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標題: 100臺北市陽明高中 [打印本頁]

作者: math614 時間: 2011-6-11 13:53 標題: 100臺北市陽明高中

剛考完頭好暈，但沒吃飯也要把題目趕快記下來!
我已經盡力回想了，不過還是忘了一題填充題~
提供給大家參考哦~
高手快來解題吧!

附件: 100台北市陽明高中.pdf (2024-5-24 09:56, 175.62 KB) / 該附件被下載次數 13633
https://math.pro/db/attachment.php?aid=498&k=5d717a5ac471aadbb9c52a0326f942f0&t=1732544124

作者: bugmens 時間: 2011-6-11 22:36

ellipse 解答http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2542

1.
\( x,y,z \)為正實數，則\( \displaystyle \frac{xy+2 yz}{x^2+y^2+z^2} \)的最小值為？
(奧數教程　高一　第6講　函數的最大值和最小值)

109.5.30補充
109桃園市高中聯招，https://math.pro/db/thread-3336-1-1.html

101.3.1補充
設\( x,y,z,w \)是非零實數，求\( \displaystyle \frac{xy+2yz+zw}{x^2+y^2+z^2+w^2} \)的最大值
(奧數教程　高一　第6講　函數的最大值和最小值)

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=502&k=688ee9e38cbb659b19907af76378385d&t=1732544124

作者: eggsu1026 時間: 2011-6-19 21:53 標題: 殘念解答

這題我在考完後，吃麵完才想到怎麼做！
我覺得我的解法比上面漂亮多了，所以提出來分享一下！

將分子分母同除以y^2，將x/y、z/y 視為兩個正數 a、b
則改成求 (a+2b)/(a^2+b^2+1) 之最大值
這時 (a,b) 可視為第一象限的點 (a,b)=(rcosθ,rsinθ)
代入之後得 r(cosθ+2sinθ) /( r^1+1)
因cosθ+2sinθ的最大值是√5，又r/(r^2+1)的最大值是1/2 (分子分母同除以r，再用算幾不等式)
故最大值為 √5/2

作者: sweeta 時間: 2011-9-24 15:46

不知道是不是我算錯

填充6算不出答案,還有證明題第二題是不是有少條件?

還請各位高手指點一下 , 謝謝!

作者: sweeta 時間: 2011-9-24 16:10

另外，證明第三題似乎有問題

因為我找到反例

當　n=3　時，這三人答對題數各為 0 , 4 , 6　，　則不及格人數＝優秀人數。

作者: sweeta 時間: 2011-9-29 17:46

不好意思
第六題是我寫錯
算得出答案來
^^"

作者: jen123 時間: 2011-10-6 17:33

請問計算第2題，沒有給初始條件這樣有辦法證明嗎
又，我想到的是數學歸納法，請問各位老師有其他的證明方法嗎

作者: weiye 時間: 2011-10-6 23:32 標題: 回復 7# jen123 的帖子

計算第二題，用數學歸納法的話，可以參考 thepiano 老師的解法

http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2542#p6124

作者: 老王 時間: 2012-1-8 20:47

題號有點混亂，直接寫題目
\(\displaystyle y=\frac{\sin x}{\sqrt{5+\cos x}} \)求y的範圍。

\(\displaystyle y=\frac{\sin x}{\sqrt{5+\cos x}}=\frac{\sin x}{\sqrt{4+\cos{x}+\cos^2{x}+\sin^2{x}}} \)

\(\displaystyle y=\frac{\sin x}{\sqrt{(2+\cos{x})^2+\sin^2{x}}} \)

這可以看成是圓\(\displaystyle (x-2)^2+y^2=1 \)上一點和原點連線，與x軸正向所夾有向角的正弦值，
所以最大與最小就是發生在切線的時候，直接由圖形就可以得到範圍
\(\displaystyle -\frac{1}{2} \le y \le \frac{1}{2} \)

另外，有些題目應該是記錯了，例如計算第三題，少了一個條件
"每個人答對題數的奇偶性不完全相同"

作者: 老王 時間: 2012-1-8 20:55

引用:

原帖由 eggsu1026 於 2011-6-19 09:53 PM 發表
這題我在考完後，吃麵完才想到怎麼做！
我覺得我的解法比上面漂亮多了，所以提出來分享一下！

將分子分母同除以y^2，將x/y、z/y 視為兩個正數 a、b
則改成求 (a+2b)/(a^2+b^2+1) 之最大值
這時 (a,b) 可視為第一象限的點 (a,b ...

這方法也很不錯!!!
只是高中數學競賽曾經出現過型如:
\(\displaystyle x,y,z,t \)都是正實數，求
\(\displaystyle \frac{xy+2yz+zt}{x^2+y^2+z^2+t^2} \)的最大值，
我是用bugmens大大所PO的方法去處理的。

作者: mandy 時間: 2012-1-19 11:04 標題: 請問第3題第5題第9題如何做?

請問第3題第5題第9題證明第1題如何做?

作者: weiye 時間: 2012-1-19 12:34 標題: 回復 11# mandy 的帖子

填充題第 3 題
\(log_4(x+2y)+log_4(x-2y)=1\)，求\(|\;x|\;-|\;y|\;\)的最小值為？
[解答]
\((x+2y)(x-2y)=4\Rightarrow \displaystyle \frac{x^2}{4}-y^2=1\)

且 \(x+2y>0,x-2y>0\)

亦即 \((x,y)\) 為落在圖形中右葉的雙曲線上的點

因為所求 \(|x|-|y|\) 中，\(x,y\) 變號後帶入結果不便，

且右葉圖形上下對稱，不失一般性可假設 \(x\geq0, y\geq 0\)

求雙曲線在第一象限的點帶入 \(x-y\) 後所得的最小值及為所求。

先找出 \(\displaystyle \frac{x^2}{4}-y^2=1\) 的切線中斜率為 \(1\) 者為 \(y=1\cdot x \pm\sqrt{4\cdot1^2+(-1)}\)

因此，右葉雙曲線中斜率為 \(1\) 者為 \(y=x-\sqrt{3}\Rightarrow x-y=\sqrt{3}\)

與右葉雙曲線有交點且斜率為 \(1\) 的直線 \(x-y=k\) 中，

當 \(k\) 有最小值時，即為直線在最左邊者，

此即為 \(x-y=\sqrt{3}\)

因此，\(\sqrt{3}\) 即為所求。

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=894&k=90f1b453b904394b4128f397302f2d94&t=1732544124

作者: weiye 時間: 2012-1-19 12:38 標題: 回復 11# mandy 的帖子

填充題第 5 題
一圓\(x^2+y^2+kx+2y+k^2=0\)，\(P(1,2)\)可對圓作兩條切線，則\(k\)的範圍為？
[解答]
自 P 對圓可做兩條切線，

此同義於「P位在圓的外部」

因此將 P 點帶入圓方程式，需改成＞０

再解 \(k\) 的範圍即可。

作者: weiye 時間: 2012-1-19 12:50 標題: 回復 11# mandy 的帖子

填充題第 9 題：
有20節車廂，其中5節有廁所，規定每個廁所之間至少要間隔2個車廂，則車廂有幾種排列方法？
[解答]
五間廁所，如下所列：

　　　廁　廁　廁　廁　廁

每個廁所間至少要放兩個無廁車廂～

　　　廁　無無　廁　無無　廁　無無　廁　無無　廁

因此，還剩下 \(15-8=7\) 個無廁車廂要放入由５個隔板（啊～是廁所～：Ｐ）所隔成的六個區域中，

共有 \(H^6_7=792\) 種方法。

註：感謝 wooden 於後方回覆提醒小弟的計算錯誤，現已修正。哈。

作者: wooden 時間: 2013-5-17 01:20 標題: 回復 14# weiye 的帖子

瑋岳兄,你粗心了,H(6,7)=792

作者: martinofncku 時間: 2013-5-17 23:26

請問第1題, 不等式等號成立時, x=1, y=sqrt(5), z=2 應如何求呢?

作者: weiye 時間: 2013-5-18 00:30 標題: 回復 16# martinofncku 的帖子

第 1 題
\(x\)、\(y\)、\(z\)為正實數，則\(\displaystyle \frac{xy+2yz}{x^2+y^2+z^2}\)的最大值為？
[解答]
等號成立的條件：

當解答中的兩個算幾不等式成立時，

\(\displaystyle x=\frac{y}{\sqrt{5}}, \frac{2y}{\sqrt{5}}=z\)

\(\displaystyle \Rightarrow x:y:z=1:\sqrt{5}:2\)

令 \(\displaystyle x=t, y=\sqrt{5}t, z=2t\) ，其中 \(t\) 為非零實數，

則解答中的兩個算幾不等式都會成立。

作者: martinofncku 時間: 2013-5-18 07:47

所以 x=1, y=sqrt(5), z=2 只是其中的一解?

作者: weiye 時間: 2013-5-18 11:35 標題: 回復 18# martinofncku 的帖子

是的。(對於不等式的等號，這題也只需要"存在性"，至少有一組解會滿足等號就可以了。)

作者: panda.xiong 時間: 2013-5-26 17:39 標題: 回復 13# weiye 的帖子

第五題的題目是不是有問題啊？因為代進去之後是恆正啊

作者: weiye 時間: 2013-5-26 20:15 標題: 回復 20# panda.xiong 的帖子

漏寫一點：還有要檢查那個方程式是圓。

帶進去恆正沒關係，那就是 \(k\in\mathbb{R}\) 而已。

作者: anyway13 時間: 2018-10-7 09:06 標題: 請教第4題

請問版上老師,第四題(PA向量)內積(PB向量)的最小值應該要怎麼做呢?

自己算出來角APB=90度時不就是最小值0嗎?

看過板上老師的解法,只是覺得角APB是直角時,不就應該最小嗎?

作者: thepiano 時間: 2018-10-7 10:08 標題: 回復 22# anyway13 的帖子

可以比 0 還小，參考
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2542#p6131

作者: anyway13 時間: 2018-10-7 10:43 標題: 回復 23# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師,小弟問了一個白癡問題

作者: satsuki931000 時間: 2018-12-19 17:18 標題: 回復 2# bugmens 的帖子

bugmens 老師提供的這兩題
第一題可以理解
想請問為何下面那題不能用上題類似的做法做

試驗過發現有矛盾情形

作者: thepiano 時間: 2018-12-19 20:20 標題: 回復 25# satsuki931000 的帖子

參考站長大的解法
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1051&page=1#pid4851

作者: satsuki931000 時間: 2018-12-19 21:29 標題: 回復 26# thepiano 的帖子

了解算錯在哪了~~

學到這招感覺真好

作者: satsuki931000 時間: 2018-12-21 21:52 標題: 回復 9# 老王的帖子

想請問老王老師的4+cosx+cos^2(x)+sin^2(x)
是如何變成(2+cosx)^2+sin^x的

另外想問這題有無代數的作法
個人是考慮原式為y 兩邊平方
乘開移項化簡得到y的等式因為y為實數故D>=0
可看起來答案不太對不知道是我計算有誤還是這題不能這樣想

作者: satsuki931000 時間: 2018-12-22 09:03 標題: 回復 28# satsuki931000 的帖子

看過原本題目沒問題了抱歉打擾到各位

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