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不好意思~想請問第9,12,13,16(我覺得是對的不知有沒有錯)

引用:

原帖由 bombwemg 於 2011-6-10 05:19 PM 發表
不好意思~想請問第9,12,13,16(我覺得是對的不知有沒有錯)

9.
已知\(a,b,c\)為正數且\(a+b+c=1\)，則\(\displaystyle \left(\frac{1}{a}-1\right)\left(\frac{1}{b}-1\right)\left(\frac{1}{c}-1\right)\)的最小值為　　　。
[解答]
(1/a -1)(1/b- 1)(1/c -1)
=[(1-a)/a][(1-b)/b ][(1-c)/c]   
(因為a+b+c=1 ,所以 1-a=b+c ,1-b=a+c ,1-c=a+b)
=[(b+c)/a][(a+c)/b][(a+b)/c]
>= 2(bc)^0.5*  2(ac)^0.5*  2(ab)^0.5 /(abc)   (算幾不等式)
=8 (abc)/(abc)
=8

最小值為8

沒想到這麼好算~感謝!!

引用:

原帖由 bombwemg 於 2011-6-10 05:19 PM 發表
不好意思~想請問第9,12,13,16(我覺得是對的不知有沒有錯)

12.
設\((1+\sqrt{2})^n=a_n+b_n\sqrt{2}\)，其中\(n,a_n,b_n\)皆為正整數，則\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}=\)　　　。
[解答]
因為(1+2^0.5)^n=a_n +b_n *2^0.5 ------------(1)
由二項式定理可知
(1-2^0.5)^n=a_n  -b_n *2^0.5 -------------(2)
[(1)+(2)]/2   得a_n= [(1+2^0.5)^n+(1-2^0.5)^n]/2
[(1)- (2)]/2   得b_n = [(1+2^0.5)^n-(1-2^0.5)^n]/(2*2^0.5)
limit {n->infinity} a_n/b_n
=limit {n->infinity} 2^0.5*[(1+2^0.5)^n+(1-2^0.5)^n]/ [(1+2^0.5)^n-(1-2^0.5)^n]
=2^0.5

感覺是基本題,我居然不會....
還是謝謝橢圓先生!

12.
設\((1+\sqrt{2})^n=a_n+b_n\sqrt{2}\)，其中\(n,a_n,b_n\)皆為正整數，則\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}=\)　　　。
[解答]
我是這樣做
反正是填充題，不必計較嚴謹性
\(\displaystyle (1+\sqrt2)^n=a_n+b_n\sqrt2 \)
\(\displaystyle (1-\sqrt2)^n=a_n-b_n\sqrt2 \)
兩式相乘
\(\displaystyle (-1)^n=a_n^2-2b_n^2 \)
\(\displaystyle (\frac{a_n}{b_n})^2=2+\frac{(-1)^n}{b_n^2} \)
當n趨向無限大，後項趨近0
所以極限為\( \sqrt2 \)

13.
以銳角\(\Delta ABC\)的邊\(\overline{BC}\)為直徑作一圓，分別交另兩邊\(\overline{AB},\overline{AC}\)於\(D,E\)兩點，求證：\(\overline{DE}=\overline{BC}\cdot cos A\)。
[解答]
順手PO一下13題
因為\( \angle{ABE}=90^o-A \)
所以
\(\displaystyle DE=BC\sin{\angle{ABE}}=BC\cos{A} \)

兩行就10分

16.
若對四組資料\((1,2)\)、\((2,m)\)、\((4,n)\)、\((5,5)\)以最小平方法所求得之\(y\)對\(x\)的迴歸直線為\(\displaystyle y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\)，求樹對\((m,n)\)。
[解答]
至於16題
我是算m=3,n=2啦
至於問題出在哪，還得仔細釐清
應該是變數的觀念吧
這題很讚!!
6/10PM9:45補充
學生的作法，是去找在m+n=5的條件下，這四個點和直線的誤差平方和；
但是我們所要找的東西是這四個點和"某條直線"的誤差平方和，不是先找一條直線去算誤差最小，
否則我另外找一條直線(例如y=x)，也可以解出m,n的值。

6/11AM11:45補充
上面那句話刪除
因為沒有背公式(基本上我只有在教這東西的時候有背，教完就忘了；學生跟我抗議那他們為什麼要背，我就淡淡的說，你們要考指考啊。)
就從基本的來
假設直線為y=a+bx
計算平方和 (m+n=5順手代入會比較好)
\(\displaystyle (2-a-b)^2+(m-a-2b)^2+(n-a-4b)^2+(5-a-5b)^2 \)
\(\displaystyle =4a^2+24ab+46b^2-24a-(74+4n)b+(29+m^2+n^2) \)
\(\displaystyle =4(a^2+(6b-6)a+(3b-3))^2-4(3b-3)^2+46b^2-(74+4n)b+(29+m^2+n^2) \)
\(\displaystyle =4(a-3b+3)^2+10b^2-(4n+2)b+(m^2+n^2-7) \)
\(\displaystyle =4(a-3b+3)^2+10(b-\frac{2n+1}{10})^2-(\frac{2n+1}{10})^2+(m^2+n^2-7) \)  (102/2/13補)
上式在\( a=\frac{3}{2},b=\frac{1}{2} \)的時候有最小值
那麼\( \frac{2n+1}{10}=\frac{1}{2} \)
得到n=2,m=3

從這過程應該了解，我們是針對a,b進行分析，而不是對m,n進行分析，
所以學生的作法是錯誤的。

#16
誤差平方和的最小值應該要等於7/2
而不是3/2

3.
若\( \displaystyle A=\Bigg[\; \matrix{1 & 2 & 0 \cr 0 & 1 & 2 \cr 0 & 0 & 1} \Bigg]\; \)，則\( A^{20}= \)？

類似題，請一併準備
設\( \displaystyle I=\left[ \matrix{ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 0 & 0 & 1} \right] \)，\( \displaystyle I=\left[ \matrix{ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \cr 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \cr 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \cr 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \cr 1 & 1 & 1 & 1 & 1} \right] \)，試將方陣\( \displaystyle (I+\frac{1}{5}J)^8 \)化為\( aI+bJ \)的形式( \( a,b \in R \) )，並求出\( a,b \)之值？
(80自然組大學聯考)

若\( \displaystyle A=\Bigg[\; \matrix{2 & 1 & 1 \cr 1 & 2 & 1 \cr 1 & 1 & 2} \Bigg]\; \)，求\( A^{100}= \)？
(98全國高中聯招，http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=431)

設\( \displaystyle A=\Bigg[\; \matrix{1 & 2 & 3 \cr 0 & 1 & 2 \cr 0 & 0 & 1} \Bigg]\; \)，若\( A+A^2+A^3+...+A^{20}=\Bigg[\; \matrix{a & b & c \cr d & e & f \cr g & h & i} \Bigg]\; \)，則\( c= \)？
(100中壢高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1119&page=3#pid3412)


9.
已知\( a,b,c \)為正數且\( a+b+c=1 \)，則\( \displaystyle \Bigg(\; \frac{1}{a}-1 \Bigg)\; \Bigg(\; \frac{1}{b}-1 \Bigg)\; \Bigg(\; \frac{1}{c}-1 \Bigg)\; \)的最小值為？
(我的教甄準備之路第二部份　a+b=1求極值，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1079)
這份筆記終於中一題了


10.
因式分解\( a^{10}+a^5+1 \)？
(thepiano解答，http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&p=6111)

將\( x^8+x^4+1 \)分解為不可約因式之積：
(1)在有理數範圍內　(2)在實數範圍內　(3)在複數範圍內
(高中數學競賽教程P365)


11.
若\( \displaystyle \Bigg\{\; \matrix{x+log x=100 \cr y+10^y=100} \)，則\( x+y \)？

\( \alpha \)為\( log_2 x+x-3=0 \)之根，\( \beta \)為\( 2^x+x-3=0 \)之根，則(1)\( \alpha+\beta= \)？　(2)\( log_2 \alpha+2^{\beta} \)
(高中數學101　P105)


12.
設\( (1+\sqrt{2})^n=a_n+b_n \sqrt{2} \)，其中\( n,a_n,b_n \)皆為正整數，則\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}= \)

設n為自然數，\( \displaystyle (2+\sqrt{3})^n=x_n+y_n \sqrt{3} \)，\( x_n,y_n \)均為正整數，則\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{y_n} \)之值為？
(A)0　(B)1　(C)\(  -\sqrt{2}\)　(D)\( \sqrt{3} \)　(E)\( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} \)
(100彰化藝術高中,田中高中https://math.pro/db/thread-1152-1-1.html)
(高中數學101 P275)

可以請問依下第一題嗎??