第 13 題：
設\(f(x)\)為一最高次係數為1的四次多項式，下列那一組條件保證存在唯一的\(f(x)\)滿足該條件(可複選)：
(A)\(f(0)=0,f(\pm1)=\pm1,f(\pm2)=\pm2\)
(B)\(f(0)=0,f(-1)=2,f'(1)=1,f'(-1)=-1\)
(C)\(f(\sqrt{x})=x^2+x+1,x>0\)
(D)\(\displaystyle f(n)=\frac{1}{n+1},n=1,2,3,4,5\)
(E)\(f(x)\)在\(\displaystyle x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\)達到相同的極值0
[解答]
(A) 令 \(H(x)=f(x)-x\) ，則
因為 \(f(x)\) 為四次式，所以 \(H(x)\) 亦為四次式
因為 \(H(0)=H(1)=H(-1)=H(2)=H(-2)=0\)
由因式定理，可得 \(H(x)\) 有因式 \(x, (x-1), (x+1), (x-2), (x+2)\)
顯然與 \(H(x)\) 為四次式相矛盾。
(B) 令 \(f(x)=x^4+bx^3+cx^2+dx+e\)，
由 \(f(1)=0, f(-1)=2,f'(1)=1,f'(-1)=-1\)，
可解得 \(\displaystyle b=\frac{1}{2}, c=\frac{-3}{2},d=\frac{-3}{2}, e=\frac{3}{2}\)
（如果不想解最後的聯立方程式，就檢查克拉馬公式的的 Δ 是否非零。）
(C) \(f(x)=x^4+x^2+1\)
(D) 四個未知數，卻有五個方程式，有可能會過猶不及，
前四個方程式解出來的，帶入第五個方程式卻矛盾，
是又不想真的去解那五個方程式，
所以以下就借用一下 iamcfg 在
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=960&page=1#pid2477 的方法，
最後一個數不是 \(4!\)，很好～此四次方程式的首項係數不會是 \(1\)。
(E) 令 \(f(x)=x^4+bx^3+cx^2+dx+e\)，
由 \(\displaystyle f(\frac{1}{\sqrt{2}})=0, f(-\frac{1}{\sqrt{2}})=0, f'(\frac{1}{\sqrt{2}})=0, f'(-\frac{1}{\sqrt{2}})=0\)，
可解得 \(\displaystyle b=0, c=-1,d=0, e=\frac{1}{4}.\)
