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標題: 100台北市中正高中二招 [打印本頁]

作者: bugmens 時間: 2011-6-30 18:02 標題: 100台北市中正高中二招

題目請見附件

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作者: bugmens 時間: 2011-6-30 18:05

4.
已知\( n \in N \)，設方程式\( x^2+(\frac{1}{2}n+1)x+(n^2-2)=0 \)的兩根為\( \alpha_n \)，\( \beta_n \)，則\( \displaystyle \frac{1}{(\alpha_3+2)(\beta_3+2)}+\frac{1}{(\alpha_4+2)(\beta_4+2)}+....+\frac{1}{(\alpha_{2011}+2)(\beta_{2011}+2)} \)？

對自然數n，作x的二次方程\( x^2+(2n+1)x+n^2=0 \)。設它的兩根為\( \alpha_n \)，\( \beta_n \)求\( \displaystyle \frac{1}{(\alpha_3+1)(\beta_3+1)}+\frac{1}{(\alpha_4+1)(\beta_4+1)}+...+\frac{1}{(\alpha_{20}+1)(\beta_{20}+1)} \)的值？
(初中數學競賽教程　P40，高中數學101　P32)

8.
數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)中，\( \displaystyle a_1=6 \)，且\( a_n-a_{n-1}=\frac{a_{n-1}}{n}+n+1 \)( \( n \in N \)，\( n \ge 2 \) )，則這個數列的一般項\( a_n \)為？
[提示]
\( \displaystyle a_n-\frac{n+1}{n}a_{n-1}=n+1 \)
同除\( n+1 \)

10.
令\( \displaystyle s=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{10000}} \)，若\( \displaystyle n \le \frac{s}{10}<n+1 \)，其中n為自然數，則n=？
https://math.pro/db/thread-156-1-1.html

11.設\( n=2012 \)，則\( \displaystyle \frac{1}{2^n}(1-3C_2^n+3^2 C_4^n-3^3 C_6^n+...-3^{1005}C_{2010}^n+3^{1006}C_{2012}^n)= \)？

求\( \displaystyle \frac{1}{2^{100}}(3^{50}-3^{49}C_2^{100}+3^{48}C_4^{100}-3^{47}C_6^{100}+...-3C_{98}^{100}+C_{100}^{100}) \)的值為？
(99桃園農工)

二、計算證明題
兩同心圓的圓心O，過小圓上一定點P，作小圓的弦\( \overline{PA} \)，大圓的弦\( \overline{BC} \)，使\( \overline{PA}⊥\overline{BC} \)於P。
求證：\( \overline{AB}^2+\overline{BC}^2+\overline{CA}^2 \)為定值。

類似題
在一半徑為r的圓內取一點P，此點P與圓心O的距離為a。設\( \overline{AB} \)及\( \overline{CD} \)為分別過P點互相垂直的兩弦。
試證\( \overline{AB}^2+\overline{CD}^2 \)為一定值，並將此定值以r和a表示。
(89高中數學能力競賽　台中區複賽筆試二試題，http://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... igh_Taichung_02.pdf)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-7-3 06:16 PM 編輯 ]

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作者: RainIced 時間: 2011-6-30 19:01

我想問填充1.，計算2，計算3，謝謝。

作者: witz 時間: 2011-6-30 19:07 標題: 填充一

整理後得
a^{2}+b^{2}-c^{2}=-ab
by 餘弦定理
cos C=-frac{1}{2}
所以角C=120度

作者: bluewing 時間: 2011-6-30 20:55

老師您好，請問計算題第四題的第二小題要怎麼做呢??謝謝您。

作者: 老王 時間: 2011-6-30 22:06

計算二

圖片附件: 100中正二招計算二.jpg (2011-6-30 22:06, 36.62 KB) / 該附件被下載次數 8748
https://math.pro/db/attachment.php?aid=612&k=047476a4fb28ea66d5407aa838abe491&t=1732252384

作者: Fermat 時間: 2011-6-30 22:56

引用:

原帖由 bluewing 於 2011-6-30 08:55 PM 發表
老師您好，請問計算題第四題的第二小題要怎麼做呢??謝謝您。

以下度省略
利用(1)及Jensen不等式(cot在0~45之間的凹凸性)
cot(A/2)+cot(45-A/2) >= 2cot22.5=2(sqrt(2)+1)

作者: Fermat 時間: 2011-6-30 23:05

引用:

原帖由 RainIced 於 2011-6-30 07:01 PM 發表
我想問填充1.，計算2，計算3，謝謝。

計算2老王已解
計算3題目似乎有誤？
－－－－－－－－－－
猜測原題應是證
C(2n,0)*3^n+C(2n,2)*3^(n-1)+...+C(2n.2k)*3^(n-k)+...+C(2n,2n)是2^n的倍數
這樣應該就不難了

[ 本帖最後由 Fermat 於 2011-6-30 11:11 PM 編輯 ]

作者: johncai 時間: 2011-7-1 00:00 標題: 回復 6# 老王的帖子

倒數第三行應該是4r^2-2PE^2+2R^2-2OE^2

作者: 老王 時間: 2011-7-1 12:24 標題: 回復 6# 老王的帖子

驚!!!我看錯題目了!!!!!

繼續
\(\displaystyle AB^2+AC^2+BC^2=PA^2+PB^2+PA^2+PC^2+PB^2+2PB \times PC+PC^2 \)
\(\displaystyle =2(2r^2+2R^2)+2(R^2-r^2)=6R^2+2r^2 \)
為定值

[ 本帖最後由老王於 2011-7-1 12:25 PM 編輯 ]

作者: nanage 時間: 2011-7-6 11:18 標題: 計算第四題，請參考

計算第四題，請參考，不知道有沒有錯誤。

附件: 42中正高中二招.pdf (2011-7-6 11:18, 63.92 KB) / 該附件被下載次數 8194
https://math.pro/db/attachment.php?aid=628&k=3df5b8592dd50a0f95842e2ca57698cf&t=1732252384

作者: money 時間: 2011-7-7 10:52

請問填充7,8,12
麻煩高手們解惑
感謝

[ 本帖最後由 money 於 2011-7-7 03:16 PM 編輯 ]

作者: JOE 時間: 2011-7-7 19:05 標題: 回復 12# money 的帖子

第七題:由托勒密定理知:AC*BD=AB*CD+BC*AD
         又正九邊形:BD=AC,AB=BC
         原式=AC*BD-BC*AD
               =AB*CD+BC*AD-BC*AD=10*10=100

第八題:移項可得:a_n=(n+1/n)a_(n-1)+(n+1)
         左右同除n+1得:a_n/n+1=a_(n-1)/n+1
         令b_n=a_n/n+1得:b_n=b(n-1)+1
         b_n為一等差數列,b1=6/2=3,可得bn,則可得an

第十二題:http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2590

[ 本帖最後由 JOE 於 2011-7-7 08:00 PM 編輯 ]

作者: money 時間: 2011-7-7 19:43 標題: 回復 13# JOE 的帖子

解決心中的疑惑
感謝您

作者: WAYNE10000 時間: 2012-4-17 20:28 標題: 想請教第6題

請問的算式的由來我想了很久

填充第 6 題
P(2010，1340) = 2010! / 670!
2010! = 2^a * 3^b * ......
670! = 2^c * 3^d * ......
所求 = b - d

因 2010 / 3 = 670 ???
故 b - d = 670

作者: Ellipse 時間: 2012-4-17 22:08

引用:

原帖由 WAYNE10000 於 2012-4-17 08:28 PM 發表
請問的算式的由來我想了很久

填充第 6 題
P(2010，1340) = 2010! / 670!
2010! = 2^a * 3^b * ......
670! = 2^c * 3^d * ......
所求 = b - d

因 2010 / 3 = 670 ???
故 b - d = 670 ...

分子:
2010!中3共有
[2010/3]+[2010/3^2]+[2010/3^3]+[2010/3^4]+[2010/3^5]+[2010/3^6]
=[670]+[670/3]+[670/3^2]+[670/3^3]+[670/3^4]+[670/3^5] 個---------(1)

分母:
670!中3共有
[670/3]+[670/3^2]+[670/3^3]+[670/3^4]+[670/3^5] 個---------(2)

所求的k為 (1)-(2)
可知k=[670]=670

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2012-4-17 10:14 PM 編輯 ]

作者: WAYNE10000 時間: 2012-4-21 13:50 標題: 請教計算一

想請教計算一
懇請賜教~~謝謝

作者: Ellipse 時間: 2012-4-21 14:20

引用:

原帖由 WAYNE10000 於 2012-4-21 01:50 PM 發表
想請教計算一
懇請賜教~~謝謝

全部檢查起來
Log7應改為2b+c
Log(1.5)應改為3a-b+c-1

作者: echofuk 時間: 2012-8-2 10:08 標題: 回復 17# WAYNE10000 的帖子

想請教填充第二題如何算,謝謝

作者: weiye 時間: 2012-8-2 10:57 標題: 回復 19# echofuk 的帖子

先思考一下： \(a = x^2(1-x)\) 為正整數，

可知 \(x\) 的整數根為負數，且 \(x\) 得這個負數的整數根～負越多時， \(a\) 越大。

因此，

\(a = x^2-x^3 \geq -x^3\)

\(\Rightarrow x\geq -\sqrt[3]{a} \geq - \sqrt[3]{200} > -6\)

當 \(x=-5\) 時， \(a=150\) 為最大可能值。

作者: subway 時間: 2014-7-2 00:16

想請問第9題謝謝!

作者: cefepime 時間: 2014-7-2 01:13 標題: 回復 21# subway 的帖子

本題範圍中，f(x) = m 的充要條件，為 2^m ≤ x < 2^(m+1)。

因此:

f(x) = 6，當 x = 100-127

f(x) = 7，當 x = 128-255

f(x) = 8，當 x = 256-511

f(x) = 9，當 x = 512-1023

f(x) = 10，當 x = 1024-2011

所求 = 6*28 + 7*128 + 8*256 + 9*512 + 10*988 = 17600

[ 本帖最後由 cefepime 於 2014-7-2 01:17 AM 編輯 ]

作者: anyway13 時間: 2017-2-9 11:20 標題: 請教計算第二題倒數最後一步

根據老王老師寫的解答,想請教版上老師這最後一步 PB*PC=R^2−r^2 是怎麼算出來的?

請賜教,謝謝!

作者: weiye 時間: 2017-2-9 12:33 標題: 回復 23# anyway13 的帖子

作 \(OP\) 直線交大圓於 \(Q,R\) 兩點，

則 \(\overline{PB}\times\overline{PC}=\overline{PQ}\times\overline{PR}=\left(R+r\right)\left(R-r\right)=R^2-r^2\)

作者: anyway13 時間: 2017-2-9 18:05 標題: 回復 24# weiye 的帖子

原來是這樣! 謝謝 weiye 老師指點.

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