1.
設\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)，若曲線\(y=f(x)\)上，以\((2,-10)\)為切點的切線斜率為最小，且此時之切線通過原點，求
\(a,b,c\)之值及切線方程式
。
[解答]
\(\displaystyle f'(x)=3x^2+2ax+b=3\left(x+\frac{1}{3}a\right)^2+b-\frac{1}{3}a^2\)
當\(\displaystyle x=-\frac{1}{3}a=2\)時，切線斜率最小，得\(a=-6\)
\((2,-10)\)代入\(f(x)\)得\(-10=8+4a+2b+c\Rightarrow 2b+c=6\)
切線斜率\(\displaystyle f'(2)=12-24+b=\frac{-10-0}{2-0}=-5 \Rightarrow b=7,c=-8\)
切線方程式為\(y=-5x\)
113.5.4補充
設\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)之圖形的所有切線中，以過切點\((1,0)\)之切線斜率為最小，且此切線亦通過原點，則下列哪些選項是正確的？
(A)\(f''(1)=0\) (B)\(f(x)\)沒有極大值 (C)\(y=f(x)\)的圖形與\(x\)軸相切 (D)方程式\(f(x)=1\)有三相異實根
(113全國高中職聯招，
https://math.pro/db/thread-3859-1-1.html)
113.5.4補充
2.
若過曲線\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}\)上一點\(\displaystyle P(\frac{a}{9},\frac{4a}{9})\)作切線，則此切線與兩坐標軸所圍成之三角形面積：
。
設\(a\)為一正數，曲線\(\sqrt{a}+\sqrt{y}=\sqrt{a}\)之圖形如下圖(一)。
(1)試求此曲線與\(x\)軸及\(y\)軸所圍成區域之面積。
(2)若過曲線上一點\(\displaystyle (\frac{a}{9},\frac{4a}{9})\)，作此曲線之切線，而與\(x\)軸、\(y\)軸分別交於\(X\)、\(Y\)兩點。試求\(\overline{OX}+\overline{OY}\)之值。
(89大學聯考自然組，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2441&page=1#pid14824)
4.\( A=\left[ \matrix{a & b \cr c & d} \right] \)，\( a,b,c,d \in \{ 0,1,-1,-2 \} \)，
(1)\( A^2=[\ 0 ]\ \)的機率為 (2)\( A^{-1} \)不存在的機率為(答案皆須化簡)
[答案]
(1)
\( \left[ \matrix{1 & 1 \cr -1 & -1} \right] \)，\( \left[ \matrix{-1 & 1 \cr -1 & 1} \right] \)，\( \left[ \matrix{-1 & -1 \cr 1 & 1} \right] \)，\( \left[ \matrix{1 & -1 \cr 1 & -1} \right] \)
\( \left[ \matrix{0 & 0 \cr 0 & 0} \right] \)，\( \left[ \matrix{0 & 1 \cr 0 & 0} \right] \)，\( \left[ \matrix{0 & -1 \cr 0 & 0} \right] \)，\( \left[ \matrix{0 & -2 \cr 0 & 0} \right] \)，\( \left[ \matrix{0 & 0 \cr -2 & 0} \right] \)，\( \left[ \matrix{0 & 0 \cr -1 & 0} \right] \)，\( \left[ \matrix{0 & 0 \cr 1 & 0} \right] \)
共11個
(2)參考高中數學101 p333的解答
以\( -2,-1,0,1 \)作乘法運算表
\( \matrix{ & -2 & -1 & 0 & 1 \cr -2 & 4 & 2 & 0 & -2 \cr -1 & 2 & 1 & 0 & -1 \cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \cr 1 & -2 & -1 & 0 &1} \)
表中有2個\(-2\)，2個\(-1\)，7個0，2個1，2個2，1個4
共有\( 2^2+2^2+7^2+2^2+2^2+1^2=66 \)個
6.空間中\( P(a,b,c) \)為圖形\( x^2+y^2+z^2-4x-2y-3=0 \)上一點，求
\( a^2+b^2+c^2+4a-2c+11 \)的最大值，此時數對\( (a,b,c)= \)
[提示]
\( (x-2)^2+(y-1)^2+(z-0)^2=8 \)，\( (a+2)^2+(b-0)^2+(c-1)^2+6 \)
點\( (-2,0,1) \)和球心\( (2,1,0) \)的連線得P
