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請教2題排列組合

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請教2題排列組合

1. 兩位以上的正整數(包含兩位數),從左到右,數字越來越小的共有多少個?

Ans:1013個


2. 從1,2,3,4,5,6中,六個數值相加得到S1;任取兩個相異數值相乘,取

遍後相加得S2;任取三個相異數值相乘,取遍後相加得S3;任取四個相異數

值相乘,取遍後相加得S4;任取五個相異數值相乘,取遍後相加得S5;六個

數值相乘得到S6,求S1+S2+S3+S4+S5+S6的值。

Ans:5039


煩請高手解答

謝謝

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2.從1,2,3,4,5,6中,六個數值相加得到S1;任取兩個相異數值相乘,取遍後相加得S2;任取三個相異數值相乘,取遍後相加得S3;任取四個相異數值相乘,取遍後相加得S4;任取五個相異數值相乘,取遍後相加得S5;六個數值相乘得到S6,求S1+S2+S3+S4+S5+S6的值。
[提示]
可參考這篇 https://math.pro/db/thread-807-1-2.html

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1. 兩位以上的正整數(包含兩位數),從左到右,數字越來越小的共有多少個?

 解答:

 先寫好 \(9876543210\),再從中取走零個、一個、兩個、三個、‧‧‧‧‧‧、或八個數字(digits),

 剩下沒有取走的,即為符合題目要求的數字(number)。

 因此,此種數字的個數為 \(\displaystyle C^{10}_0+C^{10}_1+C^{10}_2+\cdots+C^{10}_8=2^{10}-\left(C^{10}_9+C^{10}_{10}\right)=1013.\)





 或是直接想,

 由 \(0,1,2,\cdots,9\) 之中選取兩個、三個、‧‧‧‧‧‧、或十個數字(digits),

 而選出數字的由左至右的排列順序,只能由大至小一種排法,

 所以,選出的方法數為 \(\displaystyle C^{10}_2+C^{10}_3+C^{10}_4+\cdots+C^{10}_{10}=2^{10}-\left(C^{10}_0+C^{10}_1\right)=1013.\)

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