袋中有紅球4個,白球5個,黑球6個,每次由袋中取一球不放回,則紅球最先取完之機率?

112.7.26補充
有一個袋子，裡面裝了2顆紅球，3顆白球，4顆黃球，5顆黑球(球的材質、大小都相同)，將袋中的球取出，一次取一顆，取後不放回，求白球先被取完之機率=　　　。
(112東石高中，https://math.pro/db/thread-3778-1-1.html)

方法一：同此題： h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=43062　連結已失效

　　　　令 A 表示「紅球比白球先取完的事件」，B 表示「紅球比黑球先取完的事件」

　　　　利用 P(A∩B)=P(A)+P(B) ﹣P(A∪B)=P(A)+P(B) ﹣(1 ﹣P(A'∩B'))

　　　　其中 A'∩B' 所表示的就是「最後一球為紅球」的事件。

　　　　註：詳細說明請見h ttp://ww2.worldone.com.tw/new_detail.do?ncId=15&newsId=5521　連結已失效

方法二：

　　　　P(紅球先取完)＝P(紅球比白球先取完且黑球為最後一球)+P(紅球比黑球先取完且白球為最後一球)

　　　　　　　　　　＝5/(4+5) * 6/(4+5+6) + 6/(4+6) * 5/(4+5+6)







推廣成四色球的情況： a 個紅球，b 個白球，c 個黑球，d 個綠球，求紅球先取完之機率？

方法一： 1−aa+b−aa+c−aa+d+aa+b+c+aa+b+d+aa+c+d−aa+b+c+d

　　　　註：詳見昌爸工作坊，連結已失效h ttp://www.mathland.idv.tw/talk-over/memo.asp?srcid=16453&bname=ASP

方法二：bcd1a+b1a+b+c1a+b+c+d+1a+b1a+b+d1a+b+d+c 

　　　　　　　　　+1a+c1a+c+b1a+c+b+d+1a+c1a+c+d1a+c+d+b

　　　　　　　　　+1a+d1a+d+b1a+d+b+c+1a+d1a+d+c1a+d+c+b 

　　　　　註：取完順序分別為「紅→白→黑→綠；　　紅→白→綠→黑；　　紅→黑→白→綠；

　　　　　　　　　　　　　　　紅→黑→綠→白；　　紅→綠→白→黑；　　紅→綠→黑→白」


註1：若要求的是情況有幾種，則再乘上所有排列的方法數，即可得之。

照你提示的連結所用的解法真是漂亮阿!

(1)白球b顆，黑球c顆，每顆球被取到的機率相等，今每次取一球，連續取球，取後不放回，黑球較白球先取完的機率為bb+c。
(2)袋中有紅球a顆，白球b顆，黑球c顆，每顆球被取到的機率相等，今每次取一球，連續取球，取後不放回，證明：
　(a)黑球較白球先取完的機率為？
　(b)黑球先取完的機率為aa+b+cbb+c+ba+b+cac+a
解：
P(黑球較白球先取完)=P(先捏住一白球)=bc+b
(因為先捏住一白球之後，剩下的球逐一取，則必可以保證黑球比白球先取完)
(2)(a)
如何證明？答案是bc+b嘛？也就是不管紅球有多少個，都這個答案？(類似優勝率)
(2)(b)
P(先捏住一紅球)P(黑球比白球先取完)+P(先捏住一白球)P(黑球比紅球先取完)
=aa+b+cbb+c+ba+b+cac+a()

問題：
白球b個，黑球c個，……，黑球比白球先取完的機率是bb+c
紅球a個，白球b個，黑球c個，……，為何黑球比白球先取完的機率還是bb+c？

答：
白球b個，黑球c個，黑球比白球先取完(最後一球是白球)的情形有(b−1)!c!(b+c−1)!種
上面的每一種情形都有(b+c)個球及(b+c+1)個空隙
把a個紅球插入這(b+c+1)個空隙中有Hab+c+1=Caa+b+c=a!(b+c)!(a+b+c)!種情形
故紅球a個，白球b個，黑球c個，黑球比白球先取完的情形數是a!(b+c)!(a+b+c)!(b−1)!c!(b+c−1)!
機率是a!b!c!(a+b+c)!a!(b+c)!(a+b+c)!(b−1)!c!(b+c−1)!=bb+c

3紅、4黃、5白、6黑，取後不放回，求白求先取完的機率？
我算出的答案為368/1365，與數學傳播28卷2期上的公式代入不合？可否請教板上高手幫忙解答？

依數學傳播 28 期卷2 之公式，為

−2+33+5+44+5+66+5+5(112+114+115−118)=3591848。

個人的做法分類和條件機率，依取完的順序有，以下六種情形，機率分別為

白紅黃黑：61841283；白紅黑黃：41861483；白黃紅黑：\displaystyle \frac{6}{18}\cdot\frac{3}{12}\cdot\frac{4}{9}

白黃黑紅：\displaystyle \frac{3}{18}\cdot\frac{6}{15}\cdot\frac{4}{9} ；白黑紅黃：\displaystyle \frac{4}{18}\cdot\frac{3} {14}\cdot\frac{6}{11} ；白黑黃紅：\displaystyle \frac{3}{18}\cdot\frac{4}{15}\cdot\frac{6}{11}

故白球先取完之機率為 \displaystyle \frac{6}{18}\cdot\frac{4}{12}\cdot\frac{3}{8}+\frac{4}{18}\cdot\frac{6}{14}\cdot\frac{3}{8}+\frac{6}{18}\cdot\frac{3}{12}\cdot\frac{4}{9}+\frac{3}{18}\cdot\frac{6}{15}\cdot\frac{4}{9}+\frac{4}{18}\cdot\frac{3}{14}\cdot\frac{6}{11}+\frac{3}{18}\cdot\frac{4}{15}\cdot\frac{6}{11}=\frac{359}{1848}

1、謝謝寸絲大！是我計算錯了！
2、你的算法很棒用到條件機率，謝謝你的分享！