標題:
圓內接正二十四邊形問題
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作者:
shingjay176
時間:
2012-2-28 19:32
標題:
圓內接正二十四邊形問題
以一個正24邊形的頂點任取三點所組成的三角形中，三內角均大於30度的三角形有幾個？
{請問這個題目，把一個圓形畫出來後，圓周上把二十四個等分點標出來後，怎麼樣討論才不會漏}
一直找不出一個很有系統的方法討論}
108.4.27補充
已知圓周上有二十四個等分點，任取三點所組成的三角形中，三個內角均大於30度的有_____個
(108中科實中 雙語部，
https://math.pro/db/thread-3122-1-1.html
)
作者:
weiye
時間:
2012-2-28 20:08
標題:
回復 1# shingjay176 的帖子
本題相當於圓內接正 \(24\) 邊形的頂點中，任選三點出來，
但任意兩個選出來的頂點間，至少要間隔四個沒有被選到的頂點，
先任選一個點固定下來吧，有 \(24\) 個選擇，
選完之後~
這個點與另兩個將要被選到點之間，
至少要先放 \(4\times3=12\) 個沒有被選到的點，
因此，扣除三個將要被選到的點~~與間格中最少數量的沒有要被選到點，
還有 \(24-12-3=9\) 個沒有要被選到點，
把這九個點放入由三個要被選到的點所形成的三個間隔中，有 \(H_9^3=C^{11}_9=55\) 種放入的方法，
但是一開始選出來的第一個頂點，可能是三角形中的三個點中的任一個，
因此我們剛剛算出來的三角形數會重複三倍的數量，
正確的三角形個數是 \(\displaystyle\frac{24\times55}{3}=440\) 個。
作者:
shingjay176
時間:
2012-2-28 20:29
謝謝~~我來仔細好好研究~~我手邊的解答採取正面的作法~~要算的組合情形太多~~怕漏掉~~我直觀還是反面去扣掉不合的~~~
作者:
shingjay176
時間:
2012-2-28 20:53
佩服~~這個想法~~是一個不錯的想法，之前解題目，可能只有徒法煉鋼的畫出來，或是硬討論。基本上這樣的題目，直角三角形，是比較基本的考法，還有鈍角三角形，或銳角三角形。這個想法我覺得關鍵在，【任意兩個選出來的頂點間，至少要間隔四個沒有被選到的頂點】再利用H個概念，就解的很漂亮。下次只要規定大於其他的角度，不是三十度。就只有調整間隔的頂點數。
作者:
martinofncku
時間:
2013-9-2 15:02
標題:
回復 2# weiye 的帖子
想請問老師，為什麼【任意兩個選出來的頂點間，至少要間隔四個沒有被選到的頂點】?
作者:
weiye
時間:
2013-9-2 18:05
依題意，三角形任一角（是個圓周角）都需要超過30度，
因此該角所對應的弧，都要超過60度，
把圓均分成24等分，每一個弧的度數都是15度，
因此選出來的兩頂點之間至少要夾超過4個15度的弧，
也就是由正24個邊形的24個頂點所選出來的三個頂點中，
任兩個頂點間，必須要有超過4個15度的弧，
亦即至少要有超過三個"沒有被選到的頂點"，
亦即至少要有四個以上的"沒有被選到的頂點"。
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