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標題: 100新北市高中聯招 [打印本頁]
作者: bugmens    時間: 2011-5-28 13:00     標題: 100新北市高中聯招

題目請見附件

100.5.30補充
新增試題疑議回覆

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作者: 八神庵    時間: 2011-5-31 10:53

附件是修正後的公告題目
請笑納

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作者: nanpolend    時間: 2011-6-12 05:50     標題: 回復 1# bugmens 的帖子

選擇題第一題詳解

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作者: nanpolend    時間: 2011-6-12 20:56     標題: 回復 3# nanpolend 的帖子

選擇題第2題詳解

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作者: nanpolend    時間: 2011-6-13 11:02     標題: 回復 4# nanpolend 的帖子

選擇第3題更新版

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作者: nanpolend    時間: 2011-6-15 02:48     標題: 回復 5# nanpolend 的帖子

選擇第9題

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作者: nanpolend    時間: 2011-6-15 03:34     標題: 回復 6# nanpolend 的帖子

選擇第6題

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作者: nanpolend    時間: 2011-6-15 03:39     標題: 回復 7# nanpolend 的帖子

選擇第7題
(1.2)^2*(3/4)=1.08
變成原本體積的1.08倍
選(A)
作者: nanpolend    時間: 2011-6-15 03:59     標題: 回復 8# nanpolend 的帖子

選擇第8題
4444^4444同模7^4444(mod9)
又7次方mod9有三循環
因此4444^4444同模7(mod9)
選(D)
作者: nanpolend    時間: 2011-6-15 07:37     標題: 回復 9# nanpolend 的帖子

選擇第10題
四邊形ABCD=三角形ACD+三角形ACB
                      =1/2| -1 0 -1 -1  |+1/2|-1 0 4 -1|
                              | -3 5 -2 -3 | +     |-3 5 -1 -3|
                       =1/2+19
                       =39/2.........選(C)
作者: nanpolend    時間: 2011-6-15 08:39     標題: 回復 10# nanpolend 的帖子

填充題第二題
f(x)=(ax+b)(x-1)^3+2
f(-1)=-8,f(2)=8
a=19/4, b=-7/2
f(0)=常數項=-17/6 +2=-5/6
作者: nanpolend    時間: 2011-6-15 09:11     標題: 回復 11# nanpolend 的帖子

填充題第5題
(x,y)=(1,2)-(2,5/2)
積分1-2(x+1/x -2 ) dx
=ln2 - 1/2(小心計算即可求出)
作者: nanpolend    時間: 2011-6-15 15:48     標題: 回復 12# nanpolend 的帖子

選擇題第4題

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作者: nanpolend    時間: 2011-6-15 15:55     標題: 回復 13# nanpolend 的帖子

填充第 1 題
（相當於五個相異禮物，分給三個人，每人至少得一件。）
分母 = 3^5=243
分子 = 3^5 - C(3,1) * 2^5 + C(3,2) * 1^5 =150
150/243=50/81.........ANS
作者: nanpolend    時間: 2011-6-15 16:04     標題: 回復 14# nanpolend 的帖子

填充第 ３ 題
已知\(\displaystyle f(x)=\sum_{k=1}^{11}(x-k)^2\)與\(\displaystyle g(x)=\sum_{k=1}^{n}k \cdot |\;x-k|\;\)的最小值都發生在相同的\(x\)，則\(n=\)　　　。
[解答]
運用平均值和中位數觀念
f(x) 的最小值發生在當 x = (1+2+3+...+11)/11 = 6 的時候，
g(x) 的最小值發生在當 x 為 1,2,2, 3,3,3,4,4,4,4, ...., k 個 k 的中位數的時候。
因為 1+2+3+4+5 = 15
且 1+2+3+4+5+6 = 21
左半部+右半部
所以全部的總個數可能介在 31 到 41 之間
31≦1+2+3+...+k≦41
k=8

110.8.9補充
有9名小學生的年齡分別為\(x_1,x_2,\ldots,x_9\)，其中中位數7，算術平均數為10，標準差為5，則\(f(x)=(x_1-x)^2 +(x_2-x)^2 +\ldots+(x_9-x)^2\)的最小值為　　　。
(110蘭陽女中，https://math.pro/db/thread-3538-1-1.html)
作者: nanpolend    時間: 2011-6-15 22:57     標題: 回復 15# nanpolend 的帖子

三、申論題
1.(1)
設\(f(x,y)=2x+5y^2\)，試求在\(x^2+2y^2=1\)的限制下，\(f(x,y)\)的最小值。
[解答]
轉貼自waiye老師提示
f(x,y)=2x+5(1-x^2)/2
      = (-5/2)x^2 + 2x +5/2
      = (-5/2)(x-5/2)^2 + 29/10
但是因為 2y^2 = 1-x^2≧0 → -1≦x≦1，且 x=5/2 不在 [-1,1] 區間
所以，當 x=-1 時，f(x,y)=-2 為最小值，
　　　當 x=1 時，f(x,y)=2 為最大值。

112.6.12
已知實數\(x^2+4y^2+8x+12=0\)，則\(x^2+2y^2\)的最大值為何？
(A)36　(B)38　(C)40　(D)42
(112新北市國中聯招，https://math.pro/db/thread-3760-1-1.html)

113.5.8補充
若\(x\)、\(y\)是實數且滿足\(2x^2+5y^2=7x\)，求\(18x+10y^2\)的最大可能值為　　　。
(113台北市立陽明高中，https://math.pro/db/thread-3864-1-1.html)

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作者: nanpolend    時間: 2011-6-15 23:34     標題: 回復 16# nanpolend 的帖子

計算題2

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作者: nanpolend    時間: 2011-6-16 13:22     標題: 回復 17# nanpolend 的帖子

轉貼昌爸
O             回覆於: 2011/6/16 上午 12:40:40
填充題

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作者: nanpolend    時間: 2011-6-16 21:25     標題: 回復 16# nanpolend 的帖子

1(2)部分轉貼昌爸
因為a,b為大於0的正實數且a+b=1
因此0<ab<1,1/ab>1
所以最小值由1/ab來決定之(用算平大於幾平)
2次函數可得，ab最大成績為4分之一，如果成績越小題目值越大，因此要取成績最
大的4分之1把4分之1帶入題目，剛好是4分之17
作者: nanpolend    時間: 2011-6-16 23:42     標題: 回復 19# nanpolend 的帖子

轉貼weiye老師解法
11-6-16 22:11
我覺得可以改由
令 x= ab，則
因為 a+b=1 且 a>0, b>0，
由算幾不等式，可得 ab≦1/4 → x≦1/4
且因為 y=x+1/x （即 (y-x)*x=1）為雙曲線函數
其在第一象限的部分圖形如下，
故，當 x=1/4 時，y 有最小值為 1/4 + 4 = 17/4。

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作者: weiye    時間: 2011-6-16 23:53     標題: 回復 20# nanpolend 的帖子

「如果成績越小題目值越大」

在 ab 變小的同時， 1/(ab) 會變大，

所以必須要討論 ab + 1/(ab) 在 ab 變小的同時，

到底是 ab 變小的速度比較快，還是 1/(ab) 變大的速度快，

如果可以證明　1/(ab) 變大的速度會比 ab 變小的速度快　會更恰當。
作者: natureling    時間: 2012-3-6 20:16

請問一下，為什麼要加回C(3,2) * 1^5...
我知扣掉 C(3,1) * 2^5會有2個空的...但不知不怎轉過來的.....
引用:
原帖由 nanpolend 於 2011-6-15 03:55 PM 發表
填充第 1 題
（相當於五個相異禮物，分給三個人，每人至少得一件。）
分母 = 3^5=243
分子 = 3^5 - C(3,1) * 2^5 + C(3,2) * 1^5 =150
150/243=50/81.........ANS
作者: t3712    時間: 2012-3-9 12:15

引用:
原帖由 natureling 於 2012-3-6 08:16 PM 發表
請問一下，為什麼要加回C(3,2) * 1^5...
我知扣掉 C(3,1) * 2^5會有2個空的...但不知不怎轉過來的.....
應該是排容原理吧？

因為扣掉C(3,2)*2^5的情況，包含C(3,1)*1^5多扣了一次

所以要再補回來。
作者: mcgrady0628    時間: 2012-5-4 20:29     標題: 回復 15# nanpolend 的帖子

有高人可以指點迷津嗎??我懂f(x)最小值發生再x=6時!但是後面的就不懂了= =
作者: mcgrady0628    時間: 2012-5-6 00:51

填充第 ３ 題~有更詳盡的解說嗎??感謝您
作者: cplee8tcfsh    時間: 2012-5-6 07:18     標題: 回復 25# mcgrady0628 的帖子

填充 3
前面已有人解出 我補充一下參考資料

(1)
\( \displaystyle f(x)= \Large\sum_{t=1}^{n}  (x-d_t)^2  \)
f(x)的最小值出現在 x= \( d_1 , d_2 , ... , d_n  \) 的算術平均時
註:展開配方可得

(2)
\( \displaystyle g(x)= \Large\sum_{t=1}^{n}  \Bigg| x-d_t \Bigg|  \)
g(x)的最小值出現在 x= \( d_1 , d_2 , ... , d_n  \) 的中位數時
註:函數圖形 為左右高 中間低 的折線圖

因此本題(填充3)

f(x)的最小值出現在 \( x= \frac{1+2+...+11}{11} =6 \)

若 n=6 則 g(x)最小值
出現在 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6(共21項) 的中位數(第11項)時
亦即 x=5 時

若 n=7 則 g(x)最小值
出現在 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,7(共28項) 的中位數(第14.5項) 時
亦即 x=5 時

若 n=8 則 g(x)最小值
出現在 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,7,8,8,8,8,8,8,8,8(共36項) 的中位數(第18.5項) 時
亦即 x=6 時

若 n=9 則 g(x)最小值
出現在 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,7,8,8,8,8,8,8,8,8,9,9,9,9,9,9,9,9,9(共45項) 的中位數(第23項) 時
亦即 x=7 時

故知 答案為 n=8
作者: mcgrady0628    時間: 2012-5-14 18:19     標題: 回復 26# cplee8tcfsh 的帖子

若 n=6 則 g(x)最小值
出現在 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6(共21項) 的中位數(第11項)時
為什麼呢??
作者: cplee8tcfsh    時間: 2012-5-14 21:57     標題: 回復 27# mcgrady0628 的帖子

\( d_1 =1 \)
\( d_2=d_3 =2 \)
\( d_4=d_5=d_6 =3 \)
\( d_7=...=d_{10}=4 \)
\( d_{11}=...=d_{15}=5 \)
\( d_{16}=...=d_{21}=6 \)

\( \Bigg| x-d_1 \Bigg|   +  \Bigg| x-d_{21} \Bigg| \geq \Bigg| d_{21} -d_1 \Bigg|   \)   , 等號成立於 \( d_1 \leq x \leq d_{21} \)
\( \Bigg| x-d_2 \Bigg|   +  \Bigg| x-d_{20} \Bigg| \geq \Bigg| d_{20} -d_2 \Bigg|   \)   , 等號成立於 \( d_2 \leq x \leq d_{20} \)
...
\( \Bigg| x-d_{10} \Bigg|   +  \Bigg| x-d_{11} \Bigg| \geq \Bigg| d_{11} -d_{10} \Bigg|   \)   , 等號成立於 \( d_{10} \leq x \leq d_{11} \)


x若為中位數,
可滿足上述不等式的所有等號成立條件

整理成性質(26#)
\( \displaystyle g(x)= \Large\sum_{t=1}^{n}  \Bigg| x-d_t \Bigg|  \)
g(x)的最小值出現在 x= \( d_1 , d_2 , ... , d_n  \) 的中位數時
作者: shingjay176    時間: 2012-5-23 09:48     標題: 回復 12# nanpolend 的帖子

這填充題第五題，需要把圖畫出來嗎。我覺得把圖畫出來，才可以抓出要積分的範圍。y=X十（1/X)，要快速畫圖，要用微分，還是二次圓錐由線標準化。
作者: Ellipse    時間: 2012-5-23 12:36

引用:
原帖由 shingjay176 於 2012-5-23 09:48 AM 發表
這填充題第五題，需要把圖畫出來嗎。我覺得把圖畫出來，才可以抓出要積分的範圍。y=X十（1/X)，要快速畫圖，要用微分，還是二次圓錐由線標準化。
用微分吧~不會花很久時間
當x>0時y=f(x)=x+1/x >=2 (算幾不等式)
"等號成立"時x=1,y有最小值2
又當x>0 ,f''(x)>0,表示圖形凹向上
這樣就可以畫出所圍的圖形
作者: shingjay176    時間: 2012-5-23 12:59     標題: 回復 30# Ellipse 的帖子

謝啦



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