Math Pro 數學補給站

標題: 100台中二中 [打印本頁]

作者: 八神庵 時間: 2011-5-28 23:13 標題: 100台中二中

如附件
請盡情享用
有去考的可以分享計算題嗎?

附件: 中二中.pdf (2011-5-28 23:13, 73.44 KB) / 該附件被下載次數 14357
https://math.pro/db/attachment.php?aid=393&k=20fd3aea0ff66b6678b6dfdd04ee4f07&t=1732297472

附件: answer.pdf (2011-5-28 23:13, 221.2 KB) / 該附件被下載次數 12683
https://math.pro/db/attachment.php?aid=394&k=3fd11a9efce5dc1d4ebd64da043676a0&t=1732297472

作者: bugmens 時間: 2011-5-29 06:25

7.
設\( [x] \)表示x的高斯函數，則方程式：\( x^2-8[x]+7=0 \)的解為？

可以到這裡找這類問題該怎麼解
連結已失效h ttp://math1.ck.tp.edu.tw/%B3q%B0T%B8%D1%C3D/index.html
解\( 2x^2-11[x]+12=0 \)。( \( [x] \)為小於等於x的最大整數 )
(建中通訊解題第24期)

若x是實數，定義\( [x] \)表示小於或等於x的最大整數，試求方程式\( 2x^2-5[x]+1=0 \)的解？
(建中通訊解題第52期)

作者: RainIced 時間: 2011-5-30 13:52 標題: 你好，想請問第三題和第八題，謝謝。

你好，想請問第三題和第八題，謝謝。

作者: weiye 時間: 2011-5-30 14:34

填充第 3 題

如下圖，畫出以 \(\overline{AB}\) 為一弦且圓心角為 \(120^\circ\) （圓周角為 \(60^\circ\)）的圓

則兩圓內部區域及邊界上的點，即為滿足題意之 \(P\) 點所在位置，

所求面積 \(\displaystyle=\left(\pi\cdot\left(\frac{4}{\sqrt{3}}\right)^2\cdot\frac{240^\circ}{360^\circ}\right)\cdot2+\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{\sqrt{3}}\cdot\frac{4}{\sqrt{3}}\sin120^\circ\right)\cdot2\)

　　　　　\(\displaystyle=\frac{64\pi}{9}+\frac{8\sqrt{3}}{3}.\)

圖片附件: Untitled.png (2014-5-21 20:40, 25.6 KB) / 該附件被下載次數 10132
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2268&k=1bc4a7d559be5ad40ee5036e1293f856&t=1732297472

作者: weiye 時間: 2011-5-30 15:21

填充第 8 題

題目所給兩函數的圖形皆對稱於 \(y\) 軸，

所以此兩函數的圖形交點 \(A,B\) 亦對稱於 \(y\) 軸，

因為 \(\overline{AB}=4\)，所以 \(A,B\) 兩點的 \(x\) 坐標為 \(2\) 與 \(-2,\)

且 \(A,B\) 兩點的 \(y\) 坐標皆為 \(\log_2(11\cdot 2^2+2004)=\log_2 2^{11}=11\)

將 \((2,11)\) 帶入 \(y=3^{x^2+a}-16\) 可得 \(a=-1.\)

作者: 八神庵 時間: 2011-5-30 17:00

感謝PTT實習教師板板友lairabbit的分享
計算題部分請參照附檔

附件: 100中二中數學考題計算題部分.rar (2011-5-30 17:00, 17.13 KB) / 該附件被下載次數 12309
https://math.pro/db/attachment.php?aid=397&k=4ac05f27677531d699667a45d959fc6b&t=1732297472

作者: cally0119 時間: 2011-5-30 17:24

可以請教一下第5題嗎?

作者: weiye 時間: 2011-5-30 21:53 標題: 回復 7# cally0119 的帖子

填充第 5 題 or 計算第 5 題呢？

作者: cally0119 時間: 2011-5-30 22:04

不好意思,是填充第五題!

作者: loui315 時間: 2011-5-30 22:27 標題: 回復 7# cally0119 的帖子

填充第五題

利用面積來算：三角形ABC=三角形ABD+三角形ACD

再利用sin的三倍角和二倍角公式化簡

求出角BAD餘弦值

最後用餘弦定理求BD

作者: tibau 時間: 2011-5-30 22:35

請教一下　大家計算4跟計算６算出的答案是？

作者: weiye 時間: 2011-5-30 22:36 標題: 回復 9# cally0119 的帖子

填充第 5 題

令 \(\angle BAD=\theta\)，則 \(\triangle DAC =2\theta\)

由 \(\triangle BAD+\triangle DAC=\triangle BAC\)，

可得 \(\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 3 \cdot 2 \cdot\sin\theta+\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 6\cdot\sin 2\theta=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 6\cdot \sin 3\theta\)

　　\(\displaystyle \Rightarrow 3\sin\theta+12\sin\theta\cos\theta=9\left(3\sin\theta-4\sin^3\theta\right)\)

顯然 \(\sin\theta\) 不為零，

所以 \(\displaystyle 3+12\cos\theta=9\left(3-4\left(1-\cos^2\theta\right)\right)\)

解 \(\cos\theta\) 的一元二次方程式，可得 \(\displaystyle \cos\theta=\frac{1\pm\sqrt{13}}{6}\)

其中，因為 \(\displaystyle \theta+2\theta<180^\circ\Rightarrow \theta\) 為銳角，

所以 \(\displaystyle \cos\theta=\frac{1+\sqrt{13}}{6}\)

在 \(\triangle BAD\) 中，由餘弦定理，可得

　　\(\displaystyle \overline{BD}^2=3^2+2^2-2\cdot2\cdot3\cdot\frac{1+\sqrt{13}}{6}=11-2\sqrt{13}\)

　　\(\displaystyle \overline{BD}=\sqrt{11-2\sqrt{13}}.\)

作者: loui315 時間: 2011-5-30 22:39

填充第一題似乎很常見

可否冒昧請教第一題的解題方向

感謝

作者: weiye 時間: 2011-5-30 22:59 標題: 回復 13# loui315 的帖子

填充第 1 題

因為 \(I\) 為內心，

所以，向量 \(\displaystyle \vec{AI}=\frac{b}{a+b+c}\vec{AB}+\frac{c}{a+b+c}\vec{AC}=\frac{6}{18}\vec{AB}+\frac{5}{18}\vec{AC}\)

令向量 \(\displaystyle \vec{AP}=m\vec{AB}, \vec{AQ}=n\vec{AC}\)

則 \(\displaystyle \vec{AI}=\frac{6}{18}\cdot\frac{1}{m} \vec{AP}+\frac{5}{18}\cdot\frac{1}{n}\vec{AQ}\)

因為 \(I,P,Q\) 共線，所以 \(\displaystyle \frac{1}{3m}+\frac{5}{18n}=1\)

依題意，即要求 \(mn\) 之最小值，

由算幾不等式，可得

　　\(\displaystyle \frac{\frac{1}{3m}+\frac{5}{18n}}{2}\geq\sqrt{\frac{1}{3m}\cdot\frac{1}{18n}}\)

　　\(\displaystyle \Rightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^2\geq\frac{5}{54mn}\)

　　\(\displaystyle \Rightarrow mn\geq\frac{10}{27}.\)

作者: hua77825 時間: 2011-5-31 16:21

不好意思有沒有老師能分享一下計算題部分
第二題我是將其座標化、第四題我算出來是9/25
但是都不確定對不對所以想要請問一下老師們。

順便請問一下老師們第三、第六題的方向。感謝

作者: weiye 時間: 2011-5-31 17:03 標題: 回復 15# hua77825 的帖子

計算第 2 題：詳見 https://math.pro/db/thread-457-1-1.html

計算第 3 題：詳見 https://math.pro/db/thread-499-1-1.html

作者: addcinabo 時間: 2011-6-3 10:27

想請問各位前輩填充第二題,

我用判別式算,可是怎麼算都是 -32/21 與解答不同

不知是不是哪個細節沒考慮到? 感謝大家

作者: weiye 時間: 2011-6-3 13:31 標題: 回復 17# addcinabo 的帖子

直接用判別式可能會忽略掉的地方是～忘掉確認是否有滿足條件 \(-1\leq \sin x\leq 1\)。

填充第 2 題：

令 \(t=\sin x\)，則 \(-1\leq t\leq1,\)

\(\displaystyle y=\frac{t^2+t+1}{\left(1-t^2\right)-t-3}=-\frac{t^2+t+1}{t^2+t+2}=-1+\frac{1}{\left(t+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}}\)

因為 \(-1\leq t\leq1\)，

所以 \(\displaystyle -\frac{1}{2}\leq t+\frac{1}{2}\leq\frac{3}{2}\)

　　 \(\displaystyle \Rightarrow 0\leq \left(t+\frac{1}{2}\right)^2\leq\frac{9}{4}\)

　　 \(\displaystyle \Rightarrow \frac{7}{4}\leq \left(t+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\leq4\)

　　 \(\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{4}\leq \frac{1}{\left(t+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\leq\frac{4}{7}\)

　　 \(\displaystyle \Rightarrow \frac{-3}{4}\leq -1+\frac{1}{\left(t+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\leq\frac{-3}{7}\)

故，\(\displaystyle M=\frac{-3}{7}, m=\frac{-3}{4}\)

　　\(\displaystyle \Rightarrow 2M+m=\frac{-45}{28}.\)

作者: David 時間: 2011-6-7 22:20

請問各位前輩, 計算第四題.
我的想法是, 每局之後的情況只有 1. A(3,0) B(0,2)    2. A(2, 1), B(1, 1)       3. A(1, 2) B(2, 0)
鈍角三角形指的是第2種
而其機率行距陣為\( \left|\ \matrix{ \frac{1}{3}  & \frac{1}{9} & 0 \cr \frac{2}{3} &  \frac{2}{3} & \frac{4}{9} \cr 0 & \frac{2}{9} & \frac{5}{9} \cr }\right|\ \)
但接下來找不出\( i \)局後的通式, 不知道那裏有錯, 請不吝指教          謝謝

作者: YAG 時間: 2011-8-10 07:13 標題: 回復 4# weiye 的帖子

請問一下這題想法是怎麼切入要化這個圖的步驟是還有為什麼所述區域內的點會大於60度
謝謝!

作者: tsusy 時間: 2011-10-30 14:16 標題: 回復 19# David 的帖子

計算 4 ，沒有算錯，只是後面要用特徵值分解，繼續做完而已
轉移矩陣為 \( P=\left[\begin{array}{ccc}
\frac{1}{3} & \frac{1}{9} & 0\\
\frac{2}{3} & \frac{2}{3} & \frac{4}{9}\\
0 & \frac{2}{9} & \frac{5}{9}\end{array}\right] \)

解其特徵值和特徵向量分別為 \(1,\frac{4}{9},\frac{1}{9} \) 和 \( \left[\begin{array}{c}
\frac{1}{3}\\
2\\
1\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}
-\frac{1}{2}\\
-\frac{1}{2}\\
1\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}
1\\
-2\\
1\end{array}\right] \)。

將初始狀態表示特徵向量之線性組合

\( \left[\begin{array}{c}
0\\
1\\
0\end{array}\right]=\frac{3}{10}\left[\begin{array}{c}
\frac{1}{3}\\
2\\
1\end{array}\right]-\frac{2}{15}\left[\begin{array}{c}
-\frac{1}{2}\\
-\frac{1}{2}\\
1\end{array}\right]-\frac{1}{6}\left[\begin{array}{c}
1\\
-2\\
1\end{array}\right] \)。

\( P^{i}\left[\begin{array}{c}
0\\
1\\
0\end{array}\right]=\frac{3}{10}\left[\begin{array}{c}
\frac{1}{3}\\
2\\
1\end{array}\right]-\frac{2}{15}\cdot(\frac{4}{9})^{i}\left[\begin{array}{c}
-\frac{1}{2}\\
-\frac{1}{2}\\
1\end{array}\right]-\frac{1}{6}\cdot(\frac{1}{9})^{i}\left[\begin{array}{c}
1\\
-2\\
1\end{array}\right] \)

所以機率為 \( \frac{3}{5}+\frac{1}{15}\cdot(\frac{4}{9})^{i}+\frac{1}{3}\cdot(\frac{1}{9})^{i} \)。

有算錯的話，麻煩指正一下

作者: natureling 時間: 2012-2-1 16:26

想請教一下計算第五題要如何證明@@...

作者: weiye 時間: 2012-2-1 21:49 標題: 回復 22# natureling 的帖子

計算第 5 題：
三平面\(E_1\)：\(a_1x+b_1y+c_1z=d_1\)、\(E_2\)：\(a_2x+b_2y+c_2z=d_2\)、\(E_3\)：\(a_3x+b_3y+c_3z=d_3\)在空間中形成兩兩平面交於一線，且此三線平行，
試證明：\(\Delta=\left| \matrix{a_1&b_1&c_1\cr a_2&b_2&c_2\cr a_3&b_3&c_3}\right|=0\)，且\(\Delta_x=\left| \matrix{d_1&b_1&c_1\cr d_2&b_2&c_2\cr d_3&b_3&c_3}\right|\)、\(\Delta_y=\left| \matrix{a_1&d_1&c_1\cr a_2&d_2&c_2\cr a_3&d_3&c_3}\right|\)、\(\Delta_z=\left| \matrix{a_1&b_1&d_1\cr a_2&b_2&d_2\cr a_3&b_3&d_3}\right|\)三者至少有一個不是0。
[解答]
通常教師手冊都會有詳細的證明，但大多步驟有點長，

之前在龍騰的《數學新天地》有看到過一篇北一女蘇俊鴻老師的《用向量來看平面族定理》

h ttp://www.lungteng.com.tw/LungTengNet/HtmlMemberArea/publish/Newpaper/013/math/N7202-ebook(p26~35).pdf　連結已失效

當中頁碼第 34 頁（該頁左下角的段落）有個超簡潔的證明。

111.4.10補充
上傳用向量來看平面族定理.pdf

111.7.12補充
設\(E_1\)：\(a_1x+b_1y+c_1z=d_1\)、\(E_2\)：\(a_2x+b_2y+c_2z=d_2\)、\(E_3\)：\(a_3x+b_3y+c_3z=d_3\)為空間中三平面，令
\(\Delta=\left| \matrix{a_1&b_1&c_1\cr a_2&b_2&c_2\cr a_3&b_3&c_3}\right|=0\)，\(\Delta_x=\left| \matrix{d_1&b_1&c_1\cr d_2&b_2&c_2\cr d_3&b_3&c_3}\right|\)、\(\Delta_y=\left| \matrix{a_1&d_1&c_1\cr a_2&d_2&c_2\cr a_3&d_3&c_3}\right|\)、\(\Delta_z=\left| \matrix{a_1&b_1&d_1\cr a_2&b_2&d_2\cr a_3&b_3&d_3}\right|\)，
試證：若此三平面相異且相交於一直線，則\(\Delta=\Delta_x=\Delta_y=\Delta_z=0\)
(97松山家商，https://math.pro/db/thread-649-1-1.html)

若線性方程組\(L\)：\(\cases{a_1 x+b_1 y+c_1 z=d_1 \cr a_2 x+b_2 y+c_2 z=d_2 \cr a_3 x+b_3 y+c_3 z=d_3}\)在坐標空間中代表三個平面，兩兩相交於一線，且三交線兩兩互相平行，
試證明：\(\Delta_x=\left| \matrix{d_1&b_1&c_1\cr d_2&b_2&c_2\cr d_3&b_3&c_3}\right|\)、\(\Delta_y=\left| \matrix{a_1&d_1&c_1\cr a_2&d_2&c_2\cr a_3&d_3&c_3}\right|\)、\(\Delta_z=\left| \matrix{a_1&b_1&d_1\cr a_2&b_2&d_2\cr a_3&b_3&d_3}\right|\)不全為0。
(111屏東高中，https://math.pro/db/thread-3663-1-1.html)

附件: 用向量來看平面族定理.pdf (2022-4-10 07:13, 923.11 KB) / 該附件被下載次數 4314
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6227&k=f05e7e554690b707ba9d6b402aaf6139&t=1732297472

作者: natureling 時間: 2012-2-1 23:48 標題: 回復 23# weiye 的帖子

感恩.....

作者: money 時間: 2012-2-14 16:03

想請教計算第6題
感謝

作者: weiye 時間: 2012-2-14 20:21 標題: 回復 25# money 的帖子

前人解過，計算題第 1, 4, 6 題：http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2525

我也動手來解一遍~

計算第 6 題：

為了方便計算，小弟把題目修改一下～

把整個拋物線 \(y=x^2-1\) 與點 \((1,2)\) 都上移一單位，

得拋物線 \(y=x^2\) 與點 \(P(1,3)\)

設通過 \(P\) 的直線 \(L\) 會交拋物線 \(y=x^2\) 於 \(A(a,a^2)\) 與 \(B(b,b^2)\)，其中 \(b>a\)，

因為 \(A,P,B\) 三點共線，所以 \(\displaystyle\frac{a^2-3}{a-1}=\frac{b^2-3}{b-1}\Rightarrow \left(b-a\right)\left(ab-a-b+3\right)=0\)

且因為 \(b>a\)，所以 \(ab-a-b+3=0\Rightarrow ab = a+b-3\)

則 \(L\) 與拋物線所圍面積＝\(\displaystyle\frac{1}{2}\cdot \left(a^2+b^2\right)\left(b-a\right)-\int_a^b x^2 dx\)

　　　　　　　　　　　　\(=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot \left(a^2+b^2\right)\left(b-a\right)-\frac{b^3-a^3}{3}\)

　　　　　　　　　　　　\(=\displaystyle\frac{1}{6}\cdot \left(b-a\right)^3\)

　　　　　　　　　　　　\(=\displaystyle\frac{1}{6}\cdot \left(\sqrt{\left(a+b\right)^2-4ab}\right)^3\)

　　　　　　　　　　　　\(=\displaystyle\frac{1}{6}\cdot \left(\sqrt{\left(a+b\right)^2-4(a+b-3)}\right)^3\)

　　　　　　　　　　　　\(=\displaystyle\frac{1}{6}\cdot \left(\sqrt{\left(a+b-2\right)^2+8}\right)^3\)

　　　　　　　　　　　　\(\geq\displaystyle\frac{1}{6}\cdot \left(\sqrt{8}\right)^3=\frac{8\sqrt{2}}{3}\)

此時，\(a+b=2\Rightarrow ab=-1\) 且由 \(b>a\)，可解得 \(a=1-\sqrt{2}, b=1+\sqrt{2}\)

註：延伸閱讀～　h ttp://activity.ntsec.gov.tw/activity/race-1/51/pdf/040414.pdf連結已失效

作者: money 時間: 2012-2-15 08:54 標題: 回復 26# weiye 的帖子

感謝瑋岳老師解惑

作者: bluemo 時間: 2012-5-21 22:12

想請問填充第6，求垂心坐標
有比較快的方法嗎?

作者: weiye 時間: 2012-5-21 23:03

填充第 6 題
設\(A(1,1,0),B(2,1,-1),C(3,2,-2)\)，則\(\Delta ABC\)的垂心座標為。
[解答]
照定義做就可以了，

由（1）向量 AH內積向量 BC=0 且（2）向量 BH內積向量 AC=0 且（3）H 在 ΔABC 所在平面上

即可得 H 的點坐標。

112.7.1補充
設\(A(0,1,2)\)，\(B(-1,2,1)\)，\(C(1,0,1)\)為空間中的三點，則\(\Delta ABC\)的垂心坐標為　　　。
(112屏東高中，https://math.pro/db/thread-3766-1-1.html)

作者: shmilypon 時間: 2012-6-12 14:17

您好我想請教計算2,3
謝謝解惑!!!

作者: shingjay176 時間: 2012-6-12 16:33

引用:

原帖由 shmilypon 於 2012-6-12 02:17 PM 發表
您好我想請教計算2,3
謝謝解惑!!!

計算提第二題，你可以從1的八次方根，複數下手看看‧
記算題第三題，這題目再高中數學101有出現‧我印象中，這論壇也有討論過。我搜尋看看...答案是an=((-1)^(n))*(k-1)+(k-1)^n第三題直接圖檔放上來，不清楚勒。所以我用壓縮檔。第三題找到了，你自己看看吧
https://math.pro/db/thread-499-1-1.html

作者: tsusy 時間: 2012-6-12 19:21 標題: 回復 6# 八神庵的帖子

計算 1 的題目，不知道是否記錯。

印象中做過類似的題目，題目為試證 \( 5^{n}\geq1+4n\sqrt{5^{n}} \), 對所有自然數 \( n \) 皆成立

上行的右式，顯然比板友 lairabbit 的大得多了

而證明為 \( 5^{n}-1=4\cdot(1+5+\ldots+5^{n-1})\geq4n\sqrt{5^{n}} \) by 算幾

歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/)

論壇程式使用 Discuz! 6.1.0