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標題: 100文華高中 [打印本頁]

作者: weiye 時間: 2011-5-1 20:43 標題: 100文華高中

填充題，見附加檔案。

計算題

第一題：如圖，設 \(O\) 為原點，在 \(x^2+y^2=1\) 且 \(y>0\) 上半圓的圓周上有動點 \(B\) ，\(A(2,0)\)，\(C\) 為第一象限的點，\(\triangle ABC\) 是等腰三角形，且 \(\angle BAC=90^\circ\)，

　　　　試問當 \(B\) 的點坐標為何時， \(\overline{OC}\) 會有最大值。註：圖床已倒，請看後續回覆有圖。

　　　　參考答案：\(\displaystyle B(\frac{-\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})\)

第二題：敘述並證明「微積分基本定理」。

參考答案：詳見～維基百科

註：感謝 yungju 老師幫忙補圖！

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作者: yungju 時間: 2011-5-1 21:08

計算第一題我來貼個圖

[ 本帖最後由 yungju 於 2011-5-1 09:20 PM 編輯 ]

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作者: dream10 時間: 2011-5-1 21:13

平面上的坐標轉換也有~~~

作者: waitpub 時間: 2011-5-1 21:14

1.
已知函數\(f(x)\)滿足\(\displaystyle f(x+1)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}\)，若\(f(2)=2011\)，試求\(f(f(2))=\)　　　。

請問一下填充第一題，F(x)怎麼看出來是週期函數?有沒有相關資料可以參考??

作者: yungju 時間: 2011-5-1 21:15

第一題你就先代簡單的數字進去算看看就知道了
ex:f(1)=2,代進去算看看就會發現它的週期是4

作者: bugmens 時間: 2011-5-1 21:19

16.平面上有兩個橢圓，其中一個橢圓為\( Γ_1 \)：\( x^2+2y^2=1 \)，另一個橢圓\( Γ_2 \)為\( Γ_1 \)繞原點逆時針旋轉\( 60^o \)。已知這兩個橢圓相交於四個點，逆時鐘順序依次連成一個四邊形，請問該四邊形的面積？
[解答]
畫圖觀察\( ∠AOM=∠A'OM=30^o \)，\( ∠AON=120^o \)
令\( \overline{OM} \)直線方程式為\( \displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{3}}x \)，和原橢圓交點\( \displaystyle M=( \sqrt{\frac{3}{5}},\sqrt{\frac{1}{5}} ) \)
令\( \overline{ON} \)直線方程式為\( \displaystyle y=- \sqrt{3}x \)，和原橢圓交點\( \displaystyle N=( -\sqrt{\frac{1}{7}},\sqrt{\frac{3}{7}} ) \)
算出△MON面積\( \displaystyle \frac{2}{\sqrt{35}} \)，菱形ABCD面積\( \displaystyle \frac{8}{\sqrt{35}} \)

感謝moun9提供資訊
橢圓\( x^2+3y^2=4 \)旋轉\( \theta \)( \( \displaystyle 0<\theta < \frac{\pi}{2} \) )後與原橢圓交於\( \displaystyle A \Bigg(\; \sqrt{2},\sqrt{\frac{2}{3}} \Bigg)\; \)、B、C、D四點，試求\( \theta \)。
(96新竹女中)

以坐標原點為旋轉中心，將橢圓Γ：\( \displaystyle \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1 \)反時針旋轉角度\( \theta \)(其中\( 0^o< \theta <90^o \) )得一新橢圓Γ'，則兩橢圓相交於四個點。今將此四點以坐標原點為中心，反時鐘順序依次連成一個四邊形ABCD，請問下列哪些敘述為真？
(A) \( \overline{AB}=\overline{BC} \)　(B) \( \overline{AB}=\overline{CD} \)　(C) ∠BAD=∠ABC　(D) \( \overline{AC} \)和\( \overline{BD} \)互相平分　(E) \( \overline{AC} \)和\( \overline{BD} \)互相垂直
(97中二中期中考)

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作者: CingUng 時間: 2011-5-1 22:35

14.
箱子裡有若干個大小相同的號碼球，其中\(i\)號球有\(i\)個(\(i=2k-1,k=1,2,\ldots,50\))。從箱子裡取出一球，每球被取的機會均等。今計算該球之球號與某數\(a\)之差的絕對值。為使這些差的絕對值之期望值為最小，求\(a\)值為_________。

請問14題的答案真的是36嗎？
應該是要算1,3,5,7,...,99的中位數
我算出來的是71耶？

作者: Fermat 時間: 2011-5-1 22:43

第一題用複數解
設A(2), B(cosθ+isinθ) => AB=(cosθ-2+isinθ)
=> OC=2+(cosθ-2+isinθ)(-i)
=> |OC|=9+4sqrt(2)sin(θ-45度)
=> θ=135度時|OC|最大
得B(-sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)

作者: Fermat 時間: 2011-5-1 22:48 標題: 回復 4# waitpub 的帖子

1.
已知函數\(f(x)\)滿足\(\displaystyle f(x+1)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}\)，若\(f(2)=2011\)，試求\(f(f(2))=\)　　　。

\(\displaystyle f(x+2)=\frac{1+f(x+1)}{1-f(x+1)}\)

\(=\frac{\displaystyle 1+\frac{1+f(x)}{1-f(x)}}{\displaystyle 1-\frac{1+f(x)}{1-f(x)}}\)

\(\displaystyle =\frac{1-f(x)+1+f(x)}{1-f(x)-1-f(x)}\)

\(\displaystyle =-\frac{1}{f(x)}\)

\(\displaystyle\Rightarrow f(x+4)=-\frac{1}{f(x+2)}=f(x)\)

作者: Fermat 時間: 2011-5-1 22:55

引用:

原帖由 bugmens 於 2011-5-1 09:19 PM 發表
16.平面上有兩個橢圓，其中一個橢圓為\( Γ_1 \)：\( x^2+2y^2=1 \)，另一個橢圓\( Γ_2 \)為\( Γ_1 \)繞原點逆時針旋轉\( 60^o \)。已知這兩個橢圓相交於四個點，逆時鐘順序依次連成一個四邊形，請問該四邊形的面積？

...

91數甲多重選第四題

作者: Fermat 時間: 2011-5-1 23:04

引用:

原帖由 CingUng 於 2011-5-1 10:35 PM 發表
請問14題的答案真的是36嗎？
應該是要算1,3,5,7,...,99的中位數
我算出來的是71耶？

原球號1~50
中位數不可能為71
答案36沒錯

sorry我錯了
題目真的是1,3,5, ...,99的球號
這題答案給錯了

[ 本帖最後由 Fermat 於 2011-5-1 11:11 PM 編輯 ]

作者: nanpolend 時間: 2011-5-2 01:36 標題: 回復 1# weiye 的帖子

填充1.
f(0)=-1/2011
f(1)=1005/1006
f(2)=2011
f(3)=-1006/1005
f(4)=-1/2011
....4循環
2011/4=502.....3
f(f(2))=f(2011)=-1006/1005為所求

作者: nanpolend 時間: 2011-5-2 02:31 標題: 回復 12# nanpolend 的帖子

2.
試求\(\displaystyle \int_0^2 x^2(1-x)^{23}dx=\)　　　。
[解答]
\(\displaystyle =\int_1^{-1}(1-y)^2y^{23}(-dy)\)
\(\displaystyle =\int_{-1}^1 (1-2y+y^2)y^{23}dy\)
\(\displaystyle =\int_{-1}^1 y^{23}-2y^{24}+y^{25}dy\)
\(\displaystyle =\frac{1}{24}y^{24}-\frac{2}{25}y^{25}+\frac{1}{26}y^{26}\Bigg\vert\;_{-1}^1\)
\(\displaystyle =\left(\frac{1}{24}-\frac{2}{25}+\frac{1}{26} \right)-\left(\frac{1}{24}+\frac{2}{25}+\frac{1}{26}\right)\)
\(\displaystyle =-\frac{4}{25}\)

作者: waitpub 時間: 2011-5-2 09:36

請問一下填充第六題如何算?

作者: dream10 時間: 2011-5-2 14:10

6.
空間坐標中，設\(0\le x+2y\le 6\)，\(-1\le x-3y+z \le 3\)，\(1\le x+3y-2z\le 7\)所圍成的平行六面體為\(\Gamma\)，則\(\Gamma\)的體積　　　。

請參考這一個網頁

https://math.pro/db/viewthread.php?tid=924&page=1#pid1993

作者: addcinabo 時間: 2011-5-2 16:13

請問各位前輩
填充第12 ------->我知道是積分...但寫不出來>"<
填充第15

感謝先^^

作者: yungju 時間: 2011-5-2 16:33

我將幾題解法簡單的打一打

第15題
四角錐\(OABCD\)中，\(ABCD\)為正方形，\(\Delta OCD\)為正三角形，平面\(OCD\)垂直平面\(ABCD\)，若兩平面\(OBD\)與\(OBC\)所夾銳角為\(\theta\)，求\(\cos \theta=\)　　　。
[解答]
將幾個頂點座標化
\(A(2,0,0), B(2,2,0), C(0,2,0), D(0,0,0), O(0,1,\sqrt{3})\)
然後計算兩平面的法向量,再計算夾角即可

第3題
將甲乙丙丁戊己庚七人分成\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)四組(每組至少一人)，若甲乙丙三人均不同組，其分法數有　　　種。
[解答]
先將甲乙丙安排在一、二、三組
然後將另外四人任意排列,扣掉沒人在第四組的可能性,
最後將四組重新排列
即\((4^4-3^4)\times 4!\)

第5題:
設\(x^4-3x^3+5x^2+x+2=0\)的四根為\(a,b,c,d\)，則\(\displaystyle \frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}+\frac{1}{2-d}=\)　　　。
[解答]
\(x^4-3x^3+5x^2+x+2=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)\)
所以\(16=(2-a)(2-b)(2-c)(2-d)\)
所求\(\displaystyle =\frac{1}{16}[(2-b)(2-c)(2-d)+(2-a)(2-c)(2-d)+(2-a)(2-b)(2-d)+(2-a)(2-b)(2-c)]\)
然後利用根與係數硬算,不曉得還有沒有更快方法就是了

第10題
某百貨公司想在周年慶時辦理抽獎遊戲，辦法如下 : 設置 3 個不同的抽獎箱，每個抽獎箱中至少有1 個球且只有 1個紅球，其它皆為白球，而從3個抽獎箱都抽出紅球者即為中獎，百貨公司希望這遊戲中獎的機率是\(\displaystyle \frac{1}{200}\)，試問 3 個抽獎箱內白球球數的配置有　　　種方法。
[解答]
假設三個抽獎箱的總球數是\(x,y,z\)
計算\(xyz=200\)的正整數解個數即可
\(H(3,3)\times H(3,2)=C(5,3)\times C(4,2)\)

作者: yungju 時間: 2011-5-2 16:40

第11題
1-P(四具引擎均故障)-P(3具引擎故障)>1-(2具引擎均故障)
1-(1-p)^4-C(4,1)p(1-p)^3>1-(1-p)^2
=>p(3p-2)(1-p)^2>0
=>p>2/3
故2/3<p<1

作者: chu1976 時間: 2011-5-2 18:05 標題: 填充第3,12題

第3題我是用分組慢慢算～～不曉得其他大大有更快的方法?
第12題請看pdf檔

[ 本帖最後由 chu1976 於 2011-5-2 06:15 PM 編輯 ]

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作者: Joy091 時間: 2011-5-2 19:27 標題: 回復 17# yungju 的帖子

第5題
先平移，再用負根，最後用倒根

平移
原式 \(\displaystyle =(x-2)^4+5(x-2)^3+11(x-2)^2+17(x-2)+16\)
推得方程式 \(\displaystyle x^4+5x^3+11x^2+17x+16=0\) 的根為 a-2,  b-2,  c-2,  d-2

負根
推得方程式 \(\displaystyle x^4-5x^3+11x^2-17x+16=0\) 的根為 2-a,  2-b,  2-c,  2-d

倒根
推得方程式 \(\displaystyle 16x^4-17x^3+11x^2-5x+1=0\) 的根為  \(\displaystyle \frac{1}{2-a} ,  \frac{1}{2-b} ,  \frac{1}{2-c} ,  \frac{1}{2-d}\)

故所求為 \(\displaystyle \frac{17}{16}\)

[ 本帖最後由 Joy091 於 2011-5-2 07:29 PM 編輯 ]

作者: waitpub 時間: 2011-5-2 19:39

第5題：分母=>x代2
分子=>一次微分後，x再代2。
快很多喔!

作者: natureling 時間: 2011-5-3 11:44 標題: 想請問第3題

想請問第3題為何不能思考成
step1:剩4人中取一人 C^4_3
step2:甲乙丙和setp1取到的人排入ABCD中，4!
step3:剩下的3人,任意放入ABCD4組中 H^4_3

作者: Ellipse 時間: 2011-5-3 16:59

引用:

原帖由 natureling 於 2011-5-3 11:44 AM 發表
想請問第3題為何不能思考成
step1:剩4人中取一人 C^4_3
step2:甲乙丙和setp1取到的人排入ABCD中，4!
step3:剩下的3人,任意放入ABCD4組中 H^4_3

用到H的公式就錯了
因為是不同人分不同組

作者: nanpolend 時間: 2011-5-3 19:35 標題: 回復 19# chu1976 的帖子

第12題填充
limit[(1^5+3^5+...+(2n-1)^5)/n^6]
=limit[(1^5+2^5+...+(2n)^5)/n^6-(2^5+4^5+...+(2n)^5)/n^6]
limit[(1^5+2^5+...+(2n)^5)/n^6]
=∫[0..2]x^5dx
=32/3
limit[(2^5+4^5+...+(2n)^5)/n^6]
∫[0..1](2x)^5 dx
=16/3
答案：32/3-16/3=16/3
說明：
(1^5+2^5+...+(2n)^5)/n^6是函數x^5在區間[0,2]的一個upper sum
(2^5+4^5+...+(2n)^5)/n^6是函數(2x)^5在區間[0,1]的一個upper sum
轉貼自昌爸主要解法全-偶=奇

作者: waitpub 時間: 2011-5-3 19:45

請問第13題如附件這樣算對嗎??
之後又該如何算下去??

附件: [第13題] math.pdf (2011-5-3 19:45, 40.31 KB) / 該附件被下載次數 8663
https://math.pro/db/attachment.php?aid=334&k=17ad43ce32a1547d038ced5e8479b530&t=1732263916

作者: chu1976 時間: 2011-5-3 19:58

引用:

原帖由 waitpub 於 2011-5-3 07:45 PM 發表
請問第13題如附件這樣算對嗎??
之後又該如何算下去??

f(x)為二次多項式,設f(x)=ax^2+bx+c,x=1,2,3求a,b,c

作者: Fermat 時間: 2011-5-3 22:49

引用:

原帖由 nanpolend 於 2011-5-3 07:35 PM 發表
第12題填充
limit[(1^5+3^5+...+(2n-1)^5)/n^6]
=limit[(1^5+2^5+...+(2n)^5)/n^6-(2^5+4^5+...+(2n)^5)/n^6]
limit[(1^5+2^5+...+(2n)^5)/n^6]
=∫[0..2]x^5dx
=32/3
limit[(2^5+4^5+...+(2n)^5)/n^6]
∫[0..1](2x) ...

我一開始的想法也是用先加再減的想法
不過這題其實可以直接做(老王的做法)

lim[(1^5+3^5+...+(2n-1)^5)/n^6]
=(1/2) lim (2/n){(1/n)^5+(3/n)^5+...+[(2n-1)/n]^5}
=(1/2) ∫ [0 to2] x^5dx (考慮0到2分n等分, 每等分長2/n, 取每一等分中點的函數值)
=(1/2) (32/3)
=16/3

[ 本帖最後由 Fermat 於 2011-5-3 10:50 PM 編輯 ]

作者: Fermat 時間: 2011-5-3 22:59

引用:

原帖由 chu1976 於 2011-5-3 07:58 PM 發表

f(x)為二次多項式,設f(x)=ax^2+bx+c,x=1,2,3求a,b,c

老王說這題題目有問題
題目只說f(x)是連續函數, 沒有說是多項函數
所以答案無窮多組 (原答案加上任一週期為1的函數皆可)
例如f(x)=x^2+x+1/6+ksin2πx

作者: Fermat 時間: 2011-5-3 23:08

引用:

原帖由 natureling 於 2011-5-3 11:44 AM 發表
想請問第3題為何不能思考成
step1:剩4人中取一人 C^4_3
step2:甲乙丙和setp1取到的人排入ABCD中，4!
step3:剩下的3人,任意放入ABCD4組中 H^4_3

就算step3. 算4^3也錯
因為step1, step3多算了一些情形
(如step1取丁且step3取戊與丁同組, 和step1取戊且step3取丁與戊同組是同一種分法, 但你的算法視為相異分法)

作者: nanpolend 時間: 2011-5-3 23:47 標題: 回復 24# nanpolend 的帖子

填充第4題
轉貼昌爸討論區(PS)解法詳細但有些錯誤
yani 回覆於: 2011/4/30 下午 11:58:10
令a=(x+18)^(1/3)，b=-(x-18)^(1/3)
a+b=3，b=3-a，a^3+b^3=36
(a+b)^3=(a^3+b^3)+3ab(a+b)，27=36+3ab*3，ab=-1
-1=ab=a(3-a)，aa-3a-1=0，a=(3±√13)/2，aa=3a+1
x+18=a^3=3(aa)+a=3(3a+1)+a=10a+3=18±5√13，x=±5√13

解法代數變換漂亮

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2012-5-18 05:07 PM 編輯 ]

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作者: weiye 時間: 2011-5-4 08:37

第 12 題小弟提供另一種作法。

第 12 題：

\(\displaystyle \sum_{k=1}^n (2k-1)^5\)

\(\displaystyle = \sum_{k=1}^n (2k)^5 + \sum_{k=1}^n \left(-5(2k)^4+10(2k^3)-10(2k)^2+5(2k)-1\right)\)

\(\displaystyle =32\sum_{k=1}^n k^5+O(n^5)\)

\(\displaystyle =32\left(\frac{1}{6}n^6+O(n^5)\right)+O(n^5)\)

\(\displaystyle =\frac{32}{6}n^6+O(n^5)\)　　（當 \(n\to\infty\) ）

所以，\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^n(2k-1)^5}{n^6}=\frac{16}{3}.\)

註：Big-O 定義請見 http://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation

作者: rdrank 時間: 2011-5-4 11:03

請問老師填充的第7,8,9題該怎麼做?謝謝!

作者: weiye 時間: 2011-5-4 12:54

第 7,8 題用旋轉跟平移（善用轉軸不變量解題速度較快），

第 7,8,9 題的解法，可見 http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2469 當中 nanage 老師的回覆之中的解題。

第 9 題是常見考古題，在 https://math.pro/db/thread-156-1-1.html 也有用積分的解法（與 thepiano 老師的解題方法一樣）。

作者: rdrank 時間: 2011-5-4 15:36

謝謝老師!

作者: natureling 時間: 2011-5-7 17:14 標題: 回復 29# Fermat 的帖子

對吔...了解...感謝^^

作者: natureling 時間: 2011-5-7 17:15 標題: 回復 21# waitpub 的帖子

什麼原理可以用如此快速的方法呢?...真的快很多

作者: weiye 時間: 2011-5-7 18:04 標題: 回復 36# natureling 的帖子

若四次多項式方程式 \(f(x)=0\) 的四個根為 \(a,b,c,d\)，則

令 \(\displaystyle f(x)=k\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)\left(x-d\right)\)，其中 \(k\neq0\)，

\(\Rightarrow f\, '(x)=k\Bigg[\left(x-b\right)\left(x-c\right)\left(x-d\right)+\left(x-a\right)\left(x-c\right)\left(x-d\right)\)

　　　　　　\(+\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-d\right)+\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)\Bigg]\)

因此，

\(\displaystyle\frac{f\, '(x)}{f(x)}=\frac{1}{x-a}+\frac{1}{x-b}+\frac{1}{x-c}+\frac{1}{x-d}\)。

作者: Jacob 時間: 2011-5-11 11:26 標題: 想請問第13題

不知有沒有老師可以解一下第13題，謝謝。

作者: nanpolend 時間: 2011-5-27 10:40 標題: 回復 1# weiye 的帖子

轉貼自美夢成甄網站詳解2.7.8.9.12

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-8 12:42 AM 編輯 ]

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作者: weiye 時間: 2011-5-27 13:19 標題: 回復 38# Jacob 的帖子

第 13 題

解答：

令 \(\displaystyle h(x)=\int_0^x f(t) dt\)，則

\(h(x)-h(x-1)=x^2\)

所以，

\(\displaystyle h(x)=h(0)+\left(h(1)-h(0)\right)+\left(h(2)-h(1)\right)+\cdots+\left(h(x)-h(x-1)\right)\)

　　\(\displaystyle =0+1^2+2^2+\cdots+x^2\)

　　\(\displaystyle =\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}\)

　　\(\displaystyle =\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+\frac{x}{6}\)

故，

\(\displaystyle f(x)=\frac{d}{dx}h(x)=x^2+x+\frac{1}{6}\)

-------------------

上方解法有 bug（有興趣的可以想想看在哪裡），
用來猜出填充題的答案尚可~但其實有點問題~：Ｐ
小弟目前沒想到更好的解法～：Ｐ

作者: nanpolend 時間: 2011-5-30 10:02 標題: 回復 39# nanpolend 的帖子

填充題第六題

長方體體積 = τ×法向量行列式
行列式值=9
6×4×6=9×τ
τ=16

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2012-8-12 06:40 AM 編輯 ]

作者: nanpolend 時間: 2011-5-30 11:45

引用:

原帖由 Fermat 於 2011-5-1 10:43 PM 發表
第一題用複數解
設A(2), B(cosθ+isinθ) => AB=(cosθ-2+isinθ)
=> OC=2+(cosθ-2+isinθ)(-i)
=> |OC|=9+4sqrt(2)sin(θ-45度)
=> θ=135度時|OC|最大
得B(-sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)

請教一下為何OC=2+(cosθ-2+isinθ)(-i)這一步看不懂

作者: weiye 時間: 2011-5-30 12:28 標題: 回復 42# nanpolend 的帖子

利用複數，作下列三步驟

1. 平移到以 \(2+0i\) 為新原點，

2. 以原點為中心將點坐標逆時針旋轉 \(-90^\circ\)，即將複數乘上 \(\cos(-90^\circ)+i\sin(-90^\circ)=-i,\)

3. 平移到以 \(-2+0i\) 為新的原點。

作者: nanpolend 時間: 2011-5-30 14:42

引用:

原帖由 Fermat 於 2011-5-1 11:04 PM 發表

原球號1~50
中位數不可能為71
答案36沒錯

sorry我錯了
題目真的是1,3,5, ...,99的球號
這題答案給錯了

即求 1,3,3,3,5,5,5,5,5,7....,99,99,99...,99

一個1、三個3、五個5、....、九十九個99 的中位數。
1+3+...+99=50*(1+99)/2=2500
第1250位和第1251位
1+3+...+69=35*(1+69)/2=1225
因此中位數71為使期望值為最小

作者: nanpolend 時間: 2011-6-3 10:04 標題: 回復 17# yungju 的帖子

第15題詳解

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-8 12:55 AM 編輯 ]

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作者: nanpolend 時間: 2012-10-4 22:59 標題: 回復 43# weiye 的帖子

那題我還是看不懂==

作者: tsusy 時間: 2012-10-6 08:51 標題: 回復 40# weiye 的帖子

方法的確有 bug

不過本質上，是題目有 bug

簡單來說，就是 f 的解不是唯一解

至於為什麼，繼續留著給有興趣的人想

作者: YAG 時間: 2014-3-24 00:28 標題: 回復 40# weiye 的帖子

錯誤地方!

[ 本帖最後由 YAG 於 2014-3-24 12:39 AM 編輯 ]

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作者: cefepime 時間: 2018-4-11 23:55

填充12

考慮級數 1⁵ + 2⁵ + 3⁵ + ... + n⁵，當 n 趨近 ∞，奇數項和的"比例"會趨近 1/2。

又 1⁵ + 2⁵ + 3⁵ + ... + k⁵ = (1/6)*k⁶ + ...，故所求 = (1/6)*(2⁶)*(1/2) = 16/3

若原題分子改為 2⁵ + 5⁵ + 8⁵ + ... + (3n-1)⁵，則所求 = (1/6)*(3⁶)*(1/3) = 81/2

計算一 (以下的旋轉皆以 A(2 ,0) 為中心)

將題目中的半圓 O₊ 順時針旋轉 90° 成為半圓 O₊'，將原點逆時針旋轉 90° 至 P (2, -2)。

則原點至半圓 O₊' 上諸點的距離，等於 P 點至半圓 O₊ 上旋轉前對應點的距離。

故所求為半圓 O₊ 上與 P 距離最大的點 ( -√2/2，√2/2 )。

作者: anyway13 時間: 2020-2-16 00:30 標題: 請教計算ㄧ

版上老師好

想問一下,為什麼答案是B(-根號2/2,根號2/2)

作法如下,不知道錯在哪裡?

1.令B(cosx,sinx),接者將A(2,0)平移到(0,0)
  所以新的B點座標BB(-2+cosx,sinx)
然後逆時針旋轉270度得到C(也就是將矩陣
0 -1
(             )乘上座標BB(-2+cosx,sinx)得到CC座標(-sinx,-2+cosx)
   1 0

2. 最後再將原點(0,0)再平移到(2,0),由CC座標(-sinx,-2+cosx)經過平移
得到C(2-sinx,-2+cosx),得到OC長度=(9-4(sinx+cosx))^(0.5)欲使OC最大
(直覺是當x=180度或者是接近時,OC長度會接近最大)

作者: satsuki931000 時間: 2020-2-16 11:28 標題: 回復 50# anyway13 的帖子

旋轉270度之旋轉矩陣為 0 1
-1 0

是說這題前面就有類似的解法了 wwwwww
差在有沒有平移而已

補:C 點應是(sinθ， 2 - cosθ)，求（-2，0）到 C 距離之最大值

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2020-2-16 12:55 編輯 ]

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作者: thepiano 時間: 2020-2-16 12:08 標題: 回復 51# satsuki931000 的帖子

C 點的縱坐標應是 2 - cosθ，然後是求（-2，0）到 C 距離之最大值

作者: satsuki931000 時間: 2020-2-16 12:54 標題: 回復 52# thepiano 的帖子

感謝鋼琴老師糾正筆誤

作者: anyway13 時間: 2020-2-16 13:07 標題: 回復 51,53# satsuki931000和the piano 的帖子

謝謝 satsuki931000老師和鋼琴老師,兩位的指點迷津

我知道哪裡計算錯了!

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