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標題: 100北一女中 [打印本頁]

作者: Fermat 時間: 2011-6-2 19:46 標題: 100北一女中

只有填充題部份8題
如附件

附件: [100北一女中] 北一女中100學年度教師甄試筆試數學科測驗題暨答案.pdf (2011-6-2 19:46, 134.91 KB) / 該附件被下載次數 13583
https://math.pro/db/attachment.php?aid=419&k=80b67026e489e0591c191c5506b45d8c&t=1732515099

作者: Fermat 時間: 2011-6-2 19:55 標題: 回復 1# Fermat 的帖子

1.
自然數中，若含有比5大的質因數，則把他去掉，剩下的自然數由小到大排成一數列\(\langle\;b_n\rangle\;=\langle\;1,2,3,4,5,6,8,\ldots\rangle\;\)，則\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{b_n}=\)　　　
[解答]
原式=(1+1/2+1/2^2+...)(1+1/3+1/3^2+...)(1+1/5+1/5^2+...)=15/4

8.
\(\displaystyle S=\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{10000}}\)，則\([S]=\)　　　([]為高斯符號)
[提示]
94台南一, 97省四區口試, 各校教甄常考題

補一下3,5,6的想法
3.
以\(x^2+4y^2=12\)的焦點為焦點，且過直線\(L\)：\(x-y+9=0\)的一點\(M\)作一橢圓。欲使橢圓的長軸最短，則橢圓的方程式為　　　。
[解答]
設此橢圓Γ：x^2 /(12+t)+y^2 /(3+t)=1, t實數, 其兩焦點F(3,0), (-3,0)
L：y=x+9
Γ, L相切時，橢圓長軸最短
=> 斜率為1的切線y=1*x+-sqrt[(12+t)*1^2+(3+t)]
=> sqrt[(12+t)*1^2+(3+t)]=9
=> 2t+15=81, t=33
=> Γ：x^2 /45+y^2 /36=1

5.
正八面體\(ABCDEF\)的邊長為2，如圖，已知\(A\)為原點，\(ADE\)為\(xy\)平面上的點，\(B\)為\(yz\)平面上的點，則點\(B\)到\(y\)軸的距離=　　　。
[解答]
設正八面體任兩相鄰面所夾二面角為θ
=> cosθ=(3+3-8)/[2*sqrt(3)*sqrt(3)]=-1/3, sinθ=2sqrt(2) /3
所求=sqrt(3)sinθ=2sqrt(6) /3

6.
兩正方形\(ABCD\)與\(EFGH\)邊長均為1，其中\(ABCD\)固定平放在直線\(L\)上，如圖所示。若正方形\(EFGH\)之一頂點\(H\)在\(\overline{CD}\)上移動，且另一頂點\(G\)在直線\(L\)上移動，當\(\overline{BE}=\overline{BF}\)時，\(\overline{CG}=\)　　　
[解答]
因BE=BF, 所以B在EF中垂線上
=> B在HG的中垂線上 => BH=BG
設CG=a, CH=b
=> 1+b^2=BH^2=BG^2=(1+a)^2
=> b^2=a^2+2a, a^2+b^2=1
=> 2a^2+2a-1=0
=> a=[-1+sqrt(3)]/2

作者: bugmens 時間: 2011-6-2 21:58

7.
求首項係數為2，且滿足\( 4f(1)=3f(2)=2f(3)=f(4) \)的三次多項式\( f(x) \)？
[解答]
\( f(1):f(2):f(3):f(4)=3:4:6:12 \)
\( \matrix{f(0) & & f(1) & & f(2) & & f(3) &  & f(4) \cr
0 & & 3 & & 4 & & 6 & & 12 \cr
& 3 & & 1 & & 2 & & 6 & \cr
& & -2 & & 1 & & 4 & &  \cr
& & & 3 & & 3 & & &  } \)
\( \displaystyle C_0^n \times 0+C_1^n \times 3+C_2^n \times -2+C_3^n \times 3=\frac{1}{2}n^3-\frac{5}{2}n^2+5n \)
但首項係數要為2，同乘4倍得\( 2n^3-10n^2+20n \)

8.
\( \displaystyle S=\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{10000}} \)，則[S]=？
看完題目請在5秒鐘內把\( 2 (\sqrt{10000}-1)=198 \)填入空格
歷屆試題請見https://math.pro/db/thread-156-1-1.html

作者: Fermat 時間: 2011-6-3 09:58 標題: 回復 3# bugmens 的帖子

第7題bugmens大的作法(祕招)我參不透(為何可設f(0)=0？), 只好土法煉鋼
我是先設f(1)=3t, f(2)=4t, f(3)=6t, f(4)=12t
作三次差分
3t　4t　6t　12t
　t　 2t　 6t
　　t　 4t
　　　3t
得3t=constant=12 (相當於將f微三次)
=> t=4
再利用牛頓插值法
令f(x)=2(x-1)(x-2)(x-3)+b(x-1)(x-2)+c(x-1)+d
由f(1)=12, f(2)=16, f(3)=24解得b=2, c=4, d=12
=> f(x)=2x^3-10x^2+20x

作者: rudin 時間: 2011-6-3 14:37 標題: 第2題只算出2，1/2不知如何算出？

第2題只算出2，1/2不知如何算出？

作者: Fermat 時間: 2011-6-3 14:45 標題: 回復 5# rudin 的帖子

我也只算出2, 看不出為何有1/2

作者: rudin 時間: 2011-6-3 14:54 標題: 第四題有人可以提示一下嗎？

第四題有人可以提示一下嗎？謝謝！

作者: chu1976 時間: 2011-6-3 19:36

第2題
已知\(\displaystyle A(a,b),B(-a,b),C(0,\frac{1}{2})\)為橢圓\(\Gamma\)：\(x^2+4y^2=1\)上的三點，若過\(A,B,C\)三點的圓半徑為\(r\)，則\(\displaystyle \lim_{a\to 0}r=\)　　　。
[解答]
當A,B兩點逼近短軸下方頂點時,r-->1/2

附件: 11.pdf (2011-6-4 09:57, 15.58 KB) / 該附件被下載次數 11594
https://math.pro/db/attachment.php?aid=430&k=4a180d51f8c3e9e8df3ba4dcce9ba41b&t=1732515099

作者: Fermat 時間: 2011-6-3 21:35 標題: 回復 8# chu1976 的帖子

剛剛算了一下
逼近短軸下方頂點時
r還是2 (其實由對稱性答案應該和上方頂點一樣)
您要不要再check一下？
－－－－－－－－－－－

100.6.4

謝謝chu1976大的提醒
我知道我的盲點在那裡了
我一直以為a -> 0, 等價於A->C, B->C(也可算是受圖形誤導), 故b->1/2
實際上應該是a -> 0 <=> b -> +-1/2
所以這題答案2或1/2沒錯
昨天還以為答案有誤呢

作者: Fermat 時間: 2011-6-3 22:35 標題: 回復 7# rudin 的帖子

4.
已知曲線\(f(x)=x^4+4x^3-16x^2+6x-5\)在\(x=s\)與\(x=t\)(其中\(s\ne t\))時的切線重合，求\(|\;s-t|\;=\)　　　
[解答]
過(s, f(s))的切線為y=f(s)+f'(s)(x-s)
與y=f(x)=x^4+4x^3-16x^2+6x-5在x=s,t 各有兩切點
故x^4+4x^3-16x^2+[6-f'(s)]x-5-f(s)+sf'(s)=[(x-s)(x-t)]^2=x^4-2(s+t)x^3+(s^2+t^2+4st)x^2+... (因s,t分別為兩重根)
比較係數得
s+t=-2, (s+t)^2+2st=-16 => st=-10
=> |t-s|=sqrt[(t+s)^2-4st]=sqrt(44)=2sqrt(11)

作者: Fermat 時間: 2011-6-3 23:13

已知\(\displaystyle A(a,b),B(-a,b),C(0,\frac{1}{2})\)為橢圓\(\Gamma\)：\(x^2+4y^2=1\)上的三點，若過\(A,B,C\)三點的圓半徑為\(r\)，則\(\displaystyle \lim_{a\to 0}r=\)　　　。

補第二題的想法
首先知a^2+4b^2=1,
因AC斜率為(b-1/2)/a=(2b-1)/(2a), AC中點(a/2, (b+1/2)/2)
=> AC中垂線為y-(b+1/2)/2=[(-2a)/(2b-1)](x-a/2)
代x=0(AB中垂線), 解得圓心坐標( 0, (4a^2+4b^2-1)/(8b-4) )=( 0, (3-12b^2)/(8b-4))
因a->0 時, b->+-1/2
lim(b->-1/2) [(3-12b^2)/(8b-4)]=0
lim(b->1/2) [(3-12b^2)/(8b-4)]=lim(b->1/2) [(-24b)/8]=-3/2 (L'hospital's Rule)
故lim(a->0) (r) =lim(b->+-1/2) (r)
=1/2-0 或 1/2-(-3/2)
=1/2 或 2

作者: 亮亮 時間: 2011-6-3 23:24

第二題的
我在想是當a->0 趨近短軸上半頂點，三點的外接圓會趨近於r＝1/2的圓

作者: mandy 時間: 2011-6-6 15:12

[quote]原帖由 Fermat 於 2011-6-2 07:55 PM 發表

請問第3題的解法中 :
" '=> 斜率為1的切線y=1*x+-sqrt[(12+t)*1^2+(3+t)] " 如何得的 ?

作者: dream10 時間: 2011-6-6 19:37

引用:

原帖由 mandy 於 2011-6-6 03:12 PM 發表
[quote]原帖由 Fermat 於 2011-6-2 07:55 PM 發表

請問第3題的解法中 :
" '=> 斜率為1的切線y=1*x+-sqrt[(12+t)*1^2+(3+t)] " 如何得的 ?

橢圓的切線公式

y=mx士sprt(m^2)*A+B

作者: Ellipse 時間: 2011-6-8 00:34

引用:

原帖由 Fermat 於 2011-6-3 09:58 AM 發表
第7題bugmens大的作法(祕招)我參不透(為何可設f(0)=0？), 只好土法煉鋼
我是先設f(1)=3t, f(2)=4t, f(3)=6t, f(4)=12t
作三次差分
3t　4t　6t　12t
　t　 2t　 6t
　　t　 4t
　　　3t
得3t=constant=12 (相當於將f微 ...

巴貝奇定理:
f(0) -4 f(1) +6 f(2) -4 f(3) + f(4)=0-----------(*)
將題目的數據丟入(*)
可得f(0)=0

作者: 沙士 時間: 2011-11-1 17:53 標題: 回復 3# bugmens 的帖子

請問b大
第7題解的倒數第二行
這個式子是如何跑出來的？？
小弟慧根較短~~~~~感謝

作者: tsusy 時間: 2011-11-2 14:52 標題: 回復 16# 沙士的帖子

仔細推敲一下 bugmens大所寫的，背後應該是插值多項式和差分。

令 \( f_{n}=f(n)=c_{0}C^n_0+c_{1}C^n_1+c_{2}C^n_2+c_{3}C^n_3 \)，其中 \( C^n_k=\frac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{k!} \) 。

大家都知道三次多項式，三次差分為常數，但仔細看一下差分究竟跑出什麼東西…就有可能從那些差分的的結果湊出三次式。

遞迴定義差分 \( \Delta^{k+1}a_{n}=\Delta^{k}a_{n+1}-\Delta^{k}a_{n}, \Delta^{0}a_{n}=a_{n} \)。

Pascal 定理 \( \Rightarrow\Delta C^n_{k+1}=C^n_k \)。由此可得以下：

當差分的次數為 \( k \) 時，\( \Delta^{k} C^n_k= C^n_0=1 \)。

當差分的次數 \( l<k \) 時， \( \Delta^{l}C^n_k \Rightarrow C^n_{l-k} \Rightarrow \Delta^{l} C^n_k\mid_{n=0}=0 \)。

當差分的次數 \( l>k \) 時，\( \Delta^{l} C^n_k \)。

因此 \( \Delta^{k}f(0)=c_{k} \), for \( k=0,1,2,3 \)。

回覆 4# Fermat 的帖子

看起 bugmens 大，是用三次差分為常數，也就是最左邊那排數字是等 f(1)~f(4) 差分做完後才寫的。

不知道有沒有猜錯？

打完這篇，又學到一招了，真是令人高興！！
(\binom 不能用，只好改成 C 了)
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前幾天有人問了寸絲 101 台中一中 \( \sum k^4 \) 怎麼做

https://math.pro/db/thread-1334-1-1.html

不知道，怎麼了，就答了用這招 + Pascal 定理

更神奇的是，閃出這個東西到底是什麼了，

這個方法，其實就是好幾年前，在大學時，學牛頓插值多項式的數值算法

也是牛頓插值多項式優於拉格朗日多項式的地方，當多了一個插值點時，計算不用重做

只要加進去，補到後面，繼續差分就好了，

真是感嘆...想不到東西已經還給老師，看到這個手法這麼久了，現在才想起來

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-2 04:52 PM 編輯 ]

作者: waitpub 時間: 2012-4-11 22:58 標題: 請問第5題

所求=sqrt(3)sinθ=2sqrt(6) /3
====>請問這一步是怎麼來的?謝謝。

作者: tsungshin 時間: 2012-4-12 22:12 標題: 回復 18# waitpub 的帖子

正八面體\(ABCDEF\)的邊長為2，如圖，已知\(A\)為原點，\(A,D,E\)為\(xy\)平面上的點，\(B\)為\(yz\)平面上的點，則點\(B\)到\(y\)軸的距離=　　　
[解答]
八面體與xy平面的夾角為(180度-θ)    其中θ為正八面體任意兩面之夾角
所求=正三角形的中線長*sin(180度-θ)
      =sqrt(3) *sin(180度-θ)
      =sqrt(3) *sinθ       其中θ 滿足 cosθ = -1/3
      =2*sqrt(6) /3
                              #

作者: wooden 時間: 2013-5-5 21:14

[quote]原帖由 Fermat 於 2011-6-2 07:55 PM 發表

1. 原式=(1+1/2+1/2^2+...)(1+1/3+1/3^2+...)(1+1/5+1/5^2+...)=15/4

請問為何是相乘?而不是相加起來?

作者: tsusy 時間: 2013-5-5 23:36 標題: 回復 20# wooden 的帖子

把它真的展開看看，和要算的式子是否相同

作者: wooden 時間: 2013-5-5 23:58 標題: 回復 21# tsusy 的帖子

我知道它的由來了，
感謝你

作者: johncai 時間: 2014-1-14 13:23

不好意思。
我想請教一下第4題
為何s跟t都是雙重根？
先謝謝了。

作者: weiye 時間: 2014-1-14 14:54 標題: 回復 23# johncai 的帖子

4.
已知曲線\(f(x)=x^4+4x^3-16x^2+6x-5\)在\(x=s\)與\(x=t\)(其中\(s\ne t\))時的切線重合，求\(|\;s-t|\;=\)　　　

將以 \((s, f(s))\) 為切點的切線方程式 \(y-f(s) = f\,'(s) (x-s)\)

帶入 \(y=f(x)\) 可得 \(f(x)-f(s)-f\,'(s)(x-s)=0\)

因為相切，可知 \(f(x)-f(s)-f\,'(s)(x-s)=0\) 有 \(x=s\) 的重根，

同理，\(f(x)-f(t)-f\,'(t)(x-t)=0\) 有 \(x=t\) 的重根，

因為以 \((s, f(s))\) 為切點的切線與以 \((t, f(t))\) 為切點的切線相同，

所以 \(y-f(s) = f\,'(s) (x-s)\) 與 \(y-f(t) = f\,'(t) (x-t)\) 相同，

可知 \(f(x)-f(s)-f\,'(s)(x-s)=0\) 有 \(x=s\) 的重根，也有 \(x=t\) 的重根，

又因為 \(f(x)-f(s)-f\,'(s)(x-s)=0\) 為\(x\) 的四次方程式，且 \(s\neq t\)，

因此 \(f(x)-f(s)-f\,'(s)(x-s)=0\) 有 \(x=t\) 二重根與 \(x=s\) 的二重根

\(\Rightarrow f(x)-f(s)-f\,'(s)(x-s)=(x-t)^2(x-s)^2\)

後面續原 #10 回覆。

作者: aliher327 時間: 2024-2-28 22:18 標題: 正八面體題目請教

如右圖，有一正八面體\(ABCDEF\)的稜長為2，已知\(A\)在原點上，\(A,D,E\)皆落在\(xy\)平面上，\(C\)為\(xz\)平面上的一點，試求點\(C\)到\(x\)軸的距離為　　　。

空間座標一題請教

113.3.31
題目和100北一女第5題相同，故將文章合併。

圖片附件: 20240228.png (2024-2-28 22:18, 101.46 KB) / 該附件被下載次數 492
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6876&k=a298c3f6379d1937f2729c36ebbcfc87&t=1732515099

作者: BambooLotus 時間: 2024-2-28 23:10

把\( C \)對\( x \)軸作垂線，利用正八面體兩面角\( \cos\theta=-\frac{1}{3} \)
再配上三垂線，就知道所求是\( \sqrt{3}\times\frac{2\sqrt{2}}{3} \)

不過去年段考我出這題，有學生反應示意圖有問題，因為以這種情形來看其實\( \overline{AE} \)會在\( y \)軸上

作者: aliher327 時間: 2024-2-29 00:12 標題: 回覆 2# BambooLotus 的帖子

謝謝您的回霺

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