袋中有紅球4個,白球5個,黑球6個,每次由袋中取一球不放回,則紅球最先取完之機率?

112.7.26補充
有一個袋子，裡面裝了2顆紅球，3顆白球，4顆黃球，5顆黑球(球的材質、大小都相同)，將袋中的球取出，一次取一顆，取後不放回，求白球先被取完之機率=　　　。
(112東石高中，https://math.pro/db/thread-3778-1-1.html)

方法一：同此題： h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=43062　連結已失效

　　　　令 A 表示「紅球比白球先取完的事件」，B 表示「紅球比黑球先取完的事件」

　　　　利用 P(A∩B)=P(A)+P(B) ﹣P(A∪B)=P(A)+P(B) ﹣(1 ﹣P(A'∩B'))

　　　　其中 A'∩B' 所表示的就是「最後一球為紅球」的事件。

　　　　註：詳細說明請見h ttp://ww2.worldone.com.tw/new_detail.do?ncId=15&newsId=5521　連結已失效

方法二：

　　　　P(紅球先取完)＝P(紅球比白球先取完且黑球為最後一球)+P(紅球比黑球先取完且白球為最後一球)

　　　　　　　　　　＝5/(4+5) * 6/(4+5+6) + 6/(4+6) * 5/(4+5+6)







推廣成四色球的情況： \(a\) 個紅球，\(b\) 個白球，\(c\) 個黑球，\(d\) 個綠球，求紅球先取完之機率？

方法一： \(\displaystyle 1-\frac{a}{a+b}-\frac{a}{a+c}-\frac{a}{a+d}+\frac{a}{a+b+c}+\frac{a}{a+b+d}+
\frac{a}{a+c+d}-\frac{a}{a+b+c+d}\)

　　　　註：詳見昌爸工作坊，連結已失效h ttp://www.mathland.idv.tw/talk-over/memo.asp?srcid=16453&bname=ASP

方法二：\(\displaystyle b\cdot c\cdot d\Bigg(\frac{1}{a+b}\cdot \frac{1}{a+b+c}\cdot\frac{1}{a+b+c+d}+\frac{1}{a+b}\cdot\frac{1}{a+b+d}\cdot\frac{1}{a+b+d+c}\)

　　　　　　　　　\(\displaystyle +\frac{1}{a+c}\cdot\frac{1}{a+c+b}\cdot\frac{1}{a+c+b+d}+\frac{1}{a+c}\cdot\frac{1}{a+c+d}\cdot\frac{1}{a+c+d+b}\)

　　　　　　　　　\(\displaystyle +\frac{1}{a+d}\cdot\frac{1}{a+d+b}\cdot\frac{1}{a+d+b+c}+\frac{1}{a+d}\cdot\frac{1}{a+d+c}\cdot\frac{1}{a+d+c+b}\Bigg)\)

　　　　　註：取完順序分別為「紅→白→黑→綠；　　紅→白→綠→黑；　　紅→黑→白→綠；

　　　　　　　　　　　　　　　紅→黑→綠→白；　　紅→綠→白→黑；　　紅→綠→黑→白」


註1：若要求的是情況有幾種，則再乘上所有排列的方法數，即可得之。

照你提示的連結所用的解法真是漂亮阿!

(1)白球\(b\)顆，黑球\(c\)顆，每顆球被取到的機率相等，今每次取一球，連續取球，取後不放回，黑球較白球先取完的機率為\(\displaystyle \frac{b}{b+c}\)。
(2)袋中有紅球\(a\)顆，白球\(b\)顆，黑球\(c\)顆，每顆球被取到的機率相等，今每次取一球，連續取球，取後不放回，證明：
　(a)黑球較白球先取完的機率為？
　(b)黑球先取完的機率為\(\displaystyle \frac{a}{a+b+c}\times \frac{b}{b+c}+\frac{b}{a+b+c}\times \frac{a}{c+a}\)
解：
\(P(\)黑球較白球先取完\()=P(\)先捏住一白球\(\displaystyle )=\frac{b}{c+b}\)
(因為先捏住一白球之後，剩下的球逐一取，則必可以保證黑球比白球先取完)
(2)(a)
如何證明？答案是\(\displaystyle \frac{b}{c+b}\)嘛？也就是不管紅球有多少個，都這個答案？(類似優勝率)
(2)(b)
\(P(\)先捏住一紅球\()\times P(\)黑球比白球先取完\()+P(\)先捏住一白球\()\times P(\)黑球比紅球先取完\()\)
\(\displaystyle =\frac{a}{a+b+c}\times \frac{b}{b+c}+\frac{b}{a+b+c}\times \frac{a}{c+a}\ldots \ldots(*)\)

問題：
白球\(b\)個，黑球\(c\)個，……，黑球比白球先取完的機率是\(\displaystyle \frac{b}{b+c}\)
紅球\(a\)個，白球\(b\)個，黑球\(c\)個，……，為何黑球比白球先取完的機率還是\(\displaystyle \frac{b}{b+c}\)？

答：
白球\(b\)個，黑球\(c\)個，黑球比白球先取完(最後一球是白球)的情形有\(\displaystyle \frac{(b+c-1)!}{(b-1)!c!}\)種
上面的每一種情形都有\((b+c)\)個球及\((b+c+1)\)個空隙
把\(a\)個紅球插入這\((b+c+1)\)個空隙中有\(\displaystyle H_a^{b+c+1}=C_a^{a+b+c}=\frac{(a+b+c)!}{a!(b+c)!}\)種情形
故紅球\(a\)個，白球\(b\)個，黑球\(c\)個，黑球比白球先取完的情形數是\(\displaystyle \frac{(a+b+c)!}{a!(b+c)!}\times \frac{(b+c-1)!}{(b-1)!c!}\)
機率是\(\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{(a+b+c)!}{a!(b+c)!}\times \frac{(b+c-1)!}{(b-1)!c!}}{\displaystyle \frac{(a+b+c)!}{a!b!c!}}=\frac{b}{b+c}\)

3紅、4黃、5白、6黑，取後不放回，求白求先取完的機率？
我算出的答案為368/1365，與數學傳播28卷2期上的公式代入不合？可否請教板上高手幫忙解答？

依數學傳播 28 期卷2 之公式，為

\(\displaystyle -2+\frac{3}{3+5}+\frac{4}{4+5}+\frac{6}{6+5}+5\cdot(\frac{1}{12}+\frac{1}{14}+\frac{1}{15}-\frac{1}{1 8})=\frac{359}{1848} \)。

個人的做法分類和條件機率，依取完的順序有，以下六種情形，機率分別為

白紅黃黑：\(\displaystyle \frac{6}{18}\cdot\frac{4}{12}\cdot\frac{3}{8} \)；白紅黑黃：\(\displaystyle \frac{4}{18}\cdot\frac{6} {14}\cdot\frac{3}{8} \)；白黃紅黑：\(\displaystyle \frac{6}{18}\cdot\frac{3}{12}\cdot\frac{4}{9} \)

白黃黑紅：\(\displaystyle \frac{3}{18}\cdot\frac{6}{15}\cdot\frac{4}{9} \)；白黑紅黃：\(\displaystyle \frac{4}{18}\cdot\frac{3} {14}\cdot\frac{6}{11} \)；白黑黃紅：\(\displaystyle \frac{3}{18}\cdot\frac{4}{15}\cdot\frac{6}{11} \)

故白球先取完之機率為 \(\displaystyle \frac{6}{18}\cdot\frac{4}{12}\cdot\frac{3}{8}+\frac{4}{18}\cdot\frac{6}{14}\cdot\frac{3}{8}+\frac{6}{18}\cdot\frac{3}{12}\cdot\frac{4}{9}+\frac{3}{18}\cdot\frac{6}{15}\cdot\frac{4}{9}+\frac{4}{18}\cdot\frac{3}{14}\cdot\frac{6}{11}+\frac{3}{18}\cdot\frac{4}{15}\cdot\frac{6}{11}=\frac{359}{1848} \)

1、謝謝寸絲大！是我計算錯了！
2、你的算法很棒用到條件機率，謝謝你的分享！