標題: 99松山高中 [打印本頁]

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作者: bugmens    時間: 2010-10-10 07:56     標題: 99松山高中

今天是中華民國99年國慶，我將99松山高中的試題放上來，讓各位網友在國慶日也能準備教甄

學校沒有公佈試題，這是我從試場一句不漏抄出來的，題目內文和順序都和原來的考卷相同
另外我將有些題目的出處也寫進去，這是考試時沒有的

98松山高中　https://math.pro/db/thread-827-1-1.html

100.2.5
感謝blue329456指正,將\( [100 \sqrt{x} ]=120 \)修改成\( [10 \sqrt{x} ]=120 \)。

附件: 99松山高中.rar (2011-2-5 23:12, 68.53 KB) / 該附件被下載次數 10010
https://math.pro/db/attachment.php?aid=301&k=c5f9cdb17252bd47fa8962f0853d3532&t=1714054792

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作者: dream10    時間: 2010-10-15 15:49

請問一下~~

第5題有什麼解法比較漂亮

我目前只能用參數式去算

不知道還有沒有其他方法

謝謝

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作者: bugmens    時間: 2010-10-15 16:56

我考試的時候是用\( x+y=a \)，\( xy=b \)去解的

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作者: dream10    時間: 2010-10-15 19:48

恩恩~~謝謝bugmens大~~

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昨天算了一下~~
有比設圓的參數快~~~

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作者: addcinabo    時間: 2010-10-26 11:30

想請教各位大大

第7題: 設x,y為實數，若 \(x+y=x^2 +y^2\) ，求  \(x^3 +y^3+\frac{9}{2}x +\frac{9}{2}y\)  之最大值?
  (這題我怎麼換好像都無法換到可以用的東西><...)

第12題:在一圓周上有20個點，將他們兩兩之間接成一弦，任意三條弦之間，除端點外不相交於同一點，
            請問此時所有的弦共有多少個交點? (不包含圓周上20個點)
  (這題感覺很複雜...一點也不知道如何算起)

第17題:經過原點的直線L與函數 \(f(x)=x^2(3-x)\)  的圖形在第一象限交於兩相異點P,Q。試求:
            (2) 設A(3,0)，則 三角形APQ之最大面積?

請各位大大不吝賜教,小弟感謝先...

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作者: weiye    時間: 2010-10-26 15:13

第7題，設 \(x,y\) 為實數，若 \(x+y=x^2 +y^2\) ，求  \(\displaystyle x^3 +y^3+\frac{9}{2}x +\frac{9}{2}y\)  之最大值？

解答：

令 \(t=x+y\)，則 \(\displaystyle xy=\frac{\left(x+y\right)^2-\left(x^2+y^2\right)}{2}=\frac{t^2-t}{2}\)，

一、先求一下 \(t\) 的範圍，

　　（1）：\(t=x^2+y^2\geq0\)

　　（2）：由算幾不等式，可得 \(\displaystyle \frac{x^2+y^2}{2}\geq\sqrt{x^2y^2}\Rightarrow \frac{t}{2}\geq\left|\frac{t^2-t}{2}\right|\)，且由（1）的 \(t\geq0\)，可得 \(0\leq t\leq2\)

　　故，\(0\leq t\leq2\)

二、\(\displaystyle x^3 +y^3+\frac{9}{2}x +\frac{9}{2}y=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+\frac{9}{2}\left(x+y\right)=-\frac{t^3}{2}+\frac{3t^2}{2}+\frac{9t}{2}\)

　　令 \(\displaystyle f(t)=-\frac{t^3}{2}+\frac{3t^2}{2}+\frac{9t}{2}\)，

　　由 \(f'(t)=0\) 及 \(f''(x)=0\)，找出臨界點，可描繪此一元三次函數的圖形，

　　再由 \(0\leq t\leq2\)，可得當 \(t=2\)時，\(f(t)\) 有最大值為 \(11.\)

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作者: weiye    時間: 2010-10-26 15:25

第12題，在一圓周上有 \(20\) 個點，將他們兩兩之間接成一弦，任意三條弦之間，除端點外不相交於同一點，請問此時所有的弦共有多少個交點? (不包含圓周上20個點)

解答：任取圓周上的四點，連接之後，可以形成一個圓內的交點，

　　　所以答案是 \(C^{20}_4=4845.\)

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作者: addcinabo    時間: 2010-10-26 21:43

謝謝老師的解答...原來第12題的想法這麼妙^^

另外..不知道第7題有沒有其他解法....我自己在解的時候,是偷吃步

令x^2=x , y^2=y ,這樣可以解出11...不過應該不是很適當的解法!

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作者: addcinabo    時間: 2010-12-27 08:52     標題: 回復 2# dream10 的帖子

構造長方形
分別以X ,Y為邊長的原長方形,再各延長1單位而成新的大長方形
將 xy+x+y 再加1  即是新的大長方形的面積 3+3根號2
提出3得到  3(1+根號2) = (x+1)*(y+1)
所以 (x,y) = (2,根號2) 或 (根號2,2)
有錯請各位大大指教

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作者: kittyyaya    時間: 2011-1-20 01:47

想請教第1題,第13題和第17題,謝謝

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作者: weiye    時間: 2011-1-20 18:27

第 1 題：設 \(k\) 為實數，若多項式 \(f(x)\) 具有下列性質 \(f(x+k)=f(x)+2k\)，\(f(1)=5\)，則 \(f(x)=\)？

解答：

\(\displaystyle f(x+k)=f(x)+2k\Rightarrow \frac{f(x+k)-f(x)}{(x+k)-x}=2\)

令 \(y=f(x)\) 圖形上兩任意動點為 \(P(x,f(x)), Q(x+k,f(x+k))\)，

則 \(\overline{PQ}\) 斜率恆為 \(2\)，亦即 \(y=f(x)\) 的圖形為直線，

且因為 \(y=f(x)\) 通過 \((1,5)\)，

所以 \(f(x)=2x+3.\)

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作者: weiye    時間: 2011-1-20 18:41

第 13 題：在 \(100\) 與\(200\) 之間隨機選取一個實數 \(x\) ,如果 \([\sqrt{x}]=12\)，則 \([100\sqrt{x}]=120\) 的機率為何?
( \([x]\) 表示不大於 \(x\) 的最大整數)。

解答：

\(\displaystyle [\sqrt{x}]\leq \sqrt{x}<[\sqrt{x}]+1\Rightarrow 12\leq\sqrt{x}<13\Rightarrow 144\leq x<169\)，

\(\displaystyle [100\sqrt{x}]\leq 100\sqrt{x}<[100\sqrt{x}]+1\Rightarrow 120\leq 100\sqrt{x}<121\Rightarrow \frac{36}{25}\leq x<\frac{14641}{10000}\)

以上兩者交集為空集合

直接可以看出所求機率為 0 ......

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作者: blue329456    時間: 2011-1-25 07:17     標題: 100sqrt(x)改為 10sqrt (x)

第 13 題：我猜題目應該是把100改為10 比較合理
所以題目應該是
在 100 與200 之間隨機選取一個實數 x ,如果 [sqrt(x)]=12 ，則 [10*sqrt(x)]=120  的機率為何?

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作者: weiye    時間: 2011-1-25 19:20

第 13 題（修改版）：在 \(100\) 與 \(200\) 之間隨機選取一個實數 \(x\)，如果 \(\left[\sqrt{x}\right]=12\) ，則 \(\left[10\sqrt{x}\right]=120\)  的機率為何？

解答：

\(\displaystyle [\sqrt{x}]\leq \sqrt{x}<[\sqrt{x}]+1\Rightarrow 12\leq\sqrt{x}<13\Rightarrow 144\leq x<169\)，

\(\displaystyle [10\sqrt{x}]\leq 10\sqrt{x}<[10\sqrt{x}]+1\Rightarrow 120\leq 10\sqrt{x}<121\Rightarrow 144\leq x<\frac{14641}{100}\)

所求機率\(\displaystyle=P(\left[10\sqrt{x}\right]=120 \Bigg| \left[\sqrt{x}\right]=12)=\frac{\frac{14641}{100}-144}{169-144}=\frac{241}{2500}.\)

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作者: casanova    時間: 2012-5-14 14:42

引用:

原帖由 kittyyaya 於 2011-1-20 01:47 AM 發表
想請教第1題,第13題和第17題,謝謝

也想請教第17題該怎麼做，請問有人會做第17題嗎？

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作者: weiye    時間: 2012-5-14 16:08     標題: 回復 15# casanova 的帖子

第 17 題：

(1)

設通過原點的直線與 \(y=x^2(3-x)\) 相切於第一象限的切點為 \((x_0,y_0)\)，其中 \(x_0>0,y_0>0\)

由 \(\displaystyle y\,'=6x-3x^2\Rightarrow \frac{y_0-0}{x_0-0}=6x_0-3x_0^2\) 且 \(y_0=x_0^2(3-x_0)\)

可解得 \(\displaystyle x_0=\frac{3}{2}\Rightarrow f\,'(x_0)=\frac{9}{4}\)

因此，可得 \(L\) 的斜率範圍為 \(\displaystyle(0,\frac{9}{4})\)

另解，

設 \(L\) 的斜率為 \(m\) ，則

\(\left\{\begin{array}{cc}y=mx\\ y=3x^2-x^3\end{array}\right.\Rightarrow x(x^2-3x+m)=0\)

因為 \(L\) 與 \(y=3x^2-x^3\) 除原點外，尚有兩個位在第一象限的相異交點 \(P,Q\)

因此，\(x^2-3x+m=0\) 有兩相異正實根，由判別式＞０且兩根和＞０、兩根積＞０，

可得 \(\displaystyle 0<m<\frac{9}{4}\)




(2)

設 \(L\) 的斜率為 \(m\)，其中 \(\displaystyle 0<m<\frac{9}{4}\)

令題述之 \(P(x_1,y_1), Q(x_2,y_2)\)，

則 \(\left\{\begin{array}{cc}y=mx\\ y=3x^2-x^3\end{array}\right.\Rightarrow x(x^2-3x+m)=0\)

\(\Rightarrow x_1+x_2=3, x_1x_2=m\Rightarrow \left|x_1-x_2\right|=\sqrt{9-4m}\)

\(\Rightarrow \overline{PQ}=\sqrt{9-4m}\cdot\sqrt{1+m^2}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \triangle APQ\mbox{面積}=\sqrt{9-4m}\cdot\sqrt{1+m^2}\cdot\frac{\left|3m-0\right|}{\sqrt{1+m^2}}\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\sqrt{(9-4m)m^2}\)

（再來你可以用微積分求極值，但是我想用算幾不等式～）

因為 \(\displaystyle 0<m<\frac{9}{4}\)，所以 \(9-4m\) 與 \(m\) 恆正，

由算幾不等式，可得 \(\displaystyle \frac{(9-4m)+2m+2m}{3}\geq\sqrt[3]{4(9-4m)m^2}\Rightarrow (9-4m)m^2\leq\frac{27}{4}\)

因此，\(\displaystyle\triangle APQ\mbox{面積}\leq \frac{3}{2}\cdot\sqrt{\frac{27}{4}}=\frac{9\sqrt{3}}{4}\)

且當等號成立時，\(\displaystyle 9-4m=2m\Rightarrow m=\frac{3}{2}\)，

此時，可得 \(\displaystyle\triangle APQ\) 的最大面積為 \(\displaystyle\frac{9\sqrt{3}}{4}\)

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作者: casanova    時間: 2012-5-14 16:58

引用:

原帖由 weiye 於 2012-5-14 04:08 PM 發表
第 17 題：

(1)

設通過原點的直線與 \(y=x^2(3-x)\) 相切於第一象限的切點為 \((x_0,y_0)\)，其中 \(x_0>0,y_0>0\)

由 \(\displaystyle y\,'=6x-3x^2\Rightarrow \frac{y_0-0}{x_0-0}=6x_0-3x_0^2\) 且...

謝謝weiye老師的解答！

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作者: shingjay176    時間: 2014-4-23 14:05     標題: 99松山高中

99松山高中
例題  已知\(146 = {5^2} + {11^2}\)，\(218 = {7^2} + {13^2}\)，試將 \(146 \times 218 = 31828\)
表示成兩個正整數的平方和？
解:
\(146 \times 218 = {\left( t \right)^2} + {\left( k \right)^2}\)  \(t\)是正整數，\(k\)是正整數。

(1)  令 \(a = 5,b = 11,c = 7,d = 13\)
\[\begin{align}
  & 146\times 218=\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right) \\
& ={{a}^{2}}{{c}^{2}}+{{a}^{2}}{{d}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{b}^{2}}{{d}^{2}} \\
& =\left\{ {{\left( ac \right)}^{2}}+2\left( ac \right)\left( bd \right)+{{\left( bd \right)}^{2}} \right\}+\left\{ {{\left( ad \right)}^{2}}+2\left( ad \right)\left( bc \right)+{{\left( bc \right)}^{2}} \right\} \\
& ={{\left\{ ac+bd \right\}}^{2}}+{{\left\{ ad-bc \right\}}^{2}} \\
& ={{\left( 5\times 7+11\times 13 \right)}^{2}}+{{\left( 5\times 13-11\times 7 \right)}^{2}} \\
& ={{178}^{2}}+{{\left( -12 \right)}^{2}} \\
\end{align}\]

答案  \(178\) 與 \(12\)

想法: 順著題目意思，把\(5,11,7,13\)改成\(a,b,c,d\)，比較好運算，接著配成完全平方。

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作者: satsuki931000    時間: 2019-3-20 18:00

第九題 驗證過這組解也可以得到正確答案
意思是這種問題不只一組解囉??

\(146 × 218=(5^2+11^2)(7^2+13^2)\)
\(=35^2+65^2+77^2+143^2\)
\(=(143^2+35^2)+(77^2+65^2)\)
\(=[(143-35)^2+2 ×143 ×35]+[(77+65)^2-2 ×77 ×65]\)
\(=108^2+142^2\)

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作者: thepiano    時間: 2019-3-20 21:37     標題: 回復 19# satsuki931000 的帖子

只有 (12，178) 和 (108，142) 這兩組

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