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標題: 100中壢高中 [打印本頁]

作者: johncai 時間: 2011-5-30 19:36 標題: 100中壢高中

想詢問填充5,9和12
算不出來
謝謝

[ 本帖最後由 johncai 於 2011-5-30 07:55 PM 編輯 ]

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作者: 老王 時間: 2011-5-30 22:07

填充5
如圖，因為對稱於原點，所以EF=GH且AB=CD
所以EF=AB/2
又ABEF共線，所以只要算x坐標或是y坐標就好
\(\displaystyle \frac{k+2}{3}-\frac{k-2}{3}=\frac{k}{2} \times \frac{1}{2} \)
\(\displaystyle k=\frac{16}{3} \)

感謝johncai的提醒

[ 本帖最後由老王於 2011-5-30 11:50 PM 編輯 ]

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作者: 老王 時間: 2011-5-30 23:01

填充12
考慮生成函數
\(\displaystyle x^{18}+3x^{17}+6x^{16}+10x^{15}+15x^{14}+21x^{13}+25x^{12}+27x^{11}+27x^{10}+25x^9+21x^8+15x^7+10x^6+6x^5+3x^4+x^3 \)
要分解成三個較低次數的多項式相乘，
直接猜測有一般的骰子
也就是有\(\displaystyle x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x \)這個因式
實際去試，得到生成函數為
\(\displaystyle (x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x)^3 \)
就確定可以選擇一個為一般的
剩下兩個，就再分解合併就是
\(\displaystyle (x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x)^2=x^2(x+1)^2(x^2+x+1)^2(x^2-x+1)^2 \)
要領是要分成兩組係數和為6的多項式
因為因式裡面有兩個係數和為2，兩個為3
所以各取一個湊在一起成為\(\displaystyle (x+1)(x^2+x+1)=x^3+2x^2+2x+1 \)
而那個x^2是要最後再分給那兩個多項式的
只剩下\(\displaystyle (x^2-x+1)^2 \)要分配
如果拿一個分配給剛剛挑出來的
那麼就會變成一般的骰子，不合題意；
所以就把剩下的通通放在一起，也就是
\(\displaystyle (x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)^2=(x^7+x^5+x^4+x^3+x^2+1) \)
最後各乘上x得到
\(\displaystyle x^4+2x^3+2x^2+x \)
\(\displaystyle x^8+x^6+x^5+x^4+x^3+x \)
所以一顆為1,2,2,3,3,4
一顆為1,3,4,5,6,8
還有1,2,3,4,5,6

[ 本帖最後由老王於 2011-5-30 11:10 PM 編輯 ]

作者: weiye 時間: 2011-5-30 23:27

填充第 9 題：（有點暴力的解法～一直使用分項對消法～哈！）

因為 \(\displaystyle k^2=(k+2)(k+1)-3(k+1)+1\)

所以，

\(\displaystyle k^2 C^k_3 = k^2\cdot \frac{k(k-1)(k-2)}{3\cdot2\cdot1}\)

　　　\(\displaystyle =\frac{1}{6}(k+2)(k+1)k(k-1)(k-2)-\frac{1}{2}(k+1)k(k-1)(k-2)+\frac{1}{6}k(k-1)(k-2)\)

　　　\(\displaystyle =\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}\Big((k+3)(k+2)(k+1)k(k-1)(k-2)-(k+2)(k+1)k(k-1)(k-2)(k-3)\Big)\)

　　　　\(\displaystyle -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5}\Big((k+2)(k+1)k(k-1)(k-2)-(k+1)k(k-1)(k-2)(k-3)\Big)\)

　　　　\(\displaystyle +\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{4}\Big((k+1)k(k-1)(k-2)-k(k-1)(k-2)(k-3)\Big)\)

所求 \(\displaystyle =\frac{1}{36}\left(21\cdot20\cdot19\cdot18\cdot17\cdot16-5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1\cdot0\right)\)

　　　　\(\displaystyle -\frac{1}{10}\left(20\cdot19\cdot18\cdot17\cdot16-4\cdot3\cdot2\cdot1\cdot0\right)\)

　　　　\(\displaystyle +\frac{1}{24}\left(19\cdot18\cdot17\cdot16-3\cdot2\cdot1\cdot0\right)\)

　　 \(=903108.\)

作者: johncai 時間: 2011-5-30 23:35 標題: 回復 2# 老王的帖子

應該是(k+2/3)-(k-2/3)=k/2*1/2

作者: 老王 時間: 2011-5-30 23:47

第9題
其實以我的錯誤情況，乾脆直接乘開計算

用瑋岳老師以前PO過的方法
令\(\displaystyle f(x)=\sum_{k=3}^{18} (1+x)^k \)
然後考慮
\(\displaystyle (1+x)((1+x)f'(x))' \)的x^3項係數

可是我算到第四次才出現正確答案~~~真困難!!!

作者: Fermat 時間: 2011-5-31 00:32 標題: 回復 3# 老王的帖子

這不就是考薛骰(Sicherman Dice)嗎？
背起來就不用算了
背不起來我現場也算不出來

這篇科展有相關資料
http://science.ntsec.edu.tw/ezfiles/4/1004/attach/56/94013.pdf

作者: JOE 時間: 2011-5-31 02:07

第九題暴力另解
K^2C(k,3)=(k+2)(k+1)C(k,3)-3(k+1)C(k,3)+C(k,3)
               =20C(k+2,5)-12C(k+1,4)+C(k,3)
將上式k=3~18累加後:原式=20C(21,6)-12C(20,5)+C(19,4)=19x3x17x4x233=903108
                                                                                                   (將三項列式後,先提公因數)
不好意思不知道怎麼打符號  很凌亂
想請問填充第四,第八

作者: JOE 時間: 2011-5-31 02:20

自己回第四題
將左式展開後:C(n,0)m^0‧n^n+C(n,1)m^1‧n^(n-1)+‧‧‧+C(n,n-1)m^(n-1)‧n=2320
觀察可得左式必為n^2之倍數又2320=2^4‧5‧29
因此n必為2或4 代回原式可得(m,n)

作者: JOE 時間: 2011-5-31 03:28

請問第六題的解法

我討論的方法如下覺得容易錯
首先利用對稱性改討論 x+y+z+u=12的狀況接著列出所有可能點數的組合
(1119),(1128),(1137),...,(1344),(2226),(2235),(2244),(2334),(3333)
再依條件討論xyzu可能的排列狀況,加總之.

作者: bugmens 時間: 2011-5-31 06:42

4.\( n,m \in N \)，若\( (m+n)^n=m^n+2320 \)，求所有可能的數對\( (m,n) \)為？

試求出所有正整數\( m,n \)，使\( (m+n)^n=m^n+2000 \)
(89北一女數學競試，http://203.64.52.1/~math/exam/group2/page2.htm)

作者: dtc5527 時間: 2011-5-31 08:21

請教填充2如何計算
其中有三組相異實數解的條件如何使用><

作者: weiye 時間: 2011-5-31 08:41 標題: 回復 10# JOE 的帖子

第 6 題：

令 \(x'=6-x, y'=7-y,z'=8-z, u'=9-u,\)

則 \(0\leq x'\leq 5, 0\leq y'\leq 6, 0\leq z'\leq 7, 0\leq u'\leq 8,\)

且 \(x'+y'+z'+u'=6+7+8+9-22=8\)

所求 \(=H_8^4-H_2^4-H_1^4-H_0^4=150.\)

　　　（任意－ \(x'\) 爆掉－ \(y'\) 爆掉－ \(z'\) 爆掉）

作者: weiye 時間: 2011-5-31 09:05 標題: 回復 12# dtc5527 的帖子

第 2 題：

\(\displaystyle \cot 2\theta=\frac{0-0}{1}=0\Rightarrow \theta=45^\circ\)

轉軸 \(45^\circ\) 之後，

\(xy=x+y\) 會變為 \(\displaystyle \frac{1}{2}x'^2-\frac{1}{2}y'^2=\left(\frac{\sqrt{2}x'}{2}+\frac{\sqrt{2}y'}{2}\right)+\left(\frac{\sqrt{2}x'}{2}-\frac{\sqrt{2}y'}{2}\right)\)

　　　　　　　\(\displaystyle \Rightarrow \frac{\left(x'-\sqrt{2}\right)^2}{2}-\frac{y'^2}{2}=1\)

　　　　　　　畫出圖形如下：

　　　　　　　

\(x^2+y^2=a\) 經旋轉之後，方程式仍為 \(x'^2+y'^2=a\)

所以，所求即為上述雙曲線之貫軸長的平方＝\(\left(2\sqrt{2}\right)^2=8.\)

註：如果不旋轉，可以經由 \(xy=x+y\Rightarrow (x-1)(y-1)=1\) 看出其為「中心點在 \((1,1)\)，貫軸是 \(x=y\) 直線，通過原點」的等軸雙曲線，

　　再畫圖之後，求 \(x=y\) 直線與 \(xy=x+y\) 的交點，得雙曲線的兩頂點，進而得貫軸長。

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作者: pgcci7339 時間: 2011-5-31 21:36

想請問填充第8題和第10題，謝謝：)

作者: dtc5527 時間: 2011-6-1 08:35

再請教填充2
可否利用代數形式來解
令x+y=xy=t
類似100慈濟考題填充2(ㄚ也是填充2真巧)的方式來解
但最後如何判定三個解?

作者: wbyeombd 時間: 2011-6-1 13:26

我想請教一下
壢中第8題應該怎麼解呢？
如果是考古題的話...
請跟我說出處年份及學校吧！
我會努力去找到滴...

作者: dtc5527 時間: 2011-6-1 13:56 標題: 回復 17# wbyeombd 的帖子

請參考
徐氏6甲p.2.2-52
題目一模一樣

作者: wbyeombd 時間: 2011-6-1 14:45

最近開始學GGB想要學動畫...

這是第一個作品~

^_______________^ 花了我快30分鐘了囧

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作者: arend 時間: 2011-6-1 17:56

謝謝瑋岳老師

第6題弄懂了

[ 本帖最後由 arend 於 2011-6-1 06:06 PM 編輯 ]

作者: Ellipse 時間: 2011-6-1 22:46

引用:

原帖由 wbyeombd 於 2011-6-1 02:45 PM 發表
最近開始學GGB想要學動畫...

這是第一個作品~

^_______________^ 花了我快30分鐘了囧

不錯喔!第一次就可以畫得很好,再接再厲!

30分鐘算少的了,一個好的複雜作品有時候會弄到好幾天,是很正常的.

作者: study 時間: 2011-6-4 22:32

　請問一下
那面積要怎麼算呢?
謝謝

作者: loui315 時間: 2011-6-6 17:49

可否請教填充3和填充7的解題方向
感謝

作者: weiye 時間: 2011-6-6 19:06

填充第 7 題：

1. 由三垂線定理，可知 \(\overline{BC}\perp \overline{PC},\)

　且因為 \(\angle ACB=90^\circ\)

　所以 \(\overline{BC}\perp\) 平面 \(PAC\)

　 \(\Rightarrow \overline{DE}\perp\) 平面 \(PAC\)

　因此，題目所求即為 \(\displaystyle \frac{\overline{DE}}{\overline{AD}}\)

2.　因為 \(\displaystyle \overline{AD}=\frac{\overline{AB}}{\sqrt{2}}\)

　　且 \(\displaystyle \overline{DE}=\frac{\overline{BC}}{2}\)

　　所以 \(\displaystyle\frac{\overline{DE}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\sqrt{2}\cdot \overline{AB}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}.\)

作者: weiye 時間: 2011-6-6 19:25

填充第 3 題

令 \(\displaystyle I=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]\)

　\(\displaystyle J=\left[\begin{array}{ccc}0&2&3\\0&0&2\\0&0&0\end{array}\right]\)

則 \(\displaystyle A=I+J,J^2=\left[\begin{array}{ccc}0&0&4\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right],J^3=[0]_{3\times3}\)

因為 \(I\) 為單位矩陣，所以任意矩陣與 \(I\) 相乘具有交換性，

\(\displaystyle A^n=(I+J)^n=C^n_0I^n+C^n_1 I^{n-1}J+C^n_2 I^{n-2}J^2+\cdots+C^n_nJ^n\)

　　　　　\(\displaystyle =I+nJ+\frac{n(n-1)}{2}\left[\begin{array}{ccc}0&0&4\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right],\forall n\geq2\)

\(\Rightarrow A+A^2+\cdots+A^{20}\) 其中第一列第三行的元素

　　　　　　　　　\(\displaystyle =3\left(1+2+3\cdots+20\right)+4\left(\frac{2\times1}{2}+\frac{3\times2}{2}+\cdots+\frac{20\times19}{2}\right)\)

　　　　　　　　　\(=5950.\)

作者: loui315 時間: 2011-6-6 19:33

感謝瑋岳老師^___^

讓我豁然開朗~~

作者: 紫月 時間: 2011-6-10 01:29

引用:

原帖由 weiye 於 2011-5-30 11:27 PM 發表
填充第 9 題：（有點暴力的解法～一直使用分項對消法～哈！）

因為 \(\displaystyle k^2=(k+2)(k+1)-3(k+1)+1\)

所以，

\(\displaystyle k^2 C^k_3 = k^2\cdot \frac{k(k-1)(k-2)}{3\cdot2\cdot1}\)

　　　...

我是用巴斯卡定理去做，作法供參。

因為不會打代碼，而且權限不夠不能附檔，我附縮圖網址喔@@

http://ppt.cc/;Pc9

作者: 老王 時間: 2011-6-11 11:47 標題: 回復 19# wbyeombd 的帖子

您這樣好像不大對
題目是正六邊形在滾，而不是圓在滾
所以應該不是擺線

作者: YAG 時間: 2011-6-11 19:09 標題: 回復 13# weiye 的帖子

請問老師:
為何不能令 X'=X-1 Y'=Y-1 Z'=Z-1 U'=U-1 得到的X' Y' Z' U' 的範圍一樣但是
X'+Y'+Z'+U"=18

作者: weiye 時間: 2011-6-11 19:51

引用:

原帖由 YAG 於 2011-6-11 07:09 PM 發表
請問老師:
為何不能令 X'=X-1 Y'=Y-1 Z'=Z-1 U'=U-1 得到的X' Y' Z' U' 的範圍一樣但是
X'+Y'+Z'+U"=18

可以呀~只是這樣要扣掉的「爆掉的情況」比較多而已，請記得要慢慢討論不要漏扣掉喔！（還有重複扣的還要記得加回來喔！）

作者: thankquestion 時間: 2011-6-11 21:26 標題: 回復 28# 老王的帖子

請問老師
應該如何求面積

作者: weiye 時間: 2011-6-11 21:52 標題: 回復 31# thankquestion 的帖子

請見 thepiano 老師的圖 http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2529#p6018

作者: 老王 時間: 2011-6-11 22:06 標題: 回復 32# weiye 的帖子

您早點回嘛!!!!害我畫了半天~~~

作者: thankquestion 時間: 2011-6-11 22:15

謝謝兩位老師幫忙~

作者: nanpolend 時間: 2011-6-17 08:07 標題: 回復 1# johncai 的帖子

填充題第一題詳解

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-8 12:10 PM 編輯 ]

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作者: nanpolend 時間: 2011-6-17 10:37

引用:

原帖由 weiye 於 2011-6-6 07:25 PM 發表
填充第 3 題

令 \(\displaystyle I=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]\)

　\(\displaystyle J=\left[\begin{array}{ccc}0&2&3\\0&0&2\\0&0&0\end{array}\right]\)

則 ...

解法漂亮==考試時寫得出來嗎

作者: nanpolend 時間: 2011-6-19 00:33

引用:

原帖由 weiye 於 2011-5-31 08:41 AM 發表
第 6 題：

令 \(x'=6-x, y'=7-y,z'=8-z, u'=9-u,\)

則 \(0\leq x'\leq 5, 0\leq y'\leq 6, 0\leq z'\leq 7, 0\leq u'\leq 8,\)

且 \(x'+y'+z'+u'=6+7+8+9-22=8\)

所求 \(=H_8^4-H_2^4-H_1^4-H_0^4=150.\)

　　　 ...

直接假設X'=x-1.......會很不好算
解法漂亮技巧性真高

作者: nathan 時間: 2011-6-19 12:09

各位老師
手邊沒有徐氏數學
可否請各位老師解答第八題
謝謝

作者: nanpolend 時間: 2011-6-19 22:51

引用:

原帖由 weiye 於 2011-6-6 07:06 PM 發表
填充第 7 題：

1. 由三垂線定理，可知 \(\overline{BC}\perp \overline{PC},\)

　且因為 \(\angle ACB=90^\circ\)

　所以 \(\overline{BC}\perp\) 平面 \(PAC\)

　 \(\Rightarrow \overline{DE}\perp\) 平面 ...

水==我還呆呆的斜角坐標化最後還計算錯誤

作者: nanpolend 時間: 2011-6-20 03:28 標題: 回復 39# nanpolend 的帖子

重複

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2012-12-1 02:46 PM 編輯 ]

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作者: nanpolend 時間: 2011-6-20 03:42 標題: 回復 40# nanpolend 的帖子

轉貼美夢成真和回復的總整理
第11題
由 thepiano 發表於 2011年 6月 3日, 13:27
把 https://math.pro/db/thread-1119-2-1.html 中 wbyeombd 兄畫的圖最右邊那段補到最左邊來
P 點的軌跡就是下圖中最上面的那五段弧
所求 = 5 個扇形面積 + 4 個三角形面積
=1/2*sq3*2+1/2*1*1*sin(120')*2+1/2*1^2(pi/3)+1/2(sq3)^2*(pi/3)*2+1/2*2^2*(pi/3)
=3sq3/2+2pi
相信我，這種題目考試當下做得出來才有鬼哩

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2011-6-20 04:12 AM 編輯 ]

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作者: nanpolend 時間: 2011-6-20 16:19 標題: 回復 40# nanpolend 的帖子

第8題詳解

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-8 12:11 PM 編輯 ]

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作者: nanpolend 時間: 2011-6-20 16:22 標題: 回復 42# nanpolend 的帖子

第9題詳解
轉貼紫月以巴斯卡來解

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作者: nanpolend 時間: 2011-6-21 00:22 標題: 回復 43# nanpolend 的帖子

刪去

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作者: weiye 時間: 2011-6-21 12:50

填充第 10 題

\(\displaystyle \left(x\sin\frac{\pi}{7}\right)^7=128\Rightarrow \left|x\right|=\frac{2}{\sin\frac{\pi}{7}}\)

\(\displaystyle \omega_0,\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_6\) 等同於位在以原點為圓心，

以 \(\displaystyle \frac{2}{\sin\frac{\pi}{7}}\) 為半徑的圓周上的七等分點，

令此七點依序為 \(A,B,C,D,E,F,G\)

由托勒蜜定理，可知 \(\displaystyle \overline{AC}\cdot\overline{BD}=\overline{AD}\cdot \overline{BC}+\overline{AB}\cdot \overline{CD}\)

　　　　　　　　　\(\displaystyle \Rightarrow \overline{AC}^2=\overline{AD}\cdot \overline{AB}+\overline{AB}^2\)

　　　　　　　　　\(\displaystyle \Rightarrow \overline{AC}^2-\overline{AD}\cdot \overline{AB}=\overline{AB}^2\)

而所求 \(\displaystyle =2 \overline{AC}^2-2\overline{AD}\cdot \overline{AB}=2\overline{AB}^2=2\cdot 4^2=32\)

註：

　　

作者: dtc5527 時間: 2011-6-21 16:41 標題: 填充8另解

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作者: Ellipse 時間: 2011-6-21 17:38

weiye兄:
填充10,您的方法實在太棒了!厲害!

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2011-6-21 05:39 PM 編輯 ]

作者: cherryhung 時間: 2011-7-22 23:23 標題: 回復 13# weiye 的帖子

請問老師
為何這樣不對?
x'=x-1, y'=y-1, z'=z-1, u'=u-1
x'+y'+z'+u'=18
H(4,18)-H(4,12)-H(4,11)-H(4,10)-H(4,9)=5

作者: weiye 時間: 2011-7-22 23:48

引用:

原帖由 cherryhung 於 2011-7-22 11:23 PM 發表
請問老師
為何這樣不對?
x'=x-1, y'=y-1, z'=z-1, u'=u-1
x'+y'+z'+u'=18
H(4,18)-H(4,12)-H(4,11)-H(4,10)-H(4,9)=5

因為 x', y', z', u' 可能會有某兩者同時爆掉的情況，

上面的做法會重複扣了，要加回來呀，

而且如果遇到三者同時爆掉的情況，

重複加了，又要記得扣回來呀！

作者: cherryhung 時間: 2011-7-23 00:13

謝謝老師

作者: bugmens 時間: 2011-11-10 07:57

放置邊長為1的正六邊形PABCDE沿x軸滾動。設頂點P(x,y)的軌跡方程式為一週期函數y=f(x)。試求在一次週期中，y=f(x)的函數圖形與x軸所圍成的面積為？

附加檔案：RollingHexagon.ggb

作者: waitpub 時間: 2011-12-15 14:22 標題: 回復 45# weiye 的帖子

附註的圖，AO是 2/sin(pi/7)才對吧?

作者: weiye 時間: 2011-12-15 14:58 標題: 回復 52# waitpub 的帖子

是滴，圖沒標記好，

已修正，感謝您的提醒。：）

作者: waitpub 時間: 2011-12-15 15:02 標題: 回復 14# weiye 的帖子

可以解釋一下為什麼所求就是貫軸長?有一點反應不過來!!

作者: weiye 時間: 2011-12-15 15:58 標題: 回復 54# waitpub 的帖子

因為 \(x'^2+y'^2=a\) 是圓心為 \((0,0)\) 半徑為 \(\sqrt{a}\) 的圓，

當此圓與下圖中的雙曲線恰交於相異三點時，半徑即為雙曲線的貫軸長。

作者: nanpolend 時間: 2012-12-3 16:41

引用:

原帖由 weiye 於 2011-12-15 03:58 PM 發表
因為 \(x'^2+y'^2=a\) 是圓心為 \((0,0)\) 半徑為 \(\sqrt{a}\) 的圓，

當此圓與下圖中的雙曲線恰交於相異三點時，半徑即為雙曲線的貫軸長。

...

不必旋轉
提供另一種想法以經濟學無異曲線來看(非嚴謹證明)
(X-1)(Y-1)=1
正的一支無異曲線頂點(2,2),負的一支(0,0)
兩頂點距離的平方=圓的半徑的平方=8

作者: wooden 時間: 2013-1-9 10:50 標題: 回復 24# weiye 的帖子

請教瑋岳老師，填充第7題
為何線段AB=(根號2)*線段AD

[ 本帖最後由 wooden 於 2013-1-9 10:58 AM 編輯 ]

作者: weiye 時間: 2013-1-9 15:07 標題: 回復 57# wooden 的帖子

因為 \(D\) 是等腰直角三角形 \(\triangle PAB\) 斜邊上的中點。

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作者: wooden 時間: 2013-1-9 21:20 標題: 回復 58# weiye 的帖子

感謝你，我真的是老花加眼殘了，從頭到尾都一直以為題目給的是PA=PB，

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