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數列與級數題,透過夾擠求級數和.

數列與級數題,透過夾擠求級數和.

原標題:97附中填第五題可以使用微積分的方法夾擊求出嗎

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此題如果要用積分,做法同 https://math.pro/db/thread-156-1-1.html

註:

順便幫上面的不等式 \(2\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right) < \frac{1}{\sqrt{k}} < 2\left(\sqrt{k}-\sqrt{k-1}\right)\)  加上說明.

因為對任意正整數 \(k\),恆有
\[\frac{1}{\sqrt{k}}=\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k}} > \frac{2}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}=2\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right),\]

\[\frac{1}{\sqrt{k}}=\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k}} < \frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}=2\left(\sqrt{k}-\sqrt{k-1}\right).\]
故,
\[2\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right) < \frac{1}{\sqrt{k}} < 2\left(\sqrt{k}-\sqrt{k-1}\right).\]

多喝水。

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老師的數學底子真是深厚
謝謝老師 不勝感荷

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