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標題: 100彰化藝術高中,田中高中 [打印本頁]

作者: bugmens 時間: 2011-6-19 17:39 標題: 100彰化藝術高中,田中高中

題目請見附件

附件: 100彰化藝術高中田中高中.rar (2011-6-19 17:39, 199.32 KB) / 該附件被下載次數 12192
https://math.pro/db/attachment.php?aid=548&k=fd55b42907361bad50e0c91fc5e335f6&t=1732270594

作者: bugmens 時間: 2011-6-19 17:39

單選題
1.
設\( p,q \in R \)且\( p>0,q>0 \)，若\( log_9 p=log_{12}q=log_{16}(p+q) \)，則\( \displaystyle \frac{q}{p} \)之值介於下列哪一各區間？
(A) \( \displaystyle (1,\frac{3}{2}) \)　(B) \( \displaystyle ( \frac{3}{2},2) \)　(C) \( \displaystyle (2,\frac{5}{2}) \)　(D) \( \displaystyle ( \frac{5}{2},3 ) \)　(E) \( \displaystyle ( 3,\frac{7}{2} ) \)

Suppose that p and q are positive numbers for which \( \displaystyle log_9 p=log_{12}q=log_{16}(p+q) \)what is the value of \( \displaystyle \frac{q}{p} \)?
(1988AHSME，https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_26)

計算題
1.
已知\(P\)為正方形\(ABCD\)內部的一點，若\( \overline{AP}=7 \)，\( \overline{BP}=5 \)，\( \overline{CP=1} \)，試求正方形\(ABCD\)的面積。

正方形\(ABCD\)中一點\(P\)，已知\( \overline{PA}=7 \)、\( \overline{PB}=3 \)、\( \overline{PC}=5 \)，求此正方形的面積。
(100豐原高中，https://math.pro/db/thread-1118-1-1.html)

設正方形\(ABCD\)內部有一點\(P\)滿足\( \overline{AP}=3 \)，\( \overline{BP}=4 \sqrt{2} \)，\( \overline{DP}=5 \sqrt{2} \)，試求正方形\(ABCD\)的面積。
(建中通訊解題第17期)

8.
設n為自然數，\( \displaystyle (2+\sqrt{3})^n=x_n+y_n \sqrt{3} \)，\( x_n,y_n \)均為正整數，則\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{y_n} \)之值為？
(A)0　(B)1　(C)\( -\sqrt{2}\)　(D)\( \sqrt{3} \)　(E)\( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} \)
(高中數學101 P275)

設\( (1+\sqrt{2})^n=a_n+b_n \sqrt{2} \)，其中\( n,a_n,b_n \)皆為正整數，則\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}= \)
(100成淵高中，https://math.pro/db/thread-1128-1-2.html)

作者: cally0119 時間: 2011-6-20 10:11

請教一下計算題第3題

若\( \displaystyle \{\; x |\; 1 \le \sum_{k=1}^{10} \frac{k}{x-k} \le 2 \}\; \)的解集合為若干區間的聯集，求區間總長度。

作者: 老王 時間: 2011-6-20 17:01 標題: 回復 3# cally0119 的帖子

應該是去年台大資工第二階段考題
請參考台中一中李吉彬老師的部落格
h ttp://dl.dropbox.com/u/21100135/2010_NTU_CSIE01.pdf　連結已失效

作者: arend 時間: 2011-6-20 22:31

請教版上
計算第一題,記得在通訊解題看過?忘了怎麼做,可以提示一下嗎?
還有單選3,我算出來答案怪怪的
請教單選6,7,10
謝謝

作者: gamaisme 時間: 2011-6-20 23:18

單選3
設複數\(z\)滿足\( |\; z |\;=2 \)，若\( \displaystyle \Bigg\vert\; z+\frac{2}{z}-1 \Bigg\vert\;=n \)，且\(n\)為整數，則\(n\)所有可能値的和為
(A)6　(B)10　(C)15　(D)21　(E)28

我算出來的答案是9可是選項內沒有...

單選10
函數\(f\)的圖形如下所示，則方程式\(f(f(x))=6\)的實數解有幾個？

(A)2　(B)4　(C)5　(D)6　(E)7
(2002AMC12A，http://www.artofproblemsolving.c ... Problems/Problem_19)

依照題目f (f(x)) = 6，所以f()內的值只能是1或-2
所以f(x)=1或-2的解，依題目給定圖形有4+2=6

想請教各位老師單選11、12如何解?

作者: peter579 時間: 2011-6-21 06:22

計算第1題
已知\(P\)為正方形\(ABCD\)內部的一點，若\( \overline{AP}=7 \)、\( \overline{BP}=5 \)、\( \overline{CP}=1 \)，試求正方形\(ABCD\)的面積。

解法還不少…網路查的結果
h ttp://iask.sina.com.cn/b/18477367.html　(連結已失效)
http://blog.xuite.net/ginwha/school/28278272

作者: weiye 時間: 2011-6-21 09:32 標題: 回復 5# arend 的帖子

單選第 6 題：
由1至99的九十九個整數中，任取三個相異數，則此三數恰成等差數列的取法有多少種？
(A)1001 (B)1024 (C)1600 (D)1960 (E)2401
[解答]
若取出來的三相異數由小到大依序為 \(a,b,c\)，則 \(\displaystyle b=\frac{a+c}{2}\)

也就是只要 \(a,c\) 確定，則 \(b\) 就會跟著確定，

且 \(a+c\) 必定為偶數，

把 \(1\) 至 \(99\) 分成 \(50\) 個奇數與 \(49\) 個偶數，

只要由眾偶數中選出\(a,c\) 或眾奇數中選出 \(a,c\) 即可，

所以所求 \(=C^{50}_2+C^{49}_2=2401.\)

作者: weiye 時間: 2011-6-21 09:43

單選第 7 題
設\(a\)、\(b\)為實數，方程式\(x^2+2ax+b=0\)沒有實根，且各根之絕對值均為1，則\(b\)之值為何？
(A)1　(B)\(\sqrt{3}\)　(C)2　(D)\(\sqrt{5}\)　(E)\(\sqrt{6}\)
[解答]
\(x^2+2ax+b=0\)

\(\Rightarrow \left(x+a\right)^2=a^2-b\)

\(\Rightarrow x=-a\pm i\sqrt{b-a^2}\)

\(\Rightarrow \left|-a\pm i\sqrt{b-a^2}\right|=1\)

\(\Rightarrow (-a)^2+\left(\sqrt{b-a^2}\right)^2=1\)

\(\Rightarrow b=1\)

另解，

因為實係數方程式虛根成共軛對，

所以設兩虛根為 \(z_1, \overline{z_1}\)，

且依題敘，可知 \(\left|z_1\right|=\left|\overline{z_1}\right|=1\)

由根與係數關係式，可得 \(b=z_1\overline{z_1}=|z_1|^2=1.\)

作者: weiye 時間: 2011-6-21 09:52

單選第 10 題
函數\(f\)的圖形如下所示，則方程式\(f(f(x))=6\)的實數解有幾個？
(A)2　(B)4　(C)5　(D)6　(E)7
[解答]
\(f(y)=6\Rightarrow y=1 \mbox{ 或 } -2\)

如圖，可知 \(f(f(x))=6\) 共有 \(6\) 個實根。

作者: weiye 時間: 2011-6-21 10:19

單選第 3 題
設複數\(z\)滿足\(|\;z|\;=2\)，若\(\displaystyle \Bigg\vert\; z+\frac{2}{z}-1 \Bigg\vert\;=n\)，且\(n\)為整數，則\(n\)所有可能值的和為
(A)6　(B)10　(C)15　(D)21　(E)28
[解答]
令 \(z=2\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)\)，則

\(\displaystyle\left|z+\frac{2}{z}-1\right|=n\)

\(\Rightarrow \left|3\cos\theta+i\sin\theta -1\right|=n\)

\(\Rightarrow \left|(3\cos\theta+i\sin\theta) -(1+0i)\right|=n\)

令 \(P(3\cos\theta, \sin\theta), Q(1,0)\)

則 \(P\) 是位在橢圓 \(\displaystyle\frac{x^2}{9}+y^2=1\) 上的動點，

故，滿足 \(\overline{PQ}=n\) 且 \(n\) 為整數的可能值有 \(1,2,3,4\)。

所以「\(n\) 所有可能值的和」是 \(1+2+3+4=10.\)

註：感謝 gamaisme 於後方回覆提醒～我沒有看清楚題目～：Ｐ

作者: aonzoe 時間: 2011-6-21 16:20 標題: 回復 4# 老王的帖子

解法看到最後，
不懂為何110-165/2=55/2 就是區間的總長度呢？
還有為何要強調「f(x)恆遞減」呢？
謝謝！

作者: gamaisme 時間: 2011-6-21 23:14 標題: 回復 11# weiye 的帖子

感謝瑋岳老師詳細的解答，不過題目好像是問"n所有可能值的和為多少"?
還是我搞錯題意，另外請教單選12應如何解?
謝謝!

作者: weiye 時間: 2011-6-21 23:22 標題: 回復 13# gamaisme 的帖子

咦～～～對耶！

題目是問「n所有可能值的和為？」

所以答案是 \(1+2+3+4=10\) ！＝＝

註：感謝 gamaisme 提醒～我沒看清楚題目～：Ｐ

作者: gamaisme 時間: 2011-6-21 23:23 標題: 回復 14# weiye 的帖子

喔喔我弄懂了!
所以是1+2+3+4=10吧?
感謝瑋岳老師的圖解!

作者: weiye 時間: 2011-6-21 23:30

單選第 12 題：
設\(a\)、\(b\)、\(c\)為0到9的整數，\(a\)、\(b\)、\(c\)不可同時為0且不可同時為9。若將循環小數\(0.\overline{abc}\)化為最簡分數時，則分母有多少種情形？
(A)7　(B)8　(C)9　(D)10　(E)11
[解答]
\(\displaystyle 0.\overline{abc}=\frac{abc}{999}\)

其中分母 \(999=3^3\times37\)

所以， \(999\) 的正因數個數有 (3+1)(1+1)=8 個

扣掉 \(1\) 這一個（即當分子為 \(999\) ，不合），

還剩下 \(7\) 個。

作者: weiye 時間: 2011-6-21 23:31

哈～是 \(1+2+3+4=10\) ，

答案沒錯，我看錯～哈：Ｐ

作者: gamaisme 時間: 2011-6-21 23:46

喔喔!單選12我又勿解題目的意思了!
多謝瑋岳老師的解答!
不知道那單選11有沒有比較快的解法!
我覺得我的解法有點慢

作者: weiye 時間: 2011-6-22 00:15 標題: 回復 18# gamaisme 的帖子

單選第11題：
自圓\(C\)：\(x^2+y^2=4\)上取二點\(A\)、\(B\)，使此二點均在\(x\)軸上方，且折回劣弧\(AB\)恰與\(x\)軸切於點\((1,0)\)，求\(\overline{AB}\)方程式為何？
(A)\(2x-4y-5=0\)　(B)\(3x-4y+5=0\)　(C)\(2x+3y-5=0\)　(D)\(2x+3y+5=0\)　(E)\(2x+4y-5=0\)
[解答]
把褶完過後的圓畫出來，

實際上就是把原來的圓對稱 \(\overleftrightarrow{AB}\) 所得的結果，

所以褶完過後的圓半徑也是 2，

且因為與 \(x\) 軸相切於 \((1,0)\)

所以褶完過後之圓的圓心為 \((1,2)\)

可以寫出褶完過後所在的圓方程式，

再與題目所給的圓方程式相減，

就可以得到 \(\overleftrightarrow{AB}\) 直線的方程式了。

或是，求上兩圓的圓心之中垂線方程式亦可。

作者: gamaisme 時間: 2011-6-22 00:36 標題: 回復 19# weiye 的帖子

感謝瑋岳老師的解答
可以這麼簡單解題!
當時我還用了微分....

作者: arend 時間: 2011-6-22 12:48 標題: 回復 9# weiye 的帖子

謝謝瑋岳老師
第二解法很漂亮

作者: arend 時間: 2011-6-22 12:50 標題: 回復 10# weiye 的帖子

謝謝瑋岳老師
解法很漂亮
我想方法的好複雜
用組合來做簡單多了
還是要再跟你說聲謝謝

作者: andyhsiao 時間: 2011-6-22 14:56

計算第二題怎解??

作者: maymay 時間: 2011-6-22 21:14 標題: 請教單選1.2題

單選1還是不會,找不到資料
謝謝

作者: Herstein 時間: 2011-6-22 21:37

單選第九題怎麼做?

作者: weiye 時間: 2011-6-22 21:51 標題: 回復 25# Herstein 的帖子

單選第 9 題：
空間中有三個點\(A(-1,2,5)\)，\(B(-2,1,2)\)，\(P(0,b,c)\)，則\( \overline{PA}^2+\overline{PB}^2 \)的最小値為
(A)6　(B)7　(C)8　(D)9　(E)10
[解答]
令 \(C\) 為 \(A,B\) 的中點，

在 \(\triangle ABC\) 中，

\(\overline{PA}^2+\overline{PB}^2=2\left(\overline{AC}^2+\overline{PC}^2\right)\)

　　其中 \(\overline{AC}\) 為定值，

所以 \(\overline{PA}^2+\overline{PB}^2\) 的最小值發生於當 \(\overline{PC}\) 為最小值的時候，

此時， \(P\) 為「 \(C\) 在 \(x=0\) 平面的投影點」，

　　　且 \(\overline{PC}\) 就是「 \(C\) 到 \(x=0\) 平面的距離」，

剩下略~

作者: Ellipse 時間: 2011-6-22 21:59

引用:

原帖由 Herstein 於 2011-6-22 09:37 PM 發表
單選第九題怎麼做?

直接做,再用配方法
2(b-3/2)^2+2(c-7/2)^2 +10

作者: weiye 時間: 2011-6-22 22:01 標題: 回復 24# maymay 的帖子

單選第 1 題：
設\(p,q\in R\)且\(p>0,q>0\)，若\(log_9 p=log_{12}q=log_{16}(p+q)\)，則\(\displaystyle \frac{q}{p}\)之值介於下列哪一個區間？
(A)\(\displaystyle (1,\frac{3}{2})\)　(B)\(\displaystyle (\frac{3}{2},2)\)　(C)\(\displaystyle (2,\frac{5}{2})\)　(D)\(\displaystyle (\frac{5}{2},3)\)　(E)\(\displaystyle (3,\frac{7}{2})\)
[解答]
令 \(\log_9 p = \log_{12} q = \log_{16}(p+q)=k,\)

則 \(p=9^k,q=12^k,p+q=16^k\)

\(\displaystyle \Rightarrow p+q=16^k=\left(\frac{12^2}{9}\right)^k=\frac{q^2}{p}\)

\(\Rightarrow p^2+pq-q^2=0\)

\(\displaystyle \Rightarrow \left(\frac{q}{p}\right)^2-\left(\frac{q}{p}\right)-1=0\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{q}{p}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\)

因為 \(p>0,q>0\)，所以 \(\displaystyle \frac{q}{p}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Rightarrow \frac{3}{2}<\frac{q}{p}<2\)

作者: Ellipse 時間: 2011-6-22 22:18

單選第 1 題：前面另一種作法(其實差不多)
Log P / Log 9 =Log Q / Log 12 =Log (P+Q) / Log 16

=> [Log P+ Log (P+Q) ] /(Log 9+ Log 16) = Log P(P+Q) /Log (9*16) =Log Q^2 / Log 12^2 (和分比)

=> P(P+Q)=Q^2
後面就跟weiye兄一樣...

作者: weiye 時間: 2011-6-22 22:18 標題: 回復 24# maymay 的帖子

單選第 2 題：
將1、2、3、…、9此9個正整數隨機填入3×3之棋盤形9個格子中，每一格填一個數字，且每個數字只填一次，求使每一行，每一列（不含對角線）之數字和皆為奇數之機率為何？
(A)\(\displaystyle \frac{1}{10}\)　(B)\(\displaystyle \frac{1}{11}\)　(C)\(\displaystyle \frac{1}{12}\)　(D)\(\displaystyle \frac{1}{13}\)　(E)\(\displaystyle \frac{1}{14}\)
[解答]
偶數有 4 個

任取某一行或某一列

只有可能為～奇數＋奇數＋奇數

　　　　　　或是　偶數＋偶數＋奇數

所以～四個偶數只能在某兩行與某兩列的重疊區域

例如：

偶奇偶
奇奇奇
偶奇偶

或是

偶偶奇
偶偶奇
奇奇奇

....等，共 \(C^3_2C^3_2\) 種。

所以，所求機率 \(\displaystyle=\frac{C^3_2C^3_2 5!4!}{9!}=\frac{1}{14}.\)

作者: maymay 時間: 2011-6-23 09:33 標題: 謝謝兩位老師的講解

作者: 老王 時間: 2012-2-4 14:56

計算第三題
終於遇到把自己想法完整寫下來的機緣了。
或許有點麻煩，但是應該比較好懂。

圖片附件: 99台大資工1-10-1.jpg (2012-2-4 14:56, 43.56 KB) / 該附件被下載次數 5713
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圖片附件: 99台大資工1-10-2.jpg (2012-2-4 14:56, 50.75 KB) / 該附件被下載次數 5787
https://math.pro/db/attachment.php?aid=926&k=2363d8a62d8e71d0f972b14eecd79f7a&t=1732270594

作者: pizza 時間: 2012-2-20 22:32

想請教單選4該怎麼算? 謝謝

作者: weiye 時間: 2012-2-20 22:52 標題: 回復 33# pizza 的帖子

單選第 4 題：
袋中有15個球，其中有紅球5個，編號1至5，白球10個，編號1至10，任意取兩球，試求球號之和小於7的機率
(A)\( \displaystyle \frac{1}{7} \)　(B)\( \displaystyle \frac{23}{105} \)　(C)\( \displaystyle \frac{5}{21} \)　(D)\( \displaystyle \frac{9}{35} \)　(E)\( \displaystyle \frac{29}{105} \)
[解答]
分母＝\(C^{15}_2=105\)

再來算分子

點數和小於 \(7\) 的情況有：

6=1+5=2+4=3+3

5=1+4=2+3

4=1+3=2+2

3=1+2

2=1+1

分子＝\(3\times C^2_2+6\times C^2_1C^2_1=27\)

所求＝\(\displaystyle\frac{27}{105}=\frac{9}{35}\)

作者: man90244 時間: 2012-3-29 21:59

想請教計算題第一題??????

作者: weiye 時間: 2012-3-29 22:27 標題: 回復 35# man90244 的帖子

計算第 1 題：
已知\(P\)為正方形\(ABCD\)內部的一點，若\( \overline{AP}=7 \)，\( \overline{BP}=5 \)，\( \overline{CP}=1 \)，試求正方形\(ABCD\)的面積。
[解答]
解法一：

如圖，以 \(B\) 為旋轉中心，將 \(\triangle BCP\) 旋轉，

使得 \(\overline{BC}\) 貼齊 \(\overline{AB}\)，且 \(P\) 旋轉至 \(Q\) 點位置，

則 \(\triangle PQB\) 是三內角為 \(45^\circ, 45^\circ, 90^\circ\) 的等腰直角三角形，

且 \(\overline{PQ}=5\sqrt{2}, \overline{PC}=\overline{AQ}=1\)

因為 \(\overline{AQ}^2+\overline{AP}^2=1^2+7^2=(5\sqrt{2})^2=\overline{PQ}^2\)，所以 \(\triangle APQ\) 亦為直角三角形，

\(\cos\angle AQB=\cos\left(45^\circ+\angle AQP\right)\)

用和角公式展開，可得 \(\cos\angle AQB\)
在 \(\triangle AQB\) 中，用餘弦定理，即可得 \(\overline{AB}^2\)

解法二：

令 \(x=\overline{AB}\)

由餘弦定理，可得

\(\displaystyle\cos\angle ABP=\frac{x^2+5^2-7^2}{2\cdot 5\cdot x}, \cos\angle CBP=\frac{x^2+5^2-1^2}{2\cdot 5\cdot x}\)

因為 \(\angle ABP\) 與 \(\angle CBP\) 互餘，所以 \(\cos^2\angle ABP+\cos^2\angle CBP=1\)

\(\displaystyle \Rightarrow \left(\frac{x^2+5^2-7^2}{2\cdot 5\cdot x}\right)^2+\left(\frac{x^2+5^2-1^2}{2\cdot 5\cdot x}\right)^2=1\)

解 "\(x^2\)" 的一元二次方程式，可得 \(x^2=18\) 或 \(x^2=32\)

且因為 \(\angle ABP\) 為銳角，所以 \(\displaystyle \cos\angle ABP=\frac{x^2+5^2-7^2}{2\cdot 5\cdot x}>0\)

故，\(x^2=18\) 不合，

因此，\(x^2=32\)

解法三：

因為 \(\overline{PA}^2+\overline{PC}^2=\overline{PB}^2+\overline{PD}^2\)

（等號左右兩邊～都會等於四段彩色的線段平方之和）

\(7^2+1^2=5^2+\overline{PD}^2\Rightarrow\overline{PD}=5\)，所以 \(\overline{PD}=\overline{PB} \)

因此，\(\triangle ABP\) 與 \(\triangle ADP\) 全等，\(\triangle CBP\) 與 \(\triangle CDP\) 全等，

故，\(A,P,C\) 三點共線，\(\overline{AC}=7+1=8\) 為對角線，

正方形 \(ABCD\) 邊長為 \(4\sqrt{2}\)，面積為 \(32.\)

圖片附件: qq.png (2012-3-29 22:27, 11.68 KB) / 該附件被下載次數 7548
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圖片附件: qq.png (2012-3-29 22:53, 11.68 KB) / 該附件被下載次數 7508
https://math.pro/db/attachment.php?aid=976&k=08abe0937f3350f2cc12cd8738416533&t=1732270594

作者: man90244 時間: 2012-3-29 22:38 標題: 回復 36# weiye 的帖子

感謝瑋岳老師的解答
我已經理解了!!!!!!!!

作者: weiye 時間: 2012-3-29 22:45 標題: 回復 37# man90244 的帖子

新增第三種解法，請見上篇回覆最末端。：Ｄ

作者: JOE 時間: 2012-4-13 21:01 標題: 回復 23# andyhsiao 的帖子

請問計算二的題目Pn(k)代表 an ? k 的機率
去年沒考這題不知道原提意為何感謝

連續擲出一個公正的正六面體骰子\(n\)次，將前\(n\)次出現的點數依序寫在小數點的後面，得到一個實數\(a_n\)，例\(a_1=0.4\)，\(a_2=0.43\)，\(a_3=0.435\)，…，對於實數\(k\)，若符號\(p_n(k)\)代表「\(a_n<k\)的機率」，試求：
(1)\( \displaystyle p_{2011}(\frac{1}{7})\)
(2)\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n(\frac{41}{333}) \)

作者: tsungshin 時間: 2012-4-15 09:52 標題: 回復 39# JOE 的帖子

根據答案的結果
猜測應該是\( a_n < k \)

作者: mcgrady0628 時間: 2012-4-22 01:30 標題: 回復 11# weiye 的帖子

瑋岳老師可您前三個算式怎麼來的??

作者: weiye 時間: 2012-4-22 06:57 標題: 回復 41# mcgrady0628 的帖子

之前打字漏掉括弧了~

是 "令 \(z=2\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)\)"

然後利用 \(\displaystyle \frac{2}{z}=\frac{2}{2\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)}=\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)=\cos\theta-i\sin\theta\)

作者: mathca 時間: 2015-12-11 22:06 標題: 回復 1# bugmens 的帖子

請教選擇5，感謝。

作者: thepiano 時間: 2015-12-12 09:25 標題: 回復 43# mathca 的帖子

選擇第 5 題
在\(xy\)平面上，有多少條直線與\(x\)軸的截距為正質數，與\(y\)軸的截距為正整數且通過點\((4,3)\)
(A)0　(B)1　(C)2　(D)3　(E)4
[解答]
\(\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)，其中\(a\)為質數，\(b\)為正整數
過 (4，3)
\(\begin{align}
& \frac{4}{a}+\frac{3}{b}=1 \\
& ab-3a-4b=0 \\
& \left( a-4 \right)\left( b-3 \right)=12 \\
& ...... \\
\end{align}\)

作者: mathca 時間: 2015-12-12 10:45 標題: 回復 44# thepiano 的帖子

感謝。

作者: anyway13 時間: 2020-8-8 10:40 標題: 請教計算二

版上老師好

計算二第一小題求算a(2011)<(1/7)的機率,已知1/7=0.142857循環

小數點第1位小於或等於1的機率是  1/6
小數點第2位小於或等於4的機率是  4/6(可以選1,2,3,4)
小數點第3位小於或等於2的機率是  2/6(可以選1,2)
小數點第4位小於或等於8的機率是  1(可以選1,2,3,4,5,6)
小數點第5位小於或等於5的機率是  5/6(可以選1,2,3,4,5)
小數點第6位小於或等於7的機率是  1(可以選1,2,3,4,5,6)
......
又2011=144*7+3 所以算出來是((1/6)(4/6)(2/6)(1)(5/6)(1))^144*(1/6)(4/6)(2/6)

這樣算出來不是答案給的5/54  請老師指點迷津

作者: Lopez 時間: 2020-8-8 16:35 標題: 回復 46# anyway13 的帖子

計算題第2題
連續擲出一個公正的正六面體骰子\(n\)次，將前\(n\)次出現的點數依序寫在小數點的後面，得到一個實數\(a_n\)，例\(a_1=0.4\)，\(a_2=0.43\)，\(a_3=0.435\)，…，對於實數\(k\)，若符號\(p_n(k)\)代表「\(a_n<k\)的機率」，試求：
(1)\( \displaystyle p_{2011}(\frac{1}{7})\)
(2)\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n(\frac{41}{333}) \)
[解答]
第(1)小題
1 - P(a ≥ 0.2) - P( 0.15 ≤ a < 0.2 ) - P( 0.143 ≤ a < 0.15 ) - P( 0.1429 ≤ a < 0.143 ) - P( 0.14286 ≤ a < 0.1429 ) - .....
= 1 - 5/6 - (1/6)(2/6) - (1/6)(1/6)(4/6) - 0 - 0 - .....
= 20/(6^3)
= 5/54

註解.
P( 0.1429 ≤ a < 0.143 ) = 0 的原因:
因為骰子無9點,所以小數第4位必為9的機率是0
之後的各項皆為0,原因類似.

作者: anyway13 時間: 2020-8-8 21:09 標題: 回復 47# Lopez 的帖子

謝謝Lopez老師,知道哪裡作錯了,謝謝您花時間指點

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