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袋中有各色球若干,取球不放回,求某色球先取完的機率?

袋中有各色球若干,取球不放回,求某色球先取完的機率?

袋中有紅球4個,白球5個,黑球6個,每次由袋中取一球不放回,則紅球最先取完之機率?

112.7.26補充
有一個袋子,裡面裝了2顆紅球,3顆白球,4顆黃球,5顆黑球(球的材質、大小都相同),將袋中的球取出,一次取一顆,取後不放回,求白球先被取完之機率=   
(112東石高中,https://math.pro/db/thread-3778-1-1.html)

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方法一:同此題: h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=43062 連結已失效

    令 A 表示「紅球比白球先取完的事件」,B 表示「紅球比黑球先取完的事件」

    利用 P(A∩B)=P(A)+P(B) ﹣P(A∪B)=P(A)+P(B) ﹣(1 ﹣P(A'∩B'))

    其中 A'∩B' 所表示的就是「最後一球為紅球」的事件。

    註:詳細說明請見h ttp://ww2.worldone.com.tw/new_detail.do?ncId=15&newsId=5521 連結已失效

方法二:

    P(紅球先取完)=P(紅球比白球先取完且黑球為最後一球)+P(紅球比黑球先取完且白球為最後一球)

          =5/(4+5) * 6/(4+5+6) + 6/(4+6) * 5/(4+5+6)







推廣成四色球的情況: a 個紅球,b 個白球,c 個黑球,d 個綠球,求紅球先取完之機率?

方法一: 1aa+baa+caa+d+aa+b+c+aa+b+d+aa+c+daa+b+c+d

    註:詳見昌爸工作坊,連結已失效h ttp://www.mathland.idv.tw/talk-over/memo.asp?srcid=16453&bname=ASP

方法二:bcd1a+b1a+b+c1a+b+c+d+1a+b1a+b+d1a+b+d+c 

         +1a+c1a+c+b1a+c+b+d+1a+c1a+c+d1a+c+d+b

         +1a+d1a+d+b1a+d+b+c+1a+d1a+d+c1a+d+c+b 

     註:取完順序分別為「紅→白→黑→綠;  紅→白→綠→黑;  紅→黑→白→綠;

               紅→黑→綠→白;  紅→綠→白→黑;  紅→綠→黑→白」


註1:若要求的是情況有幾種,則再乘上所有排列的方法數,即可得之。

附件

HPM通訊第17卷第10期.pdf (1.24 MB)

2019-8-10 08:04, 下載次數: 10701

多喝水。

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照你提示的連結所用的解法真是漂亮阿!

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取球問題觀念想請問版主

(1)白球b顆,黑球c顆,每顆球被取到的機率相等,今每次取一球,連續取球,取後不放回,黑球較白球先取完的機率為bb+c
(2)袋中有紅球a顆,白球b顆,黑球c顆,每顆球被取到的機率相等,今每次取一球,連續取球,取後不放回,證明:
 (a)黑球較白球先取完的機率為?
 (b)黑球先取完的機率為aa+b+cbb+c+ba+b+cac+a
解:
P(黑球較白球先取完)=P(先捏住一白球)=bc+b
(因為先捏住一白球之後,剩下的球逐一取,則必可以保證黑球比白球先取完)
(2)(a)
如何證明?答案是bc+b嘛?也就是不管紅球有多少個,都這個答案?(類似優勝率)
(2)(b)
P(先捏住一紅球)P(黑球比白球先取完)+P(先捏住一白球)P(黑球比紅球先取完)
=aa+b+cbb+c+ba+b+cac+a()

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問題:
白球b個,黑球c個,……,黑球比白球先取完的機率是bb+c
紅球a個,白球b個,黑球c個,……,為何黑球比白球先取完的機率還是bb+c

答:
白球b個,黑球c個,黑球比白球先取完(最後一球是白球)的情形有(b1)!c!(b+c1)!
上面的每一種情形都有(b+c)個球及(b+c+1)個空隙
a個紅球插入這(b+c+1)個空隙中有Hab+c+1=Caa+b+c=a!(b+c)!(a+b+c)!種情形
故紅球a個,白球b個,黑球c個,黑球比白球先取完的情形數是a!(b+c)!(a+b+c)!(b1)!c!(b+c1)!
機率是a!b!c!(a+b+c)!a!(b+c)!(a+b+c)!(b1)!c!(b+c1)!=bb+c

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四種色球取球問題(96中一中考過)

3紅、4黃、5白、6黑,取後不放回,求白求先取完的機率?
我算出的答案為368/1365,與數學傳播28卷2期上的公式代入不合?可否請教板上高手幫忙解答?

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回復 1# larson 的帖子

依數學傳播 28 期卷2 之公式,為

2+33+5+44+5+66+5+5(112+114+115118)=3591848

個人的做法分類和條件機率,依取完的順序有,以下六種情形,機率分別為

白紅黃黑:61841283;白紅黑黃:41861483;白黃紅黑:61831294

白黃黑紅:31861594;白黑紅黃:418314611;白黑黃紅:318415611

故白球先取完之機率為 61841283+41861483+61831294+31861594+418314611+318415611=3591848
網頁方程式編輯 imatheq

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1、謝謝寸絲大!是我計算錯了!
2、你的算法很棒用到條件機率,謝謝你的分享!

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