題目和答案如附件

13.
1+21+31+41++123=a23!，若a除以13的餘數為b，求b3+2b除以100的餘數為？
[提示]
a化簡後得23!/13，b=7

已知n!=12(n−1)n；若23!+34!+45!++1112!=A12!，試求A除以10的餘數為何？
(建中通訊解題第62期)


16.p為4x2+9y2=36上的動點，若p在第一象限移動，過p點之切線交X軸於A點，交Y軸於B點，O為原點，求OA+OB最小值？
[解答]
令p(a,b)，9a2+4b2=1
切線9ax+4by=1，OA+OB=a9+b4
廣義科西不等式
931a323+431b323a319313+ b31431 3a319313+ b31431 3931+4313 

17.θ為銳角，16sin6+81cos6=625，求tan？
(2005TRML個人賽)
這題可用廣義科西不等式解題
請見　https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1075

第4、6、8題請教一下。

請問第3題    9<K  是如何判讀出來的。謝謝。

引用:

原帖由 peter579 於 2010-7-29 10:42 AM 發表
第4、6、8題請教一下。

請問第3題    9

第8題
在ABC中，AB=7BC=8AC=9，過ABC的內心作DE平行BC，分別交AB與AC於點D、E，求DE=　　　。
[解答]
假設I為內心，AI交BC於P，那麼
AI:IP=(7+9):8=2:1
所以DE=8*(2/3)=16/3

也可以參考一下關於這類三角形的幾個其他的性質
h ttp://tw.myblog.yahoo.com/oldblack-wang/article?mid=2909&prev=2915&next=2425&l=f&fid=11　連結已失效

4.
求f(x)=x10−2x5+3x2−1被(x+1)3除的餘式=　　　。
[提示]
提供幾個方向
硬算  XD
二項式定理    [(x+1)−1]10−2[(x+1)−1]5+3[(x+1)−1]2−1

6.
函數f(93)=93，每一正整數n使得f(n)+f(n+3)=n2恆成立，求f(30)=　　　。
[提示]
f(90)+f(93)=902
f(87)+f(90)=872
…
f(30)+f(33)=302
想辦法消嚕

6  
    f(93)-f(30)=90^2-(87^2+84^2+……+30^2) 接下來呢…

平方和，好像不行…。研究中…。

第一題是有同樣的題目，但找不到解。研究中。


第十六題  答案為(根號221)/4  ，好像沒有三次方根…有點看不懂。

f(90)+f(93)=90^2    --------  1
f(87)+f(90)=87^2    --------  2
f(84)+f(87)=84^2    --------  3
f(81)+f(84)=81^2    --------  4
.....

1-2+3-4........
try it

\displaystyle 87^2+84^2+……+30^2\Rightarrow\mbox{ 利用 }\sum\left(k+3\right)^2=\sum k^2 + 6\sum k +\sum 9

不過，第 6 題，應該是用 iamcfg 上面寫的，再加上平方差公式。

第 16 題答案為第 P 格，其值與上方 bugmens 回覆作法的結果相同，peter579 應該是不小心看錯答案格了。^_^

謝，第六題看比較懂了。

第一題，有人可以提示一下如何作呢。

第 1 題：
設a為實數，使得a+log_2 3、a+log_4 3、a+log_8 3形成等比數列，求此公比為　　　。
[解答]
a+\log_2 3 ， a+\log_4 3 ， a+\log_8 3 形成等比數列

\displaystyle \Rightarrow \left(a+\log_4 3\right)^2=\left(a+\log_2 3\right)\cdot\left(a+\log_8 3\right)

\displaystyle \Rightarrow \left(a+\frac{1}{2}\log_2 3\right)^2=\left(a+\log_2 3\right)\cdot\left(a+\frac{1}{3}\log_2 3\right)

解得 \displaystyle a=-\frac{1}{4} \log_2 3，

因此，數列為 \displaystyle\frac{3}{4} \log_2 3,\,\frac{1}{4} \log_2 3,\,\frac{1}{12} \log_2 3，

故，公比為 \displaystyle \frac{1}{3}。


設a為實數，使得 a+log_2 3 ， a+log_4 3 ， a+log_8 3 形成等比數列，求此公比為？
[出處，94高中數學能力競賽　北區第二區　筆試二試題]

113.5.13補充
設a\in R，若 a+log_2 3 ， a+log_4 3 ， a+log_8 3 是等比數列，求此等比數列的公比為　　　。
(104全國高中聯招，https://math.pro/db/thread-2252-1-1.html)