另外一個圖形，兩個圖形
交點為(5,3)，原圖在這點的切線斜率為m1，後圖為m2，m1+m2=1，求m

  f.今為雄中人，後為人中雄。十個字同字不相鄰的排法       05/06 01:42

PTT wudiwudi 分享：
  a.四面體A-BCD，AB=AC=AD=a，BC=CD=DB=b，求AB到CD的距離 05/06 01:59
  b.1/(x^2)+1/(x^3)=a有三個解求a的範圍

不知道有沒有朋友可以幫忙解答第一題、e、f  感謝！

[ 本帖最後由 zeratulok 於 2012-5-7 11:35 PM 編輯 ]

作者: sgod 時間: 2012-5-9 09:49

題目e
$${(x -m)^2} = 4(y - mh)$$
設平移後頂點為(m+t平移後方程式為$${(x - (m + t))^2} = 4(y - (mh +mt))$$
，故$${m_2} = \frac{1}{2}(5 - (m + t))$$
$${m_1} +{m_2} = 5 - m - \frac{1}{2}t = 1$$
平移前後兼過點(5,3)
兩式乘開相減消去mh最後整理可得$$2{m^2} - 9m + 4 = 0$$
故$$m = \frac{1}{2} or 4 $$

奇怪，不知為何我用有些式子會出不來...

[ 本帖最後由 sgod 於 2012-5-9 01:56 PM 編輯 ]

作者: peter579 時間: 2012-5-9 10:57 標題: 回復 9# sgod 的帖子

是這一個比較清楚的網頁嗎
http://mathmind.twbbs.org/main/index.php/forum/12/132-101#132

ps 我從ptt上看到的…。

作者: judochiou625 時間: 2012-5-9 11:31

終於可以回覆了，附上我跟同事記憶中雄中的題目，最後幾題的數據忘了，請大家好好享用吧！！

附件: 101雄中教甄.rar (2012-5-9 11:31, 36.57 KB) / 該附件被下載次數 8441
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1062&k=cdb63bdc13eabb1096a612855d4605a3&t=1714849912

作者: tsusy 時間: 2012-5-9 11:56 標題: 回復 9# sgod 的帖子

我和您的作法不同，答案也有些微差異，但，還沒找到是哪邊有問題。

但 $ m= 4 $，情況，您的 $ t $ 算出來會是 0，所以是沒有平移。依題目產生"另一圖形"來看，是不合的。

題目 e:

如果把新的圖形，平移回去，那麼 $ P(5, 3) $ 會被平移到某點 $ Q $ 在原圖形上

所以 $ \overline{PQ} $ 為斜率 $ m $ 的直線，令其方程式為 $ y = m (x-5) +3 $

和原圖形方程式聯立得 $ x^2 - 2mx +m^2 = 4 (mx-5m+3-mh) $

整理得 $ x^2 - 6mx +m^2 +20m +4mh-12 = 0$

$ x= 5 $ 為一解，由根與係數關係可得另一解 $ x= 6m-5 $ ，即 $ Q $ 的 $ x $ 坐標

平移，切線斜率不變，故直接計算原圖在$ P,\, Q $ 兩點之微分即可

$ y' = \frac{2(x-m)}{4} $，再以 $ 5,\, 6m-5 $ 代入相加

即得 $1 = m_1+m_2= \frac{5-m}{2} + \frac{5m-5}{2} = 2m $

解得 $ m = \frac{1}{2} $

算出和您的 $ -\frac{1}{2} $ 差一個負號，大概不知道在哪正負號不小心寫錯了吧

作者: sgod 時間: 2012-5-9 13:55

謝謝tsusy，
我重新檢查了一遍，發現我算錯了
最後的方程式應該是
$ 2{m}^2-9{m}+4=0 $
所以m=4 or 1/2無誤，最後如你所言m=4時沒有平移應該是不合的~
我再修正一下我的答案

作者: basess8 時間: 2012-5-9 23:14

雄中題目，准考證背後寫滿滿的，漏一題

[ 本帖最後由 basess8 於 2012-5-9 11:20 PM 編輯 ]

附件: 101高雄中學.pdf (2012-5-9 23:20, 91.22 KB) / 該附件被下載次數 9288
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1069&k=4ae1516da780e2829827c0fd37d6d68a&t=1714849912

作者: bugmens 時間: 2012-5-10 07:52

1.
求行列式$ \displaystyle \Bigg\vert\; \matrix{tan50^o & tan40^o & tan10^o \cr tan70^o & tan20^o & tan50^o \cr tan80^o & tan10^o & tan70^o} \Bigg\vert\;= $
(95溪湖高中，http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=12538)
高中數學101　P202

4.
設$ \alpha,\beta \in R $，求$ (3cos \alpha-2sin \beta-5)^2+(2sin \alpha-3cos \beta+5)^2 $的最小值

已知$ 0 \le \alpha,\beta \le 2 \pi $，且$ A=(2cos \alpha-3cos \beta-6)^2+(2sin \alpha-3sin \beta+8)^2 $，試求A值得範圍？
(96高雄市高中聯招)

8.
證明$ \displaystyle sin \frac{\pi}{13}sin \frac{2 \pi}{13}sin \frac{3 \pi}{13}sin \frac{4 \pi}{13}sin \frac{5 \pi}{13}sin \frac{6 \pi}{13}=\frac{\sqrt{13}}{2^6} $

求$ \displaystyle sin \frac{4 \pi}{11}sin \frac{8 \pi}{11}sin \frac{12 \pi}{11}sin \frac{16 \pi}{11}sin \frac{20 \pi}{11} $
(100苑裡高中，https://math.pro/db/thread-1178-1-1.html)

17.
多項式$ deg f(x)=2010 $，$ \displaystyle f(x)=\frac{1}{k} $，$ k=1,2,3,...,2011 $，求$ f(2012)= $
這裡有更多類似問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1195&page=1#pid4108

[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-5-10 08:14 AM 編輯 ]

作者: vicki8210 時間: 2012-5-10 09:41

可以請問一下第四題嗎？

因為高雄聯招的題目是兩圓

但是雄中的是兩個橢圓的最短距離？！

謝謝

作者: weiye 時間: 2012-5-10 10:11 標題: 回復 16# vicki8210 的帖子

http://www.shiner.idv.tw/teacher ... 2795&start=10#p7471

第 4 題：

題目可以看成是點 $P(3\cos\alpha-3,-2\sin\beta-2)$ 與點 $Q(2\sin\alpha+2, -3\cos\beta+3)$ 距離的平方，

如圖，可得兩橢圓間的最短距離為 $\displaystyle\frac{10-2\sqrt{13}}{\sqrt{2}}$

因此，所求＝$\displaystyle\left(\frac{10-2\sqrt{13}}{\sqrt{2}}\right)^2=76-20\sqrt{13}.$

圖片附件: qq.png (2012-5-10 10:31, 33.23 KB) / 該附件被下載次數 8626
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1070&k=2b07b59b7e82c72c178d84a4a97970d2&t=1714849912

作者: cplee8tcfsh 時間: 2012-5-11 15:00

目前收集到的題目以及參考解法概略整理如附件請參考

如有謬誤疏漏還請不吝指正

謝謝

修改檔案!!(2012.5.13)
抱歉原本的填充13題解法有誤,
檔案已更新.

感謝 Herstein 熱心提醒

[ 本帖最後由 cplee8tcfsh 於 2012-5-13 09:46 PM 編輯 ]

附件: 2012KSHS_Solution.zip (2012-5-13 21:45, 361.34 KB) / 該附件被下載次數 9360
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1087&k=814f1f51baf8da393635b4631926c337&t=1714849912

作者: tuhunger 時間: 2012-5-13 12:22 標題: 四面體那題另解

詳見附件, 新手上傳,希望能傳成功

圖片附件: KS10.png (2012-5-13 12:22, 26.52 KB) / 該附件被下載次數 6281
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1081&k=3ae0eb9ba8c7f13ce26cab5b02248190&t=1714849912

作者: Herstein 時間: 2012-5-13 20:54 標題: 回復 18# cplee8tcfsh 的帖子

請問第13題我算了好幾遍都算出a的上界是4/27
不知道哪裡算錯了?

作者: tsusy 時間: 2012-5-13 21:22 標題: 回復 20# Herstein 的帖子

剛剛算了一下...也是 $ 4/27 $

所以應該沒算錯，不過方法就是彬爸寫得那樣

沒有詳細計算過程，應該是不小心的計算錯誤吧

再提供一下另一個方法：如彬爸寫的 $ a \neq 0 $ 易驗

可改寫方程式為 $ x^3 -\frac{a}{x} - \frac{1}{a} $

由判別式 $ \frac{q^2}{4} + \frac{p^2}{27} <0 $

得 $ \frac{1}{4a^{2}}-\frac{1}{27a^{3}}<0\Rightarrow\frac{27a-4}{108a^{3}}<0\Rightarrow0<a<\frac{4}{27} $

其中 $ x^3 +px+q = 0$ 的三次方程式，其判別式為 $ \frac{q^2}{4} + \frac{p^2}{27} $

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-13 09:23 PM 編輯 ]

作者: cplee8tcfsh 時間: 2012-5-13 21:47

引用:

原帖由 Herstein 於 2012-5-13 08:54 PM 發表
請問第13題我算了好幾遍都算出a的上界是4/27
不知道哪裡算錯了?

是我算錯!!!

感謝提醒 ^^

作者: arend 時間: 2012-5-14 20:36

請教一下

第11題

在第一象限圓面積怎麼做?
想了一下午
已經忘了怎麼算出 pi

手邊沒有初微的書

謝謝

作者: weiye 時間: 2012-5-14 20:52 標題: 回復 23# arend 的帖子

扇形面積扣三角形面積，可得弓形面積。

作者: arend 時間: 2012-5-14 21:12

引用:

原帖由 weiye 於 2012-5-14 08:52 PM 發表
扇形面積扣三角形面積，可得弓形面積。

謝謝瑋岳老師

作者: weiye 時間: 2012-5-14 21:14 標題: 回復 25# arend 的帖子

或是真得很想用積分的話，如下～

令 $x+1=2\cos\theta$，其中 $\displaystyle0\leq\theta\leq\frac{\pi}{3}$

則 $dx=-2\sin\theta d\theta$，且

$\displaystyle 6\int_0^1\sqrt{4-(x+1)^2}dx = 6\int_{\pi/3}^0 2\sin\theta\cdot(-2\sin\theta)d\theta$

　　$\displaystyle =-24\int_{\pi/3}^0 \sin^2\theta d\theta$

　　$\displaystyle =-24\int_{\pi/3}^0 \frac{1-\cos2\theta}{2} d\theta$

　　$\displaystyle =-12\int_{\pi/3}^0 (1-\cos2\theta) d\theta$

　　$\displaystyle =-12\left[\theta-\frac{\sin 2\theta}{2}\right]\Bigg|_{\pi/3}^0$

　　$\displaystyle =4\pi-3\sqrt{3}$

作者: arend 時間: 2012-5-15 00:41

引用:

原帖由 weiye 於 2012-5-14 09:14 PM 發表
或是真得很想用積分的話，如下～

令 $x+1=2\cos\theta$，其中 $\displaystyle0\leq\theta\leq\frac{\pi}{3}$

則 $dx=-2\sin\theta d\theta$，且

$\displaystyle 6\int_0^1\sqrt{4-(x+1)^2}dx = $ ...

謝謝瑋岳老師

三角代換法,好久以前的事了
謝謝你的提醒

作者: 阿光 時間: 2012-5-18 20:24

想請教填充第14,15題,謝謝

作者: cplee8tcfsh 時間: 2012-5-19 07:45

引用:

原帖由阿光於 2012-5-18 08:24 PM 發表
想請教填充第14,15題,謝謝

請參閱 18# 附件

[ 本帖最後由 cplee8tcfsh 於 2012-5-19 07:47 AM 編輯 ]

作者: justhgink 時間: 2012-5-23 00:17 標題: 回復 18# cplee8tcfsh 的帖子

打開是亂碼耶~請問該怎麼辦才能看到答案呢??

作者: weiye 時間: 2012-5-23 04:27 標題: 回復 30# justhgink 的帖子

odt 檔案用 OpenOffiec/LibreOffice 開都可以。

你開附件中的 pdf 就可以啦。

作者: pretext 時間: 2015-4-30 16:31 標題: 第 2 題

題目沒說同色球是否相異，所以都要當作相異嗎？因為如果同色球相同，答案就不一樣了

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