Math Pro 數學補給站

標題: 99建中市內教甄 [打印本頁]

作者: Fermat 時間: 2011-6-3 14:13 標題: 99建中市內教甄

這是去年考完考憑記憶記下的考題
當時約有11~12位報考數學科
取4位進複試 (不過後來記得國英數錄取人員從缺)
因以後應該不會再考甄試了
所以就把原本秘傳的考題提供給大家參考

附件: 99建中內教甄.pdf (2011-6-3 14:13, 74.73 KB) / 該附件被下載次數 12227
https://math.pro/db/attachment.php?aid=427&k=f7e354790cf472d814dd2af0b147410b&t=1732295449

作者: Fermat 時間: 2011-6-3 21:29

sorry
填充第二題參考答案應更正為21*13=273才對！

作者: tsusy 時間: 2012-5-23 14:45 標題: 回復 2# Fermat 的帖子

今天正好練習這份試題，先感謝 Fermat 記下題目

填充 7. 8 參考答案是否錯誤，以下是小弟的計算

填充 7. \(\displaystyle \int_0^\pi \pi \left( 1^2 - (1-\sin x)^2 \right) dx = \pi \int_0^\pi 2\sin x-\sin^2 xdx =\pi(4-\frac{\pi}{2}) \)

填充 8.有五對，所以任選 3 對使其恰相鄰，因此答案應該 \( 10 = C^5_3 \) 之倍數才是

先選 3 對相鄰的：\( C^5_3 \)

三對有逆時針和順時針有兩種不同情況：\( 2 \)

此三對夫婦可互換位置 \( 2^3 \)

此時環狀上有三個間隔，可讓剩於兩對入座，
分作三種可能：1. 四人於一間隔，恰間隔作 ABab 大小寫及不同字母換序  \( C^3_1\cdot 4\cdot 2 \)
                        2. 四人分於二間隔 ABa, b 或 AB, ab 大小寫和不同字母換序 \( P^3_2\cdot 4\cdot 2 + C^3_2\cdot 4\cdot 2 \cdot2 \)
                        3. 四人分於三間隔  AB, a,b 大小寫和不同字母換序 \( 3 \cdot 4\cdot 2 \cdot2 \)

因此總數為 \( C^5_3 \cdot 2 \cdot 2^3 \cdot (24+96+48) = 26880 \)

感謝老王老師提醒第 8 題有計算錯誤，已修正之。

作者: rudin 時間: 2012-5-24 20:33 標題: 請問填充2，4兩題

作者: weiye 時間: 2012-5-24 21:29 標題: 回復 4# rudin 的帖子

填充第 2 題老王老師解過：http://lyingheart6174.pixnet.net/blog/post/5121790

作者: tsusy 時間: 2012-5-24 21:32 標題: 回復 4# rudin 的帖子

填充 4. 是黎曼和轉成積分來計算的問題

方法見於 https://math.pro/db/thread-1340-1-1.html

填充 2. 直線之上的相鄰兩個格子點的的間距為 \( (21,-13) \)

可以去考慮在第一象限中，線上最左邊的格子點的位置

作者: rudin 時間: 2012-5-24 22:08

謝謝你們！

作者: shingjay176 時間: 2014-3-2 18:56

第三題
A={n:1=<n=<2010},A的所有子集的最大元素的算術平均數為S，則最接近S的整數為
寸絲老師整理講義解出來的答案是2009。
我疑惑是空集合中最大元素要取??
還有這一題目，該不會是暴力法寫出來找規則嗎???

作者: weiye 時間: 2014-3-2 19:50 標題: 回復 8# shingjay176 的帖子

空集合沒有最大元素，因此不用算。

規律不是用暴力法找的，是如下：

對於 \(A\) 中的元素 \(k\)，以 \(k\) 為最大元素的 \(A\) 的子集合個數有 \(2^{k-1}\) 個，

因為比 \(k\) 小的 \(k-1\) 個元素每個都可以選擇「放入」或「不放入」該子集合當中，
（當然 \(k\) 本身要放進去，而比 \(k\) 大的元素絕對不要放進去。）

因此，以 \(k\) 為最大元素的 \(A\) 的子集合個數有 \(2^{k-1}\) 個，

所以，在計算算數平均數的時候， \(k\) 會被算 \(2^{k-1}\) 次，

因此　\(S=\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^{2010} 2^{k-1}\cdot k}{\displaystyle\sum_{k=1}^{2010} 2^{k-1}}\)，

剩下分子（錯位相減法）、分母（等比級數）分別化簡的步驟並不難。

作者: 瓜農自足 時間: 2014-10-8 22:42

想請教第二題。 PS: 老王部落格被吞沒了，寸絲師說明也沒看懂，故此問。

圖片附件: 2014-10-08_223958.jpg (2014-10-8 22:42, 11.01 KB) / 該附件被下載次數 7530
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2556&k=3297dd503df1b94d2a202279793ba5f1&t=1732295449

作者: thepiano 時間: 2014-10-9 10:14 標題: 回復 10# 瓜農自足的帖子

第 2 題
先考慮由 (0，65) 和 (105，0) 所連成的直線 13x + 21y = 1365
x 每多 21，y 就少 13
故它通過 (0，65)、(21，52)、(42，39)、(63，26)、(84，13)、(105，0)
其中在第一象限的是 (21，52)、(42，39)、(63，26)、(84，13) 這 4 點

若 x 多 13，y 少 8，那麼 13x + 21y 就會多 1
故直線 13x + 21y = 1366
在第一象限會通過 (13，57)、(34，44)、(55，31)、(76，18)、(97，5)
:
:
由 (0，78) 和 (126，0) 所連成的直線 13x + 21y = 1638
它通過 (0，78)、(21，65)、(42，52)、(63，39)、(84，26)、(105，13)、(126，0)
其中在第一象限的是 (21，65)、(42，52)、(63，39)、(84，26)、(105，13) 這 5 點

而 13x + 21y = 1639
在第一象限會通過 (13，70)、(34，57)、(55，44)、(76，31)、(97，18)、(118，5) 這 6 點

故所求 = 1638 - 1365 = 273

作者: weiye 時間: 2014-10-9 11:33 標題: 回復 10# 瓜農自足的帖子

過五個格點的直線 @ 王的夢田 :: 痞客邦 PIXNET ::
http://lyingheart6174.pixnet.net/blog/post/5121790

供參。

作者: mathca 時間: 2015-12-13 16:11 標題: 回復 1# Fermat 的帖子

請教計算證明第2題，感謝。

作者: superlori 時間: 2015-12-13 19:17 標題: 回復 13# mathca 的帖子

提示：
(1)勘根
(2)線性規劃
(3)斜率

作者: thepiano 時間: 2015-12-13 20:07 標題: 回復 13# mathca 的帖子

計算第2題
\(\begin{align}
  & -\left( a+1 \right)={{x}_{1}}+{{x}_{2}}>1 \\
& a<-2 \\
\end{align}\)

\(\begin{align}
  & f\left( x \right)={{x}^{2}}+\left( a+1 \right)x+a+b+1 \\
& f\left( 0 \right)=a+b+1>0 \\
& f\left( 1 \right)=2a+b+3<0 \\
&  \\
& -a-1<b<-2a-3 \\
& -2-\frac{3}{a}<\frac{b}{a}<-1-\frac{1}{a} \\
& -2<\frac{b}{a}<-\frac{1}{2} \\
\end{align}\)

作者: mathca 時間: 2015-12-13 22:31 標題: 回復 15# thepiano 的帖子

請教最後兩式，如何
-2-3/a.....-1-1/a
變成
-2.......-1/2
上下界確定用到什麼樣的看法。
(上界：a<-2 => 1/a >-1/2 => -1/a<1/2 => -1-1/a<-1+1/2=-1/2 )不知是否正確。
下界：.......
感謝。

作者: thepiano 時間: 2015-12-14 09:55 標題: 回復 16# mathca 的帖子

\(\begin{align}
& a\to -2\ ,\ -1-\frac{1}{a}\to -\frac{1}{2} \\
& a\to -\infty \ ,\ -2-\frac{3}{a}\to -2 \\
\end{align}\)

作者: mathca 時間: 2015-12-14 17:05 標題: 回復 17# thepiano 的帖子

了解!!感謝!!

作者: mathca 時間: 2015-12-28 12:20 標題: 回復 1# Fermat 的帖子

請教計算第1題的第(2)小題，用第一小題結果，
AH/HD + BH/HE +CH/HF = cosC/cosA*cosB + cosC/cosA*cosB + cosC/cosA*cosB
....之後是算術平均數，或是通分處理，目前都卡住。
感謝。

作者: thepiano 時間: 2015-12-28 14:39 標題: 回復 19# mathca 的帖子

計算第 1 題的第 (2) 小題
原式即證明\(\displaystyle \frac{\overline{AD}}{\overline{HD}}+\frac{\overline{BE}}{\overline{HE}}+\frac{\overline{CF}}{\overline{HF}}\ge 9\)
利用\(\displaystyle \frac{\overline{HD}}{\overline{AD}}+\frac{\overline{HE}}{\overline{BE}}+\frac{\overline{HF}}{\overline{CF}}=1\)及柯西不等式

作者: mathca 時間: 2015-12-28 15:34 標題: 回復 20# thepiano 的帖子

再請教 HD/AD + HE/BE+ HF/CF = 1 如何得證。感謝。

作者: thepiano 時間: 2015-12-28 16:08 標題: 回復 21# mathca 的帖子

利用三角形高長的比 = 面積的比

作者: mathca 時間: 2015-12-28 17:44 標題: 回復 22# thepiano 的帖子

三角形ABC  =  三角形BHC + 三角形CHA + 三角形 AHB
                  =  三角形ABC*HD/AD + 三角形ABC*HE/BE+ 三角形ABC*HF/CF....用到面積比
=> 1 = HD/AD + HE/BE+ HF/CF  得證。 ....應該是這樣吧!!....

連Hint 都是一個小證明!!

作者: mathca 時間: 2016-1-5 19:38 標題: 回復 1# Fermat 的帖子

請教填充第6題的M，感謝。

作者: thepiano 時間: 2016-1-5 21:39 標題: 回復 24# mathca 的帖子

第 6 題
另一焦點 F'(-3，0)
設直線 AF' 交橢圓於 P_1 和 P_2，其中 P_1 在第二象限，P_2 在第三象限
P_1 就是 PA + PF 最小時的 P 點
P_2 就是 PA + PF 最大時的 P 點

歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/)

論壇程式使用 Discuz! 6.1.0