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標題: 為何兩硬幣要視為不同的兩硬幣? [打印本頁]

作者: thankyou 時間: 2011-5-19 17:06 標題: 為何兩硬幣要視為不同的兩硬幣?

同時丟兩硬幣觀察正反面的情況,若要求一正一反的機率時,為何兩硬幣要視為不同的兩硬幣? 謝謝!!

作者: 老王 時間: 2011-5-19 17:14

實際作試驗，我想丟個兩三百次，應該就會知道了。

作者: weiye 時間: 2011-5-19 19:06

我提供一下我上課的情境好了～～

瑋岳：一袋中有 \(99\) 顆黑球，一顆白球，從袋中任取一球，請問取到白球的機率是多少？

　　（附圖～自己畫～ＸＤ）

學生：（（笑～心想～架甘丹(台語)～））\(\displaystyle \frac{1}{100}\)

瑋岳：可是很久以前，老師教過一個學生～跟我說「抽出來不是黑色、就是白色，只有兩種情況，所以抽到白球的機率是 \(\displaystyle \frac{1}{2}\)。」

學生：（（笑））

瑋岳：我就跟他說～我去買樂透～只看結果也只有兩種～中獎頭獎或不中獎頭獎～

　　所以機率是 \(\displaystyle \frac{1}{2}\) 呀！很高耶～大家要趕快去買喔，一不小心就中頭獎了耶！

學生：（（笑得更大聲））

瑋岳：回到取球問題，當我們由袋中取球的時候，袋中是〝實實在在〞存在 \(100\) 顆球，且每一顆球被取到的機會都一樣，

　　如果我們把這一百顆球編號成～黑球 1 號～黑球 2 號～ ‧‧‧到黑球 99 號，以及白球 1 號，

　　那可以發現我們可能取到的球～

　　實際上也只有來自「黑球 1 號～黑球 2 號～ ‧‧‧到黑球 99 號，以及白球 1 號」其中的一顆，

　　所以，在我們算機率的時候，不要只考慮最後呈現的結果，要考慮實際可能會發生的每一種情況，

　　要想想到底是哪些情況～有哪些樣本點～發生的機會是要相等的呢？

　　（此時突然插題）當然，如果你要把樣本空間定義成｛黑，白｝也可以，但是這樣這兩個樣本點發生的機會就不相等了，

　　　　　　　Ｐ（取到黑球）＝\(\displaystyle \frac{99}{100}\)，　　Ｐ（取到白球）＝\(\displaystyle \frac{1}{100}\)

　　（轉回原來主題）但是在高中為了計算方便，我比較喜歡把每一種〝實際會發生的情況〞定成〝發生機會相等〞，

　　在算機率的時候～如果題目說丟三顆骰子～我們就要把它當成三顆切切實實就是在地球上佔有不同實體的骰子，

　　或是丟一顆骰子丟三次，那就要區分出第一次、第二次、第三次～分別是丟出哪個點數，

　　所以，丟三個〝實體上〞就是不一樣的骰子～第一顆可能出現 1 到 6，搭配第二顆可能出現 1 到 6 ，搭配第三顆可能出現 1 到 6 ，

　　總共有 \(6^3=216\) 種實際可能會發生的情況，每一種情況發生的機會相等，

　　（附圖：如下）　　
　　　　　

　　好啦，那我問你們～丟三個骰子出現的 \(216\) 種，這麼多種情況中～

　　最後出現的點數是 \(1,1,1\) 的機率是多少？

學生：\(\displaystyle \frac{1}{216}\)。

瑋岳：沒錯，就是當三顆骰子都出現 1 點，這唯一的一種情況，

　　那～～三顆骰子最後會出現的點數有 \(1\) 、有 \(2\)、也有 \(3\) ，不限定順序喔，

　　出現的機率會是多少呢？

學生：是 \(\displaystyle \frac{6}{216}\)

（（此時發現～有些學生懂～有些還不是很懂為什麼，所以繼續解釋～））

瑋岳：聰明，因為把三個實際上就是在地球上佔有不同實體的骰子～對應到 \(1,2,3\) 的點數～貼上去，可能有 \(3!=6\) 種對應的方法。

　　所以，出現 \(1,2,3\) 的機率會是 \(\displaystyle \frac{6}{216}.\)

＜The end...：Ｐ＞

看到這裡，我想聰明的你應該知道為蝦咪丟兩枚硬幣時，要區分成兩個不同的實體了吧。 ^____^

作者: thankyou 時間: 2012-4-24 20:21 標題: 同時丟跟連續丟

請問各位老師:
同時丟3個硬幣的樣本空間為何？並求出現2正面1反面機率？
1個硬幣丟3次的樣本空間為何？並求出現2正面1反面機率？
我搞不清楚,請問有何不同?是不是該把3 個硬幣視為不同才對?

作者: poemghost 時間: 2012-4-24 21:30

https://math.pro/db/thread-1109-1-1.html

這跟你之前問的問題一樣

丟三個硬幣，三個硬幣是「不同」的個體

丟三次硬幣，不同的是地方在於「次序」

所以樣本空間的個數都是 \(2^3\)

[ 本帖最後由 poemghost 於 2012-4-24 11:08 PM 編輯 ]

作者: poemghost 時間: 2012-4-25 09:22

順便趁這文章問大家意見

「將6個相同的球，放進甲、乙、丙等3個不同的箱子中，每箱球數不限，則甲箱恰得2球的機率為何？」

作者: fortheone 時間: 2012-4-25 12:22

樂透的例子好棒XD

作者: fortheone 時間: 2012-4-25 12:41

我這樣想的
甲剛好兩個，先選兩個給甲，剩下四個球任意分配給乙、丙

分子=\(C^{6}_2*2^{4}\)

分母=\(3^{6}\)

作者: poemghost 時間: 2012-4-25 13:17

嗯，所以還是必須要視為不同物才行 ^^

作者: shiauy 時間: 2012-4-27 13:29

分子：\(H^{2}_4\)
看成是y+z=4的非負整數解

分母：\(H^{3}_6\)
看成是x+y+z=6的非負整數解

請問這跟f大的答案差異
造成出入的原因為何？

[ 本帖最後由 shiauy 於 2012-4-27 01:34 PM 編輯 ]

作者: poemghost 時間: 2012-4-28 21:41

引用:

原帖由 shiauy 於 2012-4-27 01:29 PM 發表
分子：\(H^{2}_4\)
看成是y+z=4的非負整數解

分母：\(H^{3}_6\)
看成是x+y+z=6的非負整數解

請問這跟f大的答案差異
造成出入的原因為何？

有出入的原因是因為你把球視為一樣 ^^

作者: tsusy 時間: 2012-4-30 22:46 標題: 回復 8# tsusy 的帖子

個人認為，真正的問題，在於 #3 所給之問題題意不明

「將6個相同的球，放進甲、乙、丙等3個不同的箱子中，每箱球數不限，則甲箱恰得2球的機率為何？」

敘述中，並不任何隨機、機率的敘述，才會造成各個的解讀的不同

舉例來說：丟一枚公正的硬幣，正反出現的機率皆為 \( \frac{1}{2} \)

就是公正二字，告訴了我們隨機、機率的訊息。

如果，今天是丟一枚不公正的硬幣，那又有誰曉得正反的機率是多少呢？

但實際上，在經過做題目的制約作用後，往往我們會習慣，談硬幣、骰子，就是公正、正常的硬幣、骰子

而古典機率中，使用事件集合的元素個數/樣本空間的元素個數

回到硬幣的問題，我們所知「公正」的事是每個硬幣出現正反的機會一樣

而樣本空間本身，是一種人為的定法，我們兩個人可以各自定義不同的樣本空間，

但只要這兩個樣本空間是公平，那計算的機率就相同。

例如在撲克牌的問題，5 張牌，計算 2 pairs 或三條等的機率

有人覺得，要算機率，不管三七二十一，五張視為不一樣，算排列數，算完再除以分母 \( P^{52}_{5} \)

實際上，以前讀書時，某段時間，自己就是這樣。

但實際上，拿到任五張的機率一樣，所以用組合算，算完再除以分母 \( C^{52}_{5} \)，答案也是相同。

作者: poemghost 時間: 2012-5-10 19:19

老實說，我不太懂TSUSY老師的意思 ^^!!

那TSUSY老師覺得那一題的題目該如何改比較不要造成誤會？

應該這麼說，為什麼有的題目視為相同或相異的結果會一樣，

原因是視為相同時，每一情況在樣本空間出現的機會一樣，
視為相異時，若剛好每一情況的排列數是相同的話，那麼它們在樣本空間出現的機會也會剛好一樣，
所以視為相同與相異的結果都一樣，就如同你舉的撲克牌的例子，

但有的題目將物品視為相同時，每一情況在樣本空間出現的機會並不一樣，

所以不能直接套用古典機率，那會違背古典機率的前提，

通常這個都是題目中的物品是「實際的物體」時才會發生的情形。

[ 本帖最後由 poemghost 於 2012-5-10 09:04 PM 編輯 ]

作者: tsusy 時間: 2012-5-10 21:23 標題: 回復 9# poemghost 的帖子

也許是我的回答，模糊了焦點，其實我想說的是有沒有自明的隨機性

而當題目沒有自明隨機性的時候，自然會產生誤會

而自明的隨機性，來自哪了？通常是應該是來自實際操作的經驗，這樣說應該還是很模糊，而且也許不對，

舉例來說：箱子中有 6 紅球 5 黃球 3 白球，任取一球，是紅色的機率是 \( \frac{6}{11} \)

問題可以繼續延伸，如問取後不放回，紅球先取完的機率是多？

這個問題中，隱含自明的是：每次取球箱中任一顆球被取到的機率一樣

再一個例子，據說是台大某年的微積分考題

在圓上任取一弦，求弦長的期望值

據說，當時學生算出來多種不同的答案，原因何在？

就是我所說的，缺少自明的「隨機性」，所以不同的人用不同的抽樣方式計算。

如可能這樣計算，選定某一方向的弦算就好了，反正方向對稱，然以架坐標(設半徑 1)

列出這樣的 \( \frac{\int_{-1}^{1} 2\sqrt{1-x^2}dx}{2} \) 或是 \( \frac{\int_{0}^{\pi} 2 \sin \theta d \theta}{\pi} \)

不知道這個例子，是否能表達出我要說的事了

另外，突然想起來以前考試的時代，也許那時候還沒被制約...

不知道大家是否也有這樣經驗，題目明明是問機率，但敘述中卻是一件確切的事，只是不知道結果而已(好像是一個普查問題...本來抽樣的平均值有隨機性，但一普查，就變母群體的真平均值，是固定的數，沒有隨機性)

然後，在答案欄裡填上 1 或 0，但顯然答案一定不是這樣，之後再跑去找老師說題目敘述的疑義

所以，回到 # 3 的問題，個人的看法是，不是隨機的東西，就不應該亂問機率才是

如果真的要問，可能改成「將6個相同的球，任意放進甲、乙、丙 3個不同的箱子中，每球放入每箱的機率相同，並且互不影響。則甲箱恰得2球的機率為何？」

本來應該是獨立的說法，但用獨立事件敘述，好像有點麻煩 (其實是想用獨立變數，但高中沒有...)

再翻了一下手邊全華第二冊的課本，在習題 3-1 有一個這樣問題，其敘述如下：

將 6 個相同的球，放入甲、乙、丙三個不同的箱子中，S 表甲、乙、丙三箱分別放置球數之樣空本空間，A 表甲箱球數大於乙箱球數之事件，B 表甲、丙兩箱球數和為 5 的事件，
1. 試求 n(S)。
2. 以列舉法表 A 與 B 的積事件。

附帶一提，3-1 的標題是「樣本空間與事件」，之後這個問題在第三章的就沒有再出現過了。

也許編者也有注意到相同的事，所以之後第三章都沒有問這個機率的題目，並把它放在古典機率之前，所以只是單純的樣本空間，並不一定公平

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-29 08:38 AM 編輯 ]

作者: weiye 時間: 2012-5-10 21:28 標題: 回復 10# tsusy 的帖子

不知道為什麼，小弟突然聯想到了張海潮教授寫的一篇《審書趣談》

http://mathcenter.ck.tp.edu.tw/R ... 1-a8c4-4dcaa163d2a3

要點連結中的＂詳全文＂喔！

作者: YAG 時間: 2012-5-14 14:48 標題: 樣本空間的疑問

袋中有三黑四白自袋中隨機抽取一球取後不放回有一種色球取完就停止  全部洽取五球的機率

解1
慮第五顆球是黑球或白球兩種情況
1.第五顆是黑球，前四顆是2黑2白，所以共有4! / (2!2!)=6種
2.第五顆是白球，前四顆是1黑3白，所以共有4!/3!=4種
[ (3*2*1*4*3) / (7*6*5*4*3) ] *6 + [ (4*3*2*1*3) / (7*6*5*4*3) ] *4 = 2/7

解2
(1) 第 5 球是黑球，前 4 球 2 黑 2 白：4! / (2!2!) = 6
(2) 第 5 球是白球，前 4 球 1 黑 3 白：4! / 3! = 4
所求 = (6 + 4) / [7! / (3!4!)]

Q
請問此題的樣本空間是 7*6*5*4*3  還是  7! / (3!4!)

還有像這種有一樣的色球在考慮樣本空間  到底是將每個同色球視為相異還是視為相同
如三黑四白逐一取球  樣本空間是  7!  還是 7!/3!4!  如何跟學生解釋

作者: YAG 時間: 2012-5-15 10:16 標題: 樣本空間的問題

袋子中有三顆黑球  四顆白球  每次取出一球取後不放回  而在有一種色球被取完時就停止則全部取五球的機率是

解1
慮第五顆球是黑球或白球兩種情況
1.第五顆是黑球，前四顆是2黑2白，所以共有4! / (2!2!)=6種
2.第五顆是白球，前四顆是1黑3白，所以共有4!/3!=4種
[ (3*2*1*4*3) / (7*6*5*4*3) ] *6 + [ (4*3*2*1*3) / (7*6*5*4*3) ] *4 = 2/7
解2
(1) 第 5 球是黑球，前 4 球 2 黑 2 白：4! / (2!2!) = 6
(2) 第 5 球是白球，前 4 球 1 黑 3 白：4! / 3! = 4
所求 = (6 + 4) / [7! / (3!4!)]

請問這個問題的樣本空間是  7*6*5*4*3  還是 7! / (3!4!)
這類逐一取球問題在考慮時樣本空間到底要怎麼考慮  是要本同色球看成相異還是相同(不盡相異物排列)
如何跟學生說

作者: weiye 時間: 2012-5-15 11:11 標題: 回復 17# YAG 的帖子

這問題延續本討論串，因此合併主題。

作者: mathblue 時間: 2012-5-16 09:52 標題: 回復 17# YAG 的帖子

在這個問題裡，當成相同球與相異球時，所列樣本空間雖然不同，但是兩個樣本空間
裡的樣本點出現的機會是均等，計算起來是事都可以的，另外注意一件事情，兩種計算
方式分子與分母差別在於是否同乘3!4!，也就是說每一個當成相同物的樣本點會對應
對應4!3!個當成相異物的樣本點。
跟學生解釋時，我會跟學生說，現在你是閉著眼睛取球，沒有球相不相同問題。
但是要強調的事，依照古典機率的定義，所列出的樣本空間裡的樣本點出現的機會
需均等。

作者: farewell324 時間: 2014-5-23 14:26 標題: 分相同物品的機率問題

先前在國中教甄，99年南區遇到一個機率問題：

36.(Ｂ) 將5個相同的球分給三個小朋友，則其中有一個小朋友沒有分到球的機率是多少？
　       (A)2/7  (B)4/7  (C)5/21  (D)7/21

　在友板與人討論，有兩種不同的說法，想向大家請教一下哪一種才是正確的想法：
　(a)  把相同的球編號視為相異物，則所有的可能有3^5=243種
　　　一個小朋友沒有拿到球：球全部分給另外兩個小朋友　3*(2^5-2)=90
      因此機率為90/243＝10/27  .....沒有正確答案

　(b)  這題根本不需要將球編號,一看就要用重複組合方式
      假設第一位得x顆,第二位得y顆,第三位得z顆,x+y+z=5
      S:樣本空間,A:其中有一個人沒有得到球的事件
      n(S)=H(3,5)=C(7,5)=7*6/2=21
      n(A)=C(3,1)*[H(2,5)-2]=3*[C(6,5)-2]=3*4=12
      (先選沒得到球的人,剩下兩人分5球,要扣掉(0,5) ,(5,0) 情況)
      所求p(A)=n(A)/n(S)=12/21=4/7
      A包含在S內,並沒有矛盾,答案也沒有錯~
　　您將球編號去分組作,基本上方向就錯了~　　　　　　此想法由Ellipse老師提供，原文轉述，一開始沒有標註是我的疏忽，非常抱歉！

兩個說法在友版有非常激烈的爭論，這裡討論的人比較多，想知道更多人的想法，謝謝！

[ 本帖最後由 farewell324 於 2014-5-23 06:50 PM 編輯 ]

作者: farewell324 時間: 2014-5-23 14:29 標題: 簡化問題

討論中有個簡化的問題一樣引出不同的意見：

將10個相同的球分給甲乙兩人，甲獨得10球的機率是多少？

(a) 使用相異物的觀點，答案會是1/1024
(b) 使用重複組合的觀點，樣本空間裡就11個元素：S={(10,0)、(9,1)、......、(0,10)}
因此答案是1/11

哪一種正確呢？

作者: Ellipse 時間: 2014-5-23 14:48

引用:

原帖由 farewell324 於 2014-5-23 02:26 PM 發表
先前在國中教甄，99年南區遇到一個機率問題：
(b)  這題根本不需要將球編號,一看就要用重複組合方式
         假設第一位得x顆,第二位得y顆,第三位得z顆,x+y+z=5
         S:樣本空間,A:其中有一個人沒有得到球的事件
         n(S)=H(3,5)=C(7,5)=7*6/2=21
         n(A)=C(3,1)*[H(2,5)-2]=3*[C(6,5)-2]=3*4=12
      (先選沒得到球的人,剩下兩人分5球,要扣掉(0,5) ,(5,0) 情況)
         所求p(A)=n(A)/n(S)=12/21=4/7
         A包含在S內,並沒有矛盾,答案也沒有錯~
　　您將球編號去分組作,基本上方向就錯了~

建議網友不要回應~ 回了您就知道....
請益別人本就應該虛心接受指教
但回應的過程令人很不舒服
先是惹到鋼琴兄,小弟想說幫忙更正一下觀念
可是越回越火...最後連脾氣很好的我都忍不住...
(既然都已經有先入為主的觀念,講了也沒用,那何必問?)

還有:直接"複製貼上"用別人在友版所打的文字,一字不漏
http://www.shiner.idv.tw/teacher ... t=1612&start=60
也沒說一聲,不尊重他人智慧財產權
這樣您覺得應答之間會有禮貌嗎?

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-23 02:52 PM 編輯 ]

作者: farewell324 時間: 2014-5-23 14:56 標題: 回復 3# Ellipse 的帖子

在友版的確是我與Ellipse老師的想法相左。
我在原文中的確完全複製了Ellipse老師的回應過來
因為深怕在轉述中與Ellipse老師的原意有所落差，我也並未將此想法占為己有
如果您認為被冒犯了，我願意重發一篇文章再請益
把您在別處自己產生的情緒帶到這裡影響大家的討論，這是何必呢？

作者: smartdan 時間: 2014-5-23 16:01

我先說，我沒有看友版的文章內容，就我所知的來回答

題目中有提到五顆相同的球，所以你分到一顆球，
不管分到哪一顆都是分到一顆球，因為球是相同的（題目中的條件）；
如果把球編號之後再分，也就是把五顆球上面分別寫上1～5號，
你分到一顆球，就會有五種情形（分到1號球、分到2號球...）
如此一來這五顆球就不相同，就與題意不合，
所以把球編號的這個做法在這一題來說是不正確的解法。

作者: farewell324 時間: 2014-5-24 15:32 標題: 回復 5# smartdan 的帖子

真的非常謝謝您的回覆！
只是若是如此，
同時投擲3個相同的硬幣，出現2正1反的機率，不就會變成1/4了嗎？

作者: smartdan 時間: 2014-5-24 15:57 標題: 回復 6# farewell324 的帖子

擲硬幣和分球是不同類型的題目，
每一顆球都相同，而且每一顆球的本身都不會變化，
每一個硬幣雖然相同，但是他會有變化（出現正面或出現反面）
所以每一個硬幣必須視為獨立個體，也可將硬幣視為不同，
因此擲硬幣和分球不能混為一談。

作者: farewell324 時間: 2014-5-24 16:44 標題: 回復 7# smartdan 的帖子

每一個硬幣都相同，會出現正反不同的情形
每一顆球都相同，是否也有分給甲、或是不分給甲的兩種情形呢？

想像一個情景：
把一顆球從上方丟下來，底下有兩個籃子標示甲、乙，假設落入兩個籃子的機率相同
那麼分球跟硬幣不是一模一樣的題目嗎？

[ 本帖最後由 farewell324 於 2014-5-24 04:46 PM 編輯 ]

作者: smartdan 時間: 2014-5-24 16:48 標題: 回復 8# farewell324 的帖子

球掉到甲乙兩個籃子，球「本身」沒有變化，還是那一顆球，
掉完之後變成在甲籃裡面的球或在乙籃裡面的球，
球還是原來的那顆球；

擲硬幣之後，它「本身」就變成正面朝上的硬幣或反面朝上的硬幣，
這兩種不同的硬幣了。

球不管怎麼分怎麼掉，都還是原本的那顆球「不會變」，
硬幣在擲完之後就變成正面朝上的硬幣和反面朝上的硬幣，
球「本身」不會變，硬幣「本身」會變，這兩樣物品不同，
所以不能混為一談。

[ 本帖最後由 smartdan 於 2014-5-24 05:05 PM 編輯 ]

作者: farewell324 時間: 2014-5-24 23:51 標題: 回復 9# smartdan 的帖子

我不能理解怎麼球會變還是硬幣會變.....不是很懂您的意思

就情境想，球在兩個籃子上彈來彈去的時候就是在變，
當落入甲籃子的時候就確定在甲籃子了，不會突然變成在乙籃子裡吧？

同理，硬幣在桌上轉呀轉的時候就是在變，
但停下來了正面朝上就是朝上，不會突然變成反面朝上....

突然覺得這個說法很趣味XD

作者: sorze 時間: 2014-5-25 13:09

5顆球有點多，換成3顆球舉例原理一樣
給小朋友編號1、2、3，球編號A、B、C
直接把它列出來
------------------
1 ABC          此表ABC三顆球都給1號小朋友
2                   有三個小朋友，所以此狀況共3種
3
------------------
1 AB
2 C                   此狀況6種
3
------------------
1 AC
2 B                   此狀況6種
3
------------------
1 BC
2 A                   此狀況6種
3
------------------
1 A
2 B                   此狀況3!=6種
3 C
------------------
總合27種也就是3^3種
以原PO的算法只有中間三種符合，所以 = (6*3) / (3+6*3+1*6) = [3*(2^3-2)] / 3^3
這是在球有編號的情形下
若是球沒有編號
則上列第一項情形有3種
第二、三、四項共6種
第五項1種，總合為10種
符合的為第二、三、四項，所以=6 / (3+6+1) = 3*[H(2,3)-2] / H(3,3)
比較這個式子 (6*3) / (3+6*3+1*6)  和 6 / (3+6+1)
雖然都是b / (a+b+c) 的形式但是明顯不同
不知道這樣的解釋會不會比較好理解一點

作者: andydison 時間: 2014-5-27 20:52

在下不才，也來試試，我實在不明白相同物為何要改用相異物觀點。

以簡單例子來說：將2白球分給甲乙兩人，恰一人沒有拿到球的機率。
以相同物觀點是：樣本空間 (甲，乙)=(2，0)、(1，1)、(0，2)，故所求機率為 2/3。
以farewell324的觀點，上述樣本空間中(1，1)含有兩種情況：
若將球編號為白1白2，則可分成(白1，白2)、(白2、白1)
另外兩個(2，0)、(0，2)則不可再分，
所以樣本空間應為： (甲，乙)=(白1白2，0)、(白1，白2)、(白2，白1)、(0，白1白2)，所求機率為2/4。

以上兩個樣本空間，在各自的討論範圍(相同物或相異物)中，都是正確的。

在相同物中，若硬是要將球編號，則哪顆球先分出去是不同的情況，
所以樣本空間應為： (甲，乙)=(白1白2，0)、(白2白1，0)、(白1，白2)、(白2，白1)、(0，白1白2)、(0，白2白1)
所求機率為4/6=2/3是一樣的。

這時一定會問，那若是相異物該如何，例如1紅1黃球分給甲乙兩人，恰一人沒有拿到球的機率，
樣本空間為(紅黃，0)、(黃紅，0)、(先拿紅，後拿黃)、(後拿紅，先拿黃)、(先拿黃，後拿紅)、(後拿黃，先拿紅)、
(0，紅黃)、(0，黃紅)
所求機率為4/8=2/4，與前述相異物分球機率一樣。

因此，在這問題：將10個相同的球分給甲乙兩人，甲獨得10球的機率是多少？
(10，0)可分成 10! 種不同情況
(9，1)也可分成 10! 種不同情況
所以機率仍是1/11無誤。

以上只是自己觀點，試著回答看看而已。

作者: farewell324 時間: 2014-5-29 01:09 標題: 回復 12# andydison 的帖子

謝謝您的回饋，不僅將球視為相異物，再依不同順序分球
事實上，
　andydison認為"將球編號，則哪顆球先分出去是不同的情況"　
　這是明顯的不合理。
　如果每個球是公平的分配，那麼哪顆先分怎麼可能會有差異呢？
　由於每顆球分配時均為獨立事件，因此您將球衣不同順序分出
　不過是將整個樣本空間等比例放大而已(如同您後面所述10!、9!)，但機率不可能會改變

but，那麼為何依照andydison所列，樣本空間不是4*2!=8 種呢？
　因為andydison除了
　(甲，乙)=(白1白2，0)、(白2白1，0)、(白1，白2)、(白2，白1)、(0，白1白2)、(0，白2白1)外
　您少列了兩種：　(白1，白2)、(白2，白1)
　既然甲獨得兩白球有(先分到白1、再分到白2)或是(先分到白2、再分到白1)兩種狀況
　那麼(白1，白2)自然也有(甲先分到白1、乙再分到白二)＆(乙先分到白2、甲再分到白1)
同理，(白2，白1)也有(乙先分到白1、甲再分到白二)＆(甲先分到白2、乙再分到白1)各兩種狀況
　因此，因為您漏掉了這兩種，否則答案仍為4/8=1/2
即便乘了9!、10!後，答案仍然以相異物的觀點為符合
　
　如此，您明白相同物為何要改用相異物觀點切入了嗎？

作者: andydison 時間: 2014-5-29 08:02 標題: 回復 13# farewell324 的帖子

我還是不明白為何相同物問題要改用相異物觀點，明明結果不一樣。

您有說到「將球編號，則哪顆球先分出去是不同的情況，這是明顯的不合理。如果每個球是公平的分配，那麼哪顆先分怎麼可能會有差異呢？」
我也認為多此一舉，就像原問題是說相同球，甲乙各拿一球就是一種情況，怎麼還要分成兩種呢?
球是公平的分配，那麼甲乙拿哪顆白球怎麼可能會有差異呢？
因此，將相同球編號以相異物觀點討論，本就是不合理的事。

作者: weiye 時間: 2014-5-29 08:44 標題: 回復 14# andydison 的帖子

古典機率的定義，需要先滿足「樣本空間中每個樣本點的發生機會均等」。

可以先看看以前討論過的 https://math.pro/db/thread-1109-1-1.html 這篇。

作者: thepiano 時間: 2014-5-29 09:03

成大統計劉應興副教授在 PTT 關於本問題的說法

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-5-29 09:14 AM 編輯 ]

圖片附件: 20140529.jpg (2014-5-29 09:04, 134.44 KB) / 該附件被下載次數 3881
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2297&k=09432005b6c3e6faab07e70e00c6819e&t=1713936488

作者: tsusy 時間: 2014-5-29 09:16 標題: 回復 16# thepiano 的帖子

我的看法相同，在 weiye 老師的連結，已經是2年前的回文了

引用:

原帖由 tsusy 於 2012-4-30 10:46 PM 發表
個人認為，真正的問題，在於 #3 所給之問題題意不明

「將6個相同的球，放進甲、乙、丙等3個不同的箱子中，每箱球數不限，則甲箱恰得2球的機率為何？」

敘述中，並不任何隨機、機率的敘述，才會造成各個的解讀的不同

舉例來說：丟一 ...

作者: farewell324 時間: 2014-5-29 10:03 標題: 回復 16# thepiano 的帖子

是的，在與這裡、及美夢成真論壇的老師討論後(似乎認同我想法的並不多)，
我廣泛地尋求各種意見，而在PTT 發表文章詢問的也是小弟我，
除了yhliu留言之外，也尚有更多人回覆指教。
也提供另外一個答覆給各位，我請教的是前中一中的賴瑞楓老師，我想由他來做教甄的試教委員是最適合不過了
http://gb.tovery.net/jflai/　　　第#594則留言

如果說不以相異物的觀點視之，我比較能夠接受題意沒有敘述清楚這種說法。
如果將分球改為擲公平的硬幣，則較不會有各自表述的問題發生(除非老師仍存有迷思，堅持使用重複組合)

只是就分球原題的敘述，也許嚴格一點看來並不夠完整，
但正如同版上兩年前的這篇討論中，詳細的命題有時會讓人有畫蛇添足的感覺
如此地敘述應該還是可以讓人知道就是"公正的分球"
若要用重複組合來分，就必須在分球前先看到樣本空間中所有分球的可能性
再令每種可能發生的機會均等，重複組合的作法才會正確(但要在題目中如此敘述將更加複雜)

謝謝各位的悉心指教，
我想來這裡討論數學是開心的，但問問題並不是就是要"虛心接受指教"，而是在討論中傾聽不同的說法
有既定的想法很好，可以互相討論，就此認定沒有討論的空間就很難再溝通下去
就像若學生來問問題，老師的回應是武斷而沒有傾聽空間的
或是直接請你去鑽研其他題目，別再問了。這樣的回覆實在讓人感覺很糟糕。
由於先前在美夢成真論壇的討論並不那麼令人開心，因此態度上若有讓各位覺得不舒服的地方，請多見諒！
謝謝各位在這裡奉獻想法，營造了一個討論數學的優良環境，非常感謝！

[ 本帖最後由 farewell324 於 2014-5-29 10:16 AM 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2014-5-29 10:26

你是來指教我們，不是來傾聽不同的說法

你是來告訴我們，你的觀點才是對的，而我們某些人的觀點是錯的

我可以很簡單的舉出一種分法，證明用重複組合來做是對的，不過懶得寫了

作者: farewell324 時間: 2014-5-29 11:31 標題: 回復 19# thepiano 的帖子

其實這些討論過程與數學、甚至這裡都沒有關係，
把紛爭帶來這裡相信不是大家所樂見的，我只想講我請益的想法，信不信...就在您了

感謝piano老師的熱心，在板上幫忙解了這一題，(且選的到正確答案)
而我在數年後一樣寫到這一題，有不同的想法但因為沒有答案可以選，
因此留言請教piano老師當時解題的想法。　
在此一階段，我的本意就是請教想法，而我也留下了我的想法供piano老師參考。

而在piano老師明確的告知解題想法後，
我查閱了各方資料(包含mathpro幾年前的討論)，確定我的作法應該並沒有錯誤的時候
我才有了自己的意見，並主張自己的想法。
如果讓piano老師有種跳入陷阱的感覺，我實在非常抱歉。
畢竟您的熱心實在幫助我非常多，而我由衷的感激。

接著有其他人要加入討論，主張他的意見當然是好事，
若是想要跳出來"指教別人"的也歡迎，但至少要先能提出正確的觀點說服人才行

[ 本帖最後由 farewell324 於 2014-5-29 11:33 AM 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2014-5-29 12:46

你確定你的做法正確，那是你的事，犯不著對跟你想法不同的人說三道四

我很後悔幫助到你，以後看到你的帖子，我會略過

作者: Ellipse 時間: 2014-5-29 13:38

不用含沙射影,指桑罵槐,就直接講我就好
在你還沒出現前,我和鋼琴兄在美夢成真
及math pro回答過無數網友問題
網友也都很客氣,大家也都很和氣
從來都沒有什麼紛爭出現過
直到你出現...

如果不信任美夢成真及math pro的答案
你也不用再來,不需要再講一些543,造成一些紛爭
請還給math pro一個乾淨平和的討論空間

還有也不需要先把人洗臉後再道歉
我跟鋼琴兄一樣:
"我很後悔幫助到你，以後看到你的帖子，我會略過"

作者: farewell324 時間: 2014-5-29 13:51

引用:

原帖由 thepiano 於 2014-5-29 12:46 PM 發表
你確定你的做法正確，那是你的事，犯不著對跟你想法不同的人說三道四
我很後悔幫助到你，以後看到你的帖子，我會略過

看到piano老師態度依舊，其實我有些訝異，
您本沒有義務為我做任何事情，不管您態度如何，仍然感謝您。

作者: farewell324 時間: 2014-5-29 13:59

引用:

原帖由 Ellipse 於 2014-5-29 01:38 PM 發表
不用含沙射影,指桑罵槐,就直接講我就好
在你還沒出現前,我和鋼琴兄在美夢成真
及math pro回答過無數網友問題
網友也都很客氣,大家也都很和氣
從來都沒有什麼紛爭出現過
直到你出現...

如果不信任美夢成真及math pro ...

至於Ellipse老師，你的學識令人佩服，
我也認同這裏的各位都很客氣、和氣的求教、指教，
也許您可以享受指教別人、解題的成就感，但我想由於我的出現說明了你欠缺接受指正的度量及雅量
而你回答我問題的態度實在不敢恭維，(例如請人去鑽研其他題目、請人拿此觀念去試教看看，看會得幾分阿)
如果是這樣子的交流，為了版上良好的討論環境，這部分少一些您的蹤影我想是Z>B

作者: andydison 時間: 2014-5-29 14:00 標題: 回復 13# farewell324 的帖子

我之前的舉例真的不太好，那改用這樣的觀點看看：

在講重複組合時會以隔板與相同球來說明，
2相同球分給甲乙兩人，所以要一隔板與兩相同球，
將兩球放好，隔板放下去，左邊的給甲，右邊的給乙，
而隔板只能放在兩球左側、中間、右側，這機會都是1/3，
應該不會說放到中間的機會比較大吧，
所以有一人沒有球機率是2/3。

就算是將球編了號，將球放好會有兩種情況：白1白2 或白2白1
隔板放下去共有6種情況，各個機會也都一樣，有一人沒有球佔其中4種，
機率是4/6。這也呼應了我之前寫的樣本空間。

[ 本帖最後由 andydison 於 2014-5-29 02:09 PM 編輯 ]

作者: farewell324 時間: 2014-5-29 14:14 標題: 回復 25# andydison 的帖子

對耶!! 謝謝您的意見！
如果是將球排成一列，然後用隔板來分球
那麼這樣子的分球方式就使樣本空間裡的每一個樣本點出現機會相等了！
當然我並不是不知道以隔板分球早在高中教材中有，
只是看到分球，就被常見的一球一球分而固化了思考模式，
謝謝您提供的想法，我終於確實的理解劉教授所說："根本沒有談如何分, 何談機率"了
Thx~!

[ 本帖最後由 farewell324 於 2014-5-29 03:36 PM 編輯 ]

作者: Ellipse 時間: 2014-5-29 15:00

隔板的觀念早就清清楚楚寫在高中課本重複組合的單元內了~
有能力的話,多回答網友po的問題
不要再挑起紛爭~

作者: weiye 時間: 2014-5-29 17:40

本討論串與舊討論串合併，相同主題合併討論。 :-)

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