題目和答案如附件

13.
\( \displaystyle 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{23}=\frac{a}{23!} \)，若a除以13的餘數為b，求\( b^3+2b \)除以100的餘數為？
[提示]
a化簡後得23!/13，b=7

已知\( n!=1 \times 2 \times ... \times (n-1) \times n \)；若\( \displaystyle \frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+\frac{4}{5!}+...+\frac{11}{12!}=\frac{A}{12!} \)，試求A除以10的餘數為何？
(建中通訊解題第62期)


16.p為\( 4x^2+9y^2=36 \)上的動點，若p在第一象限移動，過p點之切線交X軸於A點，交Y軸於B點，O為原點，求\( \overline{OA}+\overline{OB} \)最小值？
[解答]
令p(a,b)，\( \displaystyle \frac{a^2}{9}+\frac{b^2}{4}=1 \)
切線\( \displaystyle \frac{a}{9}x+\frac{b}{4}y=1 \)，\( \displaystyle \overline{OA}+\overline{OB}=\frac{9}{a}+\frac{4}{b} \)
廣義科西不等式
\( \displaystyle \Bigg[\; \Bigg(\; \frac{a^{\frac{2}{3}}}{9^{\frac{1}{3}}} \Bigg)\; ^3+ \Bigg(\; \frac{b^{\frac{2}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}} \Bigg)\; ^3 \Bigg]\;
\Bigg[\; \Bigg(\; \frac{9^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}} \Bigg)\; ^3+ \Bigg(\ \frac{4^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}} \Bigg)\ ^3 \Bigg]\;
\Bigg[\; \Bigg(\; \frac{9^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}} \Bigg)\; ^3+ \Bigg(\ \frac{4^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}} \Bigg)\ ^3 \Bigg]\;
\ge \Bigg(\; 9^{\frac{1}{3}}+4^{\frac{1}{3}} \Bigg)\;^3 \)

17.θ為銳角，\( \displaystyle \frac{16}{sin^6 \theta}+\frac{81}{cos^6 \theta}=625 \)，求\( tan \theta \)？
(2005TRML個人賽)
這題可用廣義科西不等式解題
請見　https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1075

第4、6、8題請教一下。

請問第3題    9<K  是如何判讀出來的。謝謝。

引用:

原帖由 peter579 於 2010-7-29 10:42 AM 發表
第4、6、8題請教一下。

請問第3題    9

第8題
在\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=7,\overline{BC}=8,\overline{AC}=9\)，過\(\Delta ABC\)的內心作\(\overline{DE}\)平行\(\overline{BC}\)，分別交\(\overline{AB}\)與\(\overline{AC}\)於點\(D\)、\(E\)，求\(\overline{DE}=\)　　　。
[解答]
假設I為內心，AI交BC於P，那麼
AI:IP=(7+9):8=2:1
所以DE=8*(2/3)=16/3

也可以參考一下關於這類三角形的幾個其他的性質
h ttp://tw.myblog.yahoo.com/oldblack-wang/article?mid=2909&prev=2915&next=2425&l=f&fid=11　連結已失效

4.
求\(f(x)=x^{10}-2x^5+3x^2-1\)被\((x+1)^3\)除的餘式=　　　。
[提示]
提供幾個方向
硬算  XD
二項式定理    \( [(x+1)-1]^{10}-2[(x+1)-1]^5+3[(x+1)-1]^2-1 \)

6.
函數\(f(93)=93\)，每一正整數\(n\)使得\(f(n)+f(n+3)=n^2\)恆成立，求\(f(30)=\)　　　。
[提示]
\( f(90)+f(93)=90^2 \)
\( f(87)+f(90)=87^2 \)
…
\( f(30)+f(33)=30^2 \)
想辦法消嚕

6  
    f(93)-f(30)=90^2-(87^2+84^2+……+30^2) 接下來呢…

平方和，好像不行…。研究中…。

第一題是有同樣的題目，但找不到解。研究中。


第十六題  答案為(根號221)/4  ，好像沒有三次方根…有點看不懂。

\( f(90)+f(93)=90^2 \)   --------  1
\( f(87)+f(90)=87^2 \)   --------  2
\( f(84)+f(87)=84^2 \)   --------  3
\( f(81)+f(84)=81^2 \)   --------  4
.....

1-2+3-4........
try it

\(\displaystyle 87^2+84^2+……+30^2\Rightarrow\mbox{ 利用 }\sum\left(k+3\right)^2=\sum k^2 + 6\sum k +\sum 9\)

不過，第 6 題，應該是用 iamcfg 上面寫的，再加上平方差公式。

第 16 題答案為第 P 格，其值與上方 bugmens 回覆作法的結果相同，peter579 應該是不小心看錯答案格了。^_^

謝，第六題看比較懂了。

第一題，有人可以提示一下如何作呢。

第 1 題：
設\(a\)為實數，使得\(a+log_2 3\)、\(a+log_4 3\)、\(a+log_8 3\)形成等比數列，求此公比為　　　。
[解答]
\( a+\log_2 3 \)，\( a+\log_4 3 \)，\( a+\log_8 3 \)形成等比數列

\(\displaystyle \Rightarrow \left(a+\log_4 3\right)^2=\left(a+\log_2 3\right)\cdot\left(a+\log_8 3\right)\)

\(\displaystyle \Rightarrow \left(a+\frac{1}{2}\log_2 3\right)^2=\left(a+\log_2 3\right)\cdot\left(a+\frac{1}{3}\log_2 3\right)\)

解得 \(\displaystyle a=-\frac{1}{4} \log_2 3\)，

因此，數列為 \(\displaystyle\frac{3}{4} \log_2 3,\,\frac{1}{4} \log_2 3,\,\frac{1}{12} \log_2 3\)，

故，公比為 \(\displaystyle \frac{1}{3}\)。


設a為實數，使得\( a+log_2 3 \)，\( a+log_4 3 \)，\( a+log_8 3 \)形成等比數列，求此公比為？
[出處，94高中數學能力競賽　北區第二區　筆試二試題]

113.5.13補充
設\(a\in R\)，若\( a+log_2 3 \)，\( a+log_4 3 \)，\( a+log_8 3 \)是等比數列，求此等比數列的公比為　　　。
(104全國高中聯招，https://math.pro/db/thread-2252-1-1.html)