令 \(\displaystyle a_n=\frac{\left[10^n\times\sqrt{2}\right]}{10^n}\)，

其中分子的 \([\,]\) 表示高斯符號，

則 \(a_n\) 即為無條件捨去法將 \(\sqrt{2}\) 取至小數點以下第 \(n\) 位之值，

易得 \(<a_n>\) 為有理數數列，且 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\sqrt{2}.\)





此題的解答並不唯一，

也可以利用牛頓法求根的方法，

令 \(f(x)=x^2-2\)，則 \(f'(x)=2x\)

取 \(a_0=2\)，且令 \(\displaystyle a_n=a_{n-1}-\frac{f(a_{n-1})}{f'(a_{n-1})}\,,\forall n\in N\)

則 \(<a_n>\) 為有理數數列，且由 \(y=f(x)\) 的函數圖形可得 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\sqrt{2}.\)

能請問第7題怎麼做嗎？

第 7 題：

(a)

因為 \(M,B,C\) 三點不共線，

所以 \(MB\)向量不平行\(MC\) 向量

因為 \(H\) 位在 \(MBC\)平面上，

所以，存在實數 \(p,q\) 使得

\(MH\mbox{向量}=p\cdot MB\mbox{向量}+q\cdot MC\mbox{向量}\)

\(\Rightarrow OH\mbox{向量}-OM\mbox{向量}=p\left(OB\mbox{向量}-OM\mbox{向量}\right)+q\left(OC\mbox{向量}-OM\mbox{向量}\right)\)

\(\Rightarrow OH\mbox{向量}=\left(1-p-q\right)OM\mbox{向量}+p\cdot OB\mbox{向量}+q\cdot OC\mbox{向量}\)

令 \(x=1-p-q,y=p,z=q\)，

則 \(x+y+z=(1-p-q)+p+q=1.\)



(b)

因為 \(G\) 為 \(\triangle ABC\) 的重心，

所以 \(\displaystyle OG\mbox{向量}=\frac{1}{3} OA\mbox{向量}+\frac{1}{3} OB\mbox{向量}+\frac{1}{3} OC\mbox{向量}\)

因為 \(O,G,H\) 共線，所以令 \(OH\mbox{向量}=t\cdot OG\mbox{向量}\)

則 \(\displaystyle OH\mbox{向量}=t\cdot OG\mbox{向量}=\frac{t}{3} OA\mbox{向量}+\frac{t}{3} OB\mbox{向量}+\frac{t}{3} OC\mbox{向量}\)

　　　\(\displaystyle =\frac{t}{3} (2\cdot OM\mbox{向量})+\frac{t}{3} OB\mbox{向量}+\frac{t}{3} OC\mbox{向量}\)

由 (a)，可得 \(\displaystyle \frac{2t}{3}+\frac{t}{3}+\frac{t}{3}=1 \Rightarrow t=\frac{3}{4}\)

故，\(\displaystyle OH\mbox{向量}=\frac{t}{3} OA\mbox{向量}+\frac{t}{3} OB\mbox{向量}+\frac{t}{3} OC\mbox{向量}\)

　　　　　　\(\displaystyle =\frac{1}{4} OA\mbox{向量}+\frac{1}{4} OB\mbox{向量}+\frac{1}{4} OC\mbox{向量}\)