謝謝 iamcfg  的解說。

不好意思 您單選4的解法應該錯誤了！
應該是336+3627336+36273627336+=31

請問一下
第貳部份非選擇題A部分第一題
各位老師看法如何?

想請問多選題13的(A)和(D)給5點不就給5個方程式,可以解5個未知數,為何不是唯一解
                     (B)為何是唯一解
                     (E)只給2個條件,為何是唯一解,不是還有開口大小嗎?
還有非選擇題A部分第一題答案是否為C>D>B>A和第二題不會,謝謝

第 13 題：
設f(x)為一最高次係數為1的四次多項式，下列那一組條件保證存在唯一的f(x)滿足該條件(可複選)：
(A)f(0)=0f(1)=1f(2)=2
(B)f(0)=0f(−1)=2f(1)=1f(−1)=−1
(C)f(x)=x2+x+1x0 
(D)f(n)=1n+1n=12345
(E)f(x)在x=12達到相同的極值0
[解答]
(A)　令 H(x)=f(x)−x ，則

　　因為 f(x) 為四次式，所以 H(x) 亦為四次式

　　因為 H(0)=H(1)=H(−1)=H(2)=H(−2)=0

　　由因式定理，可得 H(x) 有因式 x(x−1)(x+1)(x−2)(x+2)

　　顯然與 H(x) 為四次式相矛盾。

(B) 令 f(x)=x4+bx3+cx2+dx+e，

　　由 f(1)=0f(−1)=2f(1)=1f(−1)=−1，

　　可解得 b=21c=2−3d=2−3e=23

　　（如果不想解最後的聯立方程式，就檢查克拉馬公式的的 Δ 是否非零。）

(C) f(x)=x4+x2+1

(D) 四個未知數，卻有五個方程式，有可能會過猶不及，

　　前四個方程式解出來的，帶入第五個方程式卻矛盾，

　　是又不想真的去解那五個方程式，

　　所以以下就借用一下 iamcfg 在 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=960&page=1#pid2477 的方法，

　　

　　最後一個數不是 4!，很好～此四次方程式的首項係數不會是 1。

(E) 令 f(x)=x4+bx3+cx2+dx+e，

　　由 f(12)=0f(−12)=0f(12)=0f(−12)=0，

　　可解得 b=0c=−1d=0e=41

提供(D)選項的解法
令g(x)=(x+1)f(x)−1，且g(1)=g(2)=g(3)=g(4)=g(5)=0
令g(x)=k(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)=(x+1)f(x)−1
得f(x)=x+1k(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)+1
但f(x)為四次多項式，所以x+1要能整除k(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)+1
k(-1-1)(-1-2)(-1-3)(-1-4)(-1-5)+1=0 ， \displaystyle k=\frac{1}{720}
最高係數應為 \displaystyle \frac{1}{720}

感謝瑋岳老師和 bugmens老師,看見板上兩位老師和其他老師的功力如此強,教書十多年的我真的需要好好練練題目和思考數學,另外,iamcfg老師寫在99大安高工的內容,我上去查過,也試算過,還是看不出來,可否幫忙在解釋一下f(x+h)-f(x)的意義,另外,非選擇題的第一部分相關系數大小是否為C>D>B>A
第二題我已有查到網路上的解釋,謝謝

若 \displaystyle f(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0，則

\displaystyle f(x+1)-f(x)=\left(a_n\left(x+1\right)^n+a_{n-1}\left(x+1\right)^{n-1}+\cdots+a_1\left(x+1\right)+a_0\right) - \left(a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\right)

　　　\displaystyle =a_n\left(\left(x+1\right)^n-x^n\right)+a_{n-1}\left(\left(x+1\right)^{n-1}-x^{n-1}\right)+\cdots+a_1\left(\left(x+1\right)-x\right)

（請自行把 (x+1)^n, (x+1)^{n-1} \cdots 用二項式定理展開）

　　　\displaystyle =a_n\left(nx^{n-1}+\cdots\right)+a_{n-1}\left(\left(n-1\right)x^{n-2}\cdots\right)+\cdots

　　　\displaystyle =n\cdot a_nx^{n-1}+\cdots

可以發現 f(x+1)-f(x) 次方數會減一，且首項係數會多乘上 n（蝦咪～跟微分很像～嗯～）

所以，若 f(x) 是四次式，做了 4 階的差分之後，

會變成常數，且該常數是 f(x) 的首項係數乘上 4!。



相關係數那題可能要等待統計達人囉～：Ｐ

我是"覺得"

A > B≒D（ B 與 D 似是經 x,y 軸伸縮變換可互換）

且

C > B≒D

至於 A 與 C，

不知誰大...

難道要真找一堆數據來算看看？

等待統計達人囉～：Ｐ

請問非選第二題 : 求實數a的範圍怎麼做?

請問一下
第貳部份非選擇題A部分第一題
有沒有那位板大比較確定答案?