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97家齊女中

本主題由 bugmens 於 2017-8-22 15:38 提升
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97家齊女中

97家齊 No.9
已知正三角形ABC之邊長\(2\sqrt{3}\),如圖附件所示,若點H為正三角形ABC垂心,在\(\bar{BC}\)邊之延長線上取一點R,則直線\(\bar{HR}\)分別與\(\bar{AB}\)及\(\bar{AC}\)交P、Q兩點,則\(\frac{1}{\bar{HP}}*\frac{1}{\bar{HQ}}*\frac{1}{\bar{HR}}=?\)


97家齊 N0.10
在以原點\(O(0,0,0)\)為球心,半徑為1的單位圓上取一點\(A(a_{1},a_{2},a_{3})\),點A所對的另一點\(B(a_{3},a_{1},a_{2})\)有在這單位圓上,則\(\angle AOB\)之最大值為?

以上答題的觀念為何呢?

[ 本帖最後由 bugmens 於 2017-8-22 15:38 編輯 ]

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001.JPG (9.8 KB)

2009-6-20 10:46

001.JPG

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NO10
假設 \( \angle ABC= \theta \)
\( \displaystyle \cos\theta=\frac{ \vec{OA} \cdot \vec{OB} }{\| \vec{OA}\| \times \| \vec{OB}\| } \)
\( \displaystyle \cos\theta=a_1a_2+a_2a_3+a_3a_1 \)
\( \displaystyle \cos\theta=\frac{1}{2}[(a_1+a_2+a_3)^2-(a_1^2+a_2^2+a_3^2)] \)
\( \displaystyle \cos\theta=\frac{1}{2}[(a_1+a_2+a_3)^2-1] \)
所以只要找 \( \arrowvert a_1+a_2+a_3 \arrowvert \)最小就好
顯然這個是0,只要在 \( x+y+z=0 \)和 \( x^2+y^2+z^2=1 \)的交圓上取點即可
故\( \displaystyle \cos\theta=-\frac{1}{2} \)
\( \displaystyle \theta=\frac{2\pi}{3} \)
以上是從代數角度來看
若從幾何角度來看
將A變換為B可以看成先對 \( \displaystyle x=y \)做鏡射,再對 \(x=z \)做鏡射
這兩個的合成是繞他們的交線 \( \displaystyle x=y=z \)所做的旋轉
其夾角為\( \displaystyle \frac{\pi}{3} \)
故旋轉角為兩倍\( \displaystyle \frac{2\pi}{3} \)
要求\(\angle AOB \)最大,就必須以O為旋轉點
就知道最大值為\( \displaystyle \frac{2\pi}{3} \)

[ 本帖最後由 老王 於 2009-6-20 06:51 PM 編輯 ]
名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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NO9
\( \displaystyle HA=HB=HC=\frac{\sqrt3}{3} \times 2\sqrt3=2 \)
假設 \( \angle AQH=\theta \)
那麼 \( \angle BRH=60^o+\theta,\angle BRH=60^o-\theta \)
在三角形BPH,\( \displaystyle \frac{HA}{HQ}=\frac{\sin\theta}{\sin30^o} \)
在三角形AQH,\( \displaystyle \frac{HB}{HP}=\frac{\sin(60^o+\theta)}{\sin30^o} \)
在三角形BRH,\( \displaystyle \frac{HB}{HR}=\frac{\sin(60^o-\theta)}{\sin30^o} \)
三式相乘得\( \displaystyle \frac{2}{HP}\times\frac{2}{HQ}\times\frac{2}{HR}=8\sin\theta\sin(60^o+\theta)\sin(60^o-\theta) \)
\( \displaystyle \frac{1}{HP}\times\frac{1}{HQ}\times\frac{1}{HR}=\frac{1}{4}\sin3\theta \)
所以這個結果會跟直線的位置有關,並非一個定值。
知識+有人問,給的答案是 \( \displaystyle \frac{\sqrt3}{8} \)
那麼\( \angle AQH=\theta=45^o \) (如果是\( 15^o \) ,R會在BC線段上)
所以應該是題目少給條件了

[ 本帖最後由 老王 於 2009-6-20 07:08 PM 編輯 ]
名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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我了解,謝謝老王老師

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請教王老師
第10題的幾何觀點為何從A到B繞x=y=z旋轉
A對x=y做鏡射與在對x=z做鏡射的夾角為60度
謝謝

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先看平面的情況
假設兩直線 \( \displaystyle L_1,L_2 \)夾角為 \( \displaystyle \theta \),交於O
考慮兩個鏡射的合成 \( \displaystyle R(L_2) o R(L_1) \)
對於點A,假設AO將兩線夾角分成 \( \displaystyle \alpha+\beta \)
那麼由附圖可以看出最後得到的A"滿足
\( \displaystyle \angle{A"OA}=2\theta \)
故此兩鏡射的合成為中心為O的旋轉,旋轉角為夾角的兩倍
要注意的是這個角度是有方向性的

[ 本帖最後由 老王 於 2009-7-23 09:14 PM 編輯 ]

附件

兩次鏡射.JPG (15.66 KB)

2009-7-23 21:13

兩次鏡射.JPG

名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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謝謝王老師
不過鄭在試圖理解中

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97家齊女中

請教第三題,感謝

[ 本帖最後由 mathca 於 2015-12-21 10:14 PM 編輯 ]

附件

97家齊女中.pdf (151.12 KB)

2015-12-18 10:29, 下載次數: 525

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回復 1# mathca 的帖子

第3題
這是老梗題了
\(\text{231}0=\text{2}\times \text{3}\times \text{5}\times \text{7}\times \text{11}\)
所求 = \(\frac{{{3}^{5}}-3}{3!}\)

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回復 2# thepiano 的帖子

感謝。

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